人教版初中数学九年级下册《27.3 位似图形》单元精讲与深度训练教案

人教版初中数学九年级下册《27.3位似图形》单元精讲与深度训练教案

一、教材深度分析与教学立意升华

（一）教材内容定位与知识结构解构

本节课选自人教版《数学》九年级下册第二十七章“相似”中的第三小节“位似”。在知识体系中，它处于“图形的相似”与“相似三角形的判定与性质”之后，是相似知识的深化与应用，同时也是连接初等几何与射影几何、为高中学习平面向量、解析几何乃至大学数学中拓扑思想埋下伏笔的关键节点。

教材通过具体实例引入位似图形的概念，进而探讨位似图形的性质、位似中心的分类（同侧与异侧），最后学习利用位似进行图形的放大或缩小（即画位似图形）。其内在逻辑是：从生活现象抽象数学概念（概念形成）→探究概念的本质属性与相互关系（性质剖析）→应用概念解决实际问题（画图与问题解决）。然而，要达到顶尖教学水平，我们必须超越教材表层，挖掘其背后蕴含的数学思想方法：变换思想（位似是一种特殊的相似变换）、对应思想（对应点连线交于一点）、从特殊到一般的思想（位似是相似的特例），以及数形结合思想（坐标法研究位似）。

（二）学科核心素养的聚焦与落地

本课是发展学生数学核心素养的绝佳载体：

1.直观想象：通过观察、操作、绘制位似图形，建立图形的位置、缩放与变换的直观感知。

2.逻辑推理：探究并证明位似图形的性质（对应点连线交于一点、对应边平行等），训练演绎推理能力。

3.数学抽象：从具体的图片缩放、投影等现实情境中，抽象出“位似”这一数学概念的本质特征。

4.数学建模：将“按比例放大或缩小图形”的实际问题，转化为“利用位似中心与位似比作图”的数学模型。

5.数学运算：涉及位似比的计算，以及在平面直角坐标系中，利用坐标关系进行相关运算。

（三）学情精准诊断与学习起点分析

授课对象为九年级下学期学生，他们已具备以下基础：

1.知识基础：牢固掌握了相似多边形、相似三角形的定义、性质与判定；熟悉比例线段、平行线分线段成比例定理；能熟练进行图形的平移、旋转、轴对称等变换。

2.能力基础：具备一定的几何观察、猜想和证明能力；有初步的动手作图与合作探究经验。

3.思维与心理特征：抽象逻辑思维占主导，但仍有赖于具体形象的支持；对富有挑战性和现实意义的问题充满兴趣；临近中考，既关注知识深度，也关注知识体系的整合与应用。

潜在学习障碍预判：

1.对“位似中心在图形内部、外部、边上及无穷远处”等多种情形的全面理解可能存在困难。

2.“对应边平行”这一性质在图形位置特殊时（如位似中心在对应点连线上）的理解与证明。

3.灵活选择位似中心和位似比进行图形缩放，解决综合性实际问题。

二、三维教学目标体系设计

（一）知识与技能

1.理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能准确识别位似图形并指出其位似中心与位似比。

2.掌握位似图形的基本性质：对应点连线（或延长线）相交于一点（位似中心）；对应边平行（或在同一直线上）；任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（绝对值）。

3.能够利用尺规或坐标法，按要求（给定位似中心与位似比）画出一个多边形的位似图形。

4.了解位似在生活中的广泛应用（如地图、模型、投影、图像处理），并能用位似知识解释简单现象。

（二）过程与方法

1.经历“观察实例—抽象共性—形成概念—探究性质—应用拓展”的完整认知过程，体会数学概念源于生活又服务于生活的本质。

2.通过动手操作（小组合作画图）、几何画板动态演示、猜想验证等多元化活动，发展观察、分析、归纳、概括和推理论证的能力。

3.在探索位似图形画法的过程中，体会解决问题策略的多样性（内位似、外位似；尺规作图、坐标作图），并进行优化选择。

4.尝试从变换的视角（位似变换）统整已学的图形变换（全等变换、相似变换），构建知识网络。

（三）情感、态度与价值观

1.感受位似图形的和谐美、对称美与统一美，激发对几何学习的兴趣和审美情趣。

2.通过了解位似在科技（如数码变焦、CT成像）、艺术（透视画法）、工程（图纸设计）等领域的应用，体会数学的广泛应用价值和强大工具作用，增强学好数学的信心和动力。

3.在小组探究与合作中，培养乐于分享、敢于质疑、严谨求实的科学态度和合作精神。

三、教学重难点及突破策略

项目

内容

突破策略

教学重点

1.位似图形概念的本质理解。

2.位似图形性质的探究与掌握。

3.根据位似中心与位似比画位似图形。

1.概念：采用“正反例辨析+本质属性提炼”法，通过大量直观实例（包括非位似相似图形）对比，引导学生自主归纳位似定义的核心要件。

2.性质：采用“几何画板动态演示+猜想+演绎证明”相结合的方式。先通过软件动态变化，让学生直观观察不变性，形成猜想，再引导学生利用相似三角形知识进行严谨证明，实现直观感知与逻辑推理的统一。

3.画图：采用“任务驱动，分层探究”法。从简单多边形到复杂图形，从单一方法到多种策略，在“试误-反思-优化”中掌握作图要领。

教学难点

1.位似概念的深入理解（特别是位似中心的位置多样性）。

2.位似图形性质“对应边平行”的全面理解与证明。

3.在复杂情境中（如平面直角坐标系中或综合题中）灵活运用位似知识。

1.概念深度：设计“位似中心寻宝”活动，提供位似中心分别在形内、形外、边上、顶点处甚至图形之间的各种图例，组织学生分组寻找、分类讨论，辅以几何画板演示位似中心动态移动的连续过程，打破思维定势。

2.性质证明：针对“对应边平行”，设置探究性问题链：

-当位似中心不在对应边所在直线上时，如何证明？

-当位似中心在对应点连线上时，对应边还平行吗？此时是什么关系？

引导学生分情况讨论，理解其本质是“对应点连线共点且成比例”导致的方向一致性。

3.灵活应用：设计“问题串”和“微项目”，如“设计一个校园平面图的缩略图”、“解析一幅名画中的透视原理”，将知识置于真实、复杂的任务情境中，促进迁移应用。

四、教学理念与教法学法设计

（一）教学理念

秉承“以学生发展为本”的课改核心理念，本节课将贯彻：

1.建构主义学习观：创设情境，引导学生主动建构对位似意义和性质的理解。

2.问题导学：以环环相扣、富有思维张力的问题驱动整个教学进程。

3.深度学习：不止于记忆和模仿，强调理解、迁移、批判和创新，触及数学思想方法层面。

4.技术深度融合：将动态几何软件（Geogebra/几何画板）作为认知工具、探究平台和展示媒介，化抽象为直观，突破思维瓶颈。

5.跨学科视野：有机链接美术（透视）、物理（光学成像）、地理（地图比例尺）、信息技术（图像缩放算法），展现数学的普适性与联结性。

（二）教法选择

1.情境创设教学法：开篇与环节中植入高质量的现实与科学情境，激发兴趣，赋予知识意义。

2.探究发现教学法：围绕核心概念与性质，设计阶梯式探究活动，让学生经历“再发现”过程。

3.变式教学法：通过变换图形位置、位似比数值、位似中心位置等，多角度、多层次地巩固概念，训练思维灵活性。

4.讲练结合与任务驱动法：精讲关键点，辅以及时、有梯度的训练和综合性任务，实现知识向能力的转化。

（三）学法指导

1.自主探究与合作学习相结合：鼓励个人思考，更倡导小组内的讨论、质疑、协作与成果共享。

2.观察归纳与演绎论证相结合：学会从大量具体现象中观察共性、提出猜想，并运用已有知识进行逻辑证明。

3.动手操作与软件验证相结合：既培养尺规作图的规范与技能，又利用技术工具进行快速验证和动态探索，提高探究效率与深度。

4.反思总结与体系构建：引导学生在每个学习阶段后进行反思，最终将位似纳入“图形变换”大框架中，形成结构化认知。

五、教学资源与工具准备

1.教师准备：精心制作的多媒体课件（内含大量高清晰度位似实例图片、动画）；Geogebra动态几何课件（用于概念引入、性质探究）；实物投影仪或高清摄像头（展示学生作图成果）；预设的探究学案。

2.学生准备：人教版九年级下册数学教材；直尺、圆规、量角器等作图工具；课堂练习本；分组名单（建议4人异质小组）。

3.环境准备：具备多媒体演示和实物投影功能的教室；网络畅通（备用，用于调用在线资源）。

六、教学实施过程详案（共计2课时，90分钟）

第一课时：概念的建构与性质的探究

环节一：创设情境，悬疑激趣（预计时间：8分钟）

【活动1】从“视觉的魔术”导入

1.展示：PPT呈现一组精心挑选的图片：

1.2.通过显微镜放大后的雪花晶体与原图。

2.3.同一座建筑物在不同距离拍摄的照片（透视关系导致相似）。

3.4.一幅世界地图和以其某点为中心放大后的局部地图。

4.5.（跨学科链接）达·芬奇《最后的晚餐》壁画，聚焦其透视灭点。

6.提问：

1.7.“这些图片中的两组图形，它们有什么共同的关系？”（预设：形状相同，大小不同——相似）

2.8.“仅仅是相似吗？请大家再仔细观察，这些相似图形的位置排列上，还有什么特别的规律？”（引导学生关注对应点之间的位置关系）

3.9.（指向地图）“如果我想把这张地图按比例放大，但要求放大后的图形上每一个点，都能和原图上的对应点连成一条直线，并且这些直线都经过同一个‘中心点’，该如何操作？这个‘中心点’有什么意义？”

10.揭示课题：“今天，我们就来深入探究一类具有这种特殊位置关系的相似图形——位似图形。它不仅能解释上述现象，更是我们进行精确图形缩放的理论基础。”

【设计意图】从多领域实例出发，既复习了“相似”旧知，又自然引出了对“特殊位置关系”的新思考。最后的设问将“放缩”这一实用目标与“对应点连线共点”这一数学特征联系起来，为概念生成设下锚点，激发探究欲。

环节二：操作感知，抽象定义（预计时间：15分钟）

【活动2】动手实验，初识“位似”

1.任务一（个人尝试）：教师在黑板上画一个△ABC，并指定一点O。要求学生在练习本上，画出“让A、B、C三点分别沿着OA、OB、OC方向移动，且使OA‘:OA=2:1”的△A‘B’C‘。（教师巡视，选取有代表性的画法用实物投影展示）

2.任务二（小组观察）：展示几组学生作品（包括正确和典型的错误）。小组讨论：

1.3.你们画出的△A‘B’C‘与△ABC相似吗？为什么？（利用测量工具或三角形相似的判定定理进行验证）

2.4.所有正确的画法中，点O与这两个三角形有什么特殊的位置关系？（对应顶点连线都经过O点）

3.5.错误的画法主要错在哪里？（方向偏离或比例不对）

6.归纳提炼：教师引导学生用语言描述这种特殊的图形关系：“如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。”

7.概念辨析（深化理解）：

1.8.变式提问：“对应顶点连线交于一点，那么对应边上的其他对应点呢？它们的连线是否也经过位似中心？”（引导学生思考，并借助几何画板动态演示进行验证：在一条边上任取一点，其对应点连线仍过O点，从而理解“对应点”的普遍性）。

2.9.正反例巩固：PPT快速展示多组图形（包括位似图形、非位似的相似图形、全等图形、既不相似也不位似的图形），开展“快速抢答：是否位似？找出位似中心！”活动。重点辨析几组非位似的相似图形，追问：“它们为什么不是位似？”强化概念的两个必要条件：①相似；②对应点连线共点。

【设计意图】通过动手画图，将抽象概念具体化、操作化。在“画-议-比-析”的过程中，学生亲身经历了位似图形的生成过程，对概念的核心要素（对应点连线共点）有了深刻的感官认识。正反例辨析是概念教学的关键，能有效防止“相似即是位似”的误解，明确概念的内涵与外延。

环节三：动态探究，发现性质（预计时间：20分钟）

【活动3】性质探索之旅

1.提出核心问题：“我们已经认识了位似图形，它除了‘相似’和‘对应点连线共点’外，还有哪些独特的性质呢？这些性质之间又有何联系？”

2.猜想阶段：教师利用Geogebra预先制作好一个可动态调整的位似图形模型（如一个四边形和它的位似图形，位似中心O可拖动，位似比k可滑动条调整）。

1.3.拖动点O，改变其位置（形内、形外、边上、顶点）。

2.4.调整位似比k（正负值，大小变化）。

3.5.引导学生观察并猜想：无论怎么变化，有哪些“量”或“关系”是始终保持不变的？

6.猜想汇总（学生可能提出）：

1.7.对应点到位似中心的距离之比是定值（等于|k|）。

2.8.对应边似乎总是平行的。

3.9.当k>0时，位似图形在位似中心同侧；k<0时，在位似中心异侧。

10.验证与证明阶段：

1.11.性质1（距离比）：这是最容易从定义和作图过程中感知的。引导学生用相似三角形证明：对于任意一对对应点A和A‘，由于△OAA’与△OBB‘…并不直接相似，需构造中间量。教师引导：连接AB和A’B‘，由位似定义，可知OA’/OA=OB‘/OB，且∠AOB=∠A’OB‘，故△OAB∽△OA’B‘，从而对应边成比例，再结合比例性质即可推出OA’/OA=A‘B’/AB=…=|k|。强调|k|是位似比，其符号表示方向。

2.12.性质2（对应边平行）：这是难点。不急于直接给出证明，而是先让学生用Geogebra的“角度测量”工具验证多组对应边的平行关系。然后抛出关键问题：“为什么对应边会平行？如何用我们学过的知识证明它？”

1.3.13.小组探究：提供提示——关注△OAB与△OA‘B’。已证它们相似。那么，∠OAB与∠OA‘B’有何关系？这对证明AB∥A‘B’有何帮助？（利用同位角相等，两直线平行）。

2.4.14.思考延伸：如果位似中心O恰好在某条边AB上，那么这条边的对应边A‘B’与AB还是平行关系吗？（此时，A‘、O、A共线，B’、O、B共线，A‘B’与AB在同一直线上，可视为“平行”的特殊情况，即重合或共线）。教师总结：“对应边平行或在同一直线上”是更严谨的表述。

5.15.性质3（同侧与异侧）：由位似比k的正负决定，结合图形直观理解即可。

16.性质系统化：师生共同完成性质表格的梳理。

序号

位似图形的性质

数学表达

备注

1

对应点连线（或延长线）交于一点（位似中心O）

OA‘=k·OA(向量思想可渗透)

定义的核心

2

任意一对对应点P,P’到位似中心O的距离比等于位似比的绝对值

OP‘

/

OP

=

k

核心度量性质

3

对应边平行（或共线）

AB∥A‘B’,BC∥B‘C‘,…

核心位置关系

4

周长比等于

k

，面积比等于k²

C‘/C=

k

,S‘/S=k²

由相似性质推导

【设计意图】本环节是培养学生数学探究能力和理性思维的核心。借助动态几何软件，将“猜想-验证”的过程直观化、科学化。重点突破“对应边平行”的证明，引导学生将新问题（位似性质）转化为已解决的问题（相似三角形的性质），掌握数学学习的基本方法。系统的表格整理有助于学生从整体上把握性质，形成结构化记忆。

环节四：初步应用，内化概念（预计时间：5分钟）

【活动4】小试牛刀

1.口答判断（快速巩固）：

1.2.任意两个正方形都是位似图形。（）（强调位似需指定对应关系且连线共点）

2.3.位似图形的位似中心只能在图形外部。（）（回顾动态演示）

3.4.位似比大于1时，图形被放大。（）（联系k的绝对值）

5.简单计算：如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，已知OA=4cm，OD=6cm，则位似比为____。若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长为____cm。

6.课堂小结（第一课时）：引导学生回顾本节课我们“发现了什么”（位似概念）、“探究了什么”（位似性质）、“学会了什么”（判断与简单计算）。布置课后思考题：“你能想出几种画一个已知多边形位似图形的方法？需要哪些条件？”

【设计意图】通过层次分明的练习，及时检测和巩固概念与性质的理解。小结引导学生反思学习过程，形成认知闭环。思考题为下节课的画图教学做好铺垫。

第二课时：技能的形成与应用的升华

环节一：承前启后，方法探究（预计时间：20分钟）

【活动1】画法大探秘

1.复习导入：提问上节课留下的思考题，收集学生的想法。

2.明确任务：给定△ABC和一点O，请画出以O为位似中心，位似比分别为2和-1/2的位似图形△A‘B’C‘。

3.自主尝试与小组交流：学生先独立尝试作图（尺规），然后小组内交流各自的画法步骤，比较异同，总结关键。教师巡视，收集不同策略（特别是利用“对应边平行”性质来画的思路）。

4.方法提炼与示范：

1.5.方法一（定义法/射线法）：连接OA、OB、OC并延长（或反向延长，根据k的正负）；分别在（或反向）射线OA、OB、OC上截取OA‘=2OA，OB’=2OB，OC‘=2OC；连接A’B‘、B’C‘、C’A‘。强调：截取时方向与长度的准确把握。

2.6.方法二（平行线法）：当k为正时，可过点O作任意直线与AB交于M，在射线OM上取OM‘=2OM；过M’作A‘B’∥AB交OA于A‘，交OB（或延长线）于B’；类似地，可作出C‘。此方法利用了“对应边平行”的性质。讨论：此方法的优缺点？（可能更快捷，但需要作平行线，且对k为负时处理稍复杂）。

3.7.坐标法（前瞻）：若图形在平面直角坐标系中，且位似中心是原点O，则作图简化为将每个点的横纵坐标乘以k即可。这为后续学习埋下伏笔。

8.归纳画图关键步骤：

1.9.确定位似中心。

2.10.确定位似比（包括大小和符号，决定放大/缩小和同侧/异侧）。

3.11.找出图形关键点（如多边形顶点）。

4.12.连接关键点与位似中心，并按要求截取。

5.13.顺次连接新关键点。

14.变式与挑战：

1.15.如果位似中心O在△ABC的边上，如何画？

2.16.如果给定位似中心O和一对对应点A、A‘，要求画出原图形，如何画？（逆向思维）

【设计意图】画图是位似知识的技能落脚点。本环节摒弃直接灌输画法，让学生在尝试、交流、比较中自主建构画图策略。提炼的两种主要方法分别紧扣位似定义和性质，体现了知识对技能的指导作用。变式问题训练学生思维的灵活性和逆向思考能力。

环节二：综合演练，能力提升（预计时间：18分钟）

【活动2】阶梯式训练营

1.基础巩固层：

1.2.教材例题与课后基础练习题选讲。

2.3.（判断说理）如图，五边形ABCDE与五边形A‘B’C‘D’E‘是位似图形，位似中心为O。若OA:OA’=1:2，则下列说法正确的是（）。

A.AB:A‘B’=1:2

B.五边形ABCDE的周长是五边形A‘B’C‘D’E‘周长的一半

C.∠A=2∠A‘

D.S_(ABCDE):S_(A‘B’C‘D’E‘)=1:4

4.能力提升层：

3.（分类讨论）已知四边形ABCD，以点O为位似中心，位似比为3，画出它的位似图形。若O点分别位于四边形内部、外部、顶点A处，观察所作图形，总结位似中心位置对位似图形位置的影响。

4.（实际应用）如图，小灯（点S）发出的光将墙上的木杆AB投影成影子A‘B’。已知AB=1m，SA=3m，SA’=6m，求A‘B’的长度。这里的光源可以看作位似中心吗？位似比是多少？

5.思维拓展层：

5.（坐标综合）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,1)，C(2,4)。以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍。

-若放大后的图形与△ABC在位似中心同侧，求△A‘B’C‘的顶点坐标。

-若放大后的图形与△ABC在位似中心异侧，求△A“B”C“的顶点坐标。

-观察坐标变化规律，你能用公式表示以原点为位似中心，位似比为k的坐标变换公式吗？（(x,y)→(kx,ky)）

【设计意图】分层设计练习题，满足不同层次学生需求。基础题巩固概念与性质；能力提升题强化分类讨论思想，并建立位似与物理投影的联系，体现跨学科价值；思维拓展题引入坐标系，将几何变换代数化，揭示位似变换的坐标本质，为高中学习做好铺垫，是达到顶尖水平教学设计的重要体现。

环节三：项目拓展，链接生活（预计时间：12分钟）

【活动3】微项目：我是“小小设计师”

1.发布项目任务：学校宣传栏需要一张校园主要建筑的平面示意图。现有一张详细的校园平面图（提供简化版网格图），请以校门口的中心花坛（指定为点O）为观测中心，设计一张比例尺为1:500的缩略图（即原图的比例尺假设为1:100，需缩小到1/5倍）。

2.小组合作：

1.3.步骤1：识别原图中的关键建筑点（用多边形近似）。

2.4.步骤2：确定画法（选择定义法或平行线法）。

3.5.步骤3：分工合作，在网格纸上绘制缩略图。

4.6.步骤4：展示成果，并简要说明设计思路和使用的数学原理。

7.展示与评价：各小组展示设计图。师生共同评价，重点关注：位似中心使用是否正确、位似比计算与实施是否准确、图形相对位置关系是否保持、作图是否清晰美观。教师点评中融入“数学是设计的重要工具”这一理念。

【设计意图】通过一个贴近学生生活的微型项目，创设真实、复杂、开放的问题情境。学生需要综合运用本节课所学（确定位似中心、计算和应用位似比、选择画法），在合作中解决问题。这不仅是知识的应用，更是问题解决能力、协作能力和创新意识的培养，是实现深度学习的重要途径。

环节四：总结反思，体系建构（预计时间：5分钟）

【活动4】回顾与展望

1.学生自主总结：引导学生从知识、方法、思想、应用四个维度进行梳理。

1.2.知识：位似定义、性质（表格）、画法。

2.3.方法：观察、猜想、验证、证明；分类讨论；坐标法。

3.4.思想：变换思想、对应思想、数形结合思想。

4.5.应用：生活缩放、艺术透视、光学成像、地图绘制、图像处理等。

6.构建知识网络图：教师在黑板上或PPT上，与学生共同构建以“图形变换”为中心的知识网络图，将位似与之前学过的平移、旋转、轴对称、相似等联系起来，明确位似是保形变换（相似变换）的一种，其特殊性在于“缩放中心固定”。这体现了知识的整体性和结构性。

7.布置分层作业：

1.8.必做题：教材课后练习所有题目。

2.9.选做题：

1.3.10.（探究题）研究在平面直角坐标系中，位似中心不是原点时的坐标变换公式。

2.4.11.（实践题）找一幅包含明显透视效果的绘画或摄影作品，尝试分析其中可能存在的位似关系，并撰写一份简短的数学分析报告。