2026年大学数学多元函数极值与最值真题

2026年大学数学多元函数极值与最值真题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.设函数f(x,y)在点(1,1)处取得极值，且f(x,y)=x^2+2y^2+ax+by+c，则a和b的值分别为（）A.a=2,b=2B.a=-2,b=-2C.a=2,b=-2D.a=-2,b=22.函数f(x,y)=x^3-3xy^2在点(1,1)处的驻点性质为（）A.极大值点B.极小值点C.非极值点D.无法确定3.求函数f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+1在闭区域D={(x,y)|x^2+y^2≤4}上的最值，其最大值为（）A.10B.9C.8D.74.函数f(x,y)=e^(x^2+y^2)在点(0,0)处的极值类型为（）A.极大值B.极小值C.非极值点D.没有极值5.若函数f(x,y)=x^2+2xy+y^2在点(1,1)处取得极小值，则该极小值为（）A.1B.2C.3D.46.求函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值，其最小值为（）A.1/2B.1C.2D.47.函数f(x,y)=x^3-3xy^2在点(0,0)处的二阶偏导数f_xx(0,0)的值为（）A.0B.1C.-3D.38.函数f(x,y)=ln(x+y)在点(1,1)处的梯度向量∇f(1,1)为（）A.(1/2,1/2)B.(1,1)C.(1/2,-1/2)D.(-1/2,-1/2)9.函数f(x,y)=x^2-4xy+4y^2在点(1,1)处的驻点为（）A.(1,1)B.(2,2)C.(0,0)D.无驻点10.求函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x^2+y^2=4下的最大值，其最大值为（）A.4B.8C.16D.32二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(x,y)=x^2+4y^2在点(0,0)处的极值为__________。2.若函数f(x,y)=x^2+y^2+2xy在点(1,1)处取得极值，则该极值为__________。3.函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy在点(1,1)处的极值为__________。4.函数f(x,y)=e^(x^2+y^2)在点(0,0)处的极值为__________。5.函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值为__________。6.函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x^2+y^2=4下的最大值为__________。7.函数f(x,y)=ln(x+y)在点(1,1)处的梯度向量为__________。8.函数f(x,y)=x^3-3xy^2在点(0,0)处的二阶偏导数f_xx(0,0)的值为__________。9.函数f(x,y)=x^2-4xy+4y^2在点(1,1)处的驻点为__________。10.函数f(x,y)=x^2+y^2在闭区域D={(x,y)|x^2+y^2≤4}上的最大值为__________。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处取得极小值。（）2.函数f(x,y)=x^3+y^3在点(0,0)处取得极值。（）3.函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值为1/2。（）4.函数f(x,y)=e^(x^2+y^2)在点(0,0)处取得极大值。（）5.函数f(x,y)=x^3-3xy^2在点(0,0)处取得极值。（）6.函数f(x,y)=ln(x+y)在点(1,1)处的梯度向量为(1/2,1/2)。（）7.函数f(x,y)=x^2-4xy+4y^2在点(1,1)处取得极小值。（）8.函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x^2+y^2=4下的最大值为16。（）9.函数f(x,y)=x^2+y^2在闭区域D={(x,y)|x^2+y^2≤4}上的最小值为0。（）10.函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy在点(1,1)处取得极小值。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述多元函数极值的必要条件和充分条件。2.解释什么是拉格朗日乘数法，并说明其适用条件。3.如何判断多元函数的驻点是否为极值点？4.说明闭区域上多元函数最值的求解方法。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.求函数f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+1在闭区域D={(x,y)|x^2+y^2≤4}上的最值。2.求函数f(x,y)=x^3-3xy^2在点(1,1)处的驻点性质。3.求函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的最小值。4.求函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x^2+y^2=4下的最大值。【标准答案及解析】一、单选题1.D解析：f(x,y)在(1,1)处取得极值，则f_x(1,1)=0且f_y(1,1)=0，即2x+a=0且2y+b=0，解得a=-2,b=2。2.C解析：f_x(1,1)=3x^2-6y^2=0,f_y(1,1)=-6xy=0，驻点(1,1)处Hessian矩阵为D=12-12=-12<0，非极值点。3.A解析：先求无条件极值，f_x=2x-2=0,f_y=4y+4=0，得驻点(1,-1)，f(1,-1)=10；再求边界极值，x^2+y^2=4上f(x,y)=2x+4y+1=2x+4√(4-x^2)+1，求导得x=2/3时取最大值，f(2/3,2√(5/9))≈9.18，最大值为10。4.A解析：f_x=2xe^(x^2+y^2),f_y=2ye^(x^2+y^2)，在(0,0)处f_x=f_y=0，且Hessian矩阵D=4e^0=4>0，为极大值。5.A解析：f_x=2x+2y,f_y=2x+2y，驻点(1,1)处f_x=f_y=4≠0，非极值点，原题可能有误，若改为f(x,y)=x^2+2xy+y^2在(0,0)处取得极小值，则极小值为0。6.A解析：用拉格朗日乘数法，L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x+y-1)，求导得x=y=1/2，f(1/2,1/2)=1/4+1/4=1/2。7.A解析：f_xx=6x,f_xx(0,0)=0。8.A解析：∇f(x,y)=(1/(x+y),1/(x+y))，∇f(1,1)=(1/2,1/2)。9.A解析：f_x=2x-4y,f_y=-4x+8y，驻点(1,1)处f_x=f_y=0。10.B解析：用拉格朗日乘数法，L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x^2+y^2-4)，求导得x=y=±2√2/2，f(2√2/2,2√2/2)=8。二、填空题1.02.43.04.15.1/26.87.(1/2,1/2)8.09.(1,1)10.8三、判断题1.√2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.必要条件：驻点处偏导数为0；充分条件：Hessian矩阵正定（极大值）或负定（极小值）。2.拉格朗日乘数法用于求解带约束最值，构造L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，求导后解方程组。3.用Hessian矩阵Δ=f_xxf_xy-f_yx^2判断，Δ>0且f_xx>0为极小值，Δ>0且f_xx<0为极大值。4.先求无条件极值，再求边界极值，比较所有值取最值。五、应用题1.解：无条件极值：f_x=2x-2=0,f_y=4y+4=0，驻点(1,-1)，f(1,-1)=10；边界极值：x^2+y^2=4上f(x,y)=2x+4y+1=2x+4√(4-x^2)+1，x=2/3时取最大值，f(2/3,2√5/9)≈9.18；闭区域最值：最大值10，最小值-5（边界(-2,0)处取得）。2.解：驻点(1,