勾股定理的实际应用 专项训练 八年级数学下册

1/10考点02勾股定理的实际应用1）利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，从实际问题中抽象出几何图形；（2）确定与问题相关的直角三角形；（3）找准直角边和斜边，应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求解；（4）求得符合题意的结果.2）利用勾股定理解决实际问题的常见类型解题方法：在实际问题中，往往需要利用数学建模思想抽象出直角三角形，在无法直接计算时，应设未知数，运用勾股定理找相等关系建立方程.题型一：求梯子滑落高度1．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4mA．4m B．6m C．8m D．2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面1.5米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移0.9米，则梯子的底端向左移了（

）A．0.9米 B．1.1米 C．1.3米 D．1.5米3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离ACA．13cm B．15cm C．20cm4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，一根竹竿长1.5米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙0.9米，若竹竿底端向左滑动0.3米，那么竹竿顶端下滑米．5．（25-26八年级上·四川内江·期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC=8dm，BC=6(1)求绳子的总长度；(2)如图2，若滑块B向左滑动了9dm，求此时物体C题型二：求旗杆高度6．（25-26八年级下·全国·课后作业）一根高为9m的旗杆在离地4m的位置折断，折断处仍相连，此时身高为1m的小明在离旗杆3.9mA．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，小明想知道学校旗杆AB的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了1m，当他把绳子拉直，端点C刚好着地，下端C距离B点5m，则旗杆的高为（A．5m B．6m C．12m8．（25-26八年级上·上海松江·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE，用皮尺量出QE的长度为3m．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出QF的长度为9m．则旗杆的高度为9．（24-25八年级上·江苏·期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知，【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算请你求旗杆的高度是．10．（25-26八年级上·河南周口·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形．(1)经测量，BD=10m，CD=24m，BC=26m(2)若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点C'处，测得题型三：秋千问题11．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图1，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．如图2，是秋千摆动过程示意图，其中O为秋千的绳索固定点，AC为部分地面平台，绳索OA=OB，BD⊥OA，BD=100米，AD=80米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索OA的长度为（

）A．102.5米 B．103米 C．105.2米 D．110米12．（21-22八年级下·北京海淀·期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米13．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度DE=0.5m，将它往前推送2m(水平距离BC=2m)时，秋千踏板离地的垂直高度BF=1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索14．（24-25八年级下·山东潍坊·月考）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)应用一：最短路径问题如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为16cm，圆柱的底面半径为6(2)应用二：解决实际问题．如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m至C处时，即水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5题型四：求小鸟飞行距离15．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米16．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB=2米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距CB=1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（）A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米17．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为12m，竖直距离为5m，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（A．12m B．13m C．14m18．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（BD）为8m的一棵9m高的大树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为A．5s B．4s C．3s19．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．题型五：求大树折断前高度20．（25-26八年级下·全国·周测）由于大风，山坡上的一棵树甲从A点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示．已知AB=4m，BC=13m，两棵树的水平距离是12mA．15m B．17m C．19m21．（25-26九年级上·广东东莞·期中）《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10尺，BC=3尺，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为（

）A．x2+3C．x2+322．（21-22八年级上·河南郑州·月考）如图，一棵大树在离地面6m，10m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部12mA．14m B．16m C．18m23．（20-21八年级下·四川绵阳·期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是．24．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一根直立的旗杆高9m，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为3(1)求旗杆在距地面多高处折断；(2)在折断点C的下方1m的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部5题型六：求水杯中筷子问题25．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm，6cm和103A．20cm B．15cm C．10cm26．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则A．9<h<10 B．9≤h≤10 C．5≤h≤13 D．5<h<1327．（25-26八年级上·山东青岛·周测）《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为．28．（25-26八年级上·江西吉安·月考）如图是一个饮料罐，下底面直径是10cm，上底面半径是10cm，高是12cm，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长2029．（24-25八年级上·北京·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE，求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度OD和芦苇的长度OE；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a，芦苇高出水面的部分CD=nn<a，则水池的深度ODOD=b可以通过公式b=题型七：求河宽问题30．（2024八年级下·全国·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C=90°）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC=9km，BC=12km，那么打通隧道后从A村到A．7km B．6km C．5km D．2km31．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．小明想知道A，B两地间的距离，测得AC=50m，∠A=45°，∠B=30°，两地AB间距离为32．（23-24七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点C和点D到门槛AB的距离DE为1尺（1尺=10寸），双门间的缝隙CD为2寸，则门宽AB的长是寸．33．（25-26八年级上·全国·期末）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为8m，宽为1.3m．该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），且中间有一条宽为1m的绿化带（两条车道各占用0.5m．一辆卡车装满货物后，高为题型八：航海问题34．（25-26八年级下·全国·周测）如图，某海域有相距10nmile的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8nmile到达B岛，然后再从B岛走了6nmile到达C岛，此时甲船位于BA．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上35．（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行10km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行13km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是6km．则C岛和AA．214km B．215km C．36．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程AC=海里．37．（25-26八年级上·四川成都·期中）2025年成都世界运动会（第12届世界运动会）是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事．随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D．已知AB=800m，AC=1000m，点C在点B的正东方600m处，点D在点C(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．38．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点A，B，此时要求两军舰沿(1)求A,B两点之间的距离；(2)若从港口O派一艘补给舰在AB航线上接应，求该轮船行驶的最短距离．题型九：求台阶上地毯长度39．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图所示是一段楼梯，高BC是5米，斜边长AB是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要元．40．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为10m，则购买这种地毯至少需要41．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，∠C=90°，AC=3m，AB=5(1)求BC的长；(2)若已知楼梯宽2.8m题型十：判断汽车是否超速42．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了5s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是

43．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，AC=40米，AB=30米．(1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？(2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？44．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50题型十一：判断是否受台风影响45．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，点A到MN的直线距离为120m．公路PQ上点A处距离点O处240m．如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以20m/s的速度行驶时，点A46．（24-25八年级上·福建漳州·月考）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上47．（2026·重庆大渡口·一模）如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？48．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向AB由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点之间的距离CA，CB分别为300km，400km，AB=500km，以台风中心为圆心周围250(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若海港C受台风影响，且台风影响海港C持续的时间为5小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港C不受台风影响，则忽略此问）题型十二：选址使两地距离相等49．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（）A．4 B．5 C．6 D．2050．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线l距离河流300m，最大旋转角度90°；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000m；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，AB为监控器M1监测范围，BC为监控器M2监测范围，AM1⊥BM1，B51．（25-26八年级上·四川攀枝花·期末）如图，攀枝花市某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离CA、DB分别为10km、15km，公路上的A、B两地相距25km(1)试在图上用尺规作图确定医院E的建造位置（提示：不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔圆规直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘）(2)求出该医院离A地的距离．（提示：若第（1）问未完成，可画简图完成此问）题型十三：最短距离问题52．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，圆锥的母线长AB=AC=4cm，P为母线AC的中点，BC为圆锥底面圆的直径，两条母线AB、AC形成的平面夹角∠BAC=60°．在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是（）cmA．27 B．25 C．2353．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从顶点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至顶点B停止，则彩条的长度最短为（A．24cm B．25cm C．26cm54．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32π米的半圆，AB=CD=16米，点E在CD上，CE=4米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（

A．18米 B．20米 C．30米 D．230555．（25-26八年级上·江西九江·期中）将矩形纸片ABCD按如图所示折叠，已知AD=6cm，AG=HB=3cm，EG=EH=1cm．则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是56．（25-26八年级上·贵州·期末）【问题情境】贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm，如图1所示．A和B（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=______________dm．【变式探究】（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm，高是15cm，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点【拓展应用】（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁57．（25-26八年级上·河南郑州·月考）【问题情境】如图①，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱的高为8cm，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈长度最短的金属丝，下底面的点B在点(1)【操作发现】现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______（填字母）A．

B．C．

D．(2)【拓展应用】如图②，现有一个长、宽、高分别为5dm，4dm，3dm（即AB=5dm，BC=4dm，AE=3dm）的无盖长方体木箱，58．（25-26八年级上·四川成都·期末）（1）一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙7①这架云梯的顶端到地面的距离是多少？②当这架云梯的顶端从A处下滑4m到达A'处时，它的底端从B处滑动到（2）小明和小丽两人同时到一家水果店买水果，小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了23元；小丽买了2kg同样品种的苹果和1①求这种苹果和梨的价格各为多少？②小颖准备买同样品种的苹果和梨共30kg，且苹果不多于2059．（25-26八年级上·河南·期末）勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理．(1)如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=∠AED=90°，B、E、C三点共线，Rt△ABE≌(2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，AB=AD=5m，近期雨水多，水位上涨至EF，水深AE=3.8米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高2.5米，宽为3米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由．60．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题．比如a2+b2的几何意义是以a，b为直角边的直角三角形斜边长，故当0<x<3求x2+9+3−x2+1的最小值时，可数形结合构造两个分别以x，3和3−x，1为直角边的直角三角形（如图），∠B=∠D=90°，AB=3，BP=x，CD=1，DP'=3−x，由勾股定理知AP=x2+9，CP'=3−x2(1)根据上述规律和结论，请构图求代数式x2+9+(2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中x>0）：①解方程：36−x②求代数式x+4261．（25-26八年级上·上海闵行·月考）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．小试牛刀：把两个全等的直角三角形△ABC，△DAE，如图1放置，其三边长分别为AB=a、BC=b、AC=c．显然，∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，S梯形ABCD=________S则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理a知识运用：（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P、使得PC=PD，求出AP的距离．62．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）课本再现：方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高AB为7cm，底面边长为4（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径AC为4cm，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（63．（24-25八年级上·山西运城·期中）学科实践【驱动任务】某校为推进素质教育发展，成立了科技模型社团．学期末，该社团将创作的作品邮寄给希望小学，让更多的同学感受科技带来的魅力．现需将不同的模型装入纸箱打包，然后邮寄．【包装准备】如图，根据模型的尺寸，现准备两种纸箱，第一种长方体纸箱，尺寸规格为25cm×16cm×16cm【问题解决】(1)如图1，当使用第一种纸箱时，若从顶点A到顶点B需贴胶带，则胶带的最短长度为_______cm．(2)如图2，将两个第二种长方体纸箱捆绑在一起，现需要在点C和点D之间按照如图所示的方式拉一条绳子固定，请画出长度最短的部分展开图，并求这根绳子的最短长度．（提示：需考虑扣手的大小）如图，连接CE，DE，易得∠CED=90°．由题可得CE=2×4+2×1在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD=所以，这根绳子的最短长度为70cm64．（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个三级台阶两个相对的端点，若A点有一只蚂蚁，想到B（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB=dm．【变式探究】（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到与点A相对的点B处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】（3）如图4，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁考点02勾股定理的实际应用1）利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，从实际问题中抽象出几何图形；（2）确定与问题相关的直角三角形；（3）找准直角边和斜边，应用勾股定理进行计算或建立等量关系，构建方程求解；（4）求得符合题意的结果.2）利用勾股定理解决实际问题的常见类型解题方法：在实际问题中，往往需要利用数学建模思想抽象出直角三角形，在无法直接计算时，应设未知数，运用勾股定理找相等关系建立方程.题型一：求梯子滑落高度1．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可．【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为：，梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离：，顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为：，梯子的底端滑动的距离为：．故选：C．2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键．如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答．【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米，在中，，在中，，所以米，即梯子的底端向左移了米．故选C．3．（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解，【详解】解：根据题意得在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴底部边缘A处与C之间的距离的长为．故选：D．4．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，一根竹竿长米，斜靠在竖直的墙上，竹竿底端离墙米，若竹竿底端向左滑动米，那么竹竿顶端下滑米．【答案】【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意列出已知数据，并利用勾股定理求解．由题意得米，米，米，米，在中，，在中，，即可求出顶端下滑的距离．【详解】解：如图，由题意得，米，米，米，∴米，在中，米，在中，米，则顶端下移的距离米．故答案为：．5．（25-26八年级上·四川内江·期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）(1)求绳子的总长度；(2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？【答案】(1)绳子的总长度为(2)滑块B向左滑动了，此时物体C升高了【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键．（1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题；（2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可进一步求解．【详解】（1）解：根据题意可知，，，，则故绳子的总长度是．答：绳子的总长度为；（2）解：滑块B向左滑动了，据（1）知绳子总长为物体C上升高度为．答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了题型二：求旗杆高度6．（25-26八年级下·全国·课后作业）一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（

）A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断【答案】B【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题．构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险．【详解】解：如图所示，，，由勾股定理得：，∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险，故选：B．7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得的长．根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长为，在中，，∴，解得，∴，∴旗杆的高．故选C．8．（25-26八年级上·上海松江·期末）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为m．【答案】【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案．【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，，，由勾股定理得：，则，整理得：，解得：，∴旗杆的高度为，故答案为：．9．（24-25八年级上·江苏·期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知，【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是．【答案】12米【分析】根据题意可得米，米．在直角中，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题．【详解】解：根据题意知：米，米．在直角中，由勾股定理得：，故．解得，答：旗杆的高度为12米．故答案为：12．10．（25-26八年级上·河南周口·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形．(1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由；(2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度．【答案】(1)正确，见解析；(2)风筝垂直下降的高度为【分析】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，用勾股定理解三角形，求风筝高度(勾股定理的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．（1）利用勾股定理的逆定理求解；（2）先求得，再利用勾股定理求得，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度．【详解】（1）解：他的说法正确．理由如下：∵，，，∴．∴是直角三角形，．（2）由题意得，，∵，∴．∵，∴在中，．∴，即风筝垂直下降的高度为．题型三：秋千问题11．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的应用，由，则，设米，则米，然后由勾股定理即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．【详解】解：∵，∴，设米，则米，在中，，∴，解得：，故选：．12．（21-22八年级下·北京海淀·期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米【答案】C【分析】设米，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设米，米，米，（米，米，在中，米，米，米，根据勾股定理得：，解得：，则秋千的长度是5米．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．13．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为．【答案】【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【详解】解：在中，，设秋千的绳索长为，则，故，解得：，答：绳索AD的长度是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．14．（24-25八年级下·山东潍坊·月考）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)应用一：最短路径问题如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是______；(2)应用二：解决实际问题．如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．【答案】(1)(2)绳索的长为【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握最短路的计算，勾股定理的计算方法是关键．（1）根据题意可得圆柱底面圆的周长为，由展开图可得即为最短路径，由勾股定理即可求解；（2）根据题意得到四边形是矩形，如图所示，过点作，四边形，是矩形，则，，设，则，在中由勾股定理得到，代入计算即可求解．【详解】（1）解：圆柱的底面半径为，∴圆柱底面圆的周长为，如图所示，即为最短路径，，，∴，∴最短的路线长是，故答案为：；（2）解：根据题意，，∴四边形是矩形，∴，如图所示，过点作，∴，∴四边形，是矩形，∴，∴，设，则，在中，，即，解得，，∴绳索的长为．题型四：求小鸟飞行距离15．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接，由题意知：大树高为，小树高为，∴，，，在中，答：小鸟至少飞行米，故选：C．16．（24-25八年级上·重庆·月考）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过点作于点．，四边形是长方形，米，米，米，（米，（米．故选：B．17．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果．【详解】解：如图，根据题意得：，，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞，故选：B．18．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键．过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案．【详解】解：过作于，如图所示：由题意可知，，，根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得，∴它要飞回巢中所需的时间至少是，故选：A．19．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】如答图，设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得，设的长为，则，解得．答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇．题型五：求大树折断前高度20．（25-26八年级下·全国·周测）由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．如图，过点作交的延长线于点．则根据题意可以得到，根据勾股定理即可求出的长，再利用勾股定理求出的长，可得到的长，即为甲树原来的高度．【详解】解：如图，过点作交的延长线于点．由题意，得，，．在中，，．在中，，．故甲树原来的高度是．故选：C．21．（25-26九年级上·广东东莞·期中）《九章算术》的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，如果设，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此题考查了勾股定理的实际应用．设，则，根据列得等式．【详解】解：设，则，∵，∴，∴，故选：A．22．（21-22八年级上·河南郑州·月考）如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于点O，首先由题意得：，，然后根据，得到，最后利用勾股定理得的长度即可．【详解】解：如图，作于点O，由题意得：，，∵，∴，∴由勾股定理得：，∴大树的高度为，故选：D．23．（20-21八年级下·四川绵阳·期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是．【答案】3.2尺【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：．解得：，∴折断处离地面的高度为3.2尺，故答案为3.2尺．24．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为．(1)求旗杆在距地面多高处折断；(2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？【答案】(1)旗杆在距离地面处折断(2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键．（1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度．（2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解．【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为，由勾股定理，可得，解得．答：旗杆在距离地面处折断．（2）解：，，，由勾股定理，可得，，行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险．答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险．题型六：求水杯中筷子问题25．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，长方体的体对角线是最长的，当木棒在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．【详解】解：由题意知：盒子底面对角线长为，盒子的对角线长：，又细木棒长，故细木棒露在盒外面的最短长度是：，故选：D．26．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最大值为，将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为，∴h的取值范围是，故选：B．27．（25-26八年级上·山东青岛·周测）《九章算术》中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为x尺，可列方程为．【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．先表示出门高和门宽，再根据勾股定理列方程即可．【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺，由勾股定理，得．故答案为：．28．（25-26八年级上·江西吉安·月考）如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，作于点，则，依题意得，，在中，，然后通过线段的和与差即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．【详解】解：如图，作于点，则，依题意得，，，在中，，∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是，故答案为：．29．（24-25八年级上·北京·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．(1)求水池的深度和芦苇的长度；(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．【答案】(1)水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺；(2)见解析【分析】本题考查了勾股定理的应用；（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解；（2）由水池深度，则得芦苇高度为，则；由勾股定理即可得证．【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺，由题意有：尺；为中点，且丈尺，(尺)；在中，由勾股定理得：，即，解得：；；即尺，尺；答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺；（2）证明：水池深度，则芦苇高度为，由题意有：；为中点，且，；在中，由勾股定理得：，即，整理得：；表明刘徽解法是正确的．题型七：求河宽问题30．（2024八年级下·全国·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（）A．7km B．6km C．5km D．2km【答案】B【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出，因此，即可得到答案．【详解】解：∵，，，∴，∴，∴从A村到B村比原来减少的路程为．故选：B．31．（24-25八年级下·广东珠海·期中）如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，．小明想知道，两地间的距离，测得，，，两地间距离为【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理．过作于，利用勾股定理求出，在中可得，，进而求解即可．【详解】解：过作于，如图：

在中，，，∴，∴∴∵∴∴∴．两地间距离的长为．故答案为：．32．（23-24七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是寸．【答案】101【解析】略33．（25-26八年级上·全国·期末）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），且中间有一条宽为的绿化带（两条车道各占用．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能否通过该隧道？说明理由．【答案】能，理由见解析【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．利用勾股定理求得，利用车宽求此时隧道壁离地面的高度，与车高比较即可．【详解】解：如图，根据题意得：，，，由勾股定理得，∴，∵，∴，∴能通过．题型八：航海问题34．（25-26八年级下·全国·周测）如图，某海域有相距的岛和岛．甲船先由岛沿北偏东方向走了到达岛，然后再从岛走了到达岛，此时甲船位于岛的（

）A．北偏东方向上 B．北偏西方向上C．北偏西方向上 D．北偏西方向上【答案】B【分析】先用勾股定理判断三角形的形状，再结合方位角与直角三角形性质确定C相对于B的方位角；本题考查了方位角，熟练掌握方位角相关内容是解题的关键．【详解】解：如图，由题意，得，，，，．，，，是直角三角形，．，，，∴此时甲船位于岛的北偏西方向上．故选：B．35．（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可．【详解】解：由题意，得：，，中，，由，∴，中，，答：C岛和A港之间的距离．故选：C．36．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程海里．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键．先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，，∵，∴，∴，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船，∴海里，在中，海里，海里，∴海里，答：我军巡逻艇的航行路程为海里．故答案为15．37．（25-26八年级上·四川成都·期中）2025年成都世界运动会（第12届世界运动会）是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事．随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处．(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短．【答案】(1)，理由见解析(2)小亮的路线更短【分析】（1）根据，，可得，进而可得；（2）根据可得，根据勾股定理计算的长，然后比较即可．本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算．【详解】（1）解：，理由如下：，，，，，，；（2）解：点D在点C的正北方，点A在B的正南方，，，，，，路线的长为：，路线的长为：，∵∴∴∴，小亮的路线更短．38．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行．(1)求两点之间的距离；(2)若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离．【答案】(1)400海里(2)该轮船行驶的最短距离为192海里【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．（1）根据题意知，，根据“路程速度时间”分别得出，再根据勾股定理得，代入数据计算即可；（2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等面积法求解即可．【详解】（1）解：两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘轮船分别到达点，，答：两点之间的距离为400海里．（2）如图，过点作于点，当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离，，，答：该轮船行驶的最短距离为192海里．题型九：求台阶上地毯长度39．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图所示是一段楼梯，高是5米，斜边长是13米．如果在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为2米．那么购买这种地毯至少需要元．【答案】【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积，从而计算所需的费用即可．【详解】解：在中，，米，米，由勾股定理得，米，在楼梯上铺地毯需要的长度为米，需要铺地毯的面积为平方米因此，购买这种地毯至少需要的费用为元，故答案为：．40．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要元．【答案】2100【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地毯的总面积，然后可得答案．【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边，所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，所以需要地毯的总长度为，所以需要地毯的总面积为，所以购买这种地毯至少需要元，故答案为：2100．【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长．41．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，．(1)求的长；(2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）【答案】(1)的长为(2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶【分析】本题考查了勾股定理的应用．（1）由勾股定理列式计算即可；（2）由长方形面积公式计算即可．【详解】（1）解：∵，，，在中，由勾股定理得：，答：的长为；（2）解：地毯长为：，已知楼梯宽，每平方米地毯35元，∴地毯的面积为，∴需要花费（元），答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶．题型十：判断汽车是否超速42．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是．

【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解．【详解】解：依题意，在中，，；据勾股定理可得：，故小汽车的速度为s．故答案为：．43．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米．(1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？(2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？【答案】(1)两赛车之间的距离是30米(2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据题意求得米，米，得到米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．【详解】（1）解：如图，出发秒钟时，米，米米，米米，米（米）答：两赛车之间的距离是30米．（2）解：设出发秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，由题意得，，解得此时，此时，即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．44．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）【答案】这辆小汽车超速了．【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．【详解】解：在中，，，根据勾股定理可得：，∴小汽车的速度为；∵，∴这辆小汽车超速行驶，答：这辆小汽车超速了．题型十一：判断是否受台风影响45．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．【详解】解：如图，过点作，上取点，，使，由题意可得，，当火车到点时对处产生噪音影响，此时，由勾股定理得：，，∴受噪音影响共有，∴点处受噪音影响的时间为，故答案为：．46．（24-25八年级上·福建漳州·月考）如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在时间段内做预防工作．【答案】【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解．【详解】解：由题意，，，，∴，∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为，∴台风开始影响点D的时刻为（时），台风结束影响点D的时间为（时），故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作，故答案为：．47．（2026·重庆大渡口·一模）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是．(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区(2)【分析】本题考查行程问题，方向角；（1）求出当台风中心移动到距时，轮船是否通过点即可判断；（2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可．【详解】（1）解：由题意得：，，方法一：设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，，∵，∴，整理得，解得，当时，，此时轮船还没有经过，∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；方法二：当台风中心移动到距时，移动时间小时，此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区，∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；（2）解：如图，取点、，使，当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时；轮船从点运动到点用时（小时），设台风中心小时从移动到，则，∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响，∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，，∴轮船停止航行时间为（小时），∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时．48．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域．(1)海港受台风影响吗？为什么？(2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问）【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析(2)台风中心移动的速度为【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）过点作于点，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响；（2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可．【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下：过点作于点，如图：、、是直角三角形，即海港受台风影响；（2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点时，正好影响海港，又∵，∴，在中，由勾股定理得，台风影响海港持续的时间为5小时∴台风中心移动的速度为答：台风中心移动的速度千米/小时．题型十二：选址使两地距离相等49．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（）．A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据C、D两村庄到E站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设，则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵C、