分类加法计数原理与分步乘法计数原理高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第六章计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点不同点注意点用来计算完成一件事的方法种数每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）类类独立、不重不漏步步相依、缺一不可分类、相加分步、相乘分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习回顾关于两个原理的解题步骤：复习回顾根据题意，理解要完成的一件事是什么分类，分步，或者分步分类相结合根据两个原理计数得出结论

例5给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9，最多可以给多少个程序命名？解:由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为

7＋6＝13.后两个字符从1~9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.由分步乘法计数原理，不同名称的个数是

13×9×9＝1053，即最多可以给1053个程序模块命名.典例精讲

例5给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1~9，最多可以给多少个程序命名？解2:首字符用A~G给程序命名的个数为

7×9×9＝567.首字符用U~Z给程序命名的个数为6×9×9＝486.∴总的不同名称的个数是567＋486＝1053.思考你还能给出不同的解法吗?典例精讲

例6电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.(1)1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示?典例精讲

例6(1)1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示?解:(1)由分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同的字符个数是2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256.(2)由(1)知，1个字节最多可以表示256个不同的字符，则2个字节最多就可以表示256×256＝65536>6763，所以每个汉字至少要用2个字节表示.典例精讲例7计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.下图是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径?典例精讲典例精讲解：由程序模块可得，执行路径条数有(18＋45＋28)×(38＋43)＝7371.

例7另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗?

解：为了减少测试次数，可单独测试5个模块和模块1,2,3与模块4,5之间的信息交流是否正常即可，这样测试的次数只有(18＋45＋28＋38＋43)+(3×2)＝178(次).典例精讲

例8通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成:第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.其中，序号的编码规则为:(1)由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；(2)最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?典例精讲

例8(1)由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；(2)最多只能有2个英文字母.

如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?解：当序号中没有字母时，号牌张数为105＝100000.当序号中有1位字母时，号牌张数为5×24×104＝1200000.当序号中有2位字母时，号牌张数为10×242×103＝5760000.所以这个发牌机关最多能发的汽车号牌张数为7060000.典例精讲用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点:(1)要完成的“一件事”是什么;

(2)需要分类还是需要分步.

分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.总结提升综合运用分类分步，能将复杂问题转化为简单问题练习2运动会有跳高、跑步、游泳三个比赛项目，某班有四名同学报名参赛，要求每名同学只能参加一个项目，不同的报名方式共有（）A.4种B.24种C.43种D.34种

练习1四名同学，争夺三项冠军(每项没有并列冠军)，则冠军获得者可能有的种类是（）A.4B.24C.43D.34

CD练习3从5件不同的礼物中挑出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？同学挑礼物，不可重复5×4×3×2=120（种）巩固训练冠军挑同学，可重复同学挑项目，可重复

练习4长方形的两条对角线把长方形分成四部分，如图用五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同颜色，问有多少种不同的涂色方法？ABCD解1：若A,C同色，则不同的涂色方法有5×4×4＝80(种).(2)若A,C不同色，则不同的涂色方法有5×4×3×3＝180(种).综上，由分类加法计数原理得：共有80＋180＝260(种).巩固训练由题意，A,C可同色，可不同色，解2：由题意四部分最多涂4种颜色，最少涂2种颜色，若涂4种颜色，则不同的涂色方法有5×4×3×2＝120(种).(2)若涂3种颜色，则不同的涂色方法有5×4×3×2＝120(种).(3)若涂2种颜色，则不同的涂色方法有5×4＝20(种).综上，由分类加法计数原理得：共有120＋120＋20＝260(种).

练习4长方形的两条对角线把长方形分成四部分，如图用五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同颜色，问有多少种不同的涂色方法？ABCD巩固训练解1：

变式

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？SABCD若A,C同色，则不同的染色方法有5×4×3×3＝180(种).(2)若A,C不同色，则不同的染色方法有5×4×3×2×2＝240(种).所以不同的染色方法共有180＋240＝420(种).巩固训练由题意，A,C可同色，可不同色，解2：由题意五个点最多涂5种颜色，最少涂3种颜色，若染5种颜色，则不同的染色方法有5×4×3×2×1＝120(种).(2)若染4种颜色，则不同的染色方法有5×4×3×2×2＝240(种).(3)若染3种颜色，则不同的染色方法有5×4×3＝60