《平面与平面平行》教学设计-高一数学人教A版必修第二册

《平面与平面平行》教学设计

♦教材分析J

空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较

多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转

化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所

以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的

应用.

♦教学目标

1.通过图形探究平面与平面平行的判定定理及其性质定理.

2.熟练掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.

3.进一步培养学生的空间想象能力，以及逻辑思维能力.

♦教学重难点

教学重点：平面与平面平行的判定与性质.

教学难点：平面与平面平行的判定.

♦教学过程

导入新课

思路1.（情境导入）

大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔，蜻蜓的翅胯可以看作两条相交直线，当蜻蜓的

翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行？直升飞机的所有螺旋桨与地面平行

时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行？由此请大家探究两平面平行的条件.

思路2.（事例导入）

三角板的一条边所在直线与桌面平•行，这个三角板所在的平面与臬面平行吗？三角板的

两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的判定问

题.

新知探究

提出问题

①回忆空间两平面的位置关系.

②欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转化？

③找出恰当空间模型加以说明.

④用三种语言描述平面与平面平行的判定定理.

⑤应用面面平行的判定定理应注意什么？

⑥利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直

线具有什么位置关系？

⑦回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理.

⑧用三种语言描述平面与平面平行的性质定理.

⑨应用面面平行的性质定理的难点在哪里？

⑩应用面面平行的性质定理的口诀是什么？

活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，

对问答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

问题①引导学生回忆两平面的位置关系.

问题②面面平行可转化为线面平行.

问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力.

问题④引导学生进行语言转换.

问题⑤引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件•.

问题⑥引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性.

问题⑦注意平行与异旬的区别.

问题⑧引导学生进行语言转换.

问题⑨作辅助面.

问题⑩引导学生自己总结，把握面面平行的性质.

讨论结果：①如果两个平面没有公共点，则两平面平行=若an夕=。，则a〃夕.

如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交=若"则。与夕相交.

两平面平行与相交的图形表示如图1.

②由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平

行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面

的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.

另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，

这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.

由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但

事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多

少条直线（且直线与直线应具备什么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？

③如图2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定平行.

图2

例如：A4u平面AAr〃平面DCCU；但是.平面AA777X1平面DCC'D'=DD>.

如图3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行.

图3

例如：A4V平面/WOT）,EFu平面4TQ7）,4V〃平面OCC。，E/〃平面QC。。；

但是，平面A47TQn平面。CC7/=Q〃.

如图4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行.

图4

例如：4Cu平面A9C。，BDu平面A'B'CD',AC〃平面ABCD,87y〃平面ABCD；

直线AC与直线用。'相交.

可以判定，平面4EC。〃平面48CZX

④两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为：

若aua,bua,且4〃夕，b/邛、则a〃小

图形语言为：如图5.

图5

⑤利用判定定理证明两个平面平行，必须具备:

（I）有两条直线平行于另一个平面；

（II）这两条直线必须相交.

尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调.

⑥如图6,借助长方体模型，我们看到，B7X所在的平面4C与平面AC平行，所以夕。

与平面AC没有公共点.也就是说，夕。与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线B'D'

与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线.

图6

⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表不为：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和

交线平行.因为，直线夕O与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只

要过877作平面与平面AC相交于直线BD,那么直线夕〃与直线4。平行.

如图7.

图7

⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

a/fp'

两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：^y=a[=,a//b.

阳尸，

两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图8.

图8

⑨应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.

⑩应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.

应用示例

思路

I已知正方体人用Ci。，如图9,求证：平面人以。|〃平面BOG.

图9

活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的解答，发现

问题及时纠正，并及时评价.

证明：为正方体,

：•Z))Ci//A\B\9D\C\=A\B\.

又AB=AiBi9：.D\C\//AB,D\C\=AB.

・•・四边形ABC。为平行四边形.・・.AQ]〃BG.

又ADC平面AB1D1,BG。平面ABQ,・・.BG〃平面ABQi.

同理，8。〃平面48Q.

又BDCBCi=B,・•・平面AS"〃平面BOG.

变式训练

一吗，

图10

如图10,在正方体48CD-EFG“中，M、N、P、Q、R

分别是EF、BC、CD、4。的中点，求证：平面MNA〃平

面PQG.

证明：•・•"、N、P、。、R分别是石〃、EF、BC.CD、AD

的中点，:・MN〃HF,PQ//BD.'JBD//HF,

:.MN；/PQ.

VPR//GH,PR=G〃；M〃〃AR,M〃=4R,工四边形RPGH

为平行四边形，四边形为平行四边形.

:.AMi/RH,RH//PG.：,AM//PG.

•；MN〃PQ,MNQ平面PQG,PQu平面PQG,.・.MN〃平

面PQG.

同理可证，AM〃平面PQG.又直线AM与直线MN相交，

,平面MN4〃平面PQG.

点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平

行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行.

2证明两个平面平行的性质定理.

解：如图11,已知平面a、6、y满足a〃外，aC1y=a,flC\y=bt求证：a//b.

图II

证明：•・•平面a〃平面/，・•・平面〃和平面《没有公共点.

又aua,bu%

・•・直线。、》没有公共点.

又•.•aC》=4,0Cy=b,

...“uy,be.y.

：,a//b.

变式训练

如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互

相平行.

图12

解：已知a〃6，y//py求证：a//y.

证明：如图12,作两个相交平面分别与a、B、y交于a、。、e

和b、d、f,

a〃少={a〃cb//d/〃尸{c〃ed//f)=

{a//e=>a//yb//fi=>b//y}=>a//y.

点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面.

知能训练

已知：a、〃是异面直线，au平面以，〃u平面.，a//P，b//a.

求证：a//p.

证明：如图13,在。上任取点P,显然于是“和点P确定平面”且》与£有公

共点P.

图13

设川夕=",•・"〃〃，••・律〃a.・•・"〃〃.

这样夕内相交直线”和〃都平行于a，・・・a〃从

拓展提升

如图14,两条异面直线A8、C。与三个平行平面a、4、y分别相交于4、E、8及C、

尸、D,又A。、8c与平面夕的交点为“、G.

1

图14

求证：四边形七"FG为平行四边形.

平面A8Cna=AC'

证明：平面48Cn£=EG-4C〃EG.同理，AC!/HF.

a//p

AC//EG]

AC〃HS".同理，EH^FG.故四边形/G是平行四边形.

课堂小结

知识总结：利用面面平行的判定定理和面面平行的性质证明线面平行.

方法总结：见到面面平行，利用面面平行的性质定理转化为线线平行，本节是“转化思

想，，的典型素材.

♦教学反思

面面关系是直线与平面关系中比较复杂的关系，它是学生学习的一个难点，也是高考考

查的重点，因此它在立体几何中占有比较重要的地位.本节选用了大量的经典习题作为素材，

对于学生学好面面平行的判定与性质一定会有很大的帮助，本节的引入也别具一格，相信这

是一节大家喜欢的精彩课例.

备课资料

备用习题

1.如图15,。是△A8c所在平面外的一点，/V、Q、C分别是△P8C、△PCA.△PAI3

的重心.

图15

(1)求证：平面A5c〃平