2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷【测试范围：湘教版九年级上册+九年级下册】（全解全析）

九年级数学上学期期末模拟卷（湘教版）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.【回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题尸上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：湘教版九上十九下。

5.难度系数：0.65。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.下列函数中，是二次函数的是（）

2.2

A.y=2x+\B.y=-C.y=x2+2x-3D.y=2x2+-

xx

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的定义.根据二次函数的定义，形如y=（。工0）的函数是二次函

数，检查各选项是否符合该形式，即可作答.

【详解】解：A、y=2x+\,最高次数为1,不是二次函数，不符合；

2

B、y=一,不是二次函数，不符合；

x

C、y=x2+2x-3,满足〃=100,符合二次函数定义：

2

D、歹=2/+_,含有分式项，不是二次函数，不符合；

X

故选：C

1/28

2.一个几何体如图所示，其俯视图是（）

【分析】本题主要考查对三视图中俯视图概念的理解和应用.解题关键在于明确俯视图的观察方向是从上

往卜.看.准确判断从上方观察该几何体时能看到的轮廓和线条特征.通过主视图确认几何体主要特征，然

后找出选项中符合该几何体俯视图特征的图形即可.

【详解】解：从上方观察该几何体，其整体轮廓呈现为一个长方形.

由于几何体中间有一个向下凹陷的部分（类似“V”形缺口），在俯视图中，这个凹陷部分会表现为三条线段

（代表凹陷处的轮廓）.

综合以上两点，符合条件的视图是选项D,即一个长方形中间有三条线段表示凹陷部分.

综上，答案是D.

3.如图，AB.CO为。。的弦，BD为直径,AC,6。相交于点E,若N4=50。，48c=65。，则

1000C.105°D.110°

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理及推论，三角形内角和定理.

根据圆周角定理得/5CO=90。，根据//=/。=50。得NO8C=40。，可得N/5£=25。，据此计算即可得.

【详解】解：•••80是直径,

.-.Z5CD=90°,

2/28

•••ZJ=ZD=50°,

:./DBC=90°-ND=40°,

ZABE=NABC-/CBD=65°-40°=25°,

乙4EB=180°-ZJ-ZABE=180°-50°-25°=I05°,

故选：C.

4.已知必是一元二次方程*2-2x-13=0的一个根,则26+6m-3〃J的值是（）

A.13B.-13C.39D.65

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的解.

利用，〃是方程的根，满足方程关系，将所求表达式中的/用/〃表示后代入计算.

【详解】解：•••/〃是方程/一2、-13=0的根，

nr-2w-13=0»即m~=2m+13»

.-.26+6m-3m2=26+6/n-3（2/n+l3）=26+6m—6/M-39=-13.

故选：B.

5.如图，小明同学想要测量第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”的面积，采用的办法是：先用边长

为?cm的正方形将该图案围起来，再向正方形区域内投点，通过大晟的重复试验，发现点落在图案部分的频

率稳定在0.7附近，则吉祥物图案的面枳为（）cm2.

A.3B.9C.2.1D.6.3

【答案】D

【分析】此题主要考杳了利用频率估计概率，根据大量反亚试验下频率稳定值即概率得出是解题关键.用

正方形的面积乘以点落在图案部分的频率稳定值即可.

【详解】解：根据题意，估计吉祥物图案的面积为3x3x0.7=6.3（cm2）.

故选：D.

3/28

k虫+宙

6.在△48C中，NB、/C都是锐角，且-sinZ?=0,则//的度数为（

22

A.120°B.90°C.75°D.60°

【答案】C

【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值

是解答的关键.

利用绝对值和平方的非负性，得到sinC和sin8的值，再根据特殊角的三角函数值得到和/C的度数，

最后利用三角形的内角和定理求//即可.

【详解】解：•••sinC—当卜（9-sin8=0,且绝对值和平方均非负，

:，sinC-=011.•—sinB=0,

22

.•「5/3•R近

•"sinC=——，sinZ?=—,

22

,2B、都是锐角，

/.ZC=60°,4=45。，

：.AA=\80°-Z5-ZC=180°-45°-60°=75°,

故选:C.

7.如图，，44是OO的直径，。是OO上一点，。是OO外一点，过点/作,4E_LCD,垂足为E,连接

oc,OE.若使CQ切。。于点C添加的下列条件中，不正确的是（）

A.OC//AEB.OA2+CE2=OE2

C.AC是/。力E的平分线D.CM=ZC

【答案】D

【分析】本题考查了圆切线判定.熟练掌握圆切线判定的方法，是解题的关键.根据圆的切线的判定、平

行线的判定与性质、圆的性质，逐项判定即可得到答案.

【详解】解：A、-AELCD,

4/28

・•.ZAED=900,

当OC〃/E时，则NOCO=90。，

即OC±DE,

根据切线的判定，8切。。于点C,

该选项正确，不符合题意；

B、'OA=OC,OA2+CE2=OE2

'OA2+CE2=OE2,

.-.ZOCE=90°,

即OC上DE,

根据切线的判定，C。切OO于点C,

该选项正确，不符合题意；

C.-AELCD,

.-.ZJED=90°,贝ljNC4E+4CE=90°,

-OA=OC,

,ZOAC=Z.OCA,

若4c是NOZE的平分线，

BPNO4C=NC4E时，

则N6+乙ME=90。，

即OCA.DE,

根据切线的判定，。切。。于点C,

该选项正确，不符合题意；

D、当O/f=4C时，

由=OC得到04=OC=ZC,

则“以。是等边三角形，

无法确定NOCO=90。，

不能得到CD切。。于点C,

该选项不正确，符合题意.

故选：D.

X.已知在平面直角坐标系中，抛物线y=ad+法+c（a〈0）与丫轴交于力（一1、0）,3（3.0）两点，与》轴交于

5/28

点C,则下列说法错误的是()

A.抛物线的对称轴为直线x=1B.a-b+c=O

C.abc<0D.当x>l时，y随x的增大而增大

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线与x轴交点力(-1，。)和4(3,0),可设抛物线解析式为

y=a(x+l)(x-3),从而得出对称轴及af+c的值，再判断各选项.

【详解】解：•.•抛物线与x轴交点”(-1，。)和现3,0),

•,•设N=a(x+l)(x-3)=a(--2》-3)=尔,

二对称轴x=--=1,

2a

故A正确，不符合题意：

当］二-1时，y=a-b+c=0,

故B正确，不符合题意；

abc=tzx(-2t?)x(-3t?)=6a',

va<0,

:.abc<0,

故C正确，不符合题意；

a<0,抛物线开口向下，

时y随x增大而减小，

故D错误，符合题意.

故选：D.

9.如图，一张三角形纸片力8C,其中NC=90o,4C=6,4C=8.某同学将纸片做两次折叠：第一次使点力

落在C处，折痕记为相；然后将纸片展平做第二次折叠，使点力落在8处，折痕记为〃.则“、〃的长度分

别是()

6/28

.1

A.4,—B.4,3C.4,—D.3,5

45

【答案】A

【分析】本题考查了折置的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点

是解题的关键.

由三角形中位线定理求出〃?=4；由勾股定理求出＞18=1(),证明kSABO,得出对应边成比例求出。P

即可.

【详解】解：如图所示：

由折叠的性质得：DE是线段4C的垂直平分线,

J.OE是ZUBC的中位线，

m=DE=—BC=4；

2

vZC=90°,JC=6,^C=8,

-AB=ylAC2+BC2=10»

由折叠的性质得；AD=BD=\AB=5,2BDF=90。,

2

v4B=NB,

•••ABDFS4BCA，

-D-F=—5

68

即"

68

7/28

解得：。八”

故答案为：A.

Q

1().如图，一次函数y=x(x20)与反比例函数y=‘(x>0)的图象交于点c,过反比例函数图象上点力作X

X

轴垂线，垂足为点。，交y=x的图象于点8,过点。作CE_L/1。于E,点力的横坐标为1.有以下结论：

①线段4A的长为9：②点C的坐标为(3,3)：③当x、3时，一次函数的值大于反比例函数的值：@

BE:AE=1:3.其中结论正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，根据条件求出相应点的坐标是解题关键.

先根据条件求出点4C的坐标，从而求出点8,。，E的坐标，求出坐标后，通过坐标逐一确定选项即可.

【详解】•・•点4在反比例函数图象上，且横坐标为1,

又力。_Lx轴，

99

令i=l,得y=—=—=9,y=x=\,

x1

.•.4(1,9),5(1,1),D(1,O),

.•.48=9—1=8,①错误，

9

令》=一，解得x=3(负值已舍去)，

x

9

令1二3,得尸一=3,

x

②正确，

由图象可知，在点C的右侧，一次函数的图象在反比例函数的上方，

当x>3时，一次函数的值大于反比例函数的值，③正确，

8/28

•••CE1AD,

•••CEIIx轴,

㈤1,3),

.•.5E=3-1=2,4E=9—3=6,

.-.BE:J£=2:6=l:3,④正确，

故正确的个数为3,

故选:C.

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)

11.为提高学生的学习兴趣，某校为全校3000名学生各准备了一件科技作品盲盒，聪聪为了估计航天模型

盲盒的件数，对100位同学的盲盒进行统计，发现有10位同学抽中了航天模型，因此可估计航天模型的总

数约为一件.

【答案】300

【分析】本题考查了利用样本比例估计总体数量，在1()0位同学的样本中，抽中航天模型的撅率为

^=0.1,以此作为概率的估计值，进行求解即可.

【详解】解：在100位同学的样本中，抽中航天模型的频率为羔=0.1，

以此作为概率的估计值.全校共有3000名学生，

因此航天模型的总数估计为3000x0.1=300件.

故答案为：300.

12.如图，ZU8C中，力、8两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(L0),以点C为位似中心，在x轴下方

作△片8C的位似图形△4ZTC并把△力8c的边长放大到原来的2倍，设点8的横坐标是。，则点8的对应

点B'的横坐标是___________.

9/28

【答案】-2a+3/3-2a

【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键，

根据位似图形对应点到位似中心横坐标的长度等于相似比，列方程求解即可.

【详解】解：设点8'的横坐标为】，

则8、C间的横坐标的长度为

*、。间的横坐标的长度为r+1.

•.•ZU8C放大到原来的2倍得到△48'C,

二21、4—1)=—X+1,

解得：x=-2a+3,

故答案为-2o+3.

13.如图，实线部分是一个正方体展开图，点4B,C,D,E均在△M8N的边上，则cos.”的值为

M

【答案】正

5

t分析】本题考查了求角的余弦，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键.由题意得。尸118"，从而

得出4/=/£。尸，设。/=/,贝=由勾股定理得出。七=内，求得8$/瑁卯=先=4=坐，即可

DEyJ5t5

得出答案.

【洋解】解：如图,

M

、、、、D

由题意得：DF\\BM,NB=NDFE=90。，

••・Z<W=Z.EDF,

设。尸=£,则力尸=2f,

/.DE=+(2/J=yfst,

10/28

•.•在RtzlOE/中，cos4EDF=^='=3

DEyj5t5

cosNM=cosZ.EDF=

故答案为：好.

5

14.如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿48=2m,它的影长4C=L6m,竹竿

尸。的影子有一部分落在墙卜，™=1.2m,MV=0.8m.竹竿尸0的长为in.

BCPM

【答案】2.3

【分析】过点N作NQ_LP。，垂足为。，根据题意可得：DN=PM=l.2m,DP=MN=0.8m,然后根据

同一时刻的物高与影长成正比例可得比例式，从而进行计算即可解答.

【详解】解：如图，过点N作N01尸。于点O.

由题意，得“BCSAQDN,

.ABBC

'~QD~~DN'

又•.•/18=2m,8c=1.6m,PM=1.2m,MN=0.8m,/.DN=PM=1.2m,

ABDN2x1.2,j、

•・QD=

DC1.。

:.PQ=QD+DP=QD+NM=15+08=2.3(m).

故竹竿。。的长为2.3m.

%

BCPM

故答案为：2.3.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键.

15.如图，“8C的周长为20c/〃，AC=^cm,。。是45C的内切圆，。。的切线A/N与45、8c分别

交于点M、N,则ABMN的周长为cm.

11/28

A

【答案】4

【分析】本题考查了圆的切线长定理，三角形的内切圆，掌握圆的切线长定理是解答本题的关诞.设。。与

"BC各边的切点分别为。、E、尸，与相切于G点，根据切线长定理可得力。=/尸，BD=BE,

CE=CF,MD=MG,NG=NE,再由△力8c的周长为20c/〃，AC=8cm,列式进行等量代换即可求得

△8MN的周长.

【详解】解：如图，设。。与A/iSC各边的切点分别为。、E、F,。。与相切于6点，

/.AD=AF,BD=BE,CE=CF,MD=MG,NG=NE,

v/fC=8,B|JJF+CF=8,

AD+CE=8,

•••IBC的周长为20,

AB+BC+AC-20,

.•.48+AC=20-8=12,BPBD-^AD+CE+BE=\2,

BD+5E=12-8=4,

：ABMN的周氏为：BM+BN+MN

=BM+BN+MG+NG

=BM+BN+MD+NE

=（BM+MD）+（BN+NE）

=BD+BE

=4cm.

故答案为：4.

16.如图,一块材料的形状是锐角三角形45。,边AC=120mm,高3=80mm,把它加工成矩形零件如图,

使矩形的一边在8C上，其余两个顶点分别在4瓦AC上.已知EF=xmm,F//=vmm,则y=

12/28

（用含有X的代数式表示N）;当矩形面积最大时，EF=

2

【答案】80-yx60min

【分析】本题考杳了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次函数的应用，先证明囚边形KQ所

是矩形，得到。长=刊7=师皿），再证明△/得到空二空，代入数据求出V与x的关系，再

利用矩形的面积公式表示出矩形的面枳，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】解：•••四边形EFHG是矩形，

EF//BC,NKFH=NFHD=9。。,

vAD1BC,

/.Z/1DC=90°,

•••四边形KO”产是矩形，

:.DK=FH=jTnm,

AK=AD-DK=（80-y）mm,

VEF//BC,

AAEFS“BC,

EFAKx80-v

——=——,n即iI——=-----,

BCAD12080

2

y=80——x；

>3

矩形EFHG的面积=^=.^80-1.^=-|（x-60）2+2400,

当）=60时，矩形EF"G的面积有最大值，最大值为2400mm2,

EF=60mm；

2

故答案为：80-§x；60mm.

三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题,

每题12分；共9小题，共72分）

17.计算:

13/28

(1)sin30°--cos450+1tan260°;

23

(2)解方程：X2-4X-5=0.

【答案】(1)1;

(2)再=-1,x2=5.

【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键.

（1）把特殊角三角函数值代入求解即可;

（2）利用因式分解法求解即可.

【详解】⑴解:sin30°-—cos45°+-tan260°

23

1V2V21//rV

22231)

111.

=--------1—x3

223

1-1+1

22

2

(2)解：X-4X-5=0

.-.(j-5)(x+l)=0,

•••x-5=0或x+l=0,

解得：X]=—1,%2=5.

18.如图1,学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成.图2是一个折叠椅的示意图.已知椅背氏60cm,

座椅CM长36cm,04和展开后的座椅08所成=ZABO=56°,是没人坐时座椅的位置，且

三点共线,图中点4点共。在同一平面内,（参考数据:sin56°«0.83,cos56°»0.56,tan560®1.48）

（1）求线段BC的长；（结果保留一位小数）

14/28

(2)求a的值.(结果保留整数)

【答案】⑴40.3cm：

(2)94°.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键.

(1)过点O作OA/_L4C于点M,由解直角三角形求出4M=O4cos56Oa36x0.56=20.16cm,再由

8c=2"必即可求解：

(2)由解直角三角形求出OMa30cm,再由cos/ZOM="=”=1,NAOM=60。，即可求解.

OA602

【详解】(1)解：过点。作。「点M,如图：

vOB=36cm,

:.BM=OB-cos56°«36x0.56=20.16cm,

•；OM工BC,OC=OB,

:.BC=2BM=2x20.16=40.32a40.3cm:

(2)解：在RtAOMB中，OM=OB-sin56°«36x0.83=29.88«30cm,

在RtZ\4V/O中，cosZ.AOM==—=—,

OA602

AAOM=60°,

=900-56°=34°,

ZAOB=a=60°+34°=94°.

19.已知关于x的一元二次方程/+(2,,一1)1+-二0有两个实数根不和当.

(1)求实数，〃的取值范围；

(2)当再2+3a马+巧2=2时，求出的值.

【答案】⑴

(2)

15/28

【分析】本题考查了•元二次方程根的判别式以及根与系数的关系：

(1)用根的判别式即可得到取值范围；

(2)由根与系数的关系得到再与小+超的值，代入求出阳的值，留下符合加二；的数即可.

【详解】(1)解：•••关于》的一元二次方程/+(2阳-1卜+川二0有两个实数根%和与，

.­.A=(2W-1)2-4/H2>0,

解得：打

4

(2)解：由根与系数的关系得：卬”〃/,玉+工2=-(2加-1)=1-2加，

2

，/X：+3x(x,+x,=2,

/+/)+/工2=2,

2

将x}x2=m,2+L=1-2洲代入得,

(1-2m)'+m2=2

解得：6=1或m=-g,

,:7H<-,

4

1

/.m=——.

5

20.如图，在平面直角坐标系中，直线y=：x+2与y轴交于点力，与反比例函数y="(x>0)的图象相交

3x

于点8(6,加)，点C在x轴上，且AC<BC.

(1)求m的值及反比例函数的表达式:

(2)求点C的坐标.

24

【答案】(|)相=4：y=—

16/28

⑵点。的坐标为(2,0)

Ik

【分析】(1)将点8代入直线y=：x+2,求得加，然后将点8代入y=£,求得左，即可求解；

3x

(2)过点〃作8O_Lx轴，根据“OCSACQB得到丝=竺~,求出OC=2或。。=4,根据/C<8C,得

CDDB

出。。=2,即可求解.

【详解】(1)解：•••点8(6,〃?)在直线y=gx+2上，

.•.阳-；x6+2=4,

・•・6(6,4),

把B点的坐标代入y」(x>0)得，4=，

x6

〃=24,

24

•••反比例函数的表达式为)，=

x

(2)解：如图，过点4作4。_L工轴，

ZACO+ZBCD=90°,

ZJOC=ZBDC=90°,

/.ZCAO+ZACO=900,

ZCAO=ZBCD,

:AAOCs^CDB,

.AO_PC

"'CD~~DBf

.20c

"6-OC~^~,

解得：OC=2或OC=4,

AC<BC,

...OC=2,

17/28

•••点。的坐标为（2,0）.

【点睛】此题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质，♦次函数的性

质，解题的关键是熟练掌握反比例函数以及相似三角形的有关性质.

21.如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆力以8垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使

它们在该路灯下的影子8瓦。尸恰好在一条直线上.

Ar--------------------------1C

EBDF

（1）请在图中画出路灯灯泡P的位置；

（2）哥哥和弟弟测得如下数据：48=。力=1.6米，4后=1米，DF=2米,两根标杆的距离为3.6米.请根据

以上信息，求灯泡P距离地面的高度.

【答案】（1）见解析

（2）3.52米

【分析】本题考查作图-应用与设计作图、相似三角形的应用、中心投影，解题的关犍是理解题意，灵活运

用所学知识解决问题.

（1）连接以，P并分别延长，相交于点P,则点尸即为所求.

（2）过点。作PG1BD于点G,设PG交AC于点〃，根据题意可得4C=8。=3.6米，HG=AB=CD=\.6

米，EF=BE+BD+DF=66米,N47G=90。，LPEF,可得小•=”,即竺=竺二1^,求

EFPG6.6PG

出PG即可.

【详解】（1）解：如图，连接口,产C并分别延长，相交于点P,

则点尸即为所求.

PA

/'、、、

/、、、

A/_______\C

/、、、

/、

/I、、

EBDF

（2）解：过点、P作PGLBD于点G,设PG交AC于点、II,

18/28

;两根标杆的距离为3.6米,

EBGD

8。=3.6米.

由题意得，AB=CD,AB//CD,N48O=900.

.,•四边形48CO为矩形，

..・四边形"8G"为矩形，

.•.4。=8。=3.6米，，6=彳8=。。=1.6米，ZJ//G=90°,AC//BD,

:.APACS&PEF,

ACPH

'~EF~~PG，

=1米，=2米，

EF=BE+BD+DF=6.6米，

.3.6尸G—1.6

"~^6~PG'

二.PG=3.52米，

即灯泡尸距离地面的高度为3.52米.

22.百度推出了“文心一言”〃聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”〃聊天机器人（以下简称

乙款）.有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据,

对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：

J：60<x<70,B：70<x<80,C：80<x<90,D：90<A<100,

下面给出了部分信息：

甲款评分数据中“满意”的数据:64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,90,94,95,

98,98,99,100.

乙款评分数据中C组包含的所有数据：84,86,87,87,87,88,90,90.甲、乙款评分统计表:

乙款聊天机器人评分人数占比的统计图

设备平均数中位数众数

甲8685.5h

乙86a87

19/28

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中。=，b=,m=.

(2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分.请通过计算，估计其中对甲、乙两款

聊天机器人非常满意(90vxV100)的用户总人数.

(3)DeepSeek(简称丙款)推出后引发广泛讨论.现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选

择其中一款进行体蛤测评.请用列表法或树状图法,求两人都选择同款聊天机器人的概率.

【答案】(1)86.5,85,20

(2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为144人

(3)图见解析，；

【分析【本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正

确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键.

(1)根据中位数的定义可得。的值，根据众数的定义可得〃的值，用1分别减去其他三个等级所占百分比可

得〃?％的值，即可得出，〃的值；

(2)由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案；

(3)用树状图法求解即可.

【详解】(1)解：,••甲款评分数据中“满意”的数据中85出现的次数最多，

•••众数6=85.

•••乙款评分数据中A、B两组共有20x(10%+30%)=8个数据，

乙款评分数据的中位数为第10个和第11个数据的平均数，而这两个数据分别为86、87,.••中位数

Q

乙款评分数据在C组人数所占百分比为4=40%,

即^=100-10-30-40=20.

故答案为：86.5,85,20.

(2)解：•.♦甲款评分数据中“非常满意”的人数占比4=30%,

.••对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为：

280x30%+300x20%=144(人).

答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用尸总人数为144人.

(3)解：画树状图为:

20/28

开始

乙丙

甲乙丙甲乙丙甲乙丙

由树状图可知，共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，所以两人都选择

同款聊天机器人的概率为;=；.

23.【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题.

【问题情境】某品牌快餐店发源「安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业.综合实践小

组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了

数据收集.

【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是304x4120.

小冉：该菜品每千克的生产成本Ji（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示.

每日生产量X306090120

每千克的生产

55504540

成本K

小敏：该菜品每千克的售价为（亘位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面

直角坐标系中的线段力〃表示，45所在直线与纵轴的交点为（其中〃

小安：该店每口生产的这种菜品全部售完（每口销售量=每口生产量）.

【问题解决】

根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本乂（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是

一次函数关系.若小敏绘制的图中〃?=9（）.

（1）任务一:请分别求出乂，必与每日生产量x之间的函数关系式.

（2）任务二:若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量.

（3）任务三:问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润.

21/28

【答案】（1）M=-<x+6（）,y,=~x+90

63

⑵30千克

（3）当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元

【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到相关的等量关系

是解题的关键.

（I）利用待定系数法即可解答：

（2）根据题意列方程，即可解答；

（3）设该菜品日销售利润为。元.<W=-1（X-90）2+I350.,根据二次函数的性质即可解答.

【详解】（1）解：设必与x之间的函数关系式为y=左俨+6,

将（30,55）,（60,50）代入,

1155=30勺+b,

得［50=604+6,

k=_.L

解得卜6'

6=60,

乂与x之间的函数关系式为乂=-，x+60.

当加=90时，设为与x之间的函数关系式为为二与1+90,

将（120,50）代入，得50=120^+9。，

解得&=—；，

.・必与x之间的函数关系式为汝=+%.

（2）解：根据题意，得（归一乂"=750,即-ix+90-^-1x+60^-x=750,

解得内=30,X2=150（不合题意，舍去）.

答：当日该菜品的生产量为30千克.

（3）解:设该菜品日销售利润为。元.

”=（必-乂）工=-^x+90+^x-60x=--^（x-90）~+1350.

22/28

.•.当x=90时,0有最大值,最大值为1350.

答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大三销售利润为1350元.

24.如图，48是。。的直径，C,力是。。上两点，且BD=CB，过点的直线OE/XC交XC的延长

线于点E,交48的延长线于点/，连接彳。、OE交于点G.

E

⑴求证：DE是。。的切线；

r)As

(2)若干=彳，°°半径为2,求阴影部分的面积；

AG3

(3)连接在(2)的条件下，求的长.

【答案】(1)见解析

⑵2百一号

⑶拒

【分析】本题考查了切线的判定与性质，扇形的面积计算，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角

定理，根据题干和所求信息构造合适的辅助线是解题的关键.

(1)连接。力，根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到ND4B=ZCAD,根据等边对等角得到NDAB=NODA,

则/。。=/。。力，即可判定。0|花，进而得到。。_LOE,据此即可得解：

(2)连接8。，易证△OGOSAE&1,“EDSAADB,根据相似三角形的性质依次求出4E、，4。的长，由

勾股定理得到8。的长，由8D与,48的数量关系可得到NQ/14=30。，则/瓦1/=60。，NQCM=60。，

DF=2百»再根据S阴影=S,RF-S期形008即nf得解；

(3)过点上作「点M,易知4W的长，通过勾股定理得到£”的长，从而得到M8的长，再次

根据勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明：如图，连接。。，

23/28

E

I)

•/BD=

...NDAB=/CAD,

OA=OD，

/./DAB=NODA,

ACAD=NODA,

:.0D\\AE,

DELAC,

ODA.DE,

•••0。是。。的半径,

.•・Z)E是。。的切线;

(2)解：♦笔=£,

AG3

DG_2

~4G=3

•：0D^AE,

:.AOGDs△EGA«

DGOD22

——=——，即(I11一二——，

AGAE3AE

/.AE=3,

如图，连接8。,

•••DE1AE,48是O。的直径,

ZAED=ZADB=90°,

NCAD=ZDAB，

..“EDSAADB,

24/28

AEAD3AD

——=——,即Hn——=——

ADABAD4

:.AD2=12»解得(负值已舍去),

在RS4O8中，BD=>JAB2-AD2=^42-（273）2=2,

BD=-AB,

2

NDAB=300，

AEAF=60°,ZDOB=60°,

.•"=30。，

..・0/=200=2x2=4,

?.DF=>JOF2-OD2=V42-22=2A/3»

S切影=Sgor_S扇胎DO8

1rc660^-X22

=-X2X2V3-------------

2360

=2A/3-y：

(3)解：如图，连接8E,过点£作£01,力4「点M,

22

二.BE=->JEM2+MB2=庭V13.

25.综合运用

在RtZXMC中，ZC=90°,D为边AC上一点,CD=42,,动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发,