2025-2026学年高一数学上册期中复习讲义：函数表示、基本性质题型归纳（含答案）

第四节函数表示、基本性质题型归纳

【方法技巧】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数/(X)的定义域为。，区间/GD,如果Vxi,力£/

当xiVQ时，都有.43如1，那么就称当时，都有企必凶，那么就

定

函数人外在区间/上单调递增，称函数/(X)在区间/上单调递减，

义

特别地，当函数、/(X)在它的定义域上单特别地,当函数危)在它的定义域上

调递增时，我扪就称它是增函数单谢递减时，我们就称它是减函数

v尸X)

以t切

曾F感)

图象

01_x

描述漏1~X

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=/g)在区间/上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间/叫

做y=小)的单调区间.

2.函教的最值

前提一般地，设函数N=«r)的定义域为。，如果存在实数M满足

(l)Vx£O,都有於W挺；(l)VxG。，都有

条件

(2)3x0eZ),使得Axo)=M(2)3x0GZ),使得加

结论M是函数y=/(x)的最大值“是函数y=/(x)的最小值

【常用结论】

1.Vxi，X2仁/且X1WX2，有43一次即)>0(<0)或(力一彳2)[/3)一/52)]乂)(<0)0信)在区间/上单调递增(减).

Xl—X2

2.在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数.

3.函数y=/(x)(/(x)>0或/2<0)在公共定义域内与尸一/⑶，尸1的单调性相反.

./W

4.复合函数的单调性：同增异减.

1

2.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数次x)的定义域为。，如果

偶函数都有一xE。，且/(一，=/於),那么函数/(X)就叫做关于「轴对称

偶函数

一般地，设函数人工)的定义域为。，如果

奇函数都有一xE。，且/(一，=一/比),那么逑数人r)就叫关于原点对称

做奇函数

3.函数的周期性

(1)周期函数：一般地，设函数/W的定义域为。，如果存在一个非零常数7,使得对每一个都有x+TE。，且

/(x+n="x),那么函数y=/(x)就叫做周期函数，非零常数7叫做这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数次门的所有周期中存在•个最小的正数，那么这个最小正数就叫做人对的最小正周

期.

【常用结论】

1.函数奇偶性常用结论

奇函数在关于原点对称的区间上具有用同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

2.函数周期性常用结论

对/(X)定义域内任一自变量x的值：

(1)若〃+")=一信)，则T=2a(a>0).

(2)若<x+a)=1,则T=2a(a>0).

{x)

【题型目录】

题型一：函数的定义域

题型二：函数的值域

题型三：求函数解析式

题型四：函数相等问题

题型五、根据单调性求参数

题型六、由函数的奇偶性求解析式

题型七、由函数的奇偶性求参数

题型八、用定义法证明单调性、函数的奇偶性、单调性比较大小或解不等式

题型九、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值或参数

题型十：函数的对称性和周期性

题型十一、抽象函数问题

题型十二、函数性质的综合应用

2

【题型探究】

题型一：函数的定义域

【例1】.（25-26高一上•江苏）函数户J2x-3+一1的定义域为（）

x-3

A."I'+e）B.（-8,3）D（3,+8）

C.|,3卜（3,+8）D.（3,+力）

【变式1].（25-26高一上•重庆九龙坡•阶段练习）若函数的定义域为[1,9],则函数产T）的定义域

vx-1

为（）

A.[1,5）B.[1,5]C.（1,5）D.（1,5]

【变式2].（25-26高一上•山东泰安•阶段练习）若函数/（》）的定义域为卜7川，则的定义域

\J5-2x

为•

题型二：函数的值域

【例2】.（25-26高一上•全国•单元测试）求下列函数的值域:

4,r2+4x+9,八、

⑴»二------------(x>0)；

(2)y=x-2yJx+\.

x-\

(3)y=

x+2

【变式1】.（2022•全国•模拟预测）函数/（》）=三一的值域（）

3x+1

A.JB.（—

3

D.18个卜停十8

【变式2].（24-25高三上•山东蒲泽•阶段练习）函数y=2x+Vl耳的值域是（)

25

B.——,+8

24

25

D.-8,—

24

题型三：求函数解析式

【例3】.（25-26高一上•四川成都•阶段练习）（1）函数〃力是一次函数，且/（/（力）=41+8,求/（x）的函数解析

式.

（2）已知/（右+2）=》+1,求/（力的函数解析式.

【变式1].（25-26高一上•全国•课后作业）分别求满足下列条件的函数的解析式:

⑴已知/（x）是二次函数，且〃2）=-3,/（-2）=-7,/（0）=-3；

（2）函数g（x）满足g（x）+2g（-x）=3-x.

【变式21（2025高一•全国•专题练习）（1）/（x）=3x+2,求/（21+5）的解析式;

(2)已知/(4+l)=x+2&,求/(X)；

（3）已知为二次函数，B./（X+1）+/（X-1）=2X2-4X,求〃X）；

(4)己知2/(x)+/，)=》(X€1^且工。0),

求/（X）.

4

题型四：函数相等问题

【例4】.(25-26高一上•山东•阶段练习)下列各组函数中，表示同-一个函数的是()

2

A.f(x)=xtg(x)=(Vx)

B./(力=匚1g(x)=x+l

x—1

C./(，)=M，g(x)=G

D./(x)=®,g(x)=,l,x>0

X-l,x<0

【变式1].(25-26高•一上•黑龙江牡丹江•阶段练习)下列各组函数是同一个函数的是()

A-f(x)=\lx+l-\lx-\与g(x)=\lx2-\B./(x)=正与g(x)=(x/xj

C./(x)=J(x+10『与g(x)=x+10D./(口=容=与g(x)=x

【变式2].(25-26高一上•四川成都•阶段练习)下面各组函数中是同一函数的是()

A.y=，y=x\/-2x

B.y=>ZP"与夕二|乂

C./(/?)=2/?-1(/?eN),g(/?)=2n+l(/zeN)

D.y=Vx+i•x/x-1与y=^(x+l)(x-l)

5

题型五、根据单调性求参数

x2+ax+5,x<1

【例5】.(24-25高三上•福建漳州•阶段练习)已知函数/")=a是R上的减函数，则实数。的取值范

——，x>1

围是(

A.一B.-34QW0C.a<-2D.a<0

【变式1].(24-25高一上•湖北•期末)若函数/(x)=Jad+2x7在[1,”)上单调递增,则实数。的取值范围是()

A.[-1,+<»)B.(T+8)C.[0,+oc)

(2a-l)x+4“x<1)

【变式2].(24-25高一上•浙江杭州•期中)已知函数/*)={，/(x)对于尸工2，都

21)

A

有)(：)])($)<0成立,求。的取值范围()

A-B-[H]c-(*)D-悖g)

题型六、由函数的奇偶性求解析式

2

【例6】.(24-25高一上•江苏宿迁•阶段练习)设函数/(力是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x-\f则

函数/(X)在工<0时的解析式为/(%)=.

【变式11(24-25总一上•上海嘉定•期末)已知函数N=/(x)是偶函数，V=g(x)是奇函数，且

/(x)+g(x)=d+2|l|+3,则/(力=.

6

【变式2］.（24-25而一上•广东佛山•期中）已知函数/3）是定义在R上的奇函数，且当xKO时，/（幻=/+2工当

%>0时，函数/*）的解析式为,不等式理/（x）-/（-x）］>0的解集为.

题型七、由函数的奇偶性求参数

【例7】.（24・25高一上•内蒙古乌兰察布•期末）已知/（乃=/+法+1/是偶函数,则实数。+〃的值

为.

【变式1】.（2025•广东•一模）若函数/"）=-：是奇函数，则/（63））=__________.

尸+or,x<0

【变式2］.（24-25高一上•黑龙江牡丹江•期末）若函数=为奇函数，则.

题型八、用定义法证明单调性、函数的奇偶性、单调性比较大小或解不等式

【例8】.（25-26高一上•江苏•阶段练习）函数〃x）为定义在卜2,2］上的奇函数，已知当0<x42E寸，=

人I1

⑴当-24工<0时，求/（X）的解析式；

⑵判断/W在［0,2］上的单调性，并利用单调性的定义证明；

⑶若八2〃+I）+/（2-叫>（）,求〃的取值范围.

7

【变式1].（25-26高一上•广东佛山,阶段练习）已知函数〃力=卓詈是定义在卜1』上的奇函数，且〃1）=1.

⑴求"?，〃的值：

⑵试判断函数/（X）的单调性，并证明你的结论；

⑶求使+成立的实数4的取值范围.

【变式2].（25-26高三上•安徽淮北•阶段练习）已知函数〃》）=含彳是定义在卜尊]上的奇函数，且/（1）=-1.

⑴求函数/（X）的解析式：

⑵判断并证明/（力在卜1』上的单调性；

⑶解不等式〃2/）+/（一）＞0.

题型九、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值或参数

【例9】.（25-26高一上•江苏无锡•阶段练习）已知函数/（x）是定义在R上的奇函数，当xKO时，/口卜^+以.

⑴求/（x）的解析式；

（2）当工4尸1]（，＞0）时,求“X）的最大值g。）,开求函数g⑺的值域.

8

【变式11(25-26而一上•江西南昌•阶段练习)已知/(x)是一次递增函数，g&)是二次函数，其中/(/(X))=9X+4,

g(x)满足g(0)=2,g(x)-g(x-1)=2x+3.

⑴求〃x)和g(x)的解析式;

⑵在(1)的条件下，令函数aRMgW+q/V),讨论尸(x)在[-8,-2]上的最小值.

【变式2].(25-26高一上•广东中山)已知函数/(外=0?-2丁+。(。工0),集合4=[机一5,3〃?+7].

⑴若fix)>0对任意xeR恒成立，求。的取值范围；

(2)若〃x)=/(2-x).

①求函数/(x)在「3,3]上的值域；

②若对内€[-3,3],总存在”8,使得/($)=y,求〃?的取值范闱.

题型十：函数的对称性和周期性

【例10].(25-26高一上•广东茂名•阶段练习)已知函数/(力=1-占.

(\\(1A

⑴求〃3)与/-,八4)与7-；

⑵由(1)中求得结果，你能发现/")与/(g)有什么关系？并证明你的发现;

⑶求〃1)+〃2)+〃3)+…+/(100)+/出+佃+…+/]菽.

9

【变式1].(24-25高一上•广东佛山・期末)已知函数y=/(x)的图象关于点⑷成中心对称图形的充要条件是函

4

数)，=〃工+4)-/)为奇函数，若函数/")=工+一三.

X—1

⑴求曲线y=/(x)的对称中心；

⑵判断“X)在区间(L3)上的单调性，并用定义证明.

【变式2].(24-25高一上•上海•阶段练习)已知函数/(可是定义在R上的偶函数，且歹=/(x)的图象关于直线x=2

对称.

⑴证明：/(x)是周期函数.

⑵若当xe[-2,2]时，〃力=/+婷，求当xc[2,6]时，〃力的解析式.

题型十一、抽象函数问题

【例II].(24-25高一上•湖南•期末)己知函数/(X),对于任意的x,ywR,都有fa+y)=/a)+/(y),当x>0时,

/U)<0.

⑴求/⑼的值：

⑵判断/(X)的奇偶性和单调性；

⑶设函数g(x)=/(/-〃。-2/(|戈|),若方程g(x)=o有2个不同的解，求利的取值范围.

10

【变式2].(24-25高一上・河南,阶段练习汨知定义域为口的函数/(1)满足/(力〃)，)=/"+月，/")>0,当工>0

时，

⑴用定义法证明：/(%)在定义域内单调递增；

⑵记函数g")=/(x)-7=,判断g(x)的奇偶性，并证明你的结论.

【变式2].(24-25高一上•辽宁•阶段练习)已知定义在R上的函数/(x)满足：对任意的实数均有

f(xy)=f(x)f(y)t且〃-1)=-1,当0cx<1时，/⑴6(0,1).

⑴判断/(x)的奇偶性；

⑵判断/(丫)在(0,叼)上的单调性，并证明，

⑶若对任意玉，x2e[-l,l],1,5],总有2|/(xJ—归"/-皿一2恒成立，求小的取值范围.

11

题型十二、函数性质的综合应用

【例12].（25-26高一上•陕西•阶段练习）已知函数/（力=干?是定义在卜1』上的奇函数，且/⑴=1•

⑴求函数/（X）的解析式；判断函数/（X）在卜1』上的单调性，并用定义加以证明；

（2）解不等式：/（P-1）+/（P）＜O；

⑶若任意不等式/34〃/-2〃〃+1在*-«-1』恒成立，求实数〃?的取值范围.

【变式1].（25-26高一上•江苏•阶段练习）已知函数/（x）=±[,定义域为[2,+8）.

（1）试判断函数/（x）在[2,+8）上的单调性，并用定义法证明.

⑵求函数/（X）的值域；

⑶若f俨+2）＞/（2a+5）,求实数夕的取值范围.

12

【变式1].(25-26高一上•福建厦门•阶段练习)已知定义在R的函数/(x)满足：

①对Dx,JeR,/(x+y)=/(x)+/(^)-l；

②当x>0时，

③/(l)=2

回答下列问题：

⑴求/⑼，/(T)的值，并求/(一5)+/(-4)+/(-3)+/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+八2)+/(3)+/(4)+/(5)的值；

(2)(i)判断并证明/(x)的单调性;

(ii)若/(|1一向)>-5,求实数机的取值范围.

13

【章节强化练】

一、单选题

1.（25.26高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（）

。/«=岩与且=士

A3B./(x)=x°^g(x)=l

小）中与6）=病

C.D.=g(x)=V7

已知函数/（加工则八*2的解集为（）

2.（25-26高一上•广东中山•阶段练习）

A.(-8,0)B.(l,+oo)

D.(-a>,O)U(l,+oo)

3.（25-26高一上•陕西渭南•阶段练习）已知函数/（2x+2）的定义域为［1,3］,则函数/（4-3幻的定义域为（）

795H

A.B.C.D.[-20,-8]

2,22，-2

4.（24-25高一上・安徽・期中）已知偶函数/（力在（-8,0］上单调递减,且/（4）=0,则不等式4。）＞0的解集为（）

A.(-4,0)u(4,+o?)B.(-00,-4)u(0,4)

C.(-4,0)u(-l,4)D.(-oo,-4)u(4,+«?)

5.（25-26高一上•四川绵阳•阶段练习）设下列函数的定义域都为（0,+巧，则下列函数〃力不满足对气、

工2£（0,+8）且x产/，有（再一X2）［/（再）一/（与）］＜。恒成立的是（）

A./(x)=r+gB./(x)=-x2-2x+3

二套

C./(x)=x+~D./3

14

/、\（a-3）x+2a,x<1

6.（25-26高一上•江苏无锡•阶段练习）已知函数/x='2/n『是R上的单调递增函数，则实数。的取

ax+（a+\）x,x>\

值范围是（）

A.（3,4]B.（3,+8）

1（1/

C.--,4D.--,4

_D_IJ_

7.（2025高一上•广东•专题练习）已知/（x）=[S，"+7：：2""在（-叫+8）上满足四^3<0,则实数。的

—tZX+X,X21X]一工2

取值范围为（）

122

A.（0,3）B.[-,3）C.[-,3）D.（-,3）

8.（25-26高一上•广东汕头•阶段练习）定义在上的函数〃x）-/（y）=/P；当xe（T,0）时，/（x）>0,

若。=/（』+/（最）〃=/（0），则4。，R的大小关系为（）

A.R>Q>PB.R>P>QC.P>R>QD.Q>P>R

9.（22-23高一上•四川•期中）若偶函数/（x）在区间（-8,0]上单调递减且"3）=0,则不等式（X-"⑺>（）的解集（）

A.（-3」）U（3,+8）B.（-oo,l）U（l,+<x））

C.（一8,3）U（3,+co）D.（-oo,-l）u（3,+o））

15

二、多选题

10.(25-26高一上•山东•阶段练习)下列说法正确的有().

A.若二次不等式+恒成立，则实数a的取值范围为(0,引

B.函数/(x+2)的定义域为［-2,2),则函数八制的定义域为［0.4)

C.函数w*；的值域为传

¥-1

D.定义在R上的函数/J)满足3/(x)-/(-x)=x+l,则/6)=；二

11.(25-26高三上•湖南长沙•阶段练习)已知函数/(口的定义域为R,Kf(x+y)-2xy=f(x)+/(y),/(l)=0,则

()

(1A1

A./⑵=2B.上卜有

c./a+1)是偶函数D.〃x)-/是奇函数

12.(25-26高一上•重庆•阶段练习)已知函数/(力的定义域为R,/(个)=旷(》)+川(力，则()

A./⑴=()B.=

C./")是单调函数D.f(-x)+f(x)=0

13.(25-26高一上•福建厦门•阶段练习)己知函数/G)U(3：-y+4：,x；为定义在R上的减函数，下列说法

-x~+2mx-2m+l,x>1

正确的是()

.「11、

A.用的取值范围为—

B.VaeR,f(a2)<f(a-\)

C.若/'(a—4)>/(3a),则。的取值范围是(-2,y)

D.对任意满足条件的实数机，均有函数的值域为R

16

14.(25-26高一上•全国•期中)已知函数/(x)的定义域为R,/⑴=4,且对任怠实数〃?，〃，有

/(〃?+〃)=/(〃?)+/(〃)—2,当x>0时，/(x)>2.则下列结论正确的是()

A./(-1)=0B./(x)是R上的单调递减函数

C./(x)为偶函数D./(x)-2为奇函数

15.(24-25高一上•江苏南通•期中)定义/*)=卜](其中㈤表示不小于x的最小整数)为“向上取整函数”.例如

[T』=-l,[2.1]=3,[4]=4.以下描述正确的是()

A.若/(x)=2023,则xe(2023,2024]

B.^[x]2-5[.r]+6<0,则xe(l,3]

C./(幻=[幻是R上的奇函数

D.若/(幻=/3),则

三、填空题

13

16.(25-26高一上•江苏苏州•阶段练习)若函数)，=/(2x-1)的定义域为弓为],则函数y=/*+l)的定义域为.

17.(25・26高一上•浙江•阶段练习)已知函数/(x)=3x+3+V7=T,则/*)的值域为.

18.(25-26高一上•甘肃平凉•阶段练工)已知(=/(力为定义在(0,+力)上为减函数,且｛+1)</(1-甸,则』的

取值范围是.

19.(25-26高一上•黑龙江大庆•阶段练习)己知函数/")是定义在R上的偶函数，若函数〃(1)=/(1)-2/在(—,()]

上单调递增，则不等式/(工+1)-/⑴<2/+以的解集为.

20.(25・26高一上•湖南邵阳•阶段练工)已知定义在R上的奇函数/"),对VxwR,总有/('-2)=/(x+2)成立,

当xe(0,2)时，/(x)=2r-l.函数g(x)=〃Ld+2x,若对VxeR,3/eR,使得/(x)>g〃)成立，则满足条件的

17

实数利的取值范围为.

四、解答题

l-|x-l|,0<x<2

21.(25-26高一上•江苏无锡•阶段练习)已知函数/(%)=--2x,x<0

x-2,x>2

⑴画出函数/(x)的简图(不必列表)；

(2)求7(/(3))的值;

⑶当-4Wx<3时，求/(x)取值的集合.

22.(24-25高一上・江苏南京•期中)函数/(%)是R上的奇函数，且当x>0时，函数的解析式为外力=三7Y+］.

人"T"I

⑴求/(一2)的值：

⑵用定义证明/(x)在(0,+司上是减函数：

⑶求函数/(工)的解析式.

23.(25-26高一上•湖南长沙•阶段练习)已知定义在R上的函数/(X)满足对任意的x,"R,/(x+y)=/(x)+/(y),

当x>0时，/(x)<0,/(2)=-4.

⑴求/(—2)和/(3)的值.

(2)判断/(x)在R上的单调性并证明.

⑶求不等式/(X2-2X)-/(2-X)>4的解集.

18

24.(25-26高一上•江苏无锡•阶段练习)已知二次函数/(“满足/⑴=4,且/(X)-/(x-l)=2x+l.

⑴求的解析式；

⑵若〃;v)Wa/+("l)x+2对于任意xwR恒成立，求实数。的取值范围；

⑶己知g(x)=/(x)-W7,若3x°e[l,2],使得g(x°)£2『一+1为真命题，求》的取值范围.

25.(25-26高一上•陕西西安•阶段练习)设。为实数，函数/(力=。7[下+>/?77+>/[=7.

⑴求函数/(工)的定义域；

⑵设/=Jk+J匚G，把函数〃x)表示为f的函数力⑴；

(3)若q<一也，求/(X)的最值.

2

26.(22-23高一下•福建•期中)函数/(》)=产土1是定义在(T1)上的奇函数，且：

⑴求〃X)的解析式;

(2)证明/⑺在上为增函数;

(3)解不等式/。―1)+/(/)<0.

19

27.(25-26高一上•湖南邵阳•阶段练习)已知定义在(T1)上的函数/(力满足：对1,1),都有

/(x)+/(—)，)=/三，且当xe((M)时，/(x)<0.

v-xyj

⑴判断函数/(x)的奇偶性并用定义证明；

⑵判断函数/("在(T,I)上的单调性，并用单调性定义证明;

(3)解不等式：/(x+l)+/f-Lko.

20

第四节函数表示、基本性质题型归纳

【方法技巧】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数/(X)的定义域为。，区间/GD,如果Vxi,力£/

当xiVQ时，都有.43如1，那么就称当时，都有企必凶，那么就

定

函数人外在区间/上单调递增，称函数/(X)在区间/上单调递减，

义

特别地，当函数、/(X)在它的定义域上单特别地,当函数危)在它的定义域上

调递增时，我扪就称它是增函数单谢递减时，我们就称它是减函数

v尸X)

以t切

曾F感)

图象

01_x

描述漏1~X

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=/g)在区间/上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间/叫

做y=小)的单调区间.

2.函教的最值

前提一般地，设函数N=«r)的定义域为。，如果存在实数M满足

(l)Vx£O,都有於W挺；(l)VxG。，都有

条件

(2)3x0eZ),使得Axo)=M(2)3x0GZ),使得加

结论M是函数y=/(x)的最大值“是函数y=/(x)的最小值

【常用结论】

1.Vxi，X2仁/且X1WX2，有43一次即)>0(<0)或(力一彳2)[/3)一/52)]乂)(<0)0信)在区间/上单调递增(减).

Xl—X2

2.在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数.

3.函数y=/(x)(/(x)>0或/2<0)在公共定义域内与尸一/⑶，尸1的单调性相反.

./W

4.复合函数的单调性：同增异减.

1

2.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数次x)的定义域为。，如果

偶函数都有一xE。，且/(一，=/於),那么函数/(X)就叫做关于「轴对称

偶函数

一般地，设函数人工)的定义域为。，如果

奇函数都有一xE。，且/(一，=一/比),那么逑数人r)就叫关于原点对称

做奇函数

3.函数的周期性

(1)周期函数：一般地，设函数/W的定义域为。，如果存在一个非零常数7,使得对每一个都有x+TE。，且

/(x+n="x),那么函数y=/(x)就叫做周期函数，非零常数7叫做这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数次门的所有周期中存在•个最小的正数，那么这个最小正数就叫做人对的最小正周

期.

【常用结论】

1.函数奇偶性常用结论

奇函数在关于原点对称的区间上具有用同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

2.函数周期性常用结论

对/(X)定义域内任一自变量x的值：

(1)若〃+")=一信)，则T=2a(a>0).

(2)若<x+a)=1,则T=2a(a>0).

{x)

【题型目录】

题型一：函数的定义域

题型二：函数的值域

题型三：求函数解析式

题型四：函数相等问题

题型五、根据单调性求参数

题型六、由函数的奇偶性求解析式

题型七、由函数的奇偶性求参数

题型八、用定义法证明单调性、函数的奇偶性、单调性比较大小或解不等式

题型九、利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值或参数

题型十：函数的对称性和周期性

题型十一、抽象函数问题

题型十二、函数性质的综合应用

2

【题型探究】

题型一：函数的定义域

【例1】.（25-26高一上•江苏）函数歹=J2x-3+-的---定-义域为（）

x-3

3

A.一,+8B.(-8,3)D(3,+8)

2

C.1,3卜（3，+8）

D.(3,+力)

【答案】C

【分析】根据2x-320,4-3/0即可求出.

【详解】2工-3之0且工-360,得"2且XH3,

2

13、

则函数y=j2x-3+-----的定义域为-,3。（3,+8）.

x-3

故选：C

【变式1].（25-26高一上•重庆九龙坡•阶段练习）若函数/（》）的定义域为[L9],则函数8（、）=八广-1）的定义域

VX-1

为（）

A.[1,5)B.[1,5]C.0,5)D.(1,5]

【答案】D

【分析】借助定义域的性质计算即可.

[l<2x-I<9

【详解】由题意可得x-l>0'解得I",

故函数g（x）=中型的定义域为（1,5].

A/X-1

故选：D.

【变式2].（25-26高一上•山东泰安•阶段练习）若函数/⑺的定义域为[-7,1],则歹二举二立的定义域

V5-2x

为

5

【答案】

2'2

-7<3-4.r<l匕二

【详解】因为函数/（力的定义域为卜7,1],所以要使函数y=，/二有意义,则＜,即422

\/5-2x5-2x>05

x<-

2

解得;所以函数的定义域为故答案为:_[5

2,2

3

题型二：函数的值域

【例2】.（25-26高一上•全国•单元测试）求下列函数的值域:

小4x2+4x+9,八、

(l)y=---------(x>0)；

(2)y=x-2>Jx+\.

x-1

⑶)'=

上十2

【答案】（1）［16,*0）（2）［-2,+00）⑶（e』）51，+8）

【分析】（1）由基本不等式求解即可;

（2）设，=而7,结合二次函数的性质求解即可;

（3）利用分离常数法求解即可.

【详解】（1）y=4A4v+9=4x4--414x2.1-4=16,

XXvX

93

当且仅当4x=—,即x时取等号，

x2

所以函数的值域为［16,+8）.

（2）设z=Jx+1，0,则工=八一1，

所以y=x-2>Jx+\=t2~\~2t=（r-l）2-2,

所以函数的值域为［-2,+8）.

(3)>=—=1--—

x+2x+2

则尸1,所以函数的值域为（YO,l）U（l,+«））.

【点睛】方法点睛：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点〃和"最低点”观察函数的

值域.

（2）配方法.求形如尸3=。［/。）］2+"3+《”0）的函数的值域可用配方法，但要注意/（"的取值范围.

,ad

（3）分离常数法.形如），=丝等（。。工0,加工儿）的函数常用分离常数法求值域，转化过程为竺吆=巴+”工，

cx