2025-2026学年八年级数学上册《三角形》全章基础必刷题（含答案）

三角形全章基础必刷必考点（7个专题60题）

基础必刷I三角形的概念........................................................................1

基础必刷2三角形的边角关系....................................................................4

基础必刷3三角形的稳定性......................................................................7

基础必刷4三角形的中线的应用..................................................................8

基础必刷5三角形的高线的应用.................................................................13

基础必刷6三角形内角和定理的应用............................................................19

基础必刷7三角形外角性质的应用..............................................................30

基础必刷1三角形的概念

1.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三殆形类型的是（）

【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可.

【解答】解：力、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型:

B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；

C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；

D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；

一选:C.

2.下列说法正确的是（）

①等腰三角形是等边三角形；

②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；

③等腰三角形至少有两边相等；

④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.

A.①②B.③④C.①②③④D.①②④

【分析】根据三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义一一判断即可.

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【解答】解：①等腰三角形一定不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误；

②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和

等边三角形，故②错误；

③等腰三角形至少有两边相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，故③正确；

④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确.

综上，正确的有③④.

故选：B.

3.图表示三角形的分类，关于P、。区域有甲、乙两种说法：

甲：Q是锐角三角形；

乙：。是等边三角形；

C.甲、乙均对D.甲、乙均不对

【分析】根据三角形按边分类，即可求解.

【解答】解：根据三角形按边分类可得：

三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形，等边三角形），

.•/是等腰三角形；。是等边三角形，

只有乙说法正确，

故选：B.

4.如图，在△力中，D,E分别为BC,上的点，则以。为顶点的三角形的个数为（）

BDC

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A.3B.4C.5D.6

【分析】根据三角形的定义即可得到结论.

【解答】解：以。为顶点的三角形有△/££AADC,4BDE,△4）8共4个三角形,

故选:B.

5.如图所示，在八48。中，4IC5是钝角，让点C在射线8。二向右移动，则（）

BCD

A.△力8c将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形

B.△/出C将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形

C.AJ8C将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形

D.A/iBC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变

为钝角三角形

【分析】因为8c边变大，乙4也随着变大，ZJC8在变小.所以此题的变化为：先由钝角三角形

变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形.

【解答】解：根据4的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形,

接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形.

故选：D.

6.如图，AD.CE为等边△44C的两条高，且力。与CE相交于点P,则图中的直角三角形共有个.

【分析】根据力。、CE为等边△45C的两条高得到△CEAUNCEXMZJOAM乙4OC=90。，即可得到

△/OC,△力。氏ACEA,ACEB,APDC,△PE4是直角三角形即可得到答案.

【解答】解：由题意可得：

乙CEB=^CEA=2DB=4DC=900,

:AADC,AADB,ACEA,ACEB,△POC,力是直角三角形,

共有6个.

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故答案为：6.

7.如图，直线/经过力，B,C,D,£五点，点。是直线/外一点，连接尸力，PB,PC,PD,PE,则共有

个三角形.

P

【分析】根据三角形的定义即可得到结论.

【解答】解：4PAE,APBE,APCE,APDE,APAB,APAC,APAD,4PBC,△尸8。，△尸C/）共10

个，

故答案为：10.

基础必刷2三角形的边角关系

8.下列长度的各组线段中，能构成三角形的是（）

A.2cm,3cm,5cmB.5cm,2cm,1cm

C.lew,\cm,2cniD.3cni,4cm»5cm

【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第

三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断.

【解答】解:A2+3=5,长度是2c7〃，3cm,线段不能构成三角形，故力不符合题意：

3、5+2=7,长度是5。〃，2cm,线段不能构成三角形，故4不符合题意：

C、1+1=2,长度是lew,"加，2c机线段不能构成三角形，故C不符合题意；

。、3+4>5,长度是3c/n,4cm,5c/n线段能构成三角形,故。符合题意.

放选：D.

9.若一个三角形的三边长分别为2,x,7,化简以-5|-2卜-12|的结果是（）

A.-x+19B.3x-29C.-x+7D.-x-29

【分析】苜先根据三角形的三边关系确定x的取值范围，再云绝对值计算即可解答.

【解答】解：•.•一个三角形的三边长分别为2,x,7,

.-.5<x<9,

.-.|x-5|-2|x-12|

=x-5+2x-24

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=3x-29,

综上所述，只有选项4正确，符合题意，

故选:B.

10.已知三角形三边长分别为2,工，8,若x为奇数，则这样的三角形个数为（）

A.2B.3C.5D.7

【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到6VxV10,因此x=7或

9,即可得到答案.

【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8-2VxV8+2,

•­6<x<10,

•••x为奇数，

：.x=7或9,

・•.这样的二角形个数为2个.

故选：A.

11.如图，将四根长度分别为3s?,5cm,1cm,8c〃?的木条钉戌一个四边形木架，扭动它，它的形状会发

生改变，在变化过程中，点8和点。之间的距离可能是（）

A.\cmB.4cmC.9cmD.12cm

【分析】连接8。，构造人48。和△8CZ）,利用三角形三边关系作答.

【解答】解：如图，连接8。，

在中，7cm-5cm<BD<lcni+Scm,KP2cm<BD<\2cm,

在△8CO中，8cw-3cm<BD<Scm+3cm,即5cm<BD<11an,

所以

观察选项，只有选项。符合题意.

故选：C.

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5cm

7cmD

—\3cm

8cm\

BC

12.已知三角形的两边长分别是和7cm,如果第三边长为（x是整数），则三角形周长最大为

cm.

【分析】已知两边，则第二边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第二边长的范

国；将第三边的长加上另外两边长即可得出周长.

【解答】解：设第三边长为xcm.

则有7-3VXV7+3,

1P4<X<10.

・••第三边最大为9,

因此x=9.

故周长为3+7+9=19（cm）.

故答案为：19.

13.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC是“倍长三

角形”，有两条边的长分别为4和6,则第三条边的长为.

【分析】分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案.

【解答】解：设三角形第三边的长是X,

由三角形三边关系定理得到6-4<.r<6+4,

.•.2<x<10,

若2x=4,则x=2；

若2x=6,则x=3；

若x=2x4,则x=8；

若x=2x6,则x=12,

1••2<x<10,

・•・三角形第三边的长是3或8.

故答案为：3或8.

14.【代数推理】设△44C的三边长是〃、b、c,周长是x,其中〃=4,b=6.

（1）直接写山。及x的取值范围;

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（2）当c为奇数时，求x的最大值和最小值.

（3）若x小于18的偶数,判断A4BC的形状.

【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得M答案：

（2）根据奇数的定义和x的取值范围，可求解；

（3）根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求c的值，利川等腰三角形的定义得出即可.

【解答】解：（1）因为。=4,b=6,

所以2<c<10.

故周长x的范围为12<x<20.

（2）va=4,b=6,c为奇数，

••-12<x<20,

•%最大为19,最小为13.

（3）•••周K为小于18的偶数，

-,-x=16或1=14.

当x为16时，c=6；

当x为14时,c=4.

当c=6时，b=c,为等腰三角形；

当c=4时，a=c,为等腰三角形.

综上所述，△/"。是等腰三角形.

基础必刷3三角形的稳定性

15.下列实例中，没有应用至U“三侑形稳定性''的是（)

A.三角支架B.钢架桥C.起重机D.活动挂架

【分析】根据三角形具有稳定性判断即可.

【解答】解：A.三角支架应用到三角形的稳定性，不符合题意:

3、钢架桥应用到三角形的稳定性，不符合题意；

C、起重机应用到三角形的稔定性，不符合题意；

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D、活动挂架没有应用到三角形的稳定性，符合题意;

故选：D.

【分析】根据三角形的稳定性求解即可.

【解答】解：由题意可得，这里运用的几何原理是三角形具有稳定性.

故答案为：三角形具有稳定性.

17.如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上根木条.

【分析】根据三角形具有稳定性解答.

【解答】解：如图，根据三角形具有稳定性可知：要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要

再钉上3根木条，

基础必刷4三角形的中线的应用

18.如图，△/8C的周长是16,工。是边上的中线，力4=6,3=3,则△48。与△力的周长之差为

（）

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八

【分析】根据三角形的中线，周长的计算得到8c=2CO=6,4C=4,根据△月8。的周长为48+8。+/。,

△JCO的周长为得到△?1以；与乙4。。的周长之差为力A-/1C',由此即可求解.

【解答】解：△力8C的周长为16,

：.4B+AC+BC=16,

•••力。是BC边上的中线，

:.BD=CD=3,则4C=6,

•-JC=16-AB-8C=16-6-6=4,

•••△ABD的周长为AB+BD+AD,AACD的周长为AC+CD+AD,

・••AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=AB-AC=6-4=2,

故选：A.

19.如图，在^力^。中，力8=18,BC=15,8。是力。边上的中线.若△/BQ的周长为38,则△8CO的周

长是()

A.23B.35C.33D.53

【分析】根据三角形中线的定义可得力。=8,由△48。的周长为38,48=18,求出“0480=20,进

而得出△ACO的周长.

【解答】解：••・3。是月C边上的中线，

:.AD=CD,

•••△力8。的周长为38,48=18,

.•.力。+8。=38-力4=38-18=20,

:.CD+BD=AD+BD=23

：BC=15,

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:ABCD的周长=8C+CQ+4O=15+20=35.

故选：B.

20.如图，4。是△4?C的中线，己知的周长为16°“，48比力。长3。〃，则41。。的周长为()

A.13cmB.16cmC.19cmD.2\cm

【分析】根据题意得到力8=/lC+3,根据中线的定义得到8。=。。，根据三角形的周长公式计算即可.

【解答】解：由题意得，AB=AC+3,

；力。是的中线，

：.BD=DC,

••△ABD的周长为\6crn,

.'.AB+BD+AD=AC+3+DC+AD=\6(cm),

则力C+OC+/D=13(cw),

・••△4C。的周长=力。+。。+力。=13(cm),

故选：A.

21.如图，在△力8c中，力。是边8C上的中线，△力8。的周长比△力QC的周长多3,/出马/1C的和为13,

则的长为()

A.5B.6C.7D.8

【分析】由三角形中线的定义得到BD=CD,进而得到△力4。和△力力C的周长的差等于A3与AC的差,

然后联立关于/出、4c的二元一次方程组，即可求出力4的长.

【解答】解：•MO是边AC上的中线，

:.BD=CD,

:△ABD的周长比41。。的周长多3,

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(AB+AD+BD)CAC+AD-^CD)=AB-AC=3f

：AB+AC=\3,

：.AB=8.

故选：D.

22.如图，AD.CE都是△//(?的中线，连接EQ,△力8c的面积是10a/,则△8。七的面积是()

A.1.25cni2B.2cm2C.2.5cni2D.5cm2

【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可.

【解答】解：力是△力^。的中线，△月6<7的面积是10c〃J,

1、

-.AABD的面积=AJ8C的面积x-=5(cm2),

乙

•.七是48的中点，

・••△8OE的面积的面积X；=2.5(cm2),

故选：C.

23.加图，RD.CE分别为△ACO的中线，若△42。的面积为16,则△(7£)£■的面积为()

BC

A.4B.8C.2D.16

【分析】根据三角形中线平,分三角形面积得到△进而可得△

S/SCHQ=S/HA=16,S&CDE=3JsCBD=8.

【解答】解：•••4。是△力AC的中线，CE是△COF的中线，

:S^CBD=S畦ABD=2s△(；£)£=16,

•0.SACD£—8，

故选:B.

24.如图，AJ8C的中线力。，BE相交于点、F,FHLBC,垂足为若必仙：=15,BC=6,则切长为

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A

E

BDHC

_115—

【分析】连接Z7。，由二角形的中线与面积的关系可得以8£C=SA48K=SA/“O=5SA48。=~7",然后'可得

2

S>CEF=S&DBF=S&CDF，则有SMCF=WS48EC=5，进而问题可求解・

【解答】解：连接/C,如图所示：

：AD、8E是。的中线，SMBC=15,

___1_15

:•S〉BEC=S"BE=S4ABD=5sA48C=~»

:SfR卢S&AEF=SAAB/SABDF，

•••5&1£产=52\8。尸，

；S4CEF=S^AEF，SADBF=SACDF，

•■•^△C£F=S&DBF=S4CDF，

2

:$4BCF-5s△BEC=5，

11

；・

■:S^BCF=乙BCFH=-乙x6FH=5,

5

:.FH=-.

D

5

故答案为：-.

25.如图，在△48。中（力。＞48）,AC=2BC,8c边上的中线/。把△/8C的周长分成603和40。〃两

部分，求边彳。和43的长.（提示：设CQ=xcm）

/

B

A

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【分析】先根据力。是8C边上的中线得出3。=。。，设BD=CD=x,AB=y,则4C=4x,再根据力C+C£>=

60,4B+BD=4（）,即可得出x和y的值.

【解答】解：•.•力。是8C边上的中线，AC=2BC,

:.BD=CD,

设8O=CO=x,AB=y,则4C=4x,

:AC>AB,

••JC+CD=60,AB+BD=40,

即4A+X=60,入±），=40,

解得：x=\2,y=28,

即AC=4x=4^cm,AB=2^cm.

基础必刷5三角形的高线的应用

26.如图，在△48C中，线段8E表示△力8C的边力C上的高的图是（）

【分析】根据三角形高的定义判断即可.

【解答】解：过点8作力C的垂线，且垂足在直线力C上,

所以正确画出4C边上的高的是。选项，

故选：D.

27.如图，AJ8C中48边上的高线为（）

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GE

"、A,

BC

A.ADB.CEC.AFD.BG

【分析】直接利用高线的概念（从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形

的高）得出答案.

【解答】解:如图，•••CE18N延长线于E,

二.△ABC中AB边上的高线是线段CE.

故选：B.

28.下列说法正确的个数有（）

①二角形的角平分线、中线和高都在二角形内；

②直角三角形只有一条高：

③三角形的高至少有一条在三角形内；

④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段.

A.I个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据三角形的中线，带平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解.

【解答】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错浜：

②直角三角形有三条高，故错误：

③三角形的高至少有•条在三角形内，故正确；

④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误；

故选：A.

DE

29.如图，在中，是中线，。以切。小。垂足分别为点从F,若"=6四数=4皿则而

是（）

33

A.JB.-c]D，5

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【分析】在中，因为力。是中线，所以和△力。。的面积相等；利用等面积法，即可求解.

【解答】解：在三角形/4C中，力。是中线，

.BD=CD,

•••SA48D=SA4℃.

-DELAB,。尸14。垂足分别为点E、F,AC=4cm,AB=6cm,

11

■•—AB9DE——AC*DF,

乙乙

11

ATx6DE="x4DF,

乙乙

DE42

''DF=6=3*

故选：B.

30.如图，A/IBC是等腰三角形，。是底边4c上任意一点，DEL4B于点、E,QEL4C于点F若力4边上

的高是6,求。K+ZW的值.

【分析】连接心根据二角形的面枳公式即可得到54・O£'+)CW=%X6,根据等腰二角形的性

乙乙乙

质进而求得DE+DF的值.

【解答】解：连接4。，

・•48边上的高是6,

1

,SAJ8c=

11

•S^ARD=S^ADC=^CDF,

111

-.—AB*DE+-AC*DF=5/8x6,

；4B=AC,

11

:/B(.DE+DF)=—JZ?x6,

:,DE+DF=6.

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31.等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.

(1)如图1,在RtZUBC中，ZJC5=9O°,8C=3,AC=4,48=5,CDLAB,则。。的长为：.

(2)如图2,在△力8C中，力8=4,BC=2,则△力AC的高CO与力七的比是：.

(3)如图3,在△力4C中，ZC=90°(&V乙ABC),点。，Q分别在边力氏/C上，且BP=4P,

DE工BP,DF1.AP,垂足分别为点E,F.若8c=10,求。£4。尸的值.

【分析】(1)利用面积法求出CO即可.

(2)如图2中，利用面积法求出高CO与4E的比即可.

(3)如图，利用面积法求出/)石+。尸=AC,可得结论.

【解答】解：(1)如图1中，

,:CD工AB,

11

:・SfBC=]・4C・BC=5・AB・CD,

4x312

­­CD=-T—=—；

12

故答案为：

(2)如图2中，

11

■:SfBc=544・CO=-BC*AE

11

x4xCD=-x2xAE,

乙乙

：.2CD=AE,

:.CD：AE=\x2；

故答案为：1：2；

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Ill

（3）•:S&ABP=；AP.BC，S^ADP=-AP-DFtS^BDP=~BP-DE,

乙乙乙

■:s2BP=S&ADP+S4BDP，

111

•■•S&4BP=3BP,DE+-AP-DF=-AP•BC,

乙乙乙

又・：BP=AP,

111

-.-AP-DE+-AP•DF=-AP-BC,

4J乙

即DE+DF=BC=W

32.如图1,△A8C中，AB=AC，P为底边BC上一点,PEUB,PFLAC,CHLAB.垂足分别为石、F、

H.

（T）PE,PF,C”有怎样的数量关系？请说明理由；

（2）如图2,尸为BC延长线上的点时，其他条件不变，PE、PF、。〃又有怎样的数量关系？请写出你

的猜想，并加以证明；

（3）若乙4=30。，A48C的面积为49,点尸在直线8C上，且尸到直线4C的距高为尸尸当尸尸=3时,

则48边上的高CH=，点P到/夕边的距离尸E=.

图1图2

1

【分析】⑴连接力尸，根据等腰三角形的性质可表示出%8c=%加水路心=户4>（尸E+尸产），

4乙

同时可表示出SdABC=打CxBH,从而可得到PE+PF=BH.

（2）连接力户.先根据三角形的面积公式分别表不出SA48P，S&1",S^ABC，再由S&48P=SA4CP+SA48C

即可得出PE=PF+PH；

（3）先根据直角三角形的性质得出4C=2C〃，再由△力4C的面积为49,求出C〃=7,由于C〃>尸凡

则可分两种情况进行讨论：①P为底边8c上一点，运用结论PE+PP=C〃：②尸为8C延长线上的点时，

运用结论PEnPF+C”.

t解答】解；（1）PE\PF=CH.

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理由：如图，•:PEkAB,PFLAC,CHUB,

111

•••SA^P=，8・P£,S^ACp=-AC*PF,S^ABC=5AB・CH.

乂■:S^ABp+SfCP=S^AB。

111

守B・PE+-AC*PF=-AB^CH.

乙乙乙

"B=AC,

:.PE+PF=CH.

(2)如图，PE=PF+CH.证明如下：

•:PEUB,PFLAC,CHLAB,

111

:・S—BP=；AB・PE，S^CP=-AC*PF,S4i8c=~AB*C1L

乙

■:s9BP=S4ACP'S)BC，

111

■•—AB*PE=-AC*PF+

又，；AB=AC,

:.PE=PF+CH；

(3)•••在中，zJ=30°,

:・AC=2CH.

1

.:S»BC=^AB・CH,AB=AC,

1

x2cH・CH=49,

乙

:,CH=7.

分两种情况：

①P为底边8c上一点，如图1.

-：PE+PF=CH,

:・PE=CH-PF=7-3=4；

②P为AC延长线上的点时，如图2.

•:PE=PF+CH,

...P£=3+7=1O.

故答案为：7；4或10.

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基础必刷6三角形内角和定理的应用

33.在下列条件：①七1+48=4。，②乙4：44：乙。=5：3：2,③乙4=90。-④乙4=244=34C中，

能确定ZX/IB。是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案.

【解答】角牟：①♦.•0+△«=NC,

.-.2zC=180°,

.•"=90。，

・••△力5。是直角三角形；

乙B：乙C=5：3：2,

设乙l=5x,则ZJ?=3x,zC=2r,

.••5x+2x+3x=180°,

解得：x=18。，

山=18°X5=90。，

・••△力4c是直角三角形；

@vzJ=90°-乙B,

••."+48=90。，

.•.ZC=18O°-90°=90°,

・••△/出C是直角三角形：

④•••3乙。=248=",

11

:.乙A+cB+cC=-Z-A+-ZJ+ZJ=180°,

乙O

为钝角三角形.

・••能确定是直角三角形的有①②③共3个，

故选：C.

34.如图，ZUAC中，乙4=30。，将△/"。沿。七折叠，点4落在尸处，则的度数为（）

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Dt

A.140°B.60°C.70°D,80°

【分析】由折叠得到乙4与"的关系，再利用平角、四边形的内角和得到NFO8+ZFEC的度数.

【解答】解：•••△。日尸是由△OE4折叠而成的，

山="=30。.

・••乙4+乙4。户'+△力七户360。，

.­.Z//DF+ZJ£F=36O°-乙4-乙产=300°.

:乙BDF=T800-UDF,

LFEC=\S00-Z.AEF,

••.乙/。8+4在。=180。-Z^DF+1800-Z-AEF

=360°-SDF+UEF）

=360°-300°

=60°.

故选:B.

35.如图，在△ABC中，8。和C。分别平分乙48。和乙4C8,BE和CE分别平分N。。和48C。，乙4=60。,

下列式子中正确的是（）

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A

A.乙A+乙D=^EB.2/Z)=3乙4C.zF=3zJD.5乙D=4乙E

【分析】先根据角平分线的定义、三角形内角和定理求得乙4、乙。和乙自然后代入各选项判断即可.

【解答】解：•.力。和分别平分乙18C和乙1CB,乙4=60。，

・••根据角平分线的定义，

111

乙CBD+乙BCD=-(Z-ABC+NACB)=-(180°-z/1)=-x(180°-60°)=60°.

根据三角形内角和定理，zD=180°-(乙CBD+乙BCD)=180。-60。=120。.

:BE和CE分别平分以CBD和436,

11

，乙CBE+乙BCE=~乙(乙CBD+乙BCD)=-乙x60°=30°.

••zE=180。-(乙CBE+乙BCE)=180°-30°=150°.

A.ZJ+Z/)=60°+120°=180°^150°=ZE,所以《选项错误，不符合题意：

B.2Z.D=2x120°=240°#180=3z/l,所以8选项错误,不符合题意;

C.zE=l50o^I80o=3z^,所以。选项错误，不符合题意；

D.5乙。=60()。=4乙E,所以。选项正确，符合题意.

故选：D.

36.三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20。，则此三角形的最小角等于.

【分析】根据题意，可设最小角度数为x,则最大角为2x,另一角为2x・20。，根据三角形的内角和定理,

列方程解答.

【解答】解：设最小角度数为x,则最大角为2x,另一角为M-20。，

列方程得，x+2x+2x-20。=180°,

解得x=40。.

答：这个三角形的最小角度数为40。.

故答案为：40°.

37.在八48。中，ABC=cC,8D是力C边上的高线，"18。=30。，则匕。的度数为.

【分析】首先画出图形，根据三角形高的定义可得々。夕=90),再根据直角三角形两锐角互余可得，1的

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度数，然后再根据三角形内角和定理可得△。的度数.

【解答】解：如图1,•••4。为.4。边上的高，

“DB=90。,

Z8。=30。，

.4=60。，

:乙4BC=cC,

1800-60°

•.ZC-乙-60°,

如图2,•.书。为/C边上的高,

/08=90°,

•.•乙41。=30°,

:.乙BAD=6。°,

：5BC=cC,

••zC=30°,

综上所述：NC的度数为：60。或30。.

故答案为：60。或30。.

A

A

B图］CB图2C

38.如图，在△月8C中，CO是48边上的高，是力。边上的高,点少是两条高线的交点，若乙4=70。,

LFBC=\5°,则匕尸C8=__.

A

BC

【分析】先根据三角形内角和定理求得心灰下，UCD,根据尸=N4CE-Z-ACD求解即可.

【解答】解：•••CQ是/出边上的高，4E是/C边上的高

:.乙1DC=^BEC=9O。,

•.•~=70°,乙FBC=15。,

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•.zJCD=90°-7()°=2()°,z5CE=90°-15°=75°,

:.乙BCF=LBCE-Z-ACD=750-20°=55°,

故答案为：55.

39.如图，已知：4。平分乙比1C,点尸是4。反向延长线上的一点，EFLBC,41=40。，zF=15°.求：乙B

和乙C的度数.

【分析】由三角形的内角和定理，结合垂线的定义可求解入1QC的度数，根据角平分线的定义可求解4Q/1C,

乙氏1C的度数，利用三角形的网角和定理可求解乙C,乙8的度数.

【解答】解：-EFLBC,

・"E尸=90。，

“F=15°,AADE+乙F+乙DEF=180°,

“DE=75。,

•.•力。平分彳C,41=40。，

“R4CS4c=2乙1=80。，

.•.ZDJC=4O°,

.:UDE+乙C+乙DAC=180。，

.•.zC=180o-400-75o=65°,

••28+NC+N切C=180。，

.•28=180°-65°-80°=35°.

40.如图，在△/18C中，△氏4c=58。，ZC=72°,月。是高，8f是角平分线，它们相交于点尸.

(1)求乙。力。的度数.

(2)求乙的度数.

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A

【分析】（1）先根据己知条件求出乙4OC=90。，再根据直角三角形的性质求出ND4c即可；

（2）先根据）乙BAC=^B4D+乙D4C,求出乙历/。，再根据三角形内角和定理和角平分线定义求出乙48。

和乙兄最后再次利用三角形内角和定理求出答案即可.

【解答】解：（1）3。是高，

・••ZJOC=90。，

.•.zC+zDJC=9()°,

必。=72。，

・••4)力。=90。・720=18。：

(2)•••乙BAC=^BAD+乙DAC=580,

^BAD=/-BAC-Z-DAC=5^°-18°=40°,

:乙BAC+乙C+乙4BC=180°,

.-.ZJ^C=I8O°-58°-72°=50°,

•4月是角平分线，

1

.•.乙ABF=5乙ABC=25°,

•:41BF+乙BAD+4FB=180°,

.­.^jra=180°-25°-40°=115°.

41.如图，在AJ8C中，ADLBC,4E平分NB/C.

(1)若4。=70°,48=30°,求乙。力七的度数；

(2)若4C-48=30。，求皿烟的度数.

【分析】（1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可；

（2）根据（1）的结论，三角形内角和定理，角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可.

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【解答】解：(1)•"=70。,M=30°,

.•.zZ?JC=180°-70°-30°=80°,

ME平分乙%C,

1

:,乙BAE=cCAE=5284c=40°,

乙

又・；AD工BC,

：々。8=90。,

••2840=90。-48=60。，

・•.4/14七=60。-40°=20°；

(2)由(1)可得，

LDAE=Z.BAD-乙BAE

1

=90°-LB--LBAC

乙

1

=90°~(180°-^5-ZC)

乙

11

=90°-Z-B-90°+-Z-B+TZC

乙乙

1

=5(乙C-乙R)

乙

1

=T乙x30°

=15°.

42.在“8c中，力。是乙比1C的角平分线，4E是△力8c的高线.AD与BE交于点F,过点产作QG|归。交

・4C于点G,连接CK

1

(1)求证：乙DFG=Z.ACB+-Z.BAC,

(2)若乙CAD=^DCF=290,乙产BC=43。，求乙。回。的度数.

【分析】(1)由角平分线定义得到乙D4C=E4历1C,由三角形的外角性质推出乙4。8=乙点?8+5乙山。,

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由平行线的性质推出乙。“6=乙4。4=乙1。4+g乙BAC；

(2)由三角形内角和定理求出乙8pC=108。，由直角三角形的性质求出乙〃^=61。，由对顶角的性质得

到乙班”)=乙4在1=61。，即可求出乙。尸。的度数.

【解答】(1)证明：3。是4历1C的角平分线，

1

'.Z.DAC=3乙BAC,

乙

■:UDB=Z-ACB+^-DAC,

1

：./.ADB=Z.ACB+-Z-BAC,

乙

-FGWBC,

1

:.乙DFG=2DB=2CB乙BAC；

(2)解：•2。。户=29。，乙FBC=430,

.^BFC=180°-29°-43。=108°,

厂是人48。的高，

：&EF=90°,

“O1力=29°,

山产E=90°-29°=61。，

：/BFD=UFE=6\0,

:.(DFC=LBFC-4108°-61°=47°.

43.如图，在△/加C中，4。是△44C的角平分线，点E在边力8上，且不与点44重合，CE与BD交于

点O.

(1)若CE是八48。的高，且乙08c=32。，则480c的度数为°；

(2)若CE是A48C的角平分线，48。。=130。，求41的度数.

【分析】(1)由三角形角平分线的定义得乙E8O=4。4。=32。，由三角形高的定义得乙8£0=9()。，进而

根据三角形外角性质即可求解：

(2)由三角形内角和定理得/O8C+4009=50。，进而由三角形角平分线的定义得乙奶C+乙1。8=

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2〃MC+2乙OC3=10（）。，最后根据三角形内角和定理即可求解.

【解答】解：（1）由条件可知乙£4O=NO4C=32。，

是的高，

：.CE工AB,

••2860=90°,

40C=N8EO+®。=90。+32。=122。，

故答案为：122；

（2）由条件可知〃用C+NOCB=180°-1300=50。，

：BD、CE是△/BC的角平分线，

：.UBC=2乙OBC,UCB=2〃）CB,

:.UBC+41CB=2乙OBC+2乙OCB=2（乙OBC+乙OCB）=2x50°=100°,

.­.zU=180°-（iLABC+，CB）=180°-100°=80°.

44.在418。的。、比1的延长线上任取两点。、E,联结。£

（1）如图1,求证：乙B+乙C=4D+乙E；

（