2024冀教版八年级数学下册第十九章《函数》每节课学案汇编（含五个学案）

19.1常量和变量

一、学习目标

1.通过实例，了解常量和变量的意义，能举出现实中的常量与变量。

2.探索两个数量之间关系和变化规律。

3.体验在一个过程中常量与变量是相对存在的。

重点：常量和变量的概念，

难点：在问题的变化过程中准确的辨别出常量与变量。

二、知识链接

当我们用数学来分析现实世界的各种现象时，会遇到各种各样的最，如物体运动中的速

度、时间和距离；圆的半径、周长和圆周率；购买商品的数量、单价和总价；某城市一天中

各时刻变化着的气温：某段河道一天中时刻变化着的水位……在某一个过程中，有些量固定

不变，有些量不断改变。

人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性），

如：速度、时间、路程、温度、面积、单价等，请你再写出三个

“量"：、、;同时用“数”来表明“量”的大小。

三、自主学习

1、圆的面枳公式为5=〃/，请取厂的一些不同数值，算出相应的S的值：

r=____=>S=____

r=nS=

r==>S—

在计算半径不同的圆的面积的过程中，改变的量是，不变的量是。

2、小亮在智力竞赛时答对了x个问题，得分是lOO+lOx,如果用y（分）代表小亮的得分,

那么y用关于x的代数式表示为y=100+10xo

①根据这个关系式，计算当x取下列数值时对应的y值，并填写下表：

答对题的个数X12345•••

得分y•••

②在y=100+10x中，变化的量是o不变化的量是o

通过以上问题，你和你所在的小组交流一下，能给常量和变量下一个定义吗？

我们小组给常量和变量下的定义是：

常量：。

变量：O

打开课本阅读，看看你们组给出的常量和变量定义和书上给出的定义一致吗？如果不一致,

请找出错误的原因。并请各组说出你对常量和变量等概念理解还有那些迷茫与困惑？

四、合作探究

典型例题1：拖拉机开始工作时，油箱中有40L油，每小时用油4L工作时间为1(h)时油箱

中剩余油量y(L)的情况如下表所示.

工作时间t(h)012345•••10

剩余油量y(L)403632282420•••0

在这个变化过程中，写出剩余油量y(L)和工作时间t(h)的关系式。哪些是变量?哪些是常量?

五、巩固练习

4

1、在球的体积公式V=-7TR3,下列说法正确的是()

3

4

A.V,兀，*是变量，要为常量B.V,R为变量，一，兀为常量

3

44

C.R为变量，一，兀，V为常量D.V为变量，一，Ji,R为常量

33

2、给定了火车的速度v=60km/h,要研究火车运行的路程S(m)与时间t(h)之间的关系，在这

个问题中，常量是,变量是;若给定路程S=100km,要研究速度v(km/h)

与时间t(h)之间的关系，在这个问题中，常量是,变量是：由这两个问题可

知，常量与变量是的。

注意：①常量和变量是对某一变化过程来说，不是绝对而是相对的。②常量不一定是具体

的数，也可能是用字母表示的(比如兀)。

六、当堂检测

1、指出下列问题中，哪些量是变量，哪些是量是常量.

(1)假设钟点工的工作标准为6元/时，工作时间为t(时)，应得工资为m(元).

⑵某运动员在400m跑道上训练，他跑一圈所用的时间为t(s),速度为v(m/s).

2、写出下列各问题的关系式中的常量与变量.

(1)等腰三角形的顶角y与底角x之间的关系式：y=180-2x.

I

(2)某地温度T(℃)与海拔高度h(m)之间的关系式，可用T=10-画来近似估计.

19.2.1函数的相关概念

学习目标：

1.结合丰富的实例，在具体的情境中了解自变量与函数的意义。

2.初步了解数值表、图像、表达式这三种函数的表示方法。

一.知识链接：

一种杂志每册定价5.5元，买3册应付款元；买5册应付款

元；如果买x册，应付款y元，那么y用关于x的代数式表示为丫=

二.自主学习(阅读课本完成下列问题)

1.下表是某自动售货机上半年的纯收入情况：

月份n1月2月3月4月5月6月

纯收入S/元456047904430420048704730

在这个问题中，出现了个变量，一个是,另一个是。给定月份的一个值，

就能相应地确定纯收入的个值，因此我们称是的函数，其中是自

变量。

在这个问题中，出现了个变量，一个是,另一个是。给定时间的一个值，

就能相应地确定气温的个值，因此我们称是的函数，其中是自变

量。

总结：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y,如果给定x的一个值，就能

相应地确定y的个值，那么我们就说是的函数，一叫做自变量.

三.合作探究：

折纸游戏：将一张纸连续对折，并数出每次对折后纸的层数，填在下面的表格中:

对折的次数n1234...

对折后的层数p...

(1)由表格可得的:用n表示p的关系式是

⑵在这个问题中变量是和，当n变化时，p也相应地变化、并且

给定n的一个值，就能相应地确定p的个值，因此我们称一是一的函数，其中

是自变量，

总结：函数的三种表示方法是、和.

四.巩固训练：

I.下表给出了某年4月24日至5月7日两周时间内某种疫情的数据：

日期4月24日4月25日4月26日4月27日4月28日4月29日4月30日

新增病例125180154161203202166

日期5月1日5月2日5月3H5月4日5月5日5月6日5月7日

新增病例187176181163160138159

表中反映的两个量之间是否具有函数关系?如果具有函数关系，那么我们可将其中哪个变量

看做另一个变量的函数？

2.一列火车，以l90km/h的速度从A地开往B地，请写出行驶的路程与行驶的时间之间的

关系式，并指出其中哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数.

五.当堂检测：

1.下列关于变量x,y的关系式：①y=2x+3：②丫=炉+3；③y=2|乂；④y=±五；⑤

丫2-31二10,其中表示丫是x的函数关系的是.

2.已知函数丫=笺孑

⑴求当x=2,3,-3时，函数的值；

⑵求当x取什么值时，函数的值为0.

19.2.2自变量的取值范围

学习目标：

1.进一步理解掌握确定函数关系式.

2.会确定自变量取值范围.

一.知识链接：

1.前面讲到的“自动售货机1月~6月的每月纯收入S（元）是月份n的函数”，其中自变量n可

取哪些值?当n=1.5或n=7时，原问题有意义吗？

2.“折纸的层数p是折纸次数n的函数”，其中自变最n可取哪些值?当n=0.5时，原问题有没

有意义？

二.自主学习（阅读课本完成下列问题）

求下列困数自变量x的取值范围：

①产2x+l,所以自变量x的取值范围是.

温馨提示：由于该函数表达式是关于自变量x的整式，无论自变量x取正数、“（）”还是负数

都能使该表达式有意义。

②y=_L,所以自变量x的取值范围是.

X

温馨提示：由于该函数表达式是关于自变量X的分式，要使分式有意义，需分母,

即XO

③丫=Jx-l,所以自变量X的取值范围为.

温馨提示：由于该函数表达式是关于自变量X的二次根式，要使二次根式有意义，必须保证

被开方数，即.

三.合作探究：

阅读课本p42例题，回答下面的问题，体会实际问题中如何确定自变量的取值范围.

1.因为aABC是等腰直角三角形,所以乙BAC=；因为四边形MNPQ是正方形、所以

ZQMA=所以重叠部分是一个___________三角形。

2.开始时A点与M点重合，此时x=cm;结束时A点与N点重合，此时x=cm.因

此自变量x的取值范围是。

3.由MA=xcm,则重叠部分的面积等于多少？

小结：函数自变量的取值范围有两个条件所确定，一是,

二是O

四.巩固训练:

1.求下列函数自变显的取值范围:

2

(1)y=2x2+7⑵kE

2.写出下列问题中的函数关系式及自变量的取值范围:

(I)某市民用电费标准为0.52元/千瓦时，求电费y(元)与用电量x(千瓦时)的函数关系式.

(2)已知一等腰三角形的面积为20cm2.设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)与x的

函数关系式.

3.为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时,

水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费.该市某户居民5月份用水x

吨，应交水费y元，求x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数?

五.当堂检测：

1.求下列函数自变量的取值范围：

(1)y=2x-5(2)y=——-(3)y=(4)y=Jx-2-Jx+3

2.一辆长途汽车，以60km/h的平均速度，从甲地驶往相距270km的乙地、求汽车距乙地

的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式，并指出自变量的取值范围.

19.3函数的表示

学习目标：

1.了解函数的三种表示方法及其优点。

2.会用描点法画简单的函数图象。

3.从函数图象中获取信息，解决实际问题。

一.知识链接：

I.求下列函数中自变量x的取值范围

（1）y=-2x（2）y=—5—（3）y=y/x-l

2x-\

2.函数的三种表示方法分别是、____________和。

二,自主学习（阅读课本完成下列问题）

声音在空气中传播的速度（简称声速）随气温的变化而变化。某研究者通过实验得到了

这样一些关于气温x（C）与声速y（m/s）对应的数据：

xrc-10-505101520

y/(m/s)325328331334337340343

这是用数值表的形式来表达声速y与气温x之间的函数关系.（表格法）

1.以横轴表示气温，每5℃为一个单位长度，纵轴表示声速，每100m/s为一个单位长度，建

立直角坐标系，以表格中给出的气温和声速的数值为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中

描点，连线（用平滑的曲线连点），画出图形.（图像法）

2.观察表格中数值可以看出，气温每升高（或降低）,对应的声速增加（或减少）

也就是说气温每升高（或降低）1℃,对应的声速增加（或减少）。而x=0时，产.

这样，声速y（m/s）和气温x（C）之间的函数关系式为.（表达式法）

归纳总结：I.数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出

、和的特点.

3.一般地，我们把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点,

在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的.

三.合作探究：（画函数图像的一般步骤）

在直角坐标系中，画出函数y=2上+1的图像：

解：（1）。根据函数表达式，取自变量的一些值，得到函数的对应值，按这些对应值

列表:

X-2-i0i2

y

（2）。根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点。

（3）.用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图像，如下图。

四、巩固训练:

1.用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根，显示器显示的结果随输入数的变化而

变化，设输入的数为X,显示的结果为y,程序如图所示.

(1)请写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围,

(2)根据函数关系式,，填写表格：

X014916

y

(3)借助这些对应的数值画出这个函数的图像。

2.小明所在学校与家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停

留1()分钟，继续骑了5分钟到家.如图，能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所

用时间t(分)之间的关系图象的是()

五.当堂检测：

某菜市场西红柿标价是2元/千克,购买xkg西红柿，应付费y元.

⑴写出y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围.

(2)请画出这个函数的图像.

19.4函数的初步应用

学习目标：

1.能够从函数的各种表示方法中