2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷02【江西专用测试范围：北师大版九年级上册全部内容+九年级下册前二章内容】（全解全析）

九年级数学上学期期末模拟卷02（江西专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.【回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题尸上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版九上全部内容+九下前二章内容。

5.难度系数：0.65。

第一部分（选择题共18分）

一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.下列函数是反比例函数的是（）

A.HB.^=1C.y=/D.中川

【答案】D

【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的表达式形式（形如J，=±（%为常

x

数且”工0）,或等价形式中=女）.

根据反比例函数的定义，逐一判断各选项的函数形式是否符合反比例函数的表达式.

【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，此选项不符合题意；

B、：=1整理得y=x,是正比例函数，不是反比例函数，此选项不符合题意；

c、歹=/是二次函数，不是反比冽函数，此选项不符合题意；

D、xy=l整理得_＞，=」，符合反比例函数歹二与（4=1=（））的形式，是反比例函数，此选项符合题意.

XX

故选:D.

2.古代粮仓等必备的粮食量器——米斗，因陶渊明“不为五斗米折腰”的典故而广为人知.如图1,这是一

种无盖米斗，其示意图（不计厚度）如图2所示，则其俯视图是（）

图1图2

【答案】A

【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键.

根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图.

【详解】解：••・米斗的示意图如图所示，

••・米斗的俯视图为

3.己知p,夕是方程fl5=0的两个实数根，则0+9+网的值是（）

A.-6B.6C.-4D.4

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若与，/为方程。/+版+。=0色。0）的两个根，则占,

I）c

X,与系数的关系式：X]+X,=-,=一.

aa

利用一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后代入表达式计算.

【详解】解：•••〃，g是方程x2+x-5=0的实数根，

〃+4=了=-1,%=-5,

p+q+pg=-1+（-5）=-6.

故选:A.

4.如图，在5x5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△48C的三个顶点都在网格线的交点上,

则tan/4〃C的值为（）

3710

C.3D.

10103

【答案】D

【分析】连接3力,力。，格点正方形的边长为1,根据题意，得力。=1,80=3,且故4。8=90。，根据正

切函数的定义，解答即可.本题考查了正切函数的计算.

【详解】解：连接8。〃。，格点正方形的边长为1,根据题意，得4）=1,BD=3,且故408=90。,

BD3

故选：D.

5.如图，一次困数ysF+hx+c的图像与x轴相交于“（-5,0）,8两点，对称轴是直线工=-1，下列说法

正确的是（）

A.a<0

B.当时，y的值随x值的增大而减小

C.点8的坐标为（2,0）

D.4a-2b+c>0

【答案】C

【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与。的关系、函数值的变

化规律”是解题的关键.

【详解】A.二次函数图像开口向上，故。>0,A错误；

B.对称轴为工=-93图像开3口向上，当x>-：时，歹随力增大而增大，B错误：

22

C.抛物线与工轴的两个交点关于对称轴对称，设8(x,0),则与二一与解得》=2,故8(2,0),C正确;

D.4Q—28+C对应X=一2时的函数值，由图像可知x=-2在对称轴左侧，此时y<0,故4o—2b+c<0,D

错误.

故选：C.

AF3

6.如图，四边形48CO是正方形，以力8为斜边在右侧作RtzUEB,使得=90。且钎,在力。的

HE4

1

使得八V,连接防、CE,EF交8于点H,则无的值为(

36D

~17~17-f

【分析】过点£作用必_14。于点"，交.BC于N,则N4MN=/EWN=90°,则四边形力MN8为矩形，设

4E=3,BE=4,则/仍=5=4O=8C,证明，则可设4M=3x,£M=3y,则

4

x=­

3v+4x=5591612

EN=4x,BN=4y,那么得到；’,解得《：，则£M=—,EN=—,AM=BN=一,

3x=4y3555

CN=DM=BC-BN*,由勾股定理求解CE=J万，再由勾股定理求解比7=JEM，+时尸=,石,可得

△FDHs/\FME,即可求解.

【详解】解：过点E作£W_L力。于点M,交8c于N,则乙4MN=ZFMN=90。

・••I四边形48CQ是正方形，

...AB=AD=BJBAD=/ABC=90°

四边形4MN8为矩形，

:.AB=MN,AM=BN,ZENB=90°

AE3

/AEB=90°H.—=T,

BE4

.•.设4E=3,8E=4,

则由勾股定理得AB=5=AD=BC，

•••/AEB=/AME=/ENB=90°

.•.Zl=Z2=90°-Z3,

:.^AMESAENB,

AM=EM=AE=3

设,则£N=4x,4N=4y

3y+4x=5

.•.由==得到＜',

3x=4y

4

x=—

解得j，

e,916

EM=—,EN=—,

55

:.AM=BN

5

：.CN=DM=BC-BN=5--=—

55

-CE=y/EN2+CN2=V17

­.DF=-AB,

5

...DF=\,

=+=—+1=—,

55

i---------7g/-

EF=个EM'+MF2=-V5,

5

•：MNVADyCDVAD,

：.〉FDHs^FME,

FHFD5

—x-V5=—

1852

立L

：.HF2一病,

CF=T17=^4-

故选：D.

第二部分（非选择题共102分）

二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）

_廿.aba+2b

7.若；=彳，则-----=_____.

23a

【答案】4

【分析】本题考查比例的计算，掌握知识点是解题的关键.

由已知比例关系?=可推导出的值，然后代人所求表达式土卫进行简化计算.

23aa

【详解】解：由］=g，得

367=2/7,即2=3.

a2

.a+2ba2b,、b,、3,_

则-----=—+—=l+2x—=l+2x—=1+3=4.4

aaaa2

故答案为：4.

8.如图，拦水坝的横断面为梯形48cO,AD=4m,坝高4尸=DE=6m,背水坡的坡比i=1:1.5,迎

水坡C。的坡比，=1：3,则8c的长为m.

4m

【答案】31

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形力。即是矩形，则

可得到Eb=4O=4m,再解直角三角形求出CE的长，进而可求出AC的长.

【详解】解：由题意得，AD//BC,AFLBC,DELBC,

AF1AD,

四边形力。£产是矩形，

•0.EF—AD—4m.

•.•背水坡48的坡比i=1:1.5,迎水坡CO的坡比了=1:3,

AF1DE1

：・"="""=一9

BF1.5CE3

vAF=DE=6m,

BF=9m,CE=18m,

.'.BC=BF+EF，+CE=3\m,

故答案为：31.

9.小明家的客厅有一张直径为L4m,高0.8m的圆桌BC,在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影

子为DE.如图，根据题意，以1m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点。的坐标为（2,0）,

则点E的坐标是

【答案】（4.1,0）

【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标确定，正确的识别

图形是解题的关犍.先根据圆桌与影子的平行关系，判定三角形相似；再利用相似三角形的对应边成比例,

计算出影子的长度：最后结合已知点的坐标，确定目标点的坐标.

【详解】解：••・5C〃。石，

"ABC=Ng乙MB=/他.

/.A/lBCs△力DE,

.BC2.4-0.8

'~DE~2.4'

BC=1.4m,

DE=2.Im,

•••点D的坐标为（2,0）,

OD=2m,

.•.OE=2+2.1=4.1m

.•・£（4.1,0）.

故答案为：（4.1,0）.

10.如图，在函数必=2（x<0）和%=k（x>0）的图象上，分别有力、B两点,若力8〃x轴，交y轴于点

xx

C,旦O/U现6少〃=1,,乙/=4,则线段小的长度=

【答案】5

【分析】本题考查了反比例函数J=月伍工0）系数左的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函

x

数图象上点的坐标特征.先根据“wc=l,S-=4,求出K=-2,h=8,设6点坐标为停,，。>0）,

2

则可表示出力点坐标为然后证明放△/OCsR/aOBC,得到要=工，即!=工，解得，=2,

\tJoCC/C£t

再确定力、8点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长.

【详解】解：S.BOC=4,

・［同=1,3网=4,

尢=一2,七=8,

•••两反比例解析式为y=--，y=2,

设5点坐标为

•••力8〃戈轴，

•••4点的纵坐标为t,/4C。=90。，

22

把广，代入y=得

xt

•••4点坐标为

•：OA1OB,

.•.440。+/80(2=90°,

•.NO8C+/8OC=90°,

；ZOC=NOBC,

.—OCsRt/XOBC,

2

OCACHrl/7

BCOC8t

•••z=2,

・•/点坐标为(-L2),8点坐标为(4,2),

•••线段48的长度4-(-1)=5.

故答案为：5.

11.已知点力(不必)在抛物线了二—一+2%上，点8(/+”1+功在抛物线旷=-/+4工上，若再="1,则

h的最大值为.

【答案】y/3j

【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握配方法是解题的关键.

根据点力和点8在抛物线上的条件，结合演=/-1,推导出方关于X1的二次函数表达式，利用二次函数最大

值求解.

【详解】由点/在抛物线＞=一丁+2%上，得M=r；+2z，

由点B在抛物线y=-/+4》上，

来）‘乂+/?=—（/+Z）+4（*]+/）=-x；—+4£—广+4/«

—x；+2,V1+h=-x；—2txi+4X|—r+4/,

则力=-(2/-2)*-r+4f,

又•.•西=-l,

.*./?=-(2/-2)x,-r2+4/=-(2/-2)(r-l)-/2+4z=-3r2+8r-2

410

所以当Z=々时，力的最大值为三；

JJ

故答案为：y.

12.如图是一张长方形纸片NBC。，已知力8=9,AD=7,E为4B上一点、,AE=6,现要剪下一张以4£

为一边的等腰三角形纸片（△力EQ），且使点P落在长方形/4C。的某一条边上，则等腰三角形力£尸的底边

长是.

【答案】6或或6石

【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，由矩形的性质可得乙4=/8=90。，结合

等腰三角形的性质分三种情况计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解

此题的关键.

【详解】解：由矩形的性质可得：4=4=90。,

如图，/E的垂直平分线交。f点尸，

此时△力即为等腰三角形，底边为力后=6；

如图，以点力为圆心，以6为半径画弧交4）于点P,

此时△力叱为等腰三角形，底边为PE=0AE2+AP2=6五;

如图，以点E为圆心，以6为半径回弧交8C于点/>,

•••BP=y/PE2-BE2=373，

•••底边AP=LB、BP?=65A:

综上所述：等腰三角形4E尸的底边长是6或6a或6石，

故答案为：6或6夜或6G.

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理)

13.(1)计算：V4-2sin600.

(2)如图，在菱形如火?。中，对角线相交于点。，DE!/AC,AE//BD.求证：四边形力OQE是

矩形.

众一

【答案】(1)心(2)见解析

【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、菱形的性质、矩形的判定，熟练掌握相关知

识点是解题的关键.

(1)先代入特殊角的三角函数值，再利用算术平方根、负整数指数幕的性质化简，最后合并即可；

(2)利用菱形的性质和矩形的判定即可证明.

【详解】(1)解：原式=2-2-2x且

2

=2-2-73

=">/3.

(2)证明：•/DE//AC,AE//BD,

四边形七是平行四边形，

••.在菱形48c。中，AC1BD,

:.^AOD=900,

二•平行四边形石是矩形.

14.近年来，漳州充分挖掘漳州非遗文化，不断推陈出新，着力打造文化旅游“金字招牌”，将文化底蕴和流

行时尚元素融合，设计出了众多的爆款文创产品.小华在漳州旅游时购买了四件文创产品：，4.木版年画,

B.漳浦剪纸，C.棉花画，D.八宝印泥.她让好友晶晶和萱萱分别选一件作为礼物.晶晶和萱萱不知

如何选择，于是决定抓阉：将四张完全一样的纸片分别写上力、B、C、。，折叠成外表完全一样的纸团搅匀，

晶晶先从这4个纸团中随机抽取一个，搅匀后，萱萱再从剩下的3个纸团中随机抽取一个.

A.木版年画B.漳浦剪纸C.棉花画D.八宝印泥

(1)晶晶抽到棉花画的概率是;

(2)利用画树状图或列表法求晶晶和萱萱有一人抽到木版年画的概率.

【答案】(1寸

国

【分析】本题考查了利用画树状图或列表法求随机事件的概率，正确列表或树状图是解题的关键.

⑴共有四件文创产品，晶晶抽到棉花画的概率即为卜

(2)利用列表法把所有可能出现的结果列举出来，进而求出晶晶和萱萱有一人抽到木版年画的概率.

【详解】⑴解：共有四件文创产品，晶晶抽到棉花画的概率即为“

（2）解：根据题意列表，所有可能出现的结果如下:

ABCD

A(BM)(J)(ZMj

B（48）S)①⑶

C(4C)(“)(“)

D（4。）(B,D)(CD)

共有12种可能出现的结果，每种情况可能性相等，其中晶晶和萱萱有一人抽到抽到木版年画，即包括力的

结果有6种，所以晶晶和萱萱有一人抽到木版年画的概率为

122

15.关于x的方程d+2x-k=0有两个实数根不，x2.

（1）求R的取值范围：

（2）若4（七+占）=-3-王》2，求〃的值.

【答案】（1））之-1

（2）1

【分析】本题主要考查了一兀二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一兀二次方程和解一兀一次不

等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的性质是解决此题的关键.

（1）利用一元二次方程的根的判别式即可求解；

（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得玉+、2=-2,』、2=",再代入计算即可求解.

【详解】（1）解：•••方程/+2x-k=0有两个实数根不，w，

,,A=22-4xlx（-jt）>0,

解得：Ar>-1;

（2）解:•.•方程/+2%-％=0有两个实数根%，々，

xi+x2=-2,X内=-k,

k[xt+x2)=-3-x1x2,

-2k=—3—（—k）,

解得：k=l.

16.如图是8x6的正方形网格，已知△/以?,请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法

和结论）

（1）在图中，仅用无刻度直尺在线段力。上找一点"，使得票=4；

（2）在图中，以-4为公共角，仅用无刻度直尺在线段44、8C上分别找一点尸、0,使△6P。与△历1C相似

但不全等.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了格点作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等的判定，根据

相关知识点正确作图是解题关键.

（1）取格点E、F,连接石尸，E尸与力C「点用，利用相似三角形的判定和性质证明即可；

（2）取格点G、连接4G、G。，G。与力〃的交点为点尸，根据平行四边形的性质和相似三角形的判

定和性质证明即可.

【详解】（1）解：如图，取格点£、F,连接防，EF与AC交于点、M,

设正方形网格的边长为1,则［E=2,CF=3,

vAE//BF,

:."EMSACFM,

AMAE2

---=——=-,

MCCF3

・••点M为所求作;

（2）解：如图，取格点G、Q,连接/1G、GQ,G。与力6的交点为点P,

则四边形XGOC是平行四边形,

，AC//GQ,

：HBPQSABAC,

•;BQ<BC,

「.△BP。与△历1C不全等,

..・点。和点。为所求作.

17.如图，点力是反比例函数y=&（A>0）的图象上的一点，连接。4在。4的右下方构造正方形4080,连

x

接"，延长40,与x轴交于点C,点。的坐标为（£,（）｝且8:4。=1:2.

B

⑴求A的值；

（2）求直线48的解析式.

【答案】（1）6

（2）y=-5x+13

【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上的点的特点，勾股定理，待定系数法求一次函

数解析式，解本题的关键是用方程的思想解决问题.

（1）过点/作力Nix轴「点N,殳8=。，则40=2*AC=3a,AO=AD=2a,在Ra/。。中,

OA2+AC2=OC2,求出。的值，力等面枳法求出点力的坐标，即可求出左的值：

（2）过点B作5及Lx轴于点E,证明△/QV/A08E,求出点3的坐标,由待定系数法即可求出直线为8

的解析式.

【详解】（1）解：如图，过点4作/V_Lx轴于点N.

AC=3a,AO=AD=2a.

•・•点C的坐标为

oc=—.

2

在RJ/IOC中，OA2+AC2=OC2,

.-.（2a）2+（3a）2=f^Y,解得〃=巫（负值舍去）.

V2/2

:.OA=拒,AC=^~.

2

-S^AOC=^ANOC=^OAAC,

OAAC

AN=----------^~=3.

OC

2

ON=>IOA2-AN2=^(Vl3)2-32=2.

•••点力的坐标为（2,3）.

Zr=2x3=6.

4BOE+NOBE=%c.

又NBOE+乙4ON=900,

/OBE=々AON.

又，：AO=BO,

.・・△.4ON%O8E（AAS）.

：.0E=AN=3,BE=ON=2.

.••点8的坐标为（3,-2）.

设直线相的关系式为y=+

・・•点N（2,3）,8（3,-2）在直线43上,

[3=2k+h[k=-5

••i㈠/解得，

-2=5k+b[o=13

・••直线AB的解析式为y=-5x+13.

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理）

18.如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆48,C。垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆

位置，使它们在该路灯下的影子6£，恰好在一条直线上.

A・・・・...・・・・・.

EBDF

（1）请在图中画出路灯灯泡P的位置；

（2）哥哥和弟弟测得如下数据：45=。。=1.6米，=1米，。尸=2米，两根标杆的距离为3.6米.请你根

据以上信息：

①求△HC与四边形4EFC的面积比.

②求灯泡P距离地面的高度.

【答案】（I）作图见解析

⑵①36:85；②3.52米

【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练掌握中心投影的

定义，相似三角形判定与性质解题关键.

（1）连接尸C、4并延长，相交于点户，则点P即是灯泡的位置；

（2）①先证明四边形N8QC是矩形，得出4c=80=3.6,证明△尸/fs△尸石8,得出相似比,

再利用相似三角形的性质即可求解；

F45

②过P作PH工EF,则P”即是灯泡P距离地面的高度，利用△HCS/\PK8,得出；二二百，再证明

AEABS^EPH,利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】（1）解：如图所示，连接尸c、E4并延长，相交于点尸，

P4

/'、、、

/'、、

/'、、

A/_I*

___LX

EBDF

则点尸即是灯泡的位置；

（2）解：@vABA.EF,CD1EF,

.­.AB//CD,

•••48=CO=1.6米，

四边形48。。是平行四边形，

•••ABLEF,

•••四边形49CQ是矩形，

AC||EF,AC=BD=3.6,

:.APACS^PEF,

vEF=BE+BD+DF=l+3.6+2=6.6（米），

••选似比为/=3.6:6.6=6:11,

：•SAPAC-SNPEF=36:121,

S"AC:S四边形.FC=36:85；

②如图，过P作尸，则尸，即是灯泡P距离地面的高度,

，：APACS^PEF,

・P・.A=AC=6—j

PEEF11

EA5

・•・---一-，

PE11

vPH±EF,ABIEF,

AB//PH,

：.AEABs4EPH•

EAAB5

,~EP~~PH~U'

1.65

•，---=--,

PH11

解得：777=3.52（米），

答：灯泡尸距离地面的高度是3.52米.

19.随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流.某种手机支架如图1所示，立

杆44垂直于地面，其高为115cm.8。为支杆，它可绕点8旋转，其中长为30cm,CZ）为悬杆，滑动悬杆

可调节CO的长度.（参考数据：sin53n«0.80,cos53n«0.60,tan53"«1.33）

（1）如图2,当8、C、。三点共线：CD=40cm时，且支杆8C与立杆4?之间的夹角/力AC为53。，求端点

。距离地面的高度；

（2）调节支杆4C,悬杆C。，使得乙48。=60。,/8。。=97。，如图3所示，且点。到地面的距离为148cm,

求CO的长.（结果精确到1cm）

【答案】（l）73cm

（2）60cm

【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键.

（1）如图所示，过点。作跖_L,4/L过点B作BE工EF于点、E,则E/7=48=115cm,由题意得到

nF

BD=BC+CD=30+40=70cm,ZBDE=^ABC=53°,在RtZk8Z）E中，co%ZBDE=cos53°=—,可得

BD

OEe42cm,再根据。〃=£1尸一。石，即可求解；

（2）如图所示，过点。作。G_L/1G,过点。作K〃_LQG,交AB,DG于点、K,H,则

8K=：8C=jx30=l5cm,4K=G〃=48-8K=115-15=100cm,。"=OG-G"=148-100=48cm,在

RtMQH中,由sin/QC〃=sin53o=也，即可求解.

X--1-7

【详解】（1）解：如图所示，过点D作EF工/尸,过点B作8EJ.EF于点E,则七/=/B=U5cm,

vCD=40cm,AB=115cm,BC=30cm,

:.8D=8C+CO=30+40=70cmzBOE=/ABC=53°,

DE

在RtA5D£中，cos/BDE=cos53°=--,

BD

DE=BD-cos53°«70x0.60=42cm,

/.£)F=EF-Z)£=115-42=73cm,

••・端点D距离地面的高度为73cm；

(2)解：如图所示，过点。作QG_L4G,过点C作K//JLOG,交力氏OG于点K,H,

vZ45C=60°,5C=30cm,

BK।

:.Z.BCK-30°,cos/B-cos60°=---=—,

BC2

/.^=-5C=-x30=15cm,

22

AK=GH=AB-BK=\\5-\5=,

vDG=148cin,

.•.Q"=OG-G〃=148-100=48cm,

v/BCD=97°,

ZDCH=180°-/BCD-NBCK=53°，

在RtZ\CQH中，sin/QC〃=sin530=翳,

PH48

CD==60cm.

sin53°0^80

20.当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上

升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是

25元时，每天的销售量是25()本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利

润不低于10元且不高于18元.

(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变最的

取值范围：

(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？

(3)书店决定每销售I本该科幻小说，就捐赠《6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为

1960元，求。的值.

【答案】(l)y=-10x+500(30KxK38)

(2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为225()元

(3)2

【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解

题的关键.

(1)根据题意列函数关系式即可；

(2)设可获得利润为w元.根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可；

(3)设每天扣除捐赠后可获得利润为郎元.列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当x=35+；a时,

力取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为I960元，列出方程即可求解.

【详解】(1)解：•••书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20兀，

.-.30<x<38

根据题意得：^=250-10(x-25)=-10x+500(30^x<38)；

(2)解：设可获得利润为卬元.

VV=(X-20)(-10X+500)=-10(X-35)2+2250,

.•.当x=35时，w取得最大值，最大值为2250,

答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元;

(3)解：设每天扣除捐赠后可获得利润为力元.

W=(x-2()—a)(―1()x+500)=-10x2+(10a+700)x-500a-10000(30<x<38)

•••该函数图象的对称轴为x=35+],

v0<«<6,

•*.35<35H—a438,

2

v-l0<0,

.•.当x=35+；q时，田取得最大值，

...(35+$-20-a)[-10(35+gq)+500=1960,

二4=2,4=58(不合题意舍去)，

.,.a=2.

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理)

21.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察猜想】

(1)如图h在矩形4?。。中，AD=1,CO=4,点E是力。上的一点，连接C£,BD,且CE1BD,pllj—

BD

的值为二

【类比探究】

(2)如图2,在四边形力8c。中，ZJ=Z5=90°,点、E为力B上一点,连接。E,过点。作。E的垂线交E。

的延长线于点G,交力。的延长线于点R求证：DEAB=CFAD.

【拓展延伸】

（3）如图3,在RtZk/14。中，/。4。=90。，/。=9,tanZJM=1,将△力8。沿4。翻折，点力落在点C

DF

处得△C8。，点£,F分别在边4。上，连接CF,DE1CF.求二的值.

CF

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

（1）证明△COEsg/8后即可求解；

（2）过点。作C77147"交力b的延长线于点“，证明△OEXSACF”后即可求证；

（3）过点。作CG_L4Q于点G,连接力C交8。于点〃，CG与OE相交于点。，证明△。£46式；6尸，得到

,o,—

/8=3,由三角函数设加/=。，则Z）〃=3a,由勾股定理可得力+（3。）=92,得到加7二历50,

DH,力。=24〃=?而，利用面积法可得CG=5,即可求解.

1V/，J

【详解】解：（1）设DB与CE交于点G,

•••四边形/8c力是矩形,

.-.zS4=Z£DC=90o,

•••CE1BD,

ZDGC=90°,

.•.NCQG+NEC。=90。，N4DB+NCDG=90°,

NECD=/.BAD,

•；Z.CDE=ZJ,

:.ACDES^DAB,

CECD4

•**==一,

DBDA7

即空，，

BD7

4

故答案为：y;

(2)如图，过点。作C〃_L4/交力厂的延长线于点〃,

NG=/〃=//==90°,

••・四边形48C”为矩形，

/.AB=CH,NFCH+NCFH=NDFG+NFDG=9/,

£DFG=ZCFH,

AFCH=4FDG=NADE,

:.^DEAS£FH,

.DEDA

,,~CF~~CH'

.DEAD

"谦一IF'

即O£Y8=3-4。；

(3)如图所示，过点C作CGL4D」•点G,连接AC交BDf点H,CG与QE相交于点O,

GCLAD,

/.AFCG十/CFG=々CFG+AADE=90°,

，FCG=NADE,NBAD=NCGF=90°,

:.^DEASACGF,

DEAD

..=,

CFCG

在Rta/QH中，tanZJD/7=-,

3

AH1

——=-,

Dll3

设AH=a,

则0"=3。，

-AH2+DH2=AD2^

a2+(3«)2=92,

而(负值舍去)，

:.AH=2如,Z)H=—Vio,

1010

AC=2AH=-41Q,

5

•••S.=-ACDH=-ADCG,

4DnCr22

-x-VTOx—Vio=-x9xCG,

25102

27

CG=——，

DEAD95

•■­CF-CG"27"3.

T

22.如图，抛物线尸加_|G+C经过点力(fl),4(),一|

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若。(0,小)是y轴正半轴上的一点，且加＞1,将点力绕点C逆时针旋转90。得到点O,且点。在该抛物

线上.

①求点D的坐标；

②连接C4并延长交x轴于点E,作E尸_Lx轴交该抛物线于点凡若点产与点。间的抛物线上有一点G,

当点G到直线的距离最大时，求点G的坐标.

【答案】（1犷=》2-$-；

⑵①。（2,2）：②6（盘-（）

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）①由旋转90。可构造一线三垂直，证全等，从而将。坐标用/〃表示出来，再代入二次函数表达式即可

得解；

②在函数中求斜线的最值问题，首先考虑化斜为直，所以过G作GM_L/。于点M,作GA〃y轴交/。于点

J,过4作力K〃x轴，过。作轴，两口线交于点K,其中G/交4K于点P,证AGM/S"心，将G”

长度转化为竖直高GJ的长度，进而求解即可.

【详解】⑴解：将力（-1,1）,川0,-代入产尔_：G+C得，

2,

a+-a+c=1

3

,2'

c=——

3

a=1

解得2,

c=—

3

（2）解：①如图，过。作G〃〃x轴，过力作力G_LG〃于点G,过。作。〃_LG〃于点”,

。（0,加）,

j.AG=m—\»CG=1,

ZACD=90°,

ZACG=NCDH=900-NDCH,

'：AC=CD,NG=N，=90。，

.,.△/CG&△C'O"（AAS）,

:.DH=CG=\,CH=4G=m—l,

•••点。在该抛物线上，

w-1=（7??-1）2»

2

解得〃？=§或m=3,

m>\,

m=3,

.•・。（2,2）；

②如图，过G作GW_L/0于点M,作GL〃1y轴交4D于点/过力作NK〃x轴，过。作轴，两

直线交于点K,其中G/交力Kr点?，

由①知加=3,

/.C（0,3）,

设直线AC解析式为》=去+随将/!和C代入得,

b=3优=2

,,,.，解得匕二，

-k+b=1（b=3

直线/c解析式为y=2x+3,

3

令了=0得x=2,

14

同理可得直线4)解析式为y=-A+y,

设一■!/〃_：),则+g,

…14/222、2r

GJ=-m-\---〃厂m=-nr+〃？+2,

33133)

。(2,2)

•••4K=3,DK=\,

：.AD=>1AK2+DK2=Vio,

•••4MG=N4PG=9(T,

ZDAK=ZMGJ,

•.•£GMJ=^AKD=90'，

△GM/S"K。,

GMAK3710

"~G7~^4D~10

,G八亚(一/+2)=一题诬，

10v710L2)40

当阳=g时，G"由最大值，

223

此时〃12—m—=—,

334

.rfl3)

U，4)-

六、(本大题共12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步理)

23.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形.

(1)互补四边形49CO中，若N4:NC:NO=2:3:4,求/Z的度数：

(2)如图1,在四边形/8CO中，BD平分/ABC,AD=CD,BC>BA.求证：四边形//CO是互补四边形;

(3)如图2,互补四边形44C3中，NB=ND=90。，AB=AD=2后，点、E,产分别是边AC,CO的动点，

且N"产二g/84Q=6()。，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由；

(4)如图3,互补四边形川肥。中，ZJ=ZC=90°,AB=BC,/4=15()。，将纸片先沿直线8D对折，再将

对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2

的平行四边形，求C。的长.

【答案】⑴4=90。；

(2)证明见解析:

(3)ACE尸周长不变，周长为12；

(4)8的长为2+道或4+2万.

【分析】(1)由定义可得/3+/。=180。，设N8=2x,ZC=3x,Z£)=4x,解方程2x+4x=180。后即可

求出//的度数：

⑵在4。上取=连接利用“边角边”证明△/8。知£8。，由全等三角形的性质得

NBAD=NBED,力。=，再由等量代换、等边对等角得出NQEC=/。底，根据NO£C+=180。

即可证四边形ABCD是互补四边形；

(3)延长CD使DG=BE,连接4G、AC,利用“边角边"证明"OGAWBE,由全等三角形的性质得

AG=AE,/D4G=/氏4£,可证NE4尸=/64尸，再利用“边角边”证明妾△G4/"再结合全等三角形

的性质得E/=。/+6E,即JCM=OC+SC,证明M△力。C立即后，结合全等三角形性质、含30。的

直角三角形特征、勾股定理得到4C=240=46，DC7AC2-AD?=6即可得到△仁£尸