2025-2026学年高一数学上学期期末复习（压轴90题18类题型专练）解析版

高一数学上学期期末复习真题精选（压轴90题18类题型专练）

1.（24・25高一上•江西景德镇•期末）已知全集（7=口,2,3,4,5},集合/={1,2,4）4={2,345},则下列错误

的是（）

A.CuAQBB.（GM）n（c*）H0

C.AUB=UD.04n8）£（4UB）

【答案】B

【解题思路】先由补集、交集和并集定义依次求出6力、QB、4门8和41；8,再由子集定义结合交集和并

集定义即可逐项判断各选项得解.

【解答过程】由题C“4={3,5},CuB={1}，AC\B={2,4}/UE={1,234,5}=U,

对于A,CuAQB,A正确：

对于B,（QM）n（Q/8）=0,B错误；

对于C,AUB=U,C正确；

对于D,G4n8）£（4uB）,D正确.

故选：B.

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2.（24-25高一上•河南•期末）已知全集（7=%集合4={-2,-1。1},8={0,1,2,3},则图中阴影部分所表

示的集合为（）

A.{-2,-1}B.{-2,1}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,0）

【答案】A

【解题思路】由图可知影部分所表示的集合为力n（QB）,再结合条件，利用集合的运算，即可求解.

【解答过程】由图知，影部分所表示的集合为An（QB）,

又口=R,A={-2,-=10,1,2,3},

所以图中阴影部分所表示的集合为4n（Q8）={-2,-1）,

3.（24-25高一上•天津滨海新•期末）I学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15

人参加趣味益智类比赛.有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比

赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，'没有人同时参加三项比赛.则只参加趣味益

智类一项比赛的人数为;同时参加田径和球类比赛的人数为.

【答案】9；3

【解题思路】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参

加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一

项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为％,列出方程计算即可.

【解答过程】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15,

且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人；

同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人.

又因为没有人同时参加三项比赛，

所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：15—3—3=9人.

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设同时参加田径和球类比赛的人数为x,由题意得：

16+(5—x)+(11—％)+%=28,

解得：x=3,

故同时参加田径和球类比赛的人数为3,

故答案为：9；3.

4.(24-25高一上・北京海淀•期末)已知关于工不等式区一a|W2的解集4=工工44),集合B二

(x\m—3<%<?n+3).

(I)求实数a的值；

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数m的取值范围.

条件①:[-2,4]U(4UB)；

条件②：AC\B=A.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】(l)a=2

(2)选择见解析，答案见解析

【解题思路】(1)根据绝对值不等式的几何意义，得到a—2W%Wa+2,再结合条件，即可求解；

(2)选择①，根据条件，结合图形，得至IJ{常；33%2,即可求解：选项择②，根据条件，结合图形，得

到{鲁；装:,即可求解.

【解答过程】(1)由|x-a|W2,得到一2Wx-aW2,即a-2WxWa+2,

又因为关于%不等式|戈-a\<2的解集4={x|0<x<4},

cr2O

所

以l

l«24

kr解得Q=2,所以实数a的值为2.

(2)选择条件①，因为4={x|0<%<4)>B=[x\m—3<%<m+3},

又[-2,4]£(4UB),由图知，

{彳:是7,解得一

_口>1»

m-3-20zw+34x

选择条件②，因为力=(x|0WxW4},B={x\m-3<x<m4-3}»

又=4即4。8,由图知，

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发笈：，解得14血工3.

-1^__1411»

m-304m+3x

5.（24-25高一上•江西南昌•期末）在①An/?=B；②"x€A”是"E8”的必要条件；③B八CR4=0这三

个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.

问题：已知集合力={%GR|（x-l）（x+2）>0],B={xGR|y=y；x+a,yGR）.

（1）当a=l时，求

（2）若,求实数a的取值范围.

【答案】（1）{mXV-2}

（2）（-oo,-l）

【解题思路】（1）根据题意，求得4=口#<-2或x>l},B={x\x>-1],结合集合的运算，即可求解；

（2）由4={Rxv-2或%>1}和8={x|xZ-a},若选择①②，转化为8U4,列出不等式，即可求得a的

取值范围：若选择③：得到CR/1={X|-2W%W1},结合集合的运算，列出不等式，即可求解.

【解答过程】（I）解：由不等式。-1）。+2）>0,解得不<-2或x>l,可得力={%氏<一2或%>1},

当a=1时，可得8={xeRly=VFTTy€R}={x\x>-1},

则CRB={x\x<-1},所以4ACRB=（x\x<-2}.

（2）解：由集合4={x\x<-2或x>1}和8={x\x>-a],

若选择①：由=即RC,4,可得一a>l,解得av—1,

所以实数Q的取值范围为（一%-1）:

若选择②：由"6#’是七€中的必要条件，可得8G4可得一Q>1,解得Q<-1,

所以实数a的取值范围为（—8,—1）；

若选择③：由4={用工〈-2或%>1},可得CR4={X|-2WXW1},

要使得BnCR4=0,则一a>l,解得QV—1,所以实数Q的取值范围为（一8,—1）.

题型2集合新定义（共5小题）

I.（24-25高一上・北京•期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合力=

{（阳,%2，%3，%4）M6{-=1,2,3,4}.任取（。1，。2以3，。4），（历力2力324）e4若由名+a2b2+。3匕3+。4b4=。，

则称（由以2以3以4）与（必力2/3，%）正交.若3G4且8中任意两个元素均正交，则8中元素个数最多是（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

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【解题思路】不妨设(1,1,1,1)68,则8中其他元素包含2个1和2个一1,最多共有6个元素，又

(1,1,—1,—1),(—1,-1,1,1)，(1>—1,—1,1)，(—1,1,1,—1)»(1,—1,1,—1),(—1,1,—1,1)二组元素不正交，

所以6个元素中最多只有3个元素在B中，即可得到答案.

【解答过程】不妨设(1,1,1,1)6a

由田仇+a2b2+a3b3+a4b4=0,则B中最多包含(1,1,一1,-1),(1,-1,1,-1),(1,-1,-1,1),(-1,1,1,-1)

—1,1,—1.1)>(—1,—1,1,1)6个兀素，

又(1,1,—1,—1),(—1,—1,1,1)>(1,—1,——1,1,1,—1),(1,—1,1,—1),(—1,1,—1,1)二组兀素不正交,

所以(1,1,—1,—1),(1,—1,1,-1)/(1,—1,—1,1)»(—1,1,1,—1),(—1,1,—一L—1,1,1)6个兀素中最多只

有3个元素在集合8中，如B=一1,一1),(1,一1,1,一1),(1,-1,-1,1)}，

若BG4且B中任意两个元素均正交，则8中元素个数最多是4.

故选：C.

2.(24-25高一上•陕西榆林期末)给定数集A7,若对于任意％yWM,都有x+yWM,且;t-yeM,则称

集合M为闭集合，则下列说法正确的是()

A.自然数集是闭集合

B.无理数集是闭集合

C.集合用={%氏=3&«62}为闭集合

D.若集合Mi，M2为闭集合，则MiUM2也为闭集合

【答案】C

【解题思路】ABD举反例即可，C选项给出证明.

【解答过程】取x=l,y=2,则x-y=-lWN,故A错误；

取x=V2,y=VL则％-y=0,0不是无理数，故B错误；

设x=3自(的€Z),y=3ki(k2EZ),则x+y=3(ki+〃2)WM,x-y=3(k1-k2)eM,故C正确：

取A】i={x\x=3k,kGZ}»M2={x\x=2k,k6Z},

由C选项可知Mi是闭集合，同理可证河2也是闭集合，则MiU“2为被2整除或被3整除的全体整数集，

取x=2,y=3,则x+y=5,5不能被2或3整除，即5c(MiUM?)，故D错误.

故选：C.

3.(24-25高一上•四川眉山・期末)定义集合的商集运算为：j=1x|x=^,77ieA,nE已知集合力=

{2,4},8=卜卜=>1#"},则集合与UB的真子集个数是.

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【答案】15

【解题思路】求出集合从利用题中定义可得出集合今利用并集的定义可得出集合弓U8,确定集合4UB的

/Iri/i

元素个数，由此可得出该集合的真子集个数.

【解答过程】因为4={2,4},则8=卜卜=5—1«€/11={0,1},

又因为*[x\x=W4九6B}={o4，9,故如B={。,聂1}，

所以，集合日UB有4个元素，故集合8的真子集个数24—1=15.

故答案为：15.

4.(24-25高一上•云南玉溪・期末)设A是正整数，A是N"的非空子集(至少有两个元素)，如果对于A中的

任意两个元素心y,都有|x-y|±k,则称4具有性质P(k).

(1)试判断集合B={1,4,5,8,11}是否具有性质”2)?并说明理由；

(2)若集合4={。1，。2抠3以4}-{1,2,3,4,5,6},证明力不可能具有性质P(3)；

(3)若集合41口,2广,,11}具有性质「(4)和/7),力中最多有几个元素，并说明理由.

【答案】(1)8具有性质P(2),理由见解析

(2)证明见解析

(3)至多只有5个，理由见解析

【解题思路】(1)根据新定义判断8={1,4,5,8,11}是否具有性质P(2)即可；

(2)利用反证法，假设A具有性质P(3),可得集合4中最多有3个元素，与集合A中含有4个元素矛盾，从

而得证；

(3)分①5,6,7同时选，@5,6,7选2个，③5,6,7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义

求解即可.

【解答过程】(I)=3>2,5-4=1<2,8-4=4>2,8-5=3>2,11-8=3,

••.B具有性质P(2).

(2)假设人具有性质P(3),那么有1不能有4,有2不能有5,有3不能有6,

那么集合4中最多有3个元素，与集合4中含有4个元素矛盾，

••泊不可能具有性质P(3).

(3)4G{1,2,…,11}.将这11个数分为{1,8}，{2,9},{3,10},{4,11},{5},{可,{7},7个集合，

①5,6,7同时选，因为具有性质P(4)和P(7),所以选5则不选1,9；选6则不选2,10：

选7则不选3,11；则只剩4,8,又不能同时选，故1,2,3.11中属于集合力的元素个数不超过5

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个.

②5,6,7选2个，

若选5,6,则1,2,9,10,7不可选，

又{4,11}只能选一个元素，故1,2,3…，11中属于集合4的元素个数不超过5个.

若选5,7,则1,3,9,11,6不可选，

又{4.8}只能选一个元素，故1,2,11中属于集合力的元素个数不超过5个.

若选6,7,贝I)2,3,10,11,5不可选，

又{1,8}只能选一个元素，故1,2,3…，11中属于集合4的元素个数不超过5个.

③5,6,7中只选1个，乂四个集合{1,8},{2,9},{3,10},{4,11}每个集合至多选1个元素,故1,2,3…,

H中属于集合A的元素个数不超过5个，

由上可知，属于集合力的元素至多只有5个.

5.(24-25高•上,安徽铜陵期末)对于非空集合U,记。={汨不£〃}.若集合且满足如下两个条

件：①对任意的M,N”,有MUN5；②对任意的ME4有则称集合彳为集合U的一个“完

美子集类

(I)若集合U={123},试写出集合U的所有“完美子集类”；

(2)已知力是集合。的一个“完美子集类”，证明：

(I)064；

(II)对任意的M,Ne4有MCNWA.

【答案】(1)答案见解析

(2)(I)证明见解析：(II)证明见解析

【解题思路】(1)根据“完美子集类”的定义，写出集合U的所有“完美子集类”即可：

(2)(i)由力是U的“完美子集类“，可知对于任意的MW4QMW4从而U=MU(Q/M)W4,即可证得

0"：(ii)由A是U的“完美子集类”及“完美子集类”得定义可得QM)U(QN)”,则CH(QM)ugN)]

EA,通过证明MnN=Cu[(QM)U(CuN)],即可得证MnN6A.

【解答过程】(1)集合U的“完美子集类”有：

{0,{1,2,3}},{0,{1},{2,3},口,2,3}},

{d{2},{1,3},{1,2,3}},{0,{3},{1,2},{123}},{0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}{1,2,3}}.

(2)(i)因为4是U的“完美子集类”，所以对于任意的ME4QM64

从而U=MU(CuM)€4

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所以0=（Cut/）eA.

（ii）因为力是。的“完美子集类”，所以对于任意的M,NE4CUMEA.CUNEA,

从而QM)U(QN)”

下证：MnN=Cu[(QM)U(QN)]

一方面，xEMNnx6M且％GN=>xW(Q/M)或％C(C(/N)，

即(GW)U(Cy/V)=>xGCn[(CyM)U(Cy/V)]:

另一方面，XGQ[(CuM)U(CuN)]=%e(QM)U(QN)

=%W(G/M)或“€(QN)=xWM且xWN,即“WMCN

故MnN=CuKQM)u(QN)]eA

题型3利用基本不等式求最值（共5小题）

1.（24-25高一上•黑龙江绥化•期末）已知m>0,n>0,m^4mn+3n^=m+n,则扛抛最小值为

()

A.4+273B.1()C.3+2近D.12

【答案】D

【解题思路】由巾2+4mn+3n12=m+九得m+3n=1,进而利用基本不等式可得^+：=（弓+；）（m+3n）

>12.

【解答过程】由m24-4/nn+3n2=m+n得（m+3n）（?n+几）=m+n,

因n>0,n>0,故m+3?t=l,

2+：=G+3（m+3a）W+T+6N2j^^+6=12,

当且仅当事=三，即m=；，几='时等号成立，

故选：D.

2.（24・25高一上•河南三门峡•期末）设北负实数x,y满足〃十丁=2,则下列说法正确的是（）

A.0的最大值是:B.y+/的最大值是1

C.左+3的最小值是4D.4"+2"的最小值是4

乙xy

【答案】D

【解题思路】对于ABD：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于B：根据题设条件反推即可.

【解答过程】因为非负实数x,y满足2xIy=2,

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对于选项A：因为孙二女2x）•y4X0"："=]

当且仅当2%=y=l时，等号成立，所以孙的最大值是看故A错误；

对于选项B：因为％y为非负实数，

当2%=y=l时，y+%2=i+:=\,y+X2的最大值不是],故B错误；

对于选项C：因为忘+9=（、+纵》5=抖升拚三1+2^?|=2，

当且仅当亲=%即2x=y=l时，等号成立，

所以5+：的最小值是2,故C错误；

LXy

对于选项D：因为4》+2旷/2,4*X2、=2近五行=2厉=4,

当且仅当2x=y=l时，等号成立，

所以4、十2y的最小值是4,故D正确；

故选：D.

3.（24-25高一上•福建漳州•期末）用max{a,b}表示a与匕的最大者，记时=max,%+：，+“，其中％,y

都是正数，则M的最小值为（）

A.272B.3C.8D.9

【答案】B

【解题思路】根据条件有MN4x+±MN：+y,从而有2MN4%+：+5+y,再利用基本不等式，即可求解.

yxxy

【解答过程】因为用=max{4x+；*+y},所以M工4x+N§+y,

贝lj2M>4x+4-+y=4x+：+：+y,

又x,y都是正数，所以4x+：N2jQ=4,当且仅当4x=g即％=；时取等号，

y+^>2^~j=2,当且仅当y=；,即y=l时取等号，

故2MN6,得到MN3,当且仅当无=义，y=l时取等号，

故选:B.

4.（24-25高一上•贵州毕节•期末）已知a>0,b>0,且?+2b=2,贝Ij2a+：的最小值是.

【答案】12

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【解题思路】利用基本不等式中力”的应用计算即可求得结果.

【解答过程】根据题意可知：

2。+烂蛆+2b）（2a+乡=/6+2+4必+6”412+2^x4ab）=12；

当且仅当总=4ab,即a=3力=；时，等号成立；

因此2a+和勺最小值是12.

故答案为：12.

5.（24-25高一上•广西南宁・期末）已知%>0,y>0,且2x+y=l.

⑴求不，的最大值；

（2）求3+：的最小值.

【答案】（*

（2）8

【解题思路】（1）利用基本不等式可得2x+yZ2后;，即可求解；

（2）利用力”的妙用，结合基本不等式，即可求解.

【解答过程】（I）•.♦%>（）,y>0,

2x+y>2j2xy,

•••1>2yj2xy,即

当且仅当2x=y=g,即工=抄=2时，xy取得最大值看

(2)-1+-2=(-1+-2X2x+y)=4-kV^4yx

>4+2归"=4+4=8,

vxy

当且仅当?=£,即％=；,y=2时，:,取得最小值8.

Ayanxy

题型4基本不等式的恒成立问题（共5小题）

I.（24-25高一上•山东聊城•期末）已知0VaV1,若g+白？1恒成立，则实数b的取值范围为（）

A，2,+8)B.[；,+8)C,(0,1]D.(0,4]

【答案】A

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【解题思路】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果

【解答过程】因为0VQV1,所以5+含恒成立等价于bNa(l-a)恒成立，

2

又a(l-a)W(W)=I,当且仅当a=g时取等号，

故6之

故选：A.

2.(24-25高一上•重庆・期末)当％>0,y>0,且满足2%+y-2%y=0时，有2%+y>/+左一8恒成立,

则A的取值范围为()

A.(—4,3)B.[—4,3]C.(—3,4)D.[—3,4]

【答案】A

【解题思路】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出2x+y的最小值，然后解二次不等式即

可.

【解答过程】因为2x+y-2xy=0即左+；=1且％>0,y>0,

所以2%+”(2%+3)(*+；)=2+:+藁22+2汽><£)=4,

2=4

当且仅当即时等号成立，

因为不等式2x+y>k2+k-8恒成立，所以〃2+〃一8V4.

即好+上一12<0,解得一4<k<3,故k的取值范围为(-4,3).

故选：A.

3.(24-25高一上•天津西青•期末)已知正数八y满足(工一1)()，-2)=2,不等式3%+2y>m恒成立.则

实数m的取值范围是()

A.(-8,4+6&)B.(6+4企,+8)

C.(-8,7+4何D.(8+4封+8)

【答案】C

【解题思路】由不等式3x+2y>m恒成土，故只需(3%+2y)mm>m，由基本不等式的乘“1”法，结合已知

求出3%+2y的最小值即可.

【解答过程】因为Q-l)(y-2)=2,x>0,y>0,

所以盯=2X+y,即：+：=1,

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所以由基本不等式可得3x+2y=(3x+2y)@+3=7+^+y>7+2]§号=7+4K,

(-=—(_1,2V3

等号成立当且仅当x>0,y>0即二二方，

((X-l)(y-2)=2ty=2+V3

综上所述，3%+2、的最小值为7+4国；

因为不等式3x+2y>m恒成立，

所以实数m的取值范围是(-oo,7+4V3).

故选：C.

4.(24-25高一上•广东深圳•期末)已知Q>0力>0,且2a+b=2,若出一3£工蓝+刍亘成立，则实数/的

取值范围是.

【答案】

【解题思路】由题意得到£2一3£vR+9.再结合基本不等式求得最小值,进而可求解：

“"min

【解答过程】伊一3£鹿+彳亘成立，即£2-3Y仔+9，

"a、ba/mjn

a2=a2a^=ab+2^2后+2=4,当且仅当a=b=时取等号，

bababa弋匕a3

所以产一31三4,

即(t-4)(£+1)<0,

解得:—1Vt<4.

所以实数/的取值范围是[-1,4],

故答案为：[一1,4].

5.(24-25高一上•四川南充・期末)(1)已知。，b,c,d都是正实数，证明：(a+b)(c+d)Z

(Vac+Vbd)；

(2)已知x,y是正实数，x+y=l,若3之誓恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；⑵(一8,0)U[L+8).

【解题思路】(I)法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结

论即可；

(2)问题化为G+32等,应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得等44,再解不等式

xy'min

求参数范围.

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2

【解答过程】(1)方法1：(。+8)廿+4)-(疝+而)=ac+bd+ad-^bc-(ac+bd-^2Vadbc)

=ad—2\!adbc+bc=(V^S-\侯)匕0,

••.(a+b)(c4-d)>(Vac+4bd)；

方法2：va>0,b>0,c>0,d>0

2

.-.(a+b)(c+d)=uc十〃△十a"+be=(Vue)2+(VM)+ud+be

>(Vac)2+(x/M)2+2\ladbc=(x/ac+VM)2,当且仅当ad=be时，等号成立，

2

故(a+b)(c+d)>(Vac+Vdd).

⑵由誓恒成立，知G+%.警

vx4-y=1,x>0,y>0,

打；G+；)x(x+y)=?+；+2N2jp^+2=4,

当且仅当即方，=河等号成立，即&+

网上<4,解得m>1或m<0,

in

故m的取值范围为（一8,0）U[1,+oo）.

题型5一元二次不等式恒成立、有解问题（共5小题）

1.（24-25高一上•重庆•期末）若不等式仅一2）》2-2（。一2户一4〈0对一切之6/?恒成立，则实数a的取值

范围为（）

A.(—oo,—2)U(2,+8)B.(一8,-2)U[2,+8)

C.(-2,2)D.(-2,2]

【答案】D

【脩题思路】根据给定条件，利用一元一次不等式恒成立问题求解.

【解答过程】当a=2时，-4<0恒成立，则a=2；

3G*20^,{△=4(a-2)2+f6(a-2)<0,解得一2<a<2,

所以实数Q的取值范围为（-2,2].

故选：D.

2.（24-25高一上•广东深圳•期末）已知a>0,b€R,若关于x的不等式（a无一2）（工2+力：-6）之0在区间

13/72

(0,+8)上恒成立，则4。一6的最小值是()

A.2B.272C.3D.3鱼

【答案】B

【解题思路】结合函数f(x)=QX-2函数性质，得到函数。(%)=%2+以一6的函数性质，由此建立等式得

到。力的关系，然后借助基本不等式求出4a-8的最小值.

【解答过程】・也>0,.♦.〃幻=小一2在区间(0,+8)上单调递增,

:.当xE(0,；)时/■(%)<0,当XW(；,+8)时/"(%)>0,

令g(x)=x2+bx-6,

要想关于x的不等式(ax-2)(x2-dx-6)>0在区间(0,+8)上恒成立，

则当(0,3时g(x)<0,当％6弓,+8)时g(x)>0,

2

,<9(-)=Q)+——6=0,贝!j3a2—ba—2=0,即b=3a—

：Aa—b=a+^>2\/2»当且仅当。=：,即。=&时取等号.

故选：B.

3.(24-25高一上•山东济南•期末)若m%€R,m/+2(m-3)x+4W0,则实数m的取值范围为()

A.(1,9)B.(一8,0)

C.(—00,1)u(9,+00)D.(—00,1]U[9,+co)

【答案】D

【解题思路】分m=0,mV0和m>0三种情况分类讨论，其中当m>0时，利用判别式列不等式求解即可,

最后求并集.

【解答过程】当m=0时，不等式为-3X+2W0,即x4，显然一3%+2W0在％WR有解，符合题意；

TH。0,命题叼％6R,mx2+2(m-3)x+4<0”为真命题,

当m<0时，对于抛物线y=m炉十2(m—3)%+4,开口向下，

显然小炉+2(旭一3)%+4工0在xeR有解，符合题意；

当仇>0时，对于抛物线y=6/+2(血-3)%+4,开口向上，

只需△=120n—3)p-4x4xm>0,解得m<1或m>9,

又m>0,所以0VmW1或mZ9,

综上，实数ni的取值范围是mW1或m之9,即m€(—8,1]U[9,+8).

14/72

故选：D.

4.(24-25高一上•河南许昌•期末)若不等式―/+2x+mW0对任意xe[0,2]都成立，则实数机的取值范

围为.

【答案】(-8,-1]

【解题思路】利用参变分离法将不等式一x2+2x+m<0化成TH</一2%，只需求函数y=好一2%在[0,2]

上的最小值即得参数m的取值范围.

【解答过程】由不等式一炉+2%+加工0对任意工£[0,2]都成立，可得不等式mW无2-2%对任意％w[o,2]都

成立，

因),=d一2%=(%—1)2—1,xe[0,2],则得y=%2—2xN—1,

故得?n<-1,即实数机的取值范围为(-%—1],

故答案为：(-8,-1].

5.(24-25高一上-湖南衡阳期末)已知关于x的不等式2乃一1)

(1)是否存在实数K,使不等式对任意％WR恒成立：

(2)若不等式对于％G(1,+8)恒成立，求K的取值范围；

(3)若不等式对于KW[—2,21恒成立，求实数％的取值范围.

【答案】(1)不存在实数K

(2)(-8,0]

⑶(乎学

【解题思路】(1)根据条件，分K=0和KH0两种情况，利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法,

即可求解;

(2)根据条件得到K〈M，令2%—1=«£>1),得到逅，再求出由的最小值，即可求解；

(3)设f(K)=(7一l)K-(2%-1),将问题转化成KW[—2,2]时,/'(K)V0恒成立，从而得到

｛勺72al3Z°o,即可求解.

【解答过程】(I)原不等式等价于K%2—2X+1—KV0.

当《=0时，-2x4-1<0,解得不满足题意,

当“*0时，则｛△-4—4K[1—/Q<0,得到K60，

所以，不存在实数K，使不等式对％6R恒成立.

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(2)因为3>1,所以x2-l>0,则KV仔

令2工一1=%[＞1),则/—1=包尸，得到《＜熹泊=』，

设g(£)=t-；V+2,tW(l,+8),显然g(t)在(1,+8)单调递增，

当£=1时，g(l)=0,当£一+8时，亡-；+2l+8,所以《一片+2＞0,则77^＞0,

所以KW0,即K的取值范围是(一8,0」.

(3)设/■(K)=(X2_i)K-(2x-l),当KW[-2,2]时,/'(K)V0恒成立.

即庐黑成立，即｛室空院°0，

由2%2一2%—1＜0,得到乎＜工＜弯&

由一2%2-2x+3＜0,得到x＜匚子或%＞匚/，

所以呼＜无＜萼，所以实数X的取值范围是(呼，萼).

抽象函数的性质及应用(共5小题)

1.(24-25高一上•浙江温州•期末)已知定义域为R的函数f(E)满足：Vx,yE/?,/(x)-/(y)=/(x-y)+2

(x-y)y,且/(6)=0,则()

A./(0)=1B.f⑶=9

C./(%)是奇函数D.Vxe/?,/(x)+/(-x)>0

【答案】D

【解题思路】利用赋值法结合题干信息逐项分析求解.

【解答过程】对A,令x=6,y=0,则/'(6)—程0)=A(6-0)+2(6-0)X0,

由"6)=0,则0—/(0)=/(6)+0,即一/(0)=0,所以f(0)=0,故A错误;

对B,令％=6,y=3,则/•(6)—/(3)=/(6—3)+2(6—3)'3,因为/(6)=0,

所以0—/(3)=/(3)+18,解得/(3)=-9,故B错误；

对干C,令％=0,则/(O)-/(y)=/(—y)-2y2,

2

又/(O)=0，所以-f(y)=/(-y)—2y2,则一/(%)=f(_x)-2x,

2

当x00时，/(_x)=-/(x)+2x0-/(x),不满足奇函数的定义，

所以不是奇函数，故C错误；

对D,由C选项知,-/(x)=/(-x)-2x2,BP/(x)+/(-x)=2x2>0,

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所以VxeR,/■(%)+/-(-%)>0,故D正确.

故选：D.

2.(24-25高一上•云南昆明・期末)已知函数/(%)的定义域为R,且f(l)=-2,若

fW-7(y)=f(x+y)+f[x-y),则()

A./(0)=0B./(2)=1

C.f(X)为偶函数D.f(x)为增函数

【答案】C

【解题思路】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解.

【解答过程】令x=l,y=0,则/'(l)f(O)=/(I)4-/(1),

则一2f(0)=-4=/(0)=2,故A错误；

令《=l,y=l,则/(1)/(1)=/(2)+/(0),

则4=f(2)+2=f(2)=2,故B错误；

令x=0,

则"o)/(y)=f(y)+/(一y)=2/(y)=/(y)+/(-y)=/(y)=f(-y)，

所以/(x)为偶函数，故c正确；

由/(0)=2,/(I)=-2,可知/(%)不是增函数，D错误.

故选：C.

3.(24-25高一上•安徽亳州期末)己知函数y=f(x)的定义域为(-oo,0)U(0,+co),且满足fQy)=f(x)+f

(y)-L

(1)判断函数的奇偶性并证明；

(2)若/(2)=今求/(1024)的值；

(3)若%>1时，/(X)<1,解不等式/'(2%+1)>1.

【答案】(1)偶函数，证明见解析

⑵一4

(3)(-1,-|)U(-1,O)

【解题思路】(1)利用“赋值法”,可求/(1),f(一1),再令y=-l,可得/(X)与〃一功的关系，判断函数

的奇偶性.

⑵利用/'⑵=热结合/■(秒)=/(%)+f(y)T，可求f(1024)的值.

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(3)先用定义证明函数在(0,+8)上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再

结合函数的定义域可解不等式.

【解答过程】(1)令x=l,y=-1,则/(1)=1；

令x=-l,y=-1,5>i]/(-l)=1

令y=得/(-%)=fQ)，又工w(-8,o)u(o,+8),

故v=/a)(义工0)为偶函数.

(2)因为f(%y)=f(x)+/(y)—1,

所以/(1024)=/(210)=/(29)+f(2)-1

=f(28)+2/(2)-2=/(27)+3/(2)-3=…=10•f(2)-9=-4.

(3)任取如x26(0,+oo),则勺VM，则言>1，则f(%2)=/(勺)+/俘)-1VfGi)，

故)'=/(%)(xHO)在(0,+8)上为减函数

由(1)知y=f(x)(%HO)为偶函数，且f(l)=1

所以/(2x+l)>1,等价于f(|2x+1|)故|2x+l|Vl,

解得一1V%V0

又y=f(x)的定义域为(一8,0)U(0,+8),故2x+l工0，所以x工一3

原不等式的解集为(一1,一3U(-/0).

4.(24-25高一上♦内蒙古赤峰・期末)已知函数/(、)对于任意实数％y£R,都有/■Q+y)=f(x)+f(y)-2,

且/(2)=4.

(1)求/(I)的值：

(2)令g(x)=/(x)-2,求证:函数g(x)为奇函数：

(3)求/(-2025)+/(-2024)+•••+/(-1)+/(0)4-/(1)+…+/(2024)+/(2025)的值.

【答案】(1)/(1)=3

(2)证明见解析；

(3)8102.

【解题思路】(1)应用赋值法即可；

(2)应用奇函数的定义即可判断；

(3)结合(2)转化为求g(-2025)+…+g(0)+…+0(2025)+4051x2,即可求解.

【解答过程】(1)当％=y=l时，/(1+1)=/(1)+/(1)—2=4,则/<1)=3；

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(2)当无=y=0时，/(O+0)=/(O)+/(0)—2,则f(0)=2；

设y=-x,贝ljf(%-x)=f(x)+/(-x)-2,则f(%)4-/(-x)=4,

则/(-x)-2=-[/(x)-2],即g(-x)=-g(%)，

即函数g(x)为奇函数.

(3)由(2)知，g(x)=/(乃一2为奇函数，则

/(-2025)+/(-2024)+…+/(-1)+7(0)+/(I)+•••4-/(2024)+/(2025)

=g(-2025)+g(-2024)+…+g(-1)+g(0)+g(l)+…+g(2024)+g(2025)+4051x2=8102.

5.(24-25高一上•黑龙江绥化•期末)定义在R上的函数/"(%)满足：Vx,yeR,都有f(%+y)=fa)+f(y)+1

成立，/(I)=1且f(x)为R上的增函数.

(1)求f(0)的值,并证明f(x)+1为奇函数;

(2)3xe[-14],使f(x)>根2一比一2成立，求m取值范围;

(3)解不等式/•Q/-Ox十4)十3f(x)>0.

【答案】(1)一1，证明见解析；

(2庠(厘

(3)(-ool)u(2,4-00).

【解题思路】(I)利用赋值法求出;10),再利用奇函数定义推理得证.

(2)求出f(T)在[-1,1]上的最大值，再由能成立问题建立不等式求解.

(3)变换给定不等式，构造新函数，利用单调性、奇函数的性质求解不等式.

【解答过程】(1)\/x,yGR,都有/(%+y)=f(x)+f(y)+1成立，

取《=O,y=l,得/(l)=/(O)+f(l)+l,解得/(0)=-1；

对取、=一心则/(0)=/(乃+f(-x)+1=-1,

因此/(-%)+1=-/(X)-1=-[/(x)+1],所以f(%)+1为奇函数.

(2)函数/'(%)为R上的增函数，则当％上时，/"(%)</"(1)=1,

由三xE[—1,1],使/(%)>m2-m-2成立，得m2解得甘豆<m<当亘，

所以m取值范围是上尹<m<当亘.

(3)f(2x2-8x+4)=f(2x2-8r+3)+/(l)+1=f(2x2-8x+2)+/(l)+1+2

=f(2x2-8x+2)+4,f(3x)=f(2x)+f(x)+1=f(x)+f(x)+1+f(x)+1=3/(%)+2,

不等式f(242_QxI4)I3f(x)>Oof(2%2_8x]2)I1+/(3x)+1>0,

19/72

令g(%)=f(x)+L则函数g(x)是奇函数，且为R上的增函数,

原不等式为g(2%2—8x+2)4-g(3、)>0,即g(2/—8x+2)>-g(3x)=g(—3x),

于是2/—8%+2>—3x,即2/—5x+2>0