2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷02【广东专用测试范围：人教A版选择性必修第一册~选择性必修第二册第四章】（全解全析）

高二数学上学期期末模拟卷02（广东专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选择性必修第一册〜选择性必修第二册第四章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知等差数列｛4｝满足。2+q+%=6,则%等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质，可得答案.

【详解】因为生+%+40=6+%+%=3%=6,解得%=2.

故选：B.

2.如图，空间四边形中，方=无砺=反反=3，点M为6c中点，点N在侧棱Q4上，且

ON=2NA,则标?=（）

【答案】C

【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用宓=万,9=反反=d表示出丽.

【详解】=++=-CB-OB+-OA=-OA+-(dB-OC)-OB

2332

故选：C

3.若圆x2+/-2x-5=0与圆/+/+2》-4)，-4=0相交于4、B,则所在直线方程是()

A.4.r-4y+1=0B.4.r-4j-1=0C.x+^-1=0D..r-^+1=0

【答案】A

【分析】将两圆方程作差，可得出直线43的方程.

【详解】因为圆/-2.丫-5=0与圆/+2x-4y-4=0相交于4、B,

将这两圆方程作差可得4%-什+1=0,

因此，直线48的方程为4x-4p+l=0.

故选：A.

4.一动圆与圆。：(x+3)、V=4外切，同时与圆。:&-3)2+/=64内切，则该动圆圆心的轨迹方程为

()

A.x2+/=25B.—+^=l(x^-5)

251617

C.匕+工=1(尸5)D.—22I(--5)

2534725+34=1X7

【答案】B

【分析】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用

动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于和动圆半径，•的方程组，消去，•再利用椭圆的定义写

出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍.

【详解】圆。的圆心为。(-3,0),半径为4=2,圆。的圆心为0(3,0),半径为「2=8,

因为仁必=6=8-2=G「，所以两圆相内切于点(-5,0),

设动圆的圆心为尸(x，V)，半径为N，00),则|PC|=r+2,|PQ|二gf,

|PC|+|P£>|=10>6=|CZ)|,

因此点尸的凯迹方程足以C,〃为奥点，K轴K为10的椭圆(不含点(-5,0)),

12

所以该动圆的圆心的轨迹方程为二+'=1(XH-5).

2516

故选：B

5.设抛物线歹2=2、的焦点为广，过抛物线上点尸作其准线的垂线，设垂足为。，若NP。尸=30。,则|尸。|=

()

A.-B.巫C.-D.也

3342

【答案】A

【分析】由题意得/。少历=30"结合正切定义以及-必|=1可得|。尸|,进一步即可求解.

【详解】如图所示：

M为准线与x轴的交点，

因为/尸。尸=30。，^.\PF\=\PQ\,所以/尸产。=30。,/。/7、12。。，

因为尸M//尸。，所以NQ£W=3(y,

…。,糊用作邛,所以也日=平，

所以IP尸I=|尸0|=粤+cos30°=曰+亭=:.

故选：A.

6.“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”,

其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个

球，再下一层6个球，…)，现有1600个相同的小球，则可摆“三角形垛”的最多层数为()(参考公式:

12+22+32+.--+/?2=-^——9

6

A.21B.20C.19D.18

【答案】B

【分析】先根据三角锥垛每层球个数找出规律，然后写出第〃层球个数的通项公式，进而求出前"项和,

代人得出结果.

【详解】解：由题意可知，当三角锥垛有〃层时,

该堆垛总共球的个数为卬+%+为+…+凡二手+学2+学+…+勺1

1

/?(//+1)〃(〃+1)(2n+1)

2=-

(1+2+3+...+〃)+(「+2"++2~2-+6-

2~6~

经验证：当〃=20时，20x：lx22=]540,当〃=21时,22x23二办,

66

故1600个相同的小球，则可摆“二角形垛”的最多层数为20.

故选:B.

22

7.已知椭圆C:二+二=1（4〉/）＞0）的左焦点为八左顶点为火，直线/过点/，且与x轴垂直，交。于

b’

N两点，已知△4WN的周长为6M产则椭圆。的离心率为()

A1

A-4c-T

【答案】B

【分析】根据条件求出|MV|,|力圜，|%F|，化简得到关于。和。的齐次式,求解即可.

【详解】

0),\AF\=a-c

将X=Y代入椭圆方程，得g+[=l,解得歹=±一鸟]=±£

a'b*\\a~)a

BP|.WF|=|NF\--,\MN\-,所以|M4|=|/4N|=

因为"MN的周长为6M日，所以|M4|+»N|+|MM=6»尸|,

2b2“、

—+----=6(a-c)»

将手移到等号右边，然后两边同时平方，化简得4。2-4"=3〃，

因为〃=/-‘2,所以4/-4。。=3(。2-/),

即3c2-4讹+/=0,因为离心率？=£,所以3/-4e+l=0,

a

解得。=1或e=；,因为椭圆离心率的范围为(0,1),所以e二；,

JJ

故椭圆c的离心率为;.

故选：B.

8.已知直线加丫-)，+2〃?+1=0与圆C:(x+l)2+(y-2)2=4相交于A/,N两点，则砺.沅的最小值为()

A.41B.2C.4D.272

【答案】C

【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点气-2,1),即可求出〔MM.,设MN的中点为Q,则

COJLMN,根据数量积的几何意义得到赤•沅=三而『，即可得解.

【详解】圆C:(x+l)2+(y_2)2=4的圆心为C(7,2),半径〃=2,

,.,\[x+2=0x=-2

直线〃?x—y+2〃?+l=0,即(x+2)〃?+(l-力=0,令，]_0,解得“

y=i

所以直线"a-y+2m+1=0恒过点P(-2,l),又|PC|=^(-2+1)：+(1-2)2=五，

所以当时，弦"N的长度取得最小值，即|MNLn=2-2-(可=2&,

设MN的中点为。，则CQ_LMN,

所以砺.沈=|而H耐卜os/CMN=|丽、砺卜三砺仅收丫=4.

¥P.

\^|5

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设等差数列｛%｝的前〃项和为S”，公差为d,已知%<0,%+6>0,则下列说法正确的是（）

A.S”的最小值为S,B.满足S„>0的最小〃值是14

。满足的最大〃值是14D.数列£的最小项为第8项

【答案】ABD

（详解】由a7VoM7+%>°可知/<0,d>0,4>0.

对于选项A：由q,…%为负，。8M9,…为正可知，S?最小，A正确.

对于选项B：S13==]3%（。，6]==7（生+6”0,

则满足2>0的最小值为14,满足S“<0的最大〃值是13,故B正确，C错误.

对于选项D：由％,〃2,…，”7为负，4M9,…为正，且S],S?,…,S”为负，S|4，S[$,…为正可知:

乎,?，…，》为负.考虑到周邓心…邓”，同，故甫最大,即§最小,正确.

故选：ABD

10.已知直线/：x+y+l=0,点P为。M：（x—lf+（y—2）2=2上一点，则（）

A.直线/与。M相离

B.点P到直线/距离的最小，直为2夜-1

C.与。/关于直线/对称的圆的方程为（x+3y+（y+2）2=2

D.平行丁/且与0M相切的两条直线方程为2万+2»+1=0和2x+2y-5=0

【答案】AC

【详解】。M：(x—l)2+(y—2)2=2,圆心“(1,2),半径,•=&,

圆心也(1,2)到直线/：x+y+l=O的距离为：4」1：2+”2全＞/.,

所以直线/与。必相离，故A正确；

点尸到直线/距离的最小值为4-r=2拒-&=&，故B错误；

设圆心M(L2)关于直线/对称点为N(.%,盟)，

22

则“，解得N(-3,-2),

—x(-l)=-l

则与。M关于直线/对称的圆的方程为(x+3)2+(y+2『=2,故C正确；

设平行于/且与相切的直线方程为x+N+c-。，

则”'=二^^二厂=亚，解得c=T或c=-5,

VI2+12

平行于/且与。M相切的两条直线方程为x+y-l=O和x+y-5=0,故D错误.

故选：AC.

11.已知动点尸在抛物线/=l6x上，过点P向工轴作垂线段，垂线段的中点的轨迹为曲线C",8是曲线C

上的两点，则()

A.曲线。的方程为/=4x

B.若苏.赤=-2，则直线过定点(2,0)

C.若直线初过点尸(1,0),点力的纵坐标为】，则

D.若直线4?过点以⑼，连接。4。8分别交直线.丫=-1点。/,则。"

【答案】CD

【详解】对于A,设垂线段的中点。坐标为(x,力(XHO),则。的坐标为32历，

乂点P在抛物线/=16x上，故(2y)2=16x,即/=4x,

所以曲线。的方程为产=4x(xW0),故A错误；

时干R,设/门的直线方程为x=W+〃，/(再」)8伍,乃)，

x=Zv+n,

联立方程｛2,，可得y-4"-4〃=0,所以必+必=4/,必必二-4"，

y=4x

又了；=4$，y；=4X2,所以16取2=（必必）2,所以再“2=〃2,

又。4•OB=A%+%y2=川一4八二一2,所以〃=2±&，

即直线48过定点（2土灰,0）,故B错误；

对FC,直线48过点尸（1,0）,由抛物线方程可得?（1,0）为抛物线的焦点,

因为点力的纵坐标为1,所以点力的横坐标为工=：,所以|4口=；+1=（,

故C正确;

对于D,设43的直线方程为工=卯+1,力（不必）,8亿,外），

x=ty+\

联立方程〈2,，可得/一4犷-4=0,所以乂+%=4，/出=-4，

y~=4x

又疗=4再,y~=4X2,所以16中2=（必为甘，所以石电=1,

令i=T,可得以一1,一旦）,£（一『"），尸。=（一2,-1）/£（-2,-红），

所以赤•屋=4+2••匹=4+==0,所以_1,£/，故D正确.

再x21

故选：CD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知点。到尸(1。的距离比。的横坐标大1,点〃的轨迹方程为81—2j，+16=0,则pM+|P尸|

最小时，△。吹的面积为.

【答案】v

O

【详解】设P(x,y),则小-1)2+/=."，平方整理得V=4x(满足X2-1),

故尸在抛物线)，2-4%上，焦点厂(1,0),准线方程为X--1,

过P作准线的垂线，交准线于。，|尸尸|=

〃的轨迹方程为圆f+/一8工一2歹+16=0,整理得(x-4y+(y-iy=i,圆心为E(4,l),半径为「=1,

过E作准线的垂线,交准线于年(-1,1),则|PM|十|P尸卜1PM+|P@之附卜「+|图2|跖1-=5-1=4,

当P,A/,反E'共线时取等号，则此时》=切=】，与=；,九=4-1=3,故SM“=；X1X(3

13.如图所示，在平行六面体力中，々AAB=/DAB=W，力。=7,AB=AD=A^=2,

【答案】1+6贝+1

【详解】

向量的拆分，D\E=AE-ADr=gq1+AB-(AA1+疝)=AB-\AAX-AD,

又—，一，由此可得,

而•标=JS・73=2x2x=2而，可u2x2xe£(=2.

'2'21'2'2、、'r-

DVE=AB+^AAX+AD-AB_AAX-2AB_AD+AAr_AD=4+1+4-2-4+272=3+272

：.\D]E\=}+y/2.

故答案为：1+&

r'

14.已知数列{叫前〃项和为S“，满足q=1,(〃+2)\=叫八，则数列|(〃+2缶+3)1的前〃项和为-

【答案】

〃+36

qc

【详解】由己知得(〃+2)S.=〃4M=〃(S,「S“)，q=E=l,所以2(〃+1电=碍“即T=所以

数列是首项为¥=1，公比为2的等比数列，所以2=1x2)即S.=〃x2i,

%=s“-sI二〃X2”T-(〃-1)X2"2=(〃+1)X2-2(〃22),经检验，〃=1时也满足，故

n2

an=(??+l)x2"(〃wN)

a(〃+1)X2"2「2(〃+2)—(〃+3)]X2"-2-\-i(

所以------------J——1------=L3----L_1----ZJ-----=_r-----r--,所以数歹ij，------a2-----

(〃+2>(〃+3)=(〃+2>(〃+3)(〃+2>(〃+3)。+3〃+2|(〃+2)(〃+3)

11(12〕2"-22〃T2，i1

〃项和为一—+-+——+—+•••++----

64I45)I〃+2〃+3n+36

故答案为:

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知圆C经过点力(2/)，8(0,-1),并且圆心。在歹轴上.

(1)求圆。的方程；

(2)记过点6的直线/与圆。的另个交点为点。，当A/lb。的面积为4时，求直线/的方程.

［答案］(l)/+(y_l)2=4；(2)x=0或x+y+l=O.

【详解】（1）方法一：因为力（2』），研0,-1）,则鲍=1,且4E的中点为（1,0）,

贝IJ,44的垂直平分线的方程为V=—卜一1）=-1+1,

因为圆心C在P上，令工=0,得y=l,

即点C（O,1）,又〃=|/C|=2,所以圆C:/+（J,-］）2—4.

方法二:设圆心。（02）,圆C经过点4（2,1）,方0,7）,

所以3c『=忸。|2,即2?+(j)2=(b+l)2,解得6=1,

即点C（O,l）,又厂=恒。=2,所以圆UV+g—iy=4.

（2）当直线/的斜率不存在时，此时/的方程为x=（）,

令1=0,得（.”1）2=4,所以y=3或T,即。（0,3）,此时忸。卜4,

而点4（2,1）到/的距离为2,/MB。的面枳为^2x4=4满足要求，

所以/:x=0满足要求；

当直线/的斜率存在时，设为七则直线/的方程为了=履-1.

点N（2,l）到/的距离/?=1景，圆心C（0,l）到直线/的距离为石市,

所以如"Ji忌）:寻,

1..14kl2|^-1|

所以…会叫三册出,化简得公+1=12一川，解得左二一1,

所以直线/的方程为，=-x-l,即x+y+l=0,

综上，直线/的方程为x=0或x+y+l=0.

16.（15分）记5,为等比数列｛氏；，的前〃项和，已知S.=%+/1.

（1）求｛%｝的通项公式;

〃为奇数,

(2)设a=1〃为偶数,求数列加｝的前20项和4-

logj"-log^2

【答案】（1）4=2"T.

(2)4o=；x4i。+；.

【详解】（1）由题意有：当“N2时，/=S“-S.T=4+1-1一（1）=。”+|-4,

所以%+L2%（n>2）,所以等比数列｛4｝的公比g=2.

当凡=1时,由，,=。”+]-1有，%=%-1=2《-1,解得q=L

所以*=qp"T=lx2R=2i.

所以（=2i.

n

（2）由题意得，当为〃奇数时，bn=an=2~\

11111

当”偶数时,4rt-1rt+l

log24110g2*2log22-log22(n-l)(w+l)2(〃一1n+\),

所以4+4+&+-.+&9=20+22+24+-.+218=三<小一）,

1110

+!」、+•••+

4+&+4+…+&o=3J-5>=斤

)=l(4,0-l)+—=lx4,0+l

由II120=A+.+…+怎=(4+4+々+…+々9)+(4+.+66+…+如

m以73Vf2137

17.（15分）已知四棱锥产一48CD的底面力8co是直角梯形，4O//8C,AB1BC,BC=2AD=2t

AB=6£为。。的中点，PBLAE.

P

(1)证明：平面P801平面/sc。；

(2)若PB=PD,尸C与平面W8CO所成的角为:，试问在侧面PCD内是否存在一点N,使得8N_L平面PCQ?

若存在，求出点N到直线PO的距离：若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析(2)半

【详解】(1)由四边形力88是直角梯形，AB=6BC=2AD=2,ABA.BC,

可得。。=2,NBCD=],从而ABC。是等边三角形，40=2,BO平分N4OC.

•.♦E为。。的中点，:.DE=AD=\,J.BDLAE,

又•：PB1AE,PBcBD=B,8Qu平面P8D,PBu平面PBD

.・"£"L平面。80,力£<=平面48。。，

所以平面PBO平面/8CO.

(2)在平面P8。内作尸O_L4。于O,连接OC,•.•4EJ■平面P8D,

又•」4Eu平面力BCD，二平面PBD1平面44co.

因为平面08力n平面ABCD=BD,POu平面PBD,PO_L平面ABCD

IT

/.“CO为PC与平面ABCD所成的角，则/PC。=-,

4

，由题意得OPMOCMJ5FPBUP。，0。_L4Q,为8。的中点，..OC_L4。.

以OB,oc,。户所在的直线分别为x,y,Z轴建立空间直角坐标系，

假设在侧面PCD内存在点N,使得AN1平面PCD成立,

设丽=彳>方+4》(/1,〃20,71+4X1),

由题意得%-瓜入+〃-1))，

=(-2-1,V3A-V3(2+//-1)),PC=(0,^,-V3),TO=(-l,0,-V3),

8Mpe=03〃+3(/l+〃-1)=0

丽•丽=0%+l+3(/l+〃-1)=0

17"_\_273

解得4=,,〃=《，满足题意，「.N"?不",Q(T0,0),

取］=而=PZ)=(-l,0,-V3),|p5|=^(-l)2+(-V3y

=2,

PD2

「-1o-2,—2(48

,a=DN=1y:+

"问2''555

毡3j

I52

求出点N到直线PD的距离为：、仿2_（不/）2=

所以N点直线PD的距离为巫.

5

18.（17分）设椭圆5+?=1（。〉方＞0）的离心率为手，过点力（01）且斜率为左的直线/与x轴相交于点

B,与椭圆相交于点C。两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若元=刀，求4的值：

（3）若圆心在椭圆上，半径为三的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点。作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分

别交椭圆了旦尸两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22

【答案】（1）二+二=1

124

（2）上=局

（3）1。图2+|。用2是定值，定值为16.

【详解】（1）椭圆二十二=1（。＞〃＞0）,其中9=2.

a'4

离心率.e=£（c为半焦距），且e=*，又/=『-/,即C2=/-4.

a3

由e，=在可得c=圆,将其代入c?”2一4,得到（逅"二^一九

a333

即：/=/一4,解得/=i2.

所以椭圆的方程为《+片=1.

124

(2)过点40,1)且斜率为1的直线/方程为片Ax+L

令y=0,可得x=-!，所以8(—\o).

kk

设。(%,必)，D(xy),将),=区11代入椭圆方程看十?=i,得到、十侬：=i.

2>2

化简得(1+3-”2+6丘-9=0.

由韦达定理可得再+/=一丁='

1i3K

因为於=而，所以(占+%必)=(一七，1一%)，即玉+工2=-}.

所以一丁"尸=一!，两边同时乘以-1+35)得-6F=Tl+3*).

1+3Kk

即一6〃2=T—3F，解得及=±立.

3

(3)由(1)知。=26，则“卫星圆”半径r=6.

设“卫星圆”方程为。-初2+。，-〃)2=3,因为圆心(见〃)在椭圆工+?=1上，所以枭+卜|,即

〃/+3〃2=i2.

Itni-nI/r

设切线方程为卜=%，由圆心到切线的距离等于半径可得匕1—43.

yj\+r

整理得(m2-3)r-2nuit+n2-3=0.

设切线。E,。尸的斜率分别为J%则6+”含ir-3

将片群代入椭圆方程工+工=1得(1+31)犬=12,则其=捻，小盘，所以

124

1。£/二,+区=需2・

同理［0用2=用普

1I)

E、t2"〃？口〃儿犷=12,

因为…2=一

nr-3nr-3

所以—小臀+鬻4。+书客嘉沪3门

_2：2+4&+j-（8-6伍川2

=12x

2

1+3&+/2）-（6-%人）。2

,_2m4+12m2+6n4+Sm2n2-12n2

12x------；---------k----；----

m4+12m2+9/+6m2n2-36./+36

202—3〃2『+1202-3/）+6/+8（12—3〃2）〃2_i2〃2

（12-3/）'+12（12-3〃2）+9〃4+6（12-3/）〃2-36〃2+36

432-96/

=12x=16

324-72/

所以|0£『+|。『|2是定值16.

19.(17分)若递增数列｛%｝的后一项与其前一项的差大于1(〃6N),则称这个数列为“超1数列”.

(1)已知数列4,4叫〃/+4是“超1数列”,求实数加的取值范围;

(2)已知数列｛4｝是“超1数列”，其前〃项和为Z，若a”=(〃-l)d-2,试判断是否存在实数〃，使得

〃2一2〃一25”>0对V〃cN，恒成立，并说明理由；

(3)已知正项等比数列｛"｝是首项为1,公