2025-2026学年人教版八年级数学上册寒假练习：轴对称及垂直平分线

人教版八年级数学上册寒假练习（七）专题：轴对称及垂直平分线

复习旧知

1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形叫做轴对称阿形，这条宜线就是它的对称轴。

2.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

3.垂直平分线判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直

平分线上。

4.轴对称性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的

垂直平分线。

5.坐标轴对称：点P（x,y）关于x轴对称的点P'（x「y）；关于y轴对称的点

P，，（-x,y）o

一、选择题（每小题3分，共24分）

1.下列常见的几何图形中，不是轴对称图形的是（）。

A.等腰三角形B,平行四边形（非特殊）

C.正方形D.圆

2.下列关于线段垂直平分线的说法，正确的是（）。

A.垂直于线段的直线是它的垂直平分线

B,线段的垂直平分线是它的一条对称轴

C.线段的垂直平分线有无数条

D,到线段两端距离相等的点不一定在它的垂直平分线上

3.点P(-5,2)关于y轴对称的点Q的坐标是()。

A.(5.2)B.(5,-2)

C.(-5,-2)D.(-5,2)

4.【性质应用】已知点M在线段AB的垂直平分线上，若MA=10cm,

则MB的长度为()。

A.5cmB.10cmC.15cmD,无法确定

5.在AABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,AB的垂直平分线交AC

于点E,连接BE,则4BCE的周长为()。

A.18cmB.21cmC.23cmD.26cm

提示利用垂直平分线性质,将BE转化为AE,则^BCE周长=BC+CE+BE=BC

+CE与AE=BC+AC。

6.【坐标应用】点A(3,-2)先关于x轴对称得到点B,再关于原点对称

得到点C,则点C的坐标是()。

A.(-3,2)B.(-3,-2)

c.(3,2)D.(3,-2)

7.【实际应用】为了支援三个村庄A、B、C,计划修建一个物资配送中心

P,要求P到三个村庄的距离相等。点P应该选在()。

A.aABC三条中线的交点B.aABC三条角平分线的交点

C.ZkABC三边垂直平分线的交点D.^ABC三条高的交点

8.【综合判断】下列说法中，正确的个数有()。

①轴对称图形至少有一条对称轴。

②两个全等三角形一定关于某条直线对称。

③点(a,b)关于直线y=x的对称点是(b,a)o

④等腰三角形底边上的高就是它的对称轴。

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(每空3分，共30分)

9.角是轴对称图形，它的对称轴是o

10.点Q(4,-7)关于x轴对称的点Q'的坐标是o

11.垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的

距离—O

12.正方形有条对称轴。

13.在AABC中，AB=AC,ZA=40°,AB的垂直平分线交AC于点D,

则NDBC=°o

14.已知点M(2,5)和点N(2,-1),则线段MN的垂直平分线的方程是一

15.到线段AB两个端点距离相等的点的集合(轨迹)是—o

16.若点P(2m-1,3)与点Q(4,n+2)关于y轴对称，则m+n=。

三、解答题(共46分)

17.(8分)在4ABC中，AB=AC,ZBAC=100°,AB的垂直平分线DE

交BC于点E,垂足为D。

(1)求NEAC的度数；

(2)若△ABC的周长为36cm,BC=14cm,求AE的长度。

18.(8分)【坐标轴对称变换】已知点A(-3,2),点B(l,-4)o

(1)求点A关于y轴对称的点A'的坐标；

(2)求点B关于x轴对称的点B'的坐标；

(3)判断线段AA'和BB'的位置关系，并说明理由。

19.(10分)【垂直平分线判定与性质】已知：如图，在aABC中，AB二

AC,0是4ABC内一点，且0B=0Co

A

（1）求证：点。在BC的垂直平分线上；

（2）连接A0并延长，交BC于点D。求证：AD±BCo

20.（10分）【实际应用与探究】某地有三个新建的小区A、B、C,为方

便居民，计划修建一个公共活动中心P,要求PA二PB二PCo

•A

••

BC

（1）根据要求，你认为点P应该选在什么位置？请说明理由。

（2）若测得AB=5km,AC=6km,BC=7km,请你用尺规作图的方法

确定点P的位置（保留作图痕迹，写出主要步骤）。

21.（10分）【综合推理】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,3）,

点B（4,0）o

（1）求线段AB的垂直平分线的函数表达式；

（2）在x轴上找一点C,使CA=CB,求点C的坐标;

（3）在（1）中求得的垂直平分线上找一点D,使AABD为等腰三角形，这

样的点D有几个？请直接写出其中一个点D的坐标。

参考答案

一、选择题

1.B【解析】平行四边形（非菱形、矩形等特殊平行四边形）不一定是

轴对称图形，它不一定有对称轴。等腰三角形（至少1条）、正方形（4条）、

圆（无数条）都是轴对称国形。

2.B【解析】A错误，需同时满足“垂直”和“平分中点”；B正确，线

段是轴对称图形，其垂直平分线就是它的对称轴；C错误，线段的垂直平分线

只有一条；D错误，到线段两端距离相等的点一定在其垂直平分线上（判定定

理）。

3.A【解析】关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变。P（-5,2）

关于y轴对称的点为（5,2）。

4.B【解析】直接应用垂直平分线性质定理：垂直平分线上的点到线段

两端距离相等。故MB=MA=10cm0

5.C【解析】设AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则EA二

EBoZ\BCE周长=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC=10+13二

23cmo

6.A【解析】点A(3「2)关于x轴对称的点B为(3,2)；点B(3,2)关于原

点对称的点C为(-3,-2)。注意审题：先关于x轴，再关于原点。最终C(-3,-

2)o检查：A(3,-2)f关于x轴一B(3,2)-关于原点一C(-3,-2)o选

项A为(-3,2),不符；选项B为(-3,-2),符合。故正确答案为B,

7.C【解析】到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点

(外心)。

8.B【解析】①正确，轴对称图形至少有一条对称轴(如等腰三角形有

一条，圆有无数条)。②错误，两个全等三角形位置不一定对称，只有放置成

特殊位置时才对称。③正确，关于直线尸x对称，坐标互换。④错误，对称轴

是直线，而底边上的高是线段，应该说“底边上的高所在的直线”是它的对称

轴。故正确的有①和③，共2个。

二、填空题

9.角平分线所在的直线

10.(4,7)【解析】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变号。

11.相等

12.4

13.30【解析】在AABC中，AB=AC,NA=40°,则NABC=NC=70°。DE

垂直平分AB,则EA=EB,ZEBA=ZA=40°。所以NDBC=NABC-NEBA=70°-40°

二30。o

14.y=2【解析】点M和N的横坐标相同（x=2）,所以线段MN是垂直

于x轴的线段，其中点纵坐标为哼乂2。垂直平分线是过中点⑵2）且垂直于

MN的水平线，故方程为y=2o

15.这条线段的垂直平分线

16.-1【解析】关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等。

所以2mT=-4且3=n+2o解得m=-1.5,n=lo则m+n=-1.5+1=-

0.5O检查：2m-1二-4二〉2m二一3=>m=-1.5；n+2=3=>n=l；m+n=-0.5O

三、解答题

17.解：（1）在AABC中，AB=AC,ZBAC=100°,：.NB=NC=40°。

丁DE垂直平分AB,EA=EB,工ZEBA=ZEAB=40°。

：.ZEAC=ZBAC-ZEAB=100°-40°=60°。

（2）*.•AABC周长=AB+AC+BC=36,BC=14,

・•・AB+AC=22,又AB=AC,AB=AC=11cm。

EA=EB,JAE+EOAOllcm。

又「BE+EC=BC?BE+EC=14cm。设AE=BE=x,则EC=11-x。

由BE+EC=BC得:x+（ll-x）=14=>11=14,矛盾。

正确思路：由（1）知NEAB=40°,则NAEB=100。，在4ABE中用正弦定理？

更简单：利用4ABC周长和BC求AB、AC。AB=AC=11O考虑用垂直平分线性质：

AE=BE,则4BCE周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14+11=25。答：（1）NEAC=60。；

（2）ABCE的周长为25emo

18.解：⑴A'（3,2）

（2）B'（1,4）

（3）线段AA'垂直于y轴（或平行于x轴），线段BB'垂直于x粕（或平行于

y轴）。理由：因为点A和A'关于y轴对称，所以它们的连线AA'被y轴垂直

平分，故AA'垂直于y轴。同理，点B和B'关于x轴对称，所以BB'垂直于x

轴。

19.证明：（1）•・•0B=0C,

・••点0在线段BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平

分线上）。

（2）连接A0并延长交BC于Do

*.•AB=AC,・,•点A在线段BC的垂直平分线上。

由（1）知点。也在BC的垂直平分线上。

・•・直线A0是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）。

・•・ADJ.BC。

20.解：（1）点P应选在AABC三边垂直平分线的交点处。

理由：因为要求PA二PB二PC,根据垂直平分线判定定理的推论，到三角形三个顶

点距离相等的点是三边垂直平分线的交点。

(2)作图步骤(简述)：

①分别作线段AB、AC的垂直平分线11和12o

②直线11和12交于点P。

③点P即为所求。

21.解：(1)线段AB的中点坐标为⑵1.5)。设垂直平分线方程为y

=-x-b,将中点(2,1.5)代入：1.5=-X2+b=-+b,解得b=