2025年高考数学三轮复习冲刺卷：离散型随机变量的数字特征（含解析）

高考数学三轮冲刺卷：离散型随机变量的数字特征

一、选择题(共20小题；)

I.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒,

补种的种子数记为X,则X的数学期望为()

A.100B.200C.300D.400

2.已知随机变量f满足下列分布列，当pW(0,1)且不断增大时()

§012

P(1-P)22P(l-p)p2

A.E(f)增大,D(f)增大

B.E(f)减小,。管)减小

C.F«)增大，D(f)先增大后减小

D.E(f)增大，D(f)先减小后增大

3.甲、乙两自动车床生产卮种标准件，X表示甲机床生产1000件产品中的次品数，V表示乙机床

生产looo件产品中的次品数，经过一段时间的考察，x.y的分布列分别是

X0123r0123

P0.70.10.10.1P0.50.30.20

据此判断()

A.甲比乙质量好B,乙比甲质量好

C.甲比乙质量相同D.无法判定

4.设X是一个随机变量，若D(10X)=10,则D(X)=()

A.—B.1C.10D.100

io

5.已知随机变量X满足E(1-X)=5,0(1-X)=5,则下列说法正确的是()

A.E(X)=-5,D(X)=5B.E(X)=-4,D(X)=-4

C.E(X)=-5,D(X)=-5D.E(X)=-4,D(X)=5

6.如果X是离散型随机变量，E(X)=6,D(X)=0.5,X1二2X-5,那么E(X])和。(X1)分别是

()

A.E(XJ=12,D(XJ=1B.=7,=1

C.E(XJ=12,D(Xi)=2D.E(XJ=7,O(X。=2

7.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选

3人中女生人数为G则均值E（f）等于（）

47

A.-B.1C.-D.2

55

8.已知离散型随机变量f〜8（20,0.9）,若随机变量rj=5G则rj的数学期望Er］的值为（）

A.100B.90C.18D.4.5

9.若随机变量士的分布列如下表所示，E（f）=1.6,则Q-匕=（）

f0123

p0.1ab0.1

A.0.2B.-0.2C.0.8D.-0.8

10.已知随机变量X满足E(2X+3)=7,O(2X+3)=16,则下列选项正确的是()

A.F(X)=I，D(X)=vB.E(X)=2,D(X)=4

C.F(X)=2,O(X)=8D.E(X)=D(X)=8

4

11.已知随机变量&满足P(fi=l)=0,P(&=0)=1—访,=1,2.若OVpiVp2<3，则

)

A.E&)<Ea)，D(S)<O&)

B.E(G)<E&)，%)>D(f2)

C.

D.E(G>E&)，。6)>D&)

12.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个

同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,

同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得

分之和X（单位：分）的均值为（）

A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1

13.已如随机变量。"满足?7=-2〈十5,若以。=3,）=2,则（）

A.E(7?)=-1,0(4)=8B.E(〃)=-1,O(〃)=-4

C.E(〃)=3,D(r/)=2D.E(1])=-3,D(rj)=1

14.设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记

下颜色后放回袋中，连续摸三:次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相

同，每次抽取相对独立，则方差D(X)=()

A.2B.1C.-D.-

34

15.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹，命中后的剩余子

弹数目f的期望为()

A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4

16.某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立，设X为该群体10

位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4,P(X=4)VP(X=6),则p=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

17.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次

均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为j则此人试验次数《的数学期望是()

A.±BYCTDT

3937

18.己知p>0,q>Q,随机变量6的分布列如下:

fpq

Pqp

若E(f)=/则p2+q2=r)

A.gB.1c.1D.l

19.已知随机变量S+乙=8,若f〜8(10,0.6),则如，0〃分别是()

A.6和2.4B,2和2.4C.2和5.6D,6和5.6

20.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是04,0.5,0.6,且

此人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点

数之差的绝对值，则EG)等于()

A.1.48B.0.76C.0.24D.1

二、填空题(共5小题；)

21.已知X是离散型随机变量，E(X)=6,C(X)=0.5,Xi=2X-5,那么E(XJ=,

0(K)=.

22.中国福利彩票3D游戏：以下简称3D),是以一个3位自然数(如：。记作000)为投注号码

的彩票，投注者从000~999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公

布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元，某人随机投了一注，

他的奖金的期望是元.

23.已知随机变量X的概率分布如下：

X0246

P0.10.32aa

那么a=,EX=.

24.设离散型随机变量f的可能取值为1,2,3,4,P("k)=ak+b(k=1,234),又f的数学

期望F«)=3,则Q+力=.

25.一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个

白球的概率是(则袋中的白球个数为;若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数

为则随机变量f的均值E(f)=.

三、解答题(共5小题；)

26.为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课

程，并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出

唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.如图中，已知课程A,B,C,D,E为人

文类课程，课程EG,H为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向，结合上面图表，采

取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).

人数

400

（1）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？

（2）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取

4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择

课程G的同学参加，费用为每人2000元.

（i）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；

（ii）设随机变量V表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量丫的期望.

27.48两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

/I组：10,11,12,13,14,15,16

B组：12,13,15,16,17,14,a

假设所有病人的康复时间互相独立，从48两组随几各选1人，4组选出的人记为甲，B组选

出的人记为乙.

（I）求甲的康复时间不少于14天的概率.

（2）如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.

（3）当Q为何值时，4B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

28.已知某种动物服用某种特药一次后当天出现A症状的概率为;.为了研究连续服用该药物后出现

A症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期.假设

每次用药后当天是否出现A症状与上次用药无关.

（1）如果出现A症状即停止试验，求试验至多持续一人用药周期的概率；

（2）如果在个用药周期内出现3次或4次A症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至

多持续两个周期.设药物试验持续的用药周期数为力求77的期望.

29.如图，某工人的住所在,4处，上班的企业在。处，开车上、下班时有三条路程几乎相等的路线

可供选择：环城南路经过路口C,环城北路经过路口凡中间路线经过路口G.如果开车到8,

F,G五个路口时因遇到红灯而堵车的概率分别为：，；，3此外再无另！的路口会

C,E,5/q。

遇到红灯.

（1）为了减少开车到路口时因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?

（2）对于（1）中所选择的路线，求其堵车次数的方差.

30.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门

从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测,

结果如下：

患者的检测结果人数

阳性76

阴性4

非患者的检测结果人数

阳性1

阴性99

（I）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率：

（2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相独立，以X表

示检测结果为阳性的患者人数，利用（I）中所得概率，求X的分布列和数学期望；

（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一

次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5?并说明理由

答案

I,B【解析】E(X)=1000x0.9x0+1000x0.1x2=200.

2.C【解析】由题意可知，甑机变量f满足二项分布，即《〜8(2,p),

易得E(f)=2p,D(f)=2p(l-p),

所以当0<pVI且不断增大时，E(f)增大，D(f)先增大后减小.

3.A【解析】F(X)=0.1+0.2+0.3=0.6,E(Y)=0.3+0.4=0.7,

所以E(X)<E(V),所以甲车床生产的零件次品较少.

4.A【解析】由D(10X)=10,得D(10X)=100D(X)=10,

所以力(X)=(.

5.D

【解析】因为随机变量X满足E(l—X)=5,D(l—X)=5,

月〒以1-E(X)=5,D(X)=5,

解得E(X)=-4,O(X)=5.

6.D【解析1E(XD=2E(X)-5=12-5=7,=4D(X)=4x0.5=2.

7.B

8.B【解析】由题设离散型随机变量f〜8(20,0.9),若随机变量〃=56，

所以Ef=20X0.9=18,

因为〃=5f,

所以ETJ=E(5f)==5x18=90.

9.B【解析】因为分布列中所有概率和为1,所以Q+b=0.8,

因为£(f)=1.6,

所以a+2b+0.3=1.6,a+2b=1.3,

解得Q=0.3,h=0.5,a-b=-0.2.

10.B

【解析】E(2X+3)=2E(X)+3=7；D(2X+3)=4D(X)=16.故E(X)=2,D(X)=4.

故选：B.

II.A【解析】因为随机变量&满足P(&=l)=Pt，P(4=0)=1—Pi，i=1,2,…，

0<Pi<p2<I，所以:Vl—p2〈l—piVl,

E(fi)=lxp1+Ox(l-p1)=p1,

E(A)=1xp2+0x(1-p2)=p2,

O(fl)=(1-Pi)2Pl+(0-P1)2(1-Pl)=Pl-p/,

。(《2)=(I-P2yp2+(0-P2)2(l-P2)=P2-P22>

2

。(々)-。(《2)=PA-Pi-(P2-P2)=(P2-P1)(P1+P2-1)<。，

所以E(A)VE(6)，<O(f2).

12.A【解析】由题意得X=0,1,2,贝IJ

p(X=0)=0.6x0.5=03,

P(X=1)=0.4x0.5+0.6x0.5=0.5,

P(X=2)=0.4x05=0.2,

所以E(X)=1x0.5+2x0.2=0.9.

13.A【解析】因为77=-2f+5,所以E(77)=-2E(f)+5,DW=(-2)2D(f),

又E(f)=3,D(f)=2,所以=D(rj)=8.

14.C

15.C

【解析】由题意知f=0,l,2,3,

因为当f=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，

所以P(f=0)=0.43,

因为当f=l时，表示前两次都没射中，第三次射中，

所以P(f=l)=0.6x0.42,

因为当f=2时，表示第一次没射中，第二次射中，

所以P(f=2)=0.6X0.4,

因为当f=3时，表示第一次射中，

所以P(f=3)=0.6,

所以以=2.376.

16.B【解析】某群体中每位成员使用移动支付的概率都为p,可看做是独立重复事件，该群体10

位成员的支付情况满足X〜8(10,p),

比中(DW=2.4,；10p(l-p)=2.4,

46

'(P(X=4)<P(X=6)kjop(l-p)6<Cf0p(l-pH

解得p=0.4或0.6,且p>0.5,故p=0.6.

17.B【解析】试验次数f的可能取值为1,2,3,

P(f=1)=I，p(f=2)=1x|=|,P(f=3)=；x；x1+"

"3'>"339733\33/9

所以f的分布列为

f123

221

P---

399

所以E(f)=lx：+2x：+3x;学

18.C

19.B

20.A

【解析】X的可能取值为1,3,X=3表示这三个景点都游览了或都没有游览，

所以P(X=3)=0.4x0.5X0.6+0.6x0.5x0.4=0.24,P(A=1)=1-0.24=0.76,

所以X的分布列为

X13

P0.760.24

所以E(X)=1x0.76+3x0.24=1.48.故选A.

21.7,2

22.1

23.0.2,3.4

24.—

10

25.5,I

【解析】设袋中的白球个数为x,则有1一里==，

即(10-x)(9-x)=20=5x4,

由此解得％=5.

f的所有可能取值分别为0,1，2,3,

且P("O)=母吗，

P-D='噌

PG=2)=管，,

=3)=导=

'、)[12

因此F(f)=0x^+lx^+2x^+3x^=1-

26(1)选择人文类课程的人数为(10。+2。0+40。+200+30。)*1%=12(人)：

选择自然科学类课程的人数为(300+200+300)xl%=8(人).

(2)(i)依题意，随机变量X可取0,1,2.

尸。=0)=譬=裔，P(X=1)=等=%。(乂=2)=等=看

故随机变量X的分布列为

X012

343

P....----

14714

(ii)法1：依题意，随机变量V=2000X+1500(4-X)=6000+500X,

所以随机变量V的数学期望为

E(y)=6000+500E(X)

=60004-500(0x-^+1x+2x

=6500.

(ii)法2：依题意，随机变量V可取6000,6500,7000.

所以随机变量丫的分布列为

Y600065007000

343

P-----

14714

所以随机变量y的数学期望为

E(y)=6000x-+6500x-+7000x—

、'14714

=6500.

27.(1)设“甲康复的时间不少于14天”为事件人

由“从A,B两组随机地各选1人”，可认为基本事件数为7X7=49,其中满足“甲康复的时间不少于

14天”的基本事件数为3x7=21,所以PG4)=咨=5.

(2)设事件4•为“甲是n组第i个人"，事件Bi为“乙是B组第i个人"，t=1,2,--,7.

由题知，当甲是从A组中康复时间为10,11两人中选或乙是从8组中康复时间为17,25两人中选时,

必不满足“甲的康复时间比乙的康复时间长故甲是从A组中康复时间为12,13,14,15,16五人

中选取，且乙是从B组中康复时间为12,13,14,15,16五人中选取，

可认为基本事件数为5x5=25,其中满足“甲的康复时间比乙的康复时间长”的基本事件数为10.

设事件为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，因此P(C)=：x：x99•

C772549

(3)a=11或18；

28.(1)方法一:设持续i天为事件4,i=1,2,3,4,

用药持续最多一个周期为事件B,

所以/>(&)=%P(/2)=gx：=g,pg)=gx(§2=5,尸(力4)=gx(，=套

则P(B)=P(&)+P(A)+P(4)+PQU)=M

23o1

方法二：设用药持续最多一个周期为事件乩则下为用药超过一个周期，

所以P(万)=(1),若，

所以P(B)=I_G)4=M

(2)因为随机变量〃可取1,2,

所以PS=1)=废(I)3(I)1+(丁==2)=1一鸿,

所以E5)=lx：+2xg=*

29.(1)设这位个人选择行驶路线：A-B-C-D,A-F-E-D,4-8-G-E-0时堵车的次

数分别为％,X2,X3,

则X],X2的可能取值均为0,1,2,

X3的可能取值为0,1,2,3.

P(X]=0)=gx)=q

DID

P(X1=l)=|x1+^x|=|,

PU1=2)=1xl=±

所以E(Xi)=0x14-1x1+2x^=^.

P(X2=0)=|x^=1,

P(X=i)=lX-+-x-=-,

J343412

P(X2=2)=1xl=±

所以F(X2)=0X^+1X^+2X^=-^.

P(X?=0)=7x7x；=^

c/v4、1S3,413,45147

尸(X3=1)=