2025年高考数学三轮复习冲刺卷：零点的存在性定理（含解析）

高考数学三轮冲刺卷：零点的存在性定理

一、选择题(共20小题；)

I.实数a,b,c是图象连续不断的函数y=/(x)定义域中的三个数，且满足avh<c,/(a)-

/(b)<0,/(b)/(c)V0,则函数y=f(%)在(a,c)上的零点个数为()

A.2B.奇数C.偶数D.至少是2

2.若y=/(%)在区间［Q,R上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()

A.若f(a)f(b)<0,则不存在实数CW(a,b),使得/'(c)=0

B.若/(a)fS)<0,则存在且只存在一个实数CW(a»),使得/(c)=0

C.若则不存在实数cW3,匕)，使得f(c)=O

D.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c6(a,b),使得f(c)=O

3.已知函数f(x)=x2-2x+a(e*T+e~x+1)有唯一零点，则a=()

A•4B*C.1D.l

4.对于函数f(x)=M+爪％+九，若/(a)>0,f(b)>0,则函数f(%)在(a,b)内()

A.一定有零点B.一定没有零点

C,可能有两个零点D.至多有一个零点

5.二次函数/(x)=ax2+bz+c(aH0,xGR)的部分对应值如下表：

%-3-2-101234

y6ni—4—6—6—4n6

不求Q、b、C的值，可以判断方程。/+/?》+。=0的两根所在的区间是()

A.(―3,-1)利(2,4)B.(—3.-1)和(—1,1)

C.(-1,1)和(1,2)D.(-c»,-3)和(4,4-00)

6.若函数/(%)在［a,团上连续不断，且同时满足/(a)•/“)<(),/(a)/(^)>0.则()

A./(x)在卜，等|上有零点B./(xj在［早同上有零点

C.fM在卜，手］上无零点D./(x)在［手㈤上无零点

7.f(x)在区间［a,b］上连续不断且单调，且f(a)•f(b)<0,则方程〃%)=()在区间［处切上

()

A.至少有一个根B.至多有i个根

C.无实根D.必有唯一的实根

8.函数y=^Inx+%-2的零点所在的区间是()

A.Q,l)B.(1,2)C.(e,3)D.(2,e)

9.若函数/(x)=G)-log2x与函数gM=G)-logix的零点分别为xlf"则xxx2所在区间

为()

A.(0,1)B.(1,+oo)C.(1,2)D.[1,+8)

10.函数fM=ln(x+1)一:的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)

11.已知函数f(%)=(J-log3x,若&是函数y=f(幻的零点，且则/(%i)的值

()

A.恒为正B.等于0C.恒为负D.不大于0

12.若函数八%)=。°著’有且只有一个零点，贝!Q的取值范围是()

Z—Q,XSU

A.(-co,-1)U(0,+oo)B.(-oo,-l)U[0,4-co)

C.[-1,0)D.[0,+8)

13.设函数y=N与y=5・(3、的图象交点为P(%,y。)，则出所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

14.已知出是函数f(%)=2"+上的一个零点.若々6(I,%。)，x2G(x0,+oo),则()

A.fQi)<0,f(不)<0B.f(%)<0,“外)>0

C.f(不)>0,/(x2)<0D./Qi)>0,f(x2)>0

6设函数/"(%)=/—(；)的图象与％轴的交点为(事,0),则々所在的区间为()

A.(2,3)B.(1,2)C.(1,1)D.(0,1)

16.函数f(x)=ln（x+1）-/的零点所在的大致区间为（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

17.函数/(x)=ln（x+1）一：的一个零点所在的区间是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

18.方程|无一21=1咤2%的解的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

19.若函数/（%）=lnx—3+a在区间（l,e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）

A.0<a<1B.-<a<1C.--l<a<lD.-+1<a<1

eee

20.在下列区间中，方程1+4%-3=0的解所在的区间为（）

二、填空题（共5小题；）

21.若函数/（幻="+%2-2%-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如

图表，那么方程炉+/一2%-2=0的一个近似根（精确到0.1）为.

/（I）=-2/（1.5）=0.625

/（1.25）=-0.984/'（1.375）=-0.260

/（1.438）=0.165/（1.4065）=-0.052

22.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为

x-10123

ex0.3712.727.3920.09

x+212345

23.若关于x的不等式3-\x-a|>%2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是.

24.若关于x的不等式8-轨-3a2>0在［-2,-1］上有解.则实数a的取值范围是

25.函数/（X）=ex+4%-3的零点所在的区间为.（填序号）

①（-40）；②（。，»③（焉）；④

答案

I.D【解析】因为函数y=f(切为连续函数，且所以在(a,力)内，函数y=f(x)

至少存在1个零点，同理由f(b)得在(b,c)内，函数y=f(外至少存在1个零点，所以在

(a,c)内函数y=/(x)的零点个数至少是2.

2.D【解析】由零点存在性定理可知选项A不正确；

对于选项B可通过反例"f(%)=x(x-l)(x+1)在区间［-2,2］上满足/■(-2)/(2)<0,但其存在三个

零点：-1,0,1”推翻；

选项C可通过反例"/(%)=(x-l)(x+1)在区间［-2,2］上满足/(-2)/(2)>0,但其存在两个零点:

-1,1”推翻，故选D.

3.C【解析】因为/(%)=%2-2%+a(e*T+e-x+i)=-1+(%—+Q+^7),

所以函数f(%)有唯一零点等价于方程1一(％-=a(e>T++)有唯一解，

等价于函数y=1-(>-1下的图象与y=a(e'T+的图象只有一个交点.

①当Q=0时，f(x)=xz-2x>-l,此时有两个零点，矛盾；

②当a<0时，由于y=1--1产在(一8,1)上递增，在(1,+8)上递减，且y=a(e"T+jG)

在(一8,1)上递增,在(1,+8)上递减,

所以函数y=1-(%-1产的图象的最高点为力(1,1)，丫=。1铲-1+£)的图象的最高点为8(l,2a),

由于2a<0<1,此时函数y=l—(x—l)2的图象与y=a(e*T+W)的图象有两个交点，矛盾；

③当a>0时，由于y=1--在(一8,1)上递增，在(1,+8)上递减，且丫=。(1一】+言)

在(一8,1)上递减，在(1,+8)上递增，

所以函数y=1-(3—1)2的图象的最高点为41,1),y=。(铲一］+为)的图象的最低点为8(1,2a),

由题可知点力与点8重合时满足条件，即2a=1,即a=点符合条件；

综上所述，Q=也

4.C【解析】由二次函数图象可得正确答案为C.

5.A

【解析】因为八一3)•/(-1)VO,/(2)•/(4)<0

6.B【解析】由己知，易得/'(b)•/•(¥)<()，因此f(x)在［半,匕］上一定有零点，但在其他区间

上可能有零点，也可能没有零点.

7.D【解析】因为fM在［a,b］上单调，且gf(b)<0,所以①当/(X)在［afb］上单调递增,

则/(a)<0JS)>0,②当f［x｝在［a,b］上单调递减，则/(a)>0J(b)V0,由①②知/(%)在区

间［a,匕］上必有x0使/(%())=0且与是唯一的.

8.B【解析】易知函数/'(幻=：111%+%-2在定义域上连续，且/'(Bnj-mvO,/-(1)=-1<0,

/(2)=1ln2>0,/(e)=1+e-2=e-1>0,

根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为(1,2).

9.A【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数y=Q,y=log2x»y=logpr的图象，如图所

示.

可以发现，0<小<1，1<Xj<2.

因为(I)1=I°g2%>(1)1=10g/2=Tog242，

所以G)孙—=1咤2(%逐2)<°，即<L

因而与％2e(0,1).

故选A.

1().B

【解析】因为f(l)=ln2-2<Ine2-2=0,

/(2)=ln3-l>lne-l=0,则/(l)/(2)<0,

所以函数f(x)=ln(x+1)的零点所在区间是(1,2),

当％>0,且XT0时，/(x)=ln(x+l)-^<0,

f(e)=ln(e+1)--e>Ine--e>0»

f(3)=ln(3+l)-1>lne-^>0,

/(4)=ln(4+1)-->Ine—|>0,

42

ACD中函数在区间端点的函数道均同号，

根据零点存在性定理，B为正确答案.

II.A

12.B【解析】当x>Ofl寸，因为k)g21=0,所以有一个零点，

所以要使函数/⑺二鹰设^言：有且只有一个零点，

则当时，函数/1(%)没有零点即可.

当％W0时，OV2'W1,所以一13一2“<0,

所以—1—QW—2X—a<-Q,所以-aW0或—1—a>0,即a20或a<-1.

13.B【解析】构造函数/•3=/一5・(?:则与即为函数/(幻的零点.

因为f(l)=—；<0,/(2)=^>0,所以r(l)-f(2)V0

且/(%)=x3-5-在(1,2)上的图象是一条连续不断的曲线，

所以零点所在的区间为(1,2).

14.B【解析】设g(%)=J-,

由于函数g(x)=±=一£在(1,+8)上单调递增，

函数h(x)=2"在(1,+8)上单调递增，

故函数/(x)=h(x)+g(x)在(1,4-00)上单调递增，

所以函数/(X)在(l,+oo)上只有唯一的零点与，

且在(l,x0)上/(x)<0,在(x0,4-00)上f(x)>0,

又因为勺£3€(>0，+8),

所以/(%1)<0,f(x2)>0.

15.C

【解析】因为函数/(%)=%3一(3”-2为单调增函数且其图象为连续的曲线，且/(1)=1一2=-1<

0,/(|)=7-V2>0,所以孙£(14).

16.B【解析】尸(%)=击++>0'/(l)=lnl-2=-2<0,

/⑵=ln3-^=In3-1>0,所以在(1,2)有零点.

17.B【解析】因为/(无)在(0,+8)上为增函数，且f(l)=ln2—lVO,/(2)=ln3-1>0,

所以/(X)的零点所在区间为(1,2).

18.C

19.C【解析】因为函数/(0=lnx—§+Q在区间(l,e)上单调递增，又在区间(l,e)上存在零点，

所以函数/(幻=\nx-^+a在区间(l,e)上存在唯一零点.

所以得3,

叫(-l+a<0,

解得白一1<a<1.

e

所以常数a的取值为三一

e

20.B

【解析】因为y=e>为增函数，y=4%为增函数,

所以y=e*+4%-3为增函数,

®f(x)=ex+4x-3,

，(3=£+1一3=-2V0,

fO£+4x

3=e2—l>0.

所以/()/(；)<0,

所以零点所在区间为Q，）

21.1.4

22.(1,2)

23.(-7*3)

(—延延)

24.

【解析】不等式8-4%-3M>o在［-2,-1］上有解.

令/(%)=-4%+8—3a2>o在［-2,-1］上有解.

4代,,4百

则/'（-2）>0即可，解得:一<a<——.

3

25.③

【解析】因为/（：）=£—2V0,/-Q）=eUl>0,所以f（JfQ）<0.又因为y=e*是单调增

函数，y=4%-3也是单调增函数，所以f（x）=e*+4%—3是单调增函数，所以f（x）=e*+4工一3

的零点在区间GJ）内.

26.不能.同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，只能从图（1）观察到它与x轴有

1个交点，从图（2）观察到它与无轴有2个交点，从图（3）观察到它与％轴有3个交点，所以仅凭

观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，至于是否真的有零点，以及有几个零点，要依

据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断.

27.f(2)/(3)<0,(2,3)(或/'(1)/(3)<0,(1,3));

f(3)/(4)<0,(3,4)；/'(4)/(5)VO,(4,5)(或f(4)f(6)V0,(4,6)).

28.令/(x)=^x2+bx+c.因为右分别是方程ax2+以+c=0和-ax24-bx4-c=0的一个

根，

所以axl+岫+c=0,—axI+bx2+c=0>

故bxr4-c=—axl，bx2+c=ax1,

于是/(%i)=+bxr+c=；斓一axl=一1*，

r(%2)=7^2+bx2+c=:诏4-axl=£a埠，

因为aHO,x〔