2026届高三数学二轮复习讲义：每日一练（第五周）

第五周

［周一1

1.(2025•保定模拟)己知集合A={(x,y)|)=(x-l)(x-5)},^={(%,y)|y2=4x},则ACB的真子集的个数为()

A.3B.4C.7D.15

答案D

解析因为产(41)(心5)的对称轴为人=3,顶点为N(3,-4),且这点/(1,0),P(5,0),

当户3时，y=4x上的点为(3,±2V3),

作出)=(x-l)(x-5),y2=4x的图象，如图，

由图可知，)，=(x-l)(x-5)的图象与抛物线尸=41有4个不同的交点,

则Arl8有4个元素，从而AD3的真子集的个数为24-1=15.

2.(2025・沈阳模拟)已知函数/U)=2sin(3X-§(W>0)在区间G，n)上有且仅有一个零点，当口最大时，40的

图象的一条对称轴方程为()

.17TtD—17n

A.JC=——B..r=——

1214

「23n、23n

D.x=——

18

答案B

解析当卜<兀,且时'枭-+3咛口吗

由於)=0可得sin((ox-§二。，

/CTT<-W--<(/C+1)11,

所以33口k《Z,

(k+1)1T<HO)—-<(/c+2)IT,

(3k+1<o)<3k+4,

解得..4..,7kGZ,

k+-<Ui)<k+-,

33

由于co>0且co存在,

则女+4乂(或

(1<0)<4,(-2<a)<1,

解得_*女<：又故&=0或h-1,即

k£Z,士v—或hIK/，则有祐<s<i,

JOOJJ

<33

故切的最大值为g此时yU)=2sin((x—1)，

由9TW+/"兀(m£Z),可得下三十等％〃七Z),当"『2时，函数")图象的一条对称轴方程为尸子.

332147.14

3.(多选)(2025・临沂模拟)设函数小片上3片2,贝")

A<x)有3个零点

B.过原点作曲线,力幻的切线，有且仅有一条

C.）可x）与y=ax-2交点的横坐标之和为0

DJU）在区间（-2,2）上的取值范围是［-4,0）

答案BC

解析对于A,/口)=3«-3=0,x=±\,

X(-8,/)-1(-U1)1(1,+°°)

f(x)4-0-0+

於）单调递增单调递减单调递增

y（-l）=-l+3-2=0,y（l）=l-3-2=-4,所以/U）有2个零点，故A错误；

对于B,设切点为（的，加），则切线方程为y-（%0-3xo-2）=（3诏-3）（1-Xo）,

代入原点，得-就+3的+2=（3就-3）（小），整理得就二-1,所以为=-1,故切线有且仅有一条，故B正确;

对于C,^-3x-2=ax-2,/=（。+3）心.v=0或f=a+3,

若a+3>0,根据对称性知，根的和为0,

若。+3W0,方程只有一个根为0,故C正确;

对于D,斤2）=8+6-2=・4,<2）=862=0,又长1）=0,川）=4故凡0在区间（-2,2）上的取值范围是［-4,0］,

故D错误.

4.（2025•深圳模拟）已知抛物线C：）2=2〃x（p>0）的焦点为/（1,0）,。的准线与x轴的交点为T,若过点7的

直线！与C交于A,8两点，且尸4|二3尸8|,则△TE4的面积等于,

答案2百

解析如图，因为抛物线。的焦点为歹（1,0）,所以91,解得p=2,

则抛物线。的方程为丁=4工准线方程为x=-l,71-1,0）,

易知直线/的斜率存在，设其方程为尸A(x+1),4g>,i),8(X2,竺),

联立修=了，

(y=k(x+1),

整理得Ff+(2标-4)K+S=0,

由根与系数的关系得，

Xl+%2=WKX\X2=1,

X|M|=xi+l,|FB|=X2+1,E|E4|=3|FB|,

所以的+1=33+1),即XI=3X2+2,代入mqT,整理得3后+2壮1=0,

解得由3或E二-1（舍去）,

所以工1=3,y"4%i=12,所以加|=2乃,

s△"旧imyi=2V5.

5.(2025•攀枝花模拟)已知数列｛4｝的首项。尸1,出+仇+产3X2〃.

(1)求证:｛册一2埠是等比数列；

(2)求数列伍〃｝的前〃项和S”；

(3)令8产一求数列｛砥｝的最大项.

⑴证明0为小+而尸3X2",所以a…2e=・(斯・2”),

又0=1,所以0-2=1,

所以｛an-2号是以-1为首项，-1为公比的等比数列.

(2)解由⑴可得a“-2"=(-l)〃，

所以斯=2"+(-1)〃，

122

所以Sn=2+(-1)'+2+(-l)+-+2"+(-1)〃

=(2,+22+-+2n)+[(-l),+(-l)2+-+(-l)n]

n

=2(l-2)+-lx[l-(-ir]

1-21-(-1)

=2"+1-2+-1+(-1尸=2〃+,--+^2

222

⑶解由⑵可得"二系=亮

m|i,._(n+])2n2_m+D2_2n2_2n+]_n2__5_])2+2

-n+1~r+1-n+1

夕、」"+1~Oit-2n+l-2^2—2—2，

所以当1W〃W2时,儿+i也>0,

当〃23时，bn+『bn<0,

即b\<b2Vb3>b4>bs>…,

所以数列｛b｝的最大项为九三.

O

【周二J

1.(2025•南京模拟)设a是平面，〃?，〃是两条直线，则下列命题正确的是()

A.若m//a,n//a,贝Utn//n

B.若m_La,〃〃a,则〃z_L〃

C.若m〃a,"]〃〃，则〃〃a

D.若)n，〃与a所成的角相等,则，〃//n

答案B

解析对于A,若〃?〃a,n//a,则/〃与〃可能平行、相交或异面，所以A错误;

对于B,若〃〃a,则存在直线/ua,使〃〃/,

又因为所以"z_L/,由〃〃/,可知"z_L〃，所以B正确；

对于C,若“?〃a,/〃〃“，则〃〃a或”ua,所以C错误；

对于D,若机，〃与。所成的角相等，则相与〃可能平行、相交或异面，例如，圆锥的母线与底面所成的

角都相等，但母线之间相交，所以D错误.

2.（2025•温州模拟）已知函数府）的定义域为R,Vx,）€R，府心）=加+了），且川）总则（）

A;A0）=0

B•小1尸微

C於+1）勺3

口加+2）火什1）矶什1）企・）

答案C

解析对于A,令户1,产0,则川加0）Jl+0）=/U），又川）总则卯））=，所以的）=1，故A错误；

对于B,令尸1,产-1,则川次-1月31）可⑼,

又川月，的）=1，所以M"）=l，flX-1）=2,故B错误；

对于C,令尸1,则/W/U）=/U+l），

又川）总则儿什1尸1幻，

又凡叨（-上/（。）=1，故外）#。，/月（；）/（；）＞0，所以於"）=如；）勺3，故c正确；

对于D,由於+1）二夕w,则於+2）=/x+1）=/x）,

所以知+2）痴+1尸/幻-如）=-如）,

於+1）-段）=）＞）孙）=尚"），

由C项分析知火幻＞0,所以-如）＞-如），故D错误.

3.（多选）（2025・许昌模拟）已知点P为双曲线C：总后心0）右支上一点，A为C的两条渐近线，过点P

分别作PA_LK，PBJLh,垂足分别为A,B,且|PA||P8|="过点P作PM〃/2交小于点M,过点尸作PN〃/1

4

交/2于点N,O为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A.C的离心率为平

«5

B.\OP\^\AB\

C.ZXPMN的面积为日

答案ABD

解析设点P"〃，〃），所以〃八/川二/,

又C的渐近线方程为尸寺;,即x±ay=0.

所以俨AIIP8I二需等•霁L喀善工吴三，解得斫国(负值舍去)，

va2+lva2+la"+la'+l4

所以C的离心率为竽，故A正确；

由题意可知PA_LQA,PBLOB,则O,A,P,8四点共圆，

且。尸为该圆的一条直径，A8为该圆的一条弦，故|OP|2|A8|,故B正确；

因为C的两条渐近线的斜率分别为-/，

所以。的两条渐近线的夹角为弓，因为PM〃/2,则NPM4W，

因为P4J_OA,则|PM=粤，

sm-

同理|PN|二粤，

sin彳

所以SAPAM4PMiPMsin故C错误；

22sin-sin彳34

俨用||户2|=吆嘿=1,且NMPN=R

smzy3

由余弦定理可得|MN|2=|PM2+|PM2-2|PMIPN|COSNM/W=|PM，|P-M2-1221PMlPN|-1=1,则|MN21,

当且仅当HM=|PN］=I时，等号成立，故D正确.

4.(2025•三明模拟)(户1)(片1)6的展开式中，含V的项的系数为.(用数字作答)

答案-5

解析(»1)6的展开式的通项为■+尸第/-£.(-及(0<攵〈6,止N),

因为(%+1)(41)6=x(xJ丹(41汽

在总・1)6中，K•(・l)A=CQM(-iy(0WkW6,k£N),

令7-上3,可得；4;

在(41)6中，备・心。(-1丫(0小/〈6,reN),令6-7=3,可得，=3.

因此，展开式中含丁的项的系数为Cj(-1)4+Cj(-1)3=15-20=5.

5.(2025•济南模拟)记△48C的内角4,B,5的对边分别为a,b,c,若m=(b-a,c),n=(a+c,b+a)tm//n.

⑴求从

(2)若/尸2百，求AC边上的高的最大值.

解(1)因为〃1〃〃，所以(b-a)(b+a)=c(a+c),即«2+c2-/?2=-«c,

由余弦定理得cos8="+：^=_；,因为8£((),加)，所以8二§.

2ac23

(2)由(1)得-&7=/+/-12224(>12,即acW4,当且仅当斫c=2时，等号成立，

B

设AC边上的高为/z,则SBC=｝心inB=y/3h,

所以仁;ocW1,

4

所以AC边上的高的最大值为1.

［周三］

1.(2025•南京模拟)已知a=log23,Z?=log3c=|>则小b,c的大小关系为()

\.a<b<cB.c<a<b

C.c<b<aD./?<<<«

答案D

33q

解析由32>2)得3>2"则log23>log22Wq即a>c>l；

/?=log43<log44=1,

所以b<c<a.

2.(2025・新乡模拟)已知椭圆C：a珞=130>。)的左、右焦点分别为尸尸2，上顶点为尸，离心率为;•过点

Fi且垂直于PF2的直线与C交于M，N两点，|MN]=6,则『M+PN1等于()

A.4B.5C.6D.7

答案D

解析如图，因为椭圆的离心率为j所以〃=2c,b=&所以椭圆方程可写为E+m二L

4QCJC

因为F2(c,0),P((),V3c),所以即Fz=-g-

因为直线MNUB,所以攵MV=*

所以直线MN：产M"+c)，即尸返卜，

2

代入桶圆方程整理得13r-6V3O'-9c=0.

设Mg,yi),Ng,>,2),

贝1」乃十)'2=噤，)D2二等.

由,且攵MV考，所以仅广词=3.

2T2

所以(yi+y2)-4yi>2=(yi-y2)=9,

所以等!+4义99=。与

所以*7=2C=^.

4

易知△PF1F2为等边三角形，所以直线MN为线段的中垂线，故|PM=|MBI,|PN|=|NB|.

所以|PM|+|PN|=|MBI+WP2|=|WBI+MRI+W尸2什|川山1|-|MN|=4a-6=13-6=7.

3.(多选)(2025•荷泽模拟)下列说法正确的有()

A.若随机变量KM2,/)，且P(d<4)=0.8,则/0<34)=0.6

B.若随机变量X~8(l(),P),且E(X)=2,则。(X)4

C.若数据2xi，2口，…，2为6的方差为8,则数据汨，小，…，汨6的方差为4

D.若频率分布直方图呈现单峰不对称且左边“拖尾”时，平均数大于中位数

答案AB

解析对于A选项，由正态分布性线的性质知，尸424)=1-0.8=02,

因为对称轴为户2,故PeW0)=0.2,故尸(0茗＜4)=Pev4)-P4WO)=0.8-0.2=0.6,A正确；

对于B选项，由二项分布的均值和方差公式得，E(X)=10P=2,P=0.2,£)(X)=10P(l-P)=L6,B正确;

对于C选项，数据Xi,X2,…，X16的方差为8X(m=2,C错误；

对于D选项，平均数受左侧极端值影响会更小，故平均数小于中位数，D错误.

4.(2025•咸阳模拟)正三楂锥尸-A6C的底面边改为3,侧棱长为2,则该三棱锥的外接球的表面积

是.

答案16兀

解析设E为正△A8C的中心，。为三棱锥P-A8C的外接球球心，

因为在正三棱锥P-/WC中，底面边长为3,侧棱长为2,所以3Xsin60。二百,

所以PE=>/PB2-BE2=\.

由球心。到四个顶点的距离相等，设外接球的半径为/?,在中，RO=R,EO=\PE-PO\=\\-R\t

由反修序+瓦巴得R2=3+(1-R)2,R=2,

所以外接球的表面积为4兀/?2=16兀

5.(2025•滨州模拟)如图,在四棱锥/M8CD中,底面A3co是矩形，AD=2,48=3,AB1PD,丛APD为等

腰三角形，且NP4Q=9,点E为线段PD上一点.

⑴若8P〃平面ACE,求零的值；

(2)当蔡为何值时，直线AE与平面PAC所成的角最大，并求最大角的值.

解(1)设4。08。=。，连接。E,

因为底面A8CO是矩形，所以O为8。的中点,

又因为BP〃平面ACE,且BPu平面BDP,平面ACEC平面BO片OE,

所以BP//OE,

在△6OP中，。为8。的中点，可得七为PO的中点,

所以若5尸〃平面ACE,则北=；

(2)因为ABLPDtPDnAD=D.PD,ADu平面P4。，所以A8_L平面PAD,

过A作为x轴，以4P,AB分别为y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

因为A£>=2,A8=3,△AP。为等腰三角形，所以AP=2,且NPAO=?，则/。小尸三,

36

所以4(0,0,0),P(0,2,0),D(V3,-I,0),C(V3,-1,3),

设前公而二，逐，-3.0).其中OWAWI.

AE=AP+PE=(O,2,0)+z(V3,-3,0)=(V3A,2-3A,0),

而二(0,2,0),^C=(V3,-1,3),

设平面PAC的法向量为〃=(x,y,z),

n•而=2y=0,

则

,n-AC=V3x-y+3z=0,

取户V5,可得〃=(V5,o,-i),

设直线AE与平面PAC所成的角为仇

由题意可得sin。=繇=两晨行=；33

因为04W1,所以当即时，直线4E与平面PAC所成角的正弦值最大，为名

AZoN

即直线AE与平面PAC所成的角最大，为全

所以当案=|时，直线AE与平面P4C所成的角最大，为半

［周四］

1.工程师将飞机最开始的方形窗户改为椭圆形窗户，如图1所示，使其均匀受压，飞机更为安全.一缕阳光

从飞机窗户射入，在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，如图2所示.若光线与地面所成角为6。。，则椭圆的

离心率为()

图1图2

A

iB号喈

答案C

解析不妨设圆的半径为一,

则2"2八张tan60。=值

所以?0=2四厂2^b,故离心率e=^=Jl—1—1瓜

3=T-

2.若不等式ksin切+sinAsinO17sinBsinC对任意△43C都成立，则实数攵的最小值为（）

A.81B.79C.I8D.36

答案A

解析因为依in28+sinAsinO17sinBsinC,

由正弦定理可得k!r+ac>17be.

所以女咛荽。

又因为在△ABC中，c-b<a<c+b,所以-c-b<-a<b-c.

2

17cac17ccb-c18c(c2=-G-9

bbbbbbbb4-81.

当衿时，若一9）+81取得最大值为81,

畔需81.

所以2力81,即实数k的最小值是81.

3.（多选）（2025•苏州模拟）已知函数/x）=sinx+cosx+|sinx-cosx|,则（）

A“v）的图象关于点（冗，0）对称

BJW的最小正周期为2兀

cyw的最小值为-2

口：/（幻=次在［0,2扪上有四个不同的实数解

答案BD

解析方法一由y(x)=sinx+cosx+|sinx-cos,r|,

则/0)=2,fl2n)=2f则|20嗔0)N0,

所以KD不可能关于点（冗，0）对称，A错误：

因为函数y产sinx+cosx=/5sin（x+§的最小正周期为2冗，

函数y2=|sinx-cosH=|&sin（x-的最小正周期为兀，

则危）=»+）】2的最小正周期为2兀，B正确;

当OWxW：时，/x）=2cosx,当<乎时，/x）=2sinx；

当?XW2TI时，«X）=2COSx,作出函数/U）的大致图象，如图,

则/x）min=-V2,C错误；

危尸仃在［0,2汨上有4个根，D正确.

方法二由/(A)-sinA+COSA+|sinA-COSAI-(2COSX［卷<^^-2niax{sinx,cosx),

作出g(x)=2sinx和力(x)=2cosx的医象，由图可知，A,C错误，B正确；

对于D,g（x）与力（x）在（0,兀）上的交点坐标为泛），

而依曲＜2,结合函数入丫）的图象特征可知函数./U）的图象与直线广百在［0,2兀］上有四个交点,

所以JU）二次在［0,2兀］上有四个不同的实数解，故D正确.

4.（2025•张家界模拟）已知函数|幻=仁g（x）=1nx,函数尸合的图象与曲线）弓盘）交于点A,B,与曲线

尸g（x）交于点C,D,点A在第一象限，且4,B,C,。四点依次呈逆时针排列，则直线AC的斜率与直线

BD的斜率的乘积为.

答案1

解析设A(11,)，1),8(如>2)，C(x3,”)，D(X4,)%),

由点A与点。关于直线y=x对称，所以汨=、4,X4=yi,同理工2=力，％3二”,

因为点A,B,C,D在函数）=上的图象上,

X“4

所以尸含，「广含'3

力中>，4-

因为近景

X4-X2

所以kAckup丫3-%丫4一%

%3一%1X4-X2

x3X1X4X2

_X3-1Xj-1Xj—lQ-l

43一工]x4~"x2

_____1__________]

~(x3-lXx1-l)(x4-l)(x2-l)

二yiy2y3y4=[

-

xAx2x3x4

222

5.(2025・汕头模拟)己知数列{〃”},alt=n(cos/-sinm)，其前n项和为Slt.

(I)求Ul+«2+«3：

⑵求S3”；

(3)若数列仍"的前〃项和为且〃，可含、，证明：Tn<22.

222

(1)解因为alt=n(cosy-sin£)=〃％os等，

所以ai+«2+«3=COS^+4COS^H-9COS27r=-1-2+9=y.

⑵解因为颂.2+颂-|+。3人=(3火-2)%05曰+(3匕1Fcos4+(34)为os2兀

=您咨-经/+(3攵)2=9碎

所以S词[(9三)+(9n.讣中.

⑶证明因为%含产等父高廿9〃+4)击

所以7>13X>22X导31X套+…M9〃-5)•泰+(9〃+4).表，

从而，尸13X套+22X导…+(9〃-5).亲+(9〃+4).就^,

两式相减得

生=2+9(]+»/+…+》9〃+4).肃=2+91^-(9〃+4).肃

小(9-/翳卷,

故。=22-瞥<22,得证.

I周五]

1.(2025•那州模拟)已知«+/?=—,sin2«+sin2/?=-,则cos2a+cos2/i等于()

63

NB.ZC.坐D%

3333

答案c

解析sin2a+sin2/?=sin[(a+/?)+(«-y5)]+sin[(a+//)-(a-//)]=2sin(a+/?)cos(a-^)=|,

由Q+0二”，得sin(a+0=；,cos(a+用=则cos(a/)=；,

6223

cos2a+cos2/?=cos[(a+/5)+(a-/?)]+cos[(a+/?)-(a-/?)]=2cos(a+/?)cos(a-^)=2X(一义|=-竽.

2.(2025•洛阳模拟)与曲线产e'和圆C：^+/-4^-1=0都相切的直线/有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

答案C

解析设直线/与曲线>,=ev相切于点。，ez),

则/的方程为y-e,=ez(x-r),即erA-y+er(1-r)=0.

圆C：(x-2)2+y2=^,

因为[与圆C相切，所以喀誓也乎,

Ve2f+12

所以心(亡2—6£+?),二。，

令g()=e〃(/-6t+翡,

则^,(0=e2r(2?-10r+3),

令g'(r)=O,得f=f]£(O,1)或/=1£(4,5),

进一步得到g⑺在(-8,4)，“2，+8)上单调递增，在(力，〃)上单调递减，

所以式。奴值=g(/i)>g(0)=0，g。)杈小值招(/2)<g(4)=-(ge8+JvO,

又当；f+8时，gQ)—+8,所以g⑺在区间(-8,fj),S，力)，(h,+8)上分别有1个零点,

所以这样的切线有3条.

3.（多选）（2025・十堰模拟）已知XO,a+b=2,贝"）

A."+b、<4

B.a（l-b）>2

C.2"-2%>3

D.2"+2〃>2P+2"

答案BCD

解析因为〃<0,。+/?=2,即a=2I,

对于A,例如片3,b=-l,则/+/=io>4,故A错误；

对于B,因为a(1-b)=(2-Z;)(1-b)=b2-3b+2,

且加)=/3>2在(-8,0)上单调递减,则/6)次0)=2,故B正确;

对于C,因为2“-2”=22包2»=3・2”,

且X0,则-〃>0,2S1,所以2仁2$二3%3,故C正确；

对于D,因为a+Z?=a-(-b)=2>0,即a>-〃，

且^(.r)=2r-2"v在定义域R上单调递增，则g(〃)>g(3)，

即2"2代>2丸2‘，所以2"2、2~+2),故D正确.

4.(2025•宜宾模拟)从集合｛1,2,3,4,5,6｝中任取4个不同的数，组成无重复数字的四位数.若该四位数能被3整

除的概率为P；若取出的4个数按从小到大排列，中间两个数的和为7的概率为/则p+q=.

答案|

解析从集合｛1,234,5,6｝中任取4个不同的数，可得无重复数字的四位数共有A£=360(个)，

四位数能被3整除，即四个数的和是3的倍数，共有｛1,2,4,5),｛1,2,3,6),(1,3,5,6),｛2,3,

4,6),｛3,4,5,6),5种情况，故共有5Az=120(个)，

若取出的4个数按从小到大排列，共有第=15(个)，

中间两个数的和为7,只能是2,5或3,4,

若中间为2,5,两端只能为1,6一种情况，

若中间为3,4,第一个数可以从1,2中选，第四个数可以从5,6中选，有A'XA>4(个)，故共有

1+4=5(个)，

所以p二洌行三，，

13603”153

所以〃+4乏.

5.(2025・开封模拟)如图，在三棱柱AAC-A出C中，平面灰?。向，四边形BCG当为菱形.

(I)证明：8iC_LAG；

(2)若/S8C=60。，4B=4,二面角A-EG-B的余弦值为寻，求三棱柱ABC-Ai8G的体积.

(1)证明因为四边形8CGS为菱形，所以8CJ_8G.

因为48_1_平面BCG%,8iCu平面BCCIi,所以A8_L5|C

又因为AB,BGu平面A8G,AB^\BC\=B,

所以BC_L平面ABCi.

因为AGu平面ABG,所以8C_LAG.

(2)解方法一

因为N88C=60。,

所以△H8C是等边三角形,

取8c的中点M,连接BiM,则

以用为坐标原点，分别以BiCi,以4所在的直线为x轴，y轴和z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示.

设BB尸。,则5(0,0,0),A甯一或4),

所以瓦了二(学，一会4),瓦瓦=(0,。，0).

设平面A8iG的法向量为m=(x,y,z),

m•81A=0,

则

m-&C；=0,

即愕Ty+4z=o,

令x=l,得帆=（1,0,—等）.

由条件知8遇1=(0,0,4)为平面81GB的一个法向量.

设二面角的平面角为0,易知0为锐角.

百a

:耳，解得。=4.

则8S嗤斜

4后

因为三棱柱A8C-481G的高为且囱/二2遍,

所以其体积X4x4X2百二16百.

方法二因为N88O60。，所以N88iG=120。.

过8作80J_81G交G8i的延长线于点。，连接40,

因为A5J_6iG,所以6Ci_L平面A8O,所以AO_L5iG,

所以乙408是二面角A-8iG・B的平面角.

所以cosNAOB=叵，所以tanNAOB二3，即些二公，

730B3

因为48=4,所以08=2百.

在△/?。片中，解得△氏=4.

又80_1_平面4历G,所以三棱柱A8c-ABiG的高为OB,

所以其体积V=S.ABCOB=^X4X4X273=16A/3.

［周六］

1.（2025・潍坊模拟）已知数列｛必｝满足小+产万‘册"'若田=1,则为等于（）

3an+1,%为奇数,

A.lB.2C.3D.4

答案D

ZT%/ffi粉

解析因为数列｛小｝满足〃〃+|=2'"'且0=1,

30n+1,册为奇数，

所以（i2=3a］+1=3+1=4,的磴=；=2,«4=y=|=1,。5=3出+1=3+1=4.

2.（2025・济宁模拟）已知尸是椭圆C，+合13>">0）的右焦点，直线尸会交。于A,B两点,若42L8E

则椭圆C的离心率为（）

A.—B.-C.—D.—

3333

答案A

解析因为椭圆C：《唔=1（。>/»0）关于原点对称，直线产也过原点，

所以A,8关于原点对称，设椭圆的左焦点为R,连接AR,（图略），

由椭圆的对称性可得依居|二|8~，|BFi|=|4F|,

所以四边形4尸8~为平行四边形，

又因为A/_L8F,所以平行四边形AFBH是矩形，

所以AR_L4E\OA\=\OF\=c,所以点4在圆上，同理点区也在该圆上，不妨设点4在第一象限,

则？二了解得1c《c）,

,x2+y2=c2,"s"

代入椭圆方程

又/=4.c2,可得粤+我=1,

QNQ’-CN

设-则上式可化为詈

a2525（l-e，）

化简可得9/-50^+25=0,即（9e2-5）（/-5）=0,

因为0<e<1,所以9r-5=0,解得e=y.

所以椭圆。的离心率为£

•5

3.（多选）（2025・聊城模拟）如图，在棱长为2的正方体ABCD-AiBGd中，点正3分别在棱AG，4。上,

且以"2瓦片，AF=/^D,其中2£（0,1）,点P是平面A8C。内的一个动点（异于点F）,且AC_LEP,则

A.FPLAiC

B.直线AB与平面E/中所成角的余弦值为第

C.当I变化时，平面EfP截正方体所得的截面周长为定值

D.当点P为AB的中点时，三棱锥C-E/7的外接球的表面积为等

答案ACD

解析以。为原点，DA,DC,OG所在直线分别为x,），，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

则50,0,0),4(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),C,(0,2,2),5(0,0,2),4(2,0,2),设P(〃z,

〃，0)(m,nG[0,2]),

则庠，2,0)=(0,2九0),

所以E(0,22,2),~DF=DA+AF=(2,0,。)+(-22,0,0)=(2-21,0,0),所以F(2-22,0,0),

41。=[-2,2,-2),而=(〃?+22-2,n,0),EP=(w,〃-2A,-2),AB=(0,2,0),

因为AC_LEP,所以卡•品=-2〃?+2〃-4i+4=0,

所以可•不=2(〃?+2几2)+2〃=-2川+2〃-42+4=0,所以/PJ_AC,故A正确；

因为AC_LEP,FP±AiC,EPCFP=P,EP,Qu平面EFP,

所以41cL平面EFP,所以平面或中的一个法向量为中二(-2,2,-2),

则直线"与平面E”所成角的正弦值为筹得二士等，

|AiC||AB|273x23

所以直线A8与平面EFP所成角的余弦值为半，故B错误；

取A8上一点Q,满足而力而，则而二(2九2z,0),

因为地•石祗⑷+羽二。，且丽,而有公共点凡

所以FQu平面EFP,又FQ,”Pu平面ABCQ,平面ABC/Xl平面EFP=FQ,

所以可，而共线，作出平面石FP截止方体所得的截面FQGHt7,

由荏=2而，而与荏得尸Q为等腰直角三角形，FQ=2也,

同理可得△8GQ,ABiGH,AEHCi,AE/D,,△。/户均为等腰直角三角形，

QG=EH=IF=V2(2-2/.)fGH=EI=FQ=2何,

所以截面周长为3X企(2-2n+3X2&%=6企，为定值，故C正确；

当点P为A8的中点时，；=1,所以E(0,I,2),F(h0,0),P(2,I,0),EF二瓜,"二