2026高考数学复习高效培优：立体几何与空间向量（选填题）原卷版

专题07立体几何与空间向量（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

&典例剖析后方法提炼后变式

题型01平行垂直问题

题型02角和距离问题

题型03球内切外接问题

题型04轨迹问题

题型05截面问题

第二部分强化实训I整合应用，模拟实战

A第一部分题型解码

题型01平行垂直问题

典例剖析

【例1・1】（2025・广东•模拟预测）设是两个相交但不垂直的平面，直线〃则机与少的关系不可

能是（）

A.m〃0B.mu0

C.ml/3D.与夕相交但不垂直

【例1・2】（2025・湖北•模拟预测）在棱长为2的正方体ABC。-44G2中，点加是AA的中点，点N是

侧面48CC；上的一个动点，满足MN//平面4乃。，则线段MN长度的最大值为（）

A.2及B.72C.75D.x/6

方法提炼

1.证明空间中直线、平面的平行关系

（1）证明线面平行的常用方法：

①利用定义，证明直线。与平面仪没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理；③利

用面面平行的性质定理；

（2）证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面立行的判定定理：③利用两个平面垂直于同

一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面.

（3）证明线线平行的常用方法：

①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理：

2.证明空间中直线、平面的垂直关系

（1）证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高：②勾股定理逆定理；③菱形对角线互相垂直；④直径所对的圆周先是直

角；⑤向量的数量积为零：⑥线面垂直的性质：⑦平行线垂直宜线的传递性.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；②线面垂直的判定；③面面垂直的性质；④平行线垂直平面的传递性；⑤面面垂直的

性质.

（3）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.

【变式1」】（2025.上海静安•一模）在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（）

A.垂直于同一条直线的两条直线平行

B.垂直于同一个平面的两个平面平行

C.若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直

D.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直

【变式1・2】（2025•上海普陀•一模）已知宜线，小/和平面0,且lua,a〃尸，则下列命题中正确的是

（）

A.若〃?//月,贝〃/B.若加〃/,则〃“/a

C.若m上0,则/〃_L/D.若/〃则

【变式1・3】（2025•全国一卷•高考真题）（多选题）在正三楂柱ABC-A4G中，。为8C的中点，则（）

A.ADA.A.CB.eG1平面

C.ADHA艮D.CCJ/平面A4,。

题型02角和距离问题

典例剖析

【例2・1】（2025•广东广州•模拟预测）在三棱锥P—A8C中，若PA上PB,ZAPC=ZBPC=6（）\则直线PC

与平面BAB所成角的正弦值是（）

A.yB.也C.3D.如

2233

【例2・2】（2025•四川南充一模）已知四面体A3C。中，BA.BC、5。两两垂直，BC=2,BD=2>/3,AB

与平面48所成的角为则点8到平面ACD的距离为（）

2后2G

A.

V~T~—。・噜

方法提嫌

1.异面直线所成的角

ab

设异面直线。泊所成的角为0,pii]cos6>=—其中Z,〃分双为直线。泊的方向向量.

ah

两条异面直线所成的角的范围是卜）,女.

2.线面角

设:为平面a的斜线，/口。=4）为/的方向向量，3为平面仪的法向量，。为/与a所成的角，则

平面a与夕相交于直线/,平面a的法向量为百，平面夕的法向量为后，瓜,E=a,则二面角的大小

%•4

为。或万一。.设二面角的大小为。，则|cos同=|cosM==^.

力公

4.点到直线的距离

如图，已知直线/的单位方向向量为「，A是直线/上的定点，P是直线/外一点，则向最衣在直线/上的

投影向量公=（4户在RA4PQ中，由勾股定理，得尸。二J而『一|福『二’丽2/”7）2.

5.点P到平面。的距禽:

设平面a的一个法向量为7，A是平面a内任意一点，则平面外一点P到平面。的距离dnLpq」

6.两异面直线间的距离

在两直线上各取一点构成一个向量而，%为两直线的公垂线的单位方向向量，则两异面直线间的距离为

ABu.

【变式2・1】（2025•全国•一模）已知空间四边形ABC。，AB=BC=S,CD=1,AD=屈,44DC=90。.

则对角线AC与"。所成角的余弦值的取值范围是.

【变式2・2】（25-26高三上•四川成都・月考）（多选题）己知正方体A3CO-A8CQ的棱长为1，则以下说

A.直线AC与平面A8CD所成角的正切值为正

2

B.二面角A-OC-B所成角的大小为9

C.直线A4与直线8G所成的角为］

D.点A到平面8C1。的距离为正

3

【变式2・3】（2025・浙江•二模）（多选题）在四边形ABC。中，BD=2AB=2>5,BC=2,ZA=^CBD=W，

将△3C。沿80折起，使点C到达点C1的位置，下而正确的是：）

A.直线G。与平面A3。所成角的最大值为30。

B.异面直线8G与A。所成角的余弦值取值范围［。，；

C.若平面CT。，平面A3。，则“到平面GA。的距离为坦

7

D.三棱锥G-AB。的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为16乃

题型03球内切外接问题

典例剖析/

【例3・1】（2025・河北・二模）已知圆台的母线长为4,下底面的半径是上底面半径的3倍、母线与底面所成

的角为60。，那么圆台的外接球的表面积为（）

2856“H2

A.—71B.—兀C.28兀D.-----n

333

【例3・2】（2025•山东日照一模）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4,高为3石.若该圆台内有

一个球，则该球的表面积的最大值为（）

A.9兀B.—C.27TID.27A

32

方法提煤

解决球的内切外接问题的核心思路：定球型一找球心一求半径一套公式.

1.外接球

核心策略：球心定位（外心连线中点/高线）+半径公式/勾股定理

（1）定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定

球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

（2）补形法：若球面上四点构成的三条线段尸A08/C两两垂直，且尸A=a/8="PC=c,一般把

有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4*=/+〃+/求解

⑶截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截

面，把空间问题转化为平面问题求解.

2.内切球

核心策略：等体积法（万能通法）+轴截面法

（1）体积分割是求内切球半径的通用方法.

（2）找准切点，通过作过球心的截面来解决.

【变式3・1】（2025•上海黄浦・一模）已知边长为3的正三角形力8c的三个顶点都在球。的球面上，球心。

到平面A8C的距离为1,则球。的体积为.

【变式3・2】（2025•江苏连云港•模拟预测）（多选题）在四面体八〃。£＞中，BC—3,其余各梗长均为2,

则该四面体的（）

A.表面积为26+3将B.体积为走

2

C.外接球的半径为与D.内切球的半径为3（历一4）

35

【变式3・3】（2025・广东•模拟预测）一个轴截面为等边三角形、而为6cm的封闭圆锥形容器内有一个半径

为1cm的小球，小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圜锥内壁的面积为cnr.

题型04轨迹问题

典例剖析

【例44】（2025・四川成都・二模）一封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个半径为立的小

3

球在该容器底面运动，则小球与侧面接触部分的轨迹长为（）

A.5兀B.C.6兀D.3兀

【例4・2］（2025•全国•模拟预测）已知正方体A8CD-AMCQ的棱长为拉，点Me平面A8CR,且挑=应，

则点M的轨迹的长度为（）

A.6nB.3兀C.2y/3nD.—

2

方法提煤

1、立体几何中的轨迹问题

立体几何轨迹问题是以空间图形为素材，去探究符合一定条件的点的运动轨迹,常见的领迹类型有直线、圆雉

曲线、球面、椭球面.

2、常用的解决策略

（1）定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.

（2）交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线（曲线方程中含有参数）的交点•此时,要首先分析两动曲线的

变化，依赖于哪一个变量?设出这个变显为3求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去参数3

化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

（3）几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动点的

轨迹，再进行求解.

（4）坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进行求

解.

（5）向量法：不通过建系，而是利用空间向量的总算:、空间向量基本定理等米研究立体几何中的轨迹问题,

进行求解.

【变式4-1］（2025.甘肃・模拟预测）在所有棱长为4的正四棱锥P-A88中，M是底面正方形ABC。内一

点（含边界），若PMLMD,则点"的轨迹长度是（）

A.岳tB.2兀C.2&D.2a兀

【变式4・2】（2025•甘肃甘南•模拟预测）在棱长为2的正方体/中，M为棱A8的中点，P

为侧面内（包含边界）的动点，且则动点p的轨迹长度为；当线段M尸取最小值

时，三棱锥P-M8C的外接球的半径/?=.

【变式4・3】（2025•浙江丽水•一模）已知三棱锥S-A4C,满足回=S4=SC,且SA,S3,S0两两垂直.在

底面VABC内有一动点P到三个侧面的距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（）

A.一个点B.一条线段C.一段圆弧D.一段抛物线

题型05截面问题

典例剖析

【例5/】（2025•陕西西安二模）在三棱锥P—A8C中，AB=BC=2g，且A8_L8C.记直线抬，PC与

平面48c所成角分别为夕，P，已知力=2。=60。，当三棱锥尸-4BC的体积最小时，平面么C截三棱锥

P-ABC的外接球的截面面积为.

【例5-2】（2025.云南昭通.模拟预测）在棱长为3的正方体48S—A与GR中，E是棱的中点，F为

棱BC的三等分点（靠近4点），过4民尸三点作正方体的截面，则以3为顶点，以该截面为底面的棱锥的

体枳为.

方法提煤

1.作截面的具体步骤

（1）找截点：

方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面（或其延长部分）相交，交点即截点；

方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点；

（2）连截线：连接同••平面内的两个截点，成截线；

（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面.

2.作截面的几种方法

（1）直接法：有两点在几何体的同••个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交

线的过程.

（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其池平面相交找到交点.

（3）平行线法：过直线与直线外•点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线

的平行线找到几何体的截面的交线.

【变式（2025•河北邯郸一模）已知三棱锥P—A8C中，PA=PC=PB=BA=BC=2,AC=26,。为

心的中点，过点。作三棱锥P-ABC外接球的截面，则截面面积的最小值为.

【变式5・2】（2025•河南•模拟预测）已知球。是正三棱锥夕-人8。的外接球，==君，薜=；丽，

13

过点E作球。的截面，若截面面积为亍兀，则直线OE与该截面所成的角为（）

16

it汗兀兀

A.-B.-C.-D.-

6432

【变式5-3]（2025・辽宁・二模）（多选题）在棱长为4的正方体/WCD-A4GA中，M,N,/）分别是

棱AA，CG，GQ的中点，。是棱AA上的动点（包含端点），则（）

A.当点。是棱4。的中点时，过点。且与平面4G。平行的平面截该正方体所得截面图形的面积为2G

Q

B.若过点8,M,P的平面截该正方体所得截面与AA交于点Q，则AQ=:

C.过点。且与BN垂直的平面截该正方体所得截面图形的面积的最大值为8石

D.存在点。，使得过点Q,",N的平面截该正方体所得截面图形为五边形

＞第二部分强化实训

1.12025•山东济南•二模）（多选题）如图，矩形ABC。中，皿=26,4。=2«w,%分别为4。/。的中

点.现将△A3。沿8。翻折，得到三棱锥则在△44。翻折的过程中，下列说法正确的是（）

A.三棱锥A-BCD体积的最大值为8

B.存在某个位置使CM_L9V

C.三棱锥A-4C。外接球半径为3

D.直线肋V被三棱锥4-BCD外接球截得的线段长的取值范围为（2近,6）

2.12025•河北•模拟预测）（多选题）如图，在正八面体M-/WCO-N中，所有棱长均为1,P为正八面体

内切球球面上的任意一点，则（）

A.正八面体内切球的表面积为§B.正八面体的体枳为也

33

C.P.•"的取值范围是JtanN尸AC的最大值为日

3.12025•湖北武汉•三模）（多选题）如图，半圆锥的底面直径为A£>=2,母线以=2,。为圆弧AO上任

意一点（不包括A,D两点），直线八。垂直于平面ADP,HAB-2.连结出）交母线E4于点E.下列结

论正确的是（）

A.三棱锥P-/W。的4个面均为直角三角形

B.VE=4-2y/3

C.沿此半圆锥的曲侧面从点。到达点石的最短距离为2

D.当直线即与平面必1。所成角最大时，平面243截三棱锥P-A4。外接球所得截面的面积为正兀

4.12025•云南玉溪•模拟预测）（多选题）正方体ABCO-A出/C/。/棱长为1,2是4。上的一个动点，下

列结论中正确的是（）

A.当P在A/O上运动时，不一定有GP_L8。

B.当户在直线4。上运动时，三棱锥8/-ACP的体积不变

C.以+PC的最小值为亚二五

D.以点3为球心，*为半径的球面与平面43/C的交线长为"Ji

23

5.（24-25高二上•黑龙汀哈尔滨•期中）（多选题）如图，棱长为4的正方体A8CO-A瓦G2中,E为棱。。

的中点，户为正方形CDRG内一个动点（包括边界），且4尸〃平面A5E,则下列说法正确的有（）

A.动点尸轨迹的长度为2立

B.平面ABE截正方体所得的截面图形的面积为9

C.存在尸点，使得与F_LA8

D.若P为CO的中点，以点P为球心，而为半径的球面与四边形ACG4的交线长为］兀

6.12025•湖南•一模）（多选题）如图，三棱台人8。-486中，J■平面

ABC,ABlBC,AB=BC=CCi=2A^=2,则（）

A.三棱台的体积为:

B.CM_L平面AC/

C.AB.1B.C

D.若点P在侧面A8&A上运动，且C尸与平面A844所成角的正切值为4,则Q点在侧面AB瓦4上的

轨迹长度为g兀

7.（2025•湖南郴州•一模）（多选题）在棱长为1的正方体河6-人用62中，点加在侧面8。6所在平面

内运动，N为8c的中点，则下列说法正确的是（）

A.当"在线段G。上运动时，恒有

B.当M为正方形CD。©的中心时，3M与4