2026高考数学复习：全国卷中的比较大小问题

6,盘点全国卷中的比较大小问题

1.单调性再搭桥

具体操作步骤如卜：

①底数相同，指数不同时，如4、和，产，利用指数函数的单调性；

②指数相同，底数不同，如看和其利用幕函数y=x•单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如log“M和11“当利用指数函数log“x单调性比较大小；

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助

中间量进行大小关系的判定.

⑤换底公式要记牢！

例1.（2019全国1卷）已知。=log2（）.2,〃=202,c=0.203,则

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

0203

解析：a=log20.2<log2l=0,/；=2>2°=l,0<O.2<0.2°=1,则

0<c<\,a<c<b.故选B.

点评：送分题.

例2.（2019年3卷）设是定义域为R的偶函数，且在（O,T8）单调递减，则

2\

-3

A.

B./叵升小G>小3\

1

Z

（3\（2\/

c.f>/23>/log.

\Jk7V4;

D.炉卜炉卜.

・'7（噪3J=/（-噪34）=f（嘎34）.

解析：・・・/（x）是R上的偶函数，

23

3又/（X）在（0,+8）单调递减，

.-.log34>l=2°>2>2_2>0

/（嚏34）〈/（2匚卜/（2W,2菖故选C.

421

例3.（2016年3卷理科）已知。二2*8=43c=25?，则（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

解析：因为。=2'=43>43=b,c=25^=5*>43=a,故选A.

例4.(2016年1卷理科)若。>人>1,0<°<1,贝IJ()

cce

A.d<bB.ab<baC.alogAc<blog(/cD.Iogdc<log；,c

解析：对A：由于0<c<l,・•・函数），=/在R上单调递增，因此=A

错误；

对B：由于一Icc-lcO,.,•函数y=在（1,+8）上单调递减，

clc（c

：.a>b>\<^a-<b-'<=>ba<abtB错误：

对C：要比较々log/和力log〃c,只需比较“巫和色上，只需比较上1二和也只

In/?Inab\x\ba\na

需bln/?和alna

构造函数/(x)=xlnx(jv>1),则/(x)=lnx+l>l>0,/(x)在(l,+oo)上单调递增,

11

因此/(〃)>/(〃)>0=aIna>〃ln〃>0u>-------<-------

a\nah\nh

InrInr.

乂由0<c<1得Inc<0,-----<-----<=>blog“c<alogc,C止确

a\nah\nhh

InrInc

对D：要比较log.c,和log/,只需比较丝和巴士

In。\nb

而函数y=Inx在(1,+oo)上单调递增，故a>b>1oIna>Inb>0<=>，一<］彳

又由0<cvl得IncvO,・,・巫>星=log,c>log〃c,D错误，故选C.

1IID"

InaInZ?

例5.（2017年1卷理科）设乂乂z为正数,且2*=3、=5工，则（）

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

解析：令2'=3'=5'=A,则x=log2%,y=log5k,z=log5k

嚼岩累罟—，界鬻号翳I-

故选D.

2.结合重要不等式

基本不等式，糖水不等式以及一些重要的恒等关系已¥=4+?等需注意.

abab

例6.(2018全国3卷)设〃=logo.2()-3,b=log20.3,则

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

详解：.・・•a=log0.2O3,Z?=/^2O3=log0.3°2,-=/^0.32=/^0.4

abab03

.•.0<，+4<1,即又・・也>0必<0,二.abvo即ab<a+b<0,故选B.

abah

例7.(2020全国3卷)已知5$<84,134<85.设。=logs3,b=logs5,c=logi此则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

解析：由题意可知"、b、CG（0,1）,

lg3+lg町隆3+但8丫/怛241

alog53_lg3lg8<1

121g5J-11125；：.a<b\

2；

4

由〃=log85,得8'=5,由5S<84，^85i,<84»/.5Z><4,可得匕〈一;

5

4

由c=log138,得13'=8,由134<8‘，得13"<13%「.504,可得c>三.

综上所述，a<b<c.故选：A.

例8.(2020新高考1卷).己知。>0,力>0,且〃+力=1,则()

A.a2+b2>-B.T-h>-

22

C.log267+log2/?>-2D.G+&4近

解析：对于A,a2+b2=a2+(\-a)2=2a2-2a-^\=2a-

2J22

当且仅当〃=〃=［时，等号成立，故A正确;

2

对于B,ab=2a1>1,所以2"">2-=—,故B正确;

2

=log2l=-2

对于C,log2a+log,b=log,ab<log.

当且仅当。=〃=［时，等号成立，故C不正确；

2

对于D,因为+=\+2\/ab<1+«+/?=2,

所以G+当且仅当"=时，等号成立，故D正确；故选：ABD

3.结构一致可同构

例9.（2020年高考2卷理科）若2、一2’<3-'-3一）'，则（）

A.ln(y-x+l)>0B.In(y-x+l)<0

C.In|x-y|>0D.In|x-y|<0

解析：由2'—2,v3T-3一，得：2X-3~x<2y-Yy,令〃/)=2'-3一，

・・•)，=2'为A上的增函数，)，=3一、为R上的减函数，.♦./(，)为R上的增函数，

「•xvy,Qy-x>0,y-x+\>\tln(y-x+l)>0,则A正确，B错误；

Qk-)，|与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.

例10.(2020年高考1卷理科)若2"flog2。=4〃+2log",贝4()

A.a>2bB.a<21}C.a>h2D.a<b2

2ft

解析：设f(x)=2、+log2x,则fM为增函数，因为2“+1鸣a=4嗔2log4/?=2+log2b

所以f(a)~/(2加=2"+log?。-(2?、log?2份=2"+log"-(2?，+log22b)

=log21=-l<0,所以/(a)</(2〃)，所以々〈%.

2h222h2

f(a)-f(b)=2。+log2a-(2+Iog2b)=2+log26-(2序+log,b)=

2^-2^-log2/?,

当〃=1时，/(〃)一/(/4)=2>0,此时/(〃)>/(/),有々》从

当b=2时，/(«)-/0:)=-1<0,此时有从，所以C、D错误.

故选：B.

4.构造函数比较大小

L构造相同函数，比较不同函数值

2.构造不同函数，比较相同函数值

这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，

所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基

本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法！

3.构造不同函数，比较不同函数值

这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.

4.先同构，再构造，再比较

当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可

能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小.

例11.已知〃=哈力号，。=殍，贝Ija,b,c的大小关系为()

A.b<c<aB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

解析：方法1.a=殍=防71,力=耳=历&，c=-^-=lnVs

/JD

由a=死<%=冷，^/5='^25<'^32=72,可得沿vgv班,

又产Inx为(0,+8)上增函数，则m褥6，BPc<a<b,故选：B

方法2.设〃x)=m,则r(x)=lz^(x>o),当xe(O设时,方法>0,所以/*)在(0,e)

X人

上递增，/㈤在(e,+8)上递减.由于2<e<3<4<5,。=〃2)=/(4),故选小

例⑵若。=竽〃=竽”哈则()

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<b<a

解析：设/(x)=2,则广(冷=男外>0),当工e(0.e)时，/V)>0,所以/(幻在(0,e)

上递增，/⑶在(C，+8)上递减，因为e<2&<3,所以/(2夜)>/(3),c>b,

因为…号一号21n3-31n2In9-In8八

-------->0所以/?>〃;故〃</?vc.故选：A.

~6~6

Inx

注：在这里，我们需要特别注意函数/")=」在相关比较大小问题中的出镜率，以及结

X

合对数性质，所出现的g(x)=上《=土型等等，比如可以看下例.

exex

I厂4-In4

例13.设。=京，人=ln夜，c=e?，贝【J()

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

解析：设/(刈=(，A-e(0,+co),所以/*)在(0,e)上单调递增，在(e,a)上单调递减.

而〃='=/(五)，b=\n^=—=/(2)=—=/(4),

27e24

4-In42-In2?c"

因为0<6<2<e<J<4,所以a<Z?<c.故选：A.

丁=丁=三=/［句2

22

二.构造不同函数，比较相同函数值

这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值,

所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基

本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法！

例14.(2022新高考1卷)设〃=0.1e°」力=1,c=-ln0.9,贝!1()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

解析：方法1.构造函数，作差(商)比较大小，即讨论差(商)函数的性质.

X

令4=粕‘，b=----,c=—In(l—x),

1-x

为了方便比较，做如下处理：lnfl-ln/?=x+lnx-Llnx-In(l-x)J,y=x+ln(l-x),xG(0.0.1J；

y'=\一一—=—<0,所以为0,所以lna-ln〃,0,所以力

1-xi-x

...、/八八I1,xv1(1+-V)(l—x)e'—1

a-c=xet+ln(l-x),xe(0,0.1],y=xe+e-----=---------------,

1-x1—A

令心)=(l+x)(l-x)/-1,所以K(x)=(l--2%)e*>0,所以左(x)>&(。)>0,所以y'>0,

所以a-c>(),所以

方法2.构造函数，利用泰勒展开直接估值.

构造函数f(x)=xe\gM=-^-,/2(x)=-in(l-x).则可以看到：

1-x

6/=/(O.l),Z7=g(O.l),C=/2(O.l),由于0.1较小，所以对上述三个函数在x=0处进行二

222

阶泰勒展开：fM=^+x+^-+o(x)]=x+x+y+o(x)i

22

g(_r)=10[1+x+%2+0(工2月=10+10x4-10x2+o(x2)；

x~.fX.八

h(x)=-[-x----+o(x~)]=x¥—+O(X~).

在x=0.1处,显然Z?=g(().l)>〃=/(().l)>c=〃(().1),故b>a>c.

例15.设〃=lnl.l,b=e°1-1>c-Um0.1,d=,则()

兀

A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b

解析：

/、、、4

方法1.(构造函数，泰勒展开估计)设々(x)=ln(x+l),-1,c(x)=tanx,d[x)=—xt

注意到题干实质在比较：

6/(().1),/?(().l),c(0.1),J(0.1),且考虑到0.1接近于0,故对上述函数在x=0进行泰勒展开

x~x~入，04

即：a(x)»x-----------------,c(x)«A+—,d(x)=」一，代入x=0.1到上式，显然

22371

易得：d>b>c>af故选：B

方法2.(构造函数，作差比大小)

易得。(0)=跳O)=c(O)=d(O).

^y=d(x)-b(x)=-%-er+1,则令y'=±-e'=0有x=ln±,故y=d(x)-〃(x)在

7T717T

(yjn?)上单调递增.

10105(4Y04

①因为即上>e,故101n—>1,即

⑺4

ln->0.1,故d(O.l)-b(0.1)>d(0)-0(0)=0,即d>b.

冗

c

②设y=A(x)_c(x)=e'_l-tanx,贝!J1----l=cosA-1设cos?1-1,

COS"ACOS"A

则(W=e'(cos2x-2sinx)=el(-sin2x-2sinx+1).

设g(x)=x-sinx,贝！]g(t)=l-cosxNO,故g(x)-sinx为增函数，故g(x)2g(0)=0,

BPx>sinx.

故厂(x)Ne，(一f-2x+l)=e[-(x+lf+2],当xe[0,0.1]时//(x)>0,/(x)=eAcos2x-l

为增函数，故/(x)Nd'cos'O-1=0,故当xe[0,0.1]时y="(x)-c(x)为增函数，故

Z?(O.l)-c(O.I)>。(。)-c(O)=0,故6>。.

③设)=。(力—〃(x)=tanH-ln(x+l)，/=~7F：~-7；=/xy易得当工4°，°」)时

UU、人人十1IA।1IV\JoJi

y>0,故c(O.l)-a(o.l)>c(o)-4o)=o,即C>Q.

综上d>b>c>a

三.构造不同函数，比较不同函数值

这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.

1.切线不等式：

高中几个重要的函数y=/,y=lnx,y=sinx都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构

造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式:

1.1ex>x+l,x>0；1.2lnx<x-1,x>0；

将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式:

①/>x；

②>-x；—“工例」》/eL(X<0)；

X

@e~x>-x+l；—取例数<—!—,(x<l)；

\-x

x-\>InInx>1--<=>xlnx>x-l

A

2.高次不等式放缩

12ir*

2.1c、2、—x+x+l;2.2ln(l4-x)>x---,xN0；

22

xx

2.3sinx>x---,x>0；2.4cosx>1--

62

3.分式不等式放缩

lnx>2(X~X\x>\

I、•+]

3.1Inx>1---,x>03.2

x.2(x-l)

Inx<-------,0<x<1

x+\

例16.己知a=K，b=e1，c=l+】nS,则。，bfc的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

解:设〃力="%-1,r(x)=ex-l，令命=0,解得X=0,X«YO,0),第x)v0,f(x)

单调递减，x«0，y),/^)>0,/(x)单调递增.所以/(x)N/(0)=0,即e'-x-l"),

当且仅当x=0时取等号.所以er>x+l(x¥0).又1=1>1+1=3=',故：>_!_,所以6<〃；

b99aba

设g(x)=lnx-x+l,^，(-r)=--1=-»令&4工)=。，解得x=l.

xe(O,l),g«x)>0,g(x)单调递增，XG(1,-HX>),g")<0,g(x)单调递减.

所以g(x)<g(l)=O,即卜丫一丫+1<0,当且仅当丫=1时取等号.所以Inxvx-l(xwl),故

In—<---1=—,又c-a=ln—+—>In—+ln—=In1=0,所以。>。，故人<a<c.

101010II101110

故选：B.

例17.设4=(〃=)*—l,c=ln?,(e是自然对数的底数)，则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

Jl_n?2

解析：由于故ln1>2号一=>言二!

?V

2-I-rsin1-

所以对,一1也用帕德逼近<----,XG(0,2),e6-1<e6-1<sinx<x

2-x

23,210111珈,

-77『TT才彳丁故小心江

当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可

能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小.

例18.已知〃<5且=51,方<4且34=4e〃，c<3且比3=31'，贝!1()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.

a<b<c

解析：因为优5=5e“，a<5,故〃>0,同理人>()">(),令/(力=4,尤>0,则

/(X)="(­),当Ovx<l时，/。)<0,当x>l时，/(。>。，

X

故/(x)在(0,1)为减函数，在。,内)为增函数，因为祀5=5e“，〃<5,故口=1，即

5a

/(5)=/(«),而0<a<5,故0va<i,同理OVZJVI,0<c<1,/(4)=/(Z?),

/(3)=/(c)因为f(5)>/(4)>/(3),故/⑷>>f(c),所以0<a<8<cv1.

故选：D.

例19.己知e为自然对数的底数，a,力均为大于1的实数，若ae“M+bv〃ln〃，贝U()

A.b<e^1B・b>ert>lC.ab<eD.ab>e

解析：由ae“x+/，v〃ln〃，可得。占川v〃ln)->=0(ln07)=Zdn2,即erne"<4/,

eee

设/(x)=xlnx,可得/'(e")</(2),因为。>0,可得e“>l,又因为"In。-1)>0,。>。，

e

所以lnb>l,即6>e,

所以g>l,当工>1时，/'(x)=lnx+1>0,可得函数在(l,xo)为单调递增函数，所以

e“<2,即〃>e"+'故选B.

e

三.习题演练

1.已知函数/(x)=e/a,记4=/(1。8329=/(1二3)./(1嗝5),则()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

112112

解析：因为log.2=-log8<-log9=-,log3=-log27>-log25=-,

J3J3J3J5J3J

所以logCvlogsS；又因为

Il3113

logs3=-log581<-log5125=-,log75=-log7625>-log7343=；,所以

log32v1。&3<log75<1,又因为/(x)=e'm=e”外在(—,1)上单调递减，

所以c<〃va,故选：D.

2.己知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且当工式口,。］时，/(x)+#'(x)<0,若

。二誓/俘)b=(cos7^fcosc=(4sin/f4sin,则a,b,c的大小关系是()

32132；4II4八

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

解析：令g(x)=M(x),由y=/(x)是定义在R上的奇函数，可得g(x)=9(x)是定义在R

上的偶函数，又因为xe(~oo,0］时，y=/(x)+V(x)<0,所以雇工卜4但在K«yo,0］上

是减函数，所以g(x)=Wx)是定义在[0,田)上的增函数，构建F(x)=lan…4(0,9,

贝"'("=$7一j。，可知"(“)在内单调递增，则*“>*0)=0,可得

【anx>x,xc(0,5｝构建G(x)=x-sinx,xe0弓)，贝!jG'(x)=1-cosx>0,可知G(x)在

(。段)内单调递增，则G(x)>G(0)=0,可得由tan(0,/),

,•1

4sin-][]1

可得----=4tan->1,故4sin->cos-,所以c>b；设〃(x)=cosx+-f-l,xw(0,+oo),

cosl4442

4

则"(x)=-sinx+x>0,所以〃(x)在(0,+oo)单调递增，故>力(0)=0，所以cos-杉〉0,

14J432

131

即COS]>不，所以8>4,所以故选：D

3.已知定义在R上的函数/(X)的导函数为/'(%),对于任意的实数工都有萼\=e2'，且

/(--V)

x>()^,若4=平，〃=用2,c=3/(lng),贝JIa,b,c的大小关系

是()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

解析：令g("=绰，对于任意的实数K都有察2=e2'n/孕=绰，即

v7elf(-x)eev

g(-x)=g(汇)=g(x)为偶函数；a=g⑴力=g(ln2),c、=g(-ln3)=g(ln3)；

当x>0时，r(x)>“x)H(O=r(x)：/(x)>0,当工>0时，g(x)为增函数；又

e

ln2<1<ln3,.,.g(ln3)>g(l)>g(ln2),即c>a>b.jfc®：C.

4.已知函数/*)的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且当xv3时f(x)=.i,则下列

结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

解析：因为当x<3时/(x)=x,所以/(1)=1J⑵=2,又因为/(x)>/(x—1)+/。—2),

则/(3)>/(2)+/(1)=3J(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)./(12)>610,/(15)>/(14)i/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知八20)>1000,则B正确：且无证据表

明ACD一定正确.故选：B.

5.已知正实数。，〃满足e2"2+e/，=e2-2、e-3则。一《的最大值为()

A.0B.-C.1D.-

22

解析：由题e27_e2-2"=e"-e3构造函数，则”加一2)=/(—〃)，显然f(x)

在R上单调递增，所以2〃-2=-即。=9,所以

=l---f/7+-l<l--x2A/Tl=0,当且仅当。=，，〃=］时等号成立.

2b22b2\b)2\b2

所以的最大值为。.故选：A.

x2.01201

,nF111,,103/2A

6.已知。=-+——+——,/?=In-----,c,则()

K)

100101102100,

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

解析：设〃x)=xTn(x+l)(x>0),则/(力=1一9=后>0,所以/(x)在(0,+8)单调

递增，所以/(力>/(。)=0,即当x>0时，有x>ln(x+l),所以

—>ln—=lnlOI-lnlOJ.同理可得二->lnl02-lnl01,」->lnI03-lnl02,所以

100100101102

—+—+—>lnl03-lnl00=ln—,即a".设g(x)=瓜(+工一1(K>1),贝！J

1001011021006Vfx

且'3='-4=可>。，所以83在(1，的)单调递增，所以屋”>屋1)=°，即当*>1时，

XXX

1031003、1

所以〃=14=>又因为

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=—,所以〃〉c.综上可知,故选：B.

36

7.已知实数。，〃分别满足ln(a+l)=0.01,efr=l.()l,且。=击，则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

0(,1

解析：由e"=L01,ln(a+l)=0.01,得〃=lnL01,a=e-1,设g(x)=e'-工一1,则

g[x)=e'-l,所以当xe(y,0)时，g<x)<0,g(x)单调递减，当工«(),y)时，g'(x)>0,

g(x)单调递增，所以x("2x(O)=O,§PcT-l>.r,同理可证ln(x+l)Wx,所以

ln(x+l)4xWe'-1,当x=0.01时，可得lnl.01即。va,设/(x)=hu-^~!<x>0),

则/'(%)=*’所以当x«0，l)时,f'(x)<0,/(x)单调递减，当x«l,+8)时，F(x)>0,

.1

/(“单调递增，所以⑴，即Inl.oi-罂>1川，整理得lnL01>/，即力>c,

1・U11vz1

所以cv/?va.故选：C

8.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在

研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此

差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义.设/'（"是函数/（"的导函数，

若对内,电€（0,+动，且工尸W，总有了叫",则下列选