2026高考数学复习培优练：三角函数与解三角形（解答题）原卷版

专题01三角函数与解三角形解答题

I第一部分题型解码微观解剖，精细教学

i性典例剖析&方法提炼变式训练

|题型01求三角函数解析式、求值、化简

i题型02解三角形（边长、角度、面积、周长）

I题型03三角形中的范围与最值问题

i题型04与平面向量、不等式结合的综合题

\题型05解三角形结合三角函数

i题型06几何图形中解三角形

i

i第二部分强化实训整合应月，模拟实战

＞第一部分题型解码

题型01求三角函数解析式、求值、化简

典例剖析

【例（2025•上海虹口•一模）己知3＞0,|同《兀，设〃x）=cos（5+e）.

⑴当3=2,时，试判断函数），=/"）的奇偶性，并说明理由：

⑵当e=且函数）'=/（"）的最小正周期为2兀时，若在V4BC中，sin2A+sin2C-sin2B=sirL4sinC»求

/（A）卜/（C）的取值范围.

【例1・2】（2025・四川成都•模拟预测）已知函数""=2sin勿-[（◎＞（））的最小正周期为兀.

⑴若a€（色,充，〃a）=《，求sina-目的值：

⑵将函数/（x）的图象向右平移占个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为g（x）,求函数

1,

尸g（x）在上的值域.

o3

方法提嫌

一.函数图象的平移变换解题策略：

（1）对函数产sinx,产加皿G工+夕）或产ACOS（3X+。）的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移,

只要平移㈤个单位，都是相应的解析式中的A'变为x±IW，而不是mx变为出舛

（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

二.由三角函数图像求解析式

结合图象及性质求解析式y=Asin®x+（p）+B（A>0,①>0）的方法

M—M+m

（1）求人B,已知函数的最大值M和最小值m,则4=------,B=-------.

22

（2）求⑦，已知函数的周期r,则

T

（3）求处常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时，A,M,6已知）.

②确定8值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点（-？,0）作为突破口，具体如下：

（O

"第一点''（即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点）为（5+e=0：

“第二点”（即图象的“峰点”）为CDX+（P=^

“第三点”（即图象卜降时与X轴的交点）为①X+9=7T;

3兀

“第四点”（即图象的“谷点”）为3+8二万；

“第五点”为eS

三.思维导图

【变式1・1】（2025•广西柳州•一模）已知函数/（x）=2x/5sinxcosx—2cos2工+1,设锐角VA8C的内角A,

B,。所对的边分别为a,b,c,且f（A）=2.

（1）若.=77,2sinC=3sinB,求〃，c的值；

⑵将函数"4）的图象向左平移々个单位长度后得到函数g"）的图象，求g[与2]的取值范凰

【变式1・2】（2025•广东佛山•一模）己知函数/（x）=8S（5T0）®>O,O<0〈兀）的最小正周期为九，且

/（o）=4

⑴求/（力的解析式；

⑵设函数g（x）=/（x）+/.+[],求g（x）的值域和单调区间.

6/

【变式1-3]（2025,浙江台州•一模）已知函数/（x）=cos2x-sii?x+2\/5sinxcosx.

⑴求了（力的最小正周期；

⑵若函数>=/（x+〃）为偶函数，其中。>0,求〃的最小值.

题型02解三角形（边长、角度、面积、周长）

典例剖析

【例2・1】（2025•陕西西安•二模）在V48C中，内角A&C的对边分别为。，仅c，且满足

sin（A+C）（sinB+sinC）=sin2A-sin2C.

（1）求角4的大小：

⑵若a=历,△48c的周长为5+用，求VABC的边8C上的高.

【例2・2】（2025•河南•模拟预测）在VA8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且当+世=4cosA.

sinCsinB

(1)证明：b2+c2=2a2i

(2)若。=1,c=3,求VA3C的面积.

方法提炼

一、正、余弦定理和面积公式

1、正余弦定理：在3c中，角A,B,C所对的边分别是小瓦c,A为△A4C外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=h2+c2-2bccosA;

4=2=工=27?

公式b2=/+a?-2/2CCOSR：

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC.

222

Ab+c-a

(l)a=2RsinA,Z?=2/?sinB,c=27?sinC：2bc

小、•4a•bcc2+a2-b2

常见变形(2)sinA=—,sinB=——,sinC=——；cosB=----------；

2R2R2Rlac

a2+b2-c2

cosC=----------.

lab

2、面积公式:

SsABC=—t//?sinC=—besinA=LesinB

222

SJBC二要二(a+b+c)r(/•是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,匚)

4A2

二、公式的相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边<^>a:b:c=sinA:sinB:sinC

②大边对•大角大角对大边

a>boA>BosinA>sinAocosAvcosA

a+b+ca+bb+ca+cabc_„

③合分比:=======

sinA+sin3+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)△ABC内角和定理：A+B+C=7r

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

(2)-cosC=cos(/A+B)=cos/AcosB-sinAsinB；

③在AA8C中，内角A,B,。成等差数列O4=2，A+C=T-

三、思维导图

角度求解角度计督通过三角函数定义和余弦定理求解平面四边形内角大小

平面四边形问题

面积求解四边形面积结合正弦定理和三角函散求解平面四边形的面织

【变式2・1】（2025・云南楚雄•模拟预测）在VA3C中，已知内角ASC所对的边分别为。力,c,且满足

A6.Ab

cos4-------sin/A=—.

3c

(1)求角C;

(2)若NABC的面积为6,c=26，求NABC的周长.

【变式2・2】（2025・陕西西安•三模）如图，在平面四边形ABC。中，^ABC=60,AB=2,AD=CD=^-.

3

(1)若NADC=12。,求BC：

(2)求sin/ACBcos^ACD.

【变式2・3】（2025・广东・模拟预测）在"8。中，设内角4民。的对边分别为。力,叫满足"+62一/=4心/13。

的面积为

⑴求C;

（2）若a+0=6,求VA4C的外接圆的面积.

题型03三角形中的范围与最值问题

典例剖析

【例3・1】(2025•陕西榆林•模拟预测)记VAKC的内角4,B,C的对边分别为〃，b,c,已知。=3,且

sinCcosA=GcosB-sin74cosc.

⑴求角8的大小；

(2)若。+c=3&，求V4BC的面积；

⑶求V4BC周长的取值范围.

【例3・2】(2025.河南.模拟预测)在VAAC中，内角A8.C的对边分别是a.Ac,且〃一次c*C=〃.

⑴若cosC=g,b=3,求c；

(2)若VA8c为锐角三角形，求;的取值范围.

方法提煤

一、三角形面积和周长的最值、范围问题

(1)求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化

周长=a+〃+c=(a+8)+c=a+(〃+c)=(a+c)+b

(2)面积公式：S.ABC=—fl/?sinC=—Z?csinA=—«csinB

222

S&ABC=^=^a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算上，•.)

(3)求周长的模型：

222

a=b+c-IbccosA?9,

•=>(Z?4-c)~=a~+2bc+2bccosA

(b+c)2=b2+2bc+c2

(4)基本不等式

①a,bsR=增>4^b②abW(巴世产(当且仅当〃=力时取“=”号)

22

(5)利用三角恒等变换转化为内角A、8、C有关的三角函数。

①和差角公式：sin(cr±4)=sinacosft±coscrsin/?,cos(a±4)=cosacos力孑sinasin力

②辅助角公式：〃sina+0cosa=yla2+b2sin(a+(p)

.bab

(其中sin0=/=,cos(p=—^=,tan^9=—).

da?+b?yja2+b2a

二、解题思路步骤

①利用基本不等式：COSAJ+T—/=0+c）；2bca2,再利用〃+cN2痴及b+c>〃，求出

2bc2bc

b+c的取值范围或者利用cosA="+c~~>2儿-'

2bc2bc

②利用三角函数思想：〃+c=2AsinB+2RsinC=2RsinB+2Rsin(A+3),结合辅助角公式及三角函

数求最值

三、思维导图

【变式3・1】(2025•内蒙古赤峰•一模)设VABC的内角A,B,。所对的边分别为。，A,c,acosC+gci.

(1)求角4的大小：

(2)若。=2,求VA8C周长/的取值范围.

【变式3・2](2025•江西景德镇•模拟预测)记锐角VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知VAB2

的外接圆半径为1,设VA8C面积为S,且2s=6[COS(A—4)+COSC]

(1)求角C;

(2)求/+b2的最大值.

【变式3-3](2025•云南昆明•模拟预测)已知VABC为锐角三角形，角A8C所对的边分别为，且

c,,

—I=2cosA.

b

(1)证明：A=2B；

⑵已知点M在线段8C上，且NBA〃=NCAM,若AB=2,求△ABM面积的取值范围.

题型04与平面向量、不等式结合的综合题

典例剖析

【例4・1】(2025•广东深圳•模拟预测)在VAAC中，角A,8,C所对的边分别为且G〃=2asin(C+g).

⑴求角4

(2)。为8c上一点，2助=配.

(1)若/。。二二，求2的值；

4c

(ii)若4)=2,求V48C面积的最大值.

【例4・2】(2025.吉林松原.模拟预测)已知向量而=(2siiwx,cos(y,v),n=(cos<yx,-2\/3cos<yx),其中

<y>0»/(x)=〃?•〃.

(1)若3=2,求f(x)图象的对称轴：

⑵汜/(X)的最小正周期为兀将/(M的图象向左平移g个单位长度得到g(M的图象，若g(x)在区间

畀)上单调递增，求0的取值范围：

(3)已知VA4c为锐角三角形，内角A8,C的对边分别为。力,。，若。=1,/(C)=0,C=26,求；森石的

取值范围.

方法提嫌

一、中线问题

如图，aABC中，AD为BC的中线，已知A氏AC,及NA,求中线AD长.

②向量法：月方弓仆分十从今邛方即可；

③余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即cos/AD8+cos/4)C=()

注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“丝=4”则可以考虑方法②或方法③.

二、角平分线问题

△ABC中，AD平分NBAC.

①角平分线定理：然.国

证法一等面积法）璘SARn=B无D-h.产AB右，必，得罪AB嚼RD

注："为A到BC的距离，为为D到AB,AC的距离.

证法2（正弦定理）

ABBDACCDAUBD

如图,，而sinZI=sinZ2,sinZ3=sinZ4,整理得后二

sinz3sinZIsinZ4sinZ2cn

A

S+S

②等面枳法:5MBe=^ABDSADC=>—ABxACxsinA=—ABxADXsin—+—ACxADxsin—

三、垂线问题

①等面积法：ADBC=ABACsinZBAC

②AD=AB-sinZABD=AC^sinZACD

@a=c-COSB+bCOSC

四、思维导图

【变式4・1】（2025•湖北孝感・模拟预测）在△4AC中，角A,B,C所对的边分别是〃也c.已知

sinA-V3cos-^=0,4ABC的面积为6G.

（1）求。的最小值；

⑵若c=3,。为线段8C上一点当8=28。时，求lan/BAO的值；

【变式4・2】（2025・四川达州•模拟预测）在锐角VABC中，角4,B,。所对的边分别为mb.c,且满足

c-〃=2Z?cosA.

⑴设A与区存在函数关系，并记A=〃0,求函数”8）；

114

（2）求——-----；+「sinA的取值范围.

tanHtanA3

【变式4・3】（25-26高二上•山东日照•开学考试）在V/IAC中，角A仇。所对的边分别为。也c,且满足

c-2bcosA=b.

(1)求证：A=2A：

3

(2)若cos8=—,a+4=2c,求。；

4

3〃十c

⑶求的最小值.

bcosB

题型05解三角形结合三角函数

典例剖析

【例5-1](2025•宁夏中卫•三模)已知4=(^sinx,-cosx),5=(cosx,cosx),f(x)=ab.

⑴求函数/(%)单调递增区间；

⑵没VA8C的内角A、8、C所对的边分别为。、b、c,若/1(B)=；且.求VA8C面积的最大值.

【例5・2】(2025•广东佛山・模拟预测)已知函数/(x)=Gsin2K+2cos%+/〃的最大值为I.

⑴求使人工及。成立的x的集合；

(2)记VABC的内角A8,C的对边分别为。也c,已知/(4)=0,a=J7,V/1AC的面积为苧，求VAAC的

周长.

方法提煤

一、两角和与差的正余弦与正切

®sin(a±/?)=sinacos/7±cos6rsinp;(2)cos(«±/?)=cosacos/?q:sin«sin/?；

八,、c、tana±tan/?

③tan(a±Z?)=-------------：

1+tanatanp

二、二倍角公式

©sin2a=2sinacosa；②cos2a=cos2a-sin,a=2cos2ct-\=1-2sin2a;

与c2tana

③tanla=-------；-；

1-tan'a

三、降嘉公式

.1.3.，1-cos2a、1+cos2a

sinacosa=—sin2a;sin~a=--------------;cos-a=---------------;

222

四、辅助角公式

,----------bab

asino+〃cosa=V77P\in(a+⑼(其中sin“=’第+/，十/',加叫二').

五、三角形角的关系

ARC71

(1)AA3C中，A+B+C=7T,—+—+—=—

2222

(2)sin(A+B)=sin(^-C)=sinC,cos(A+B)=cos(^-Q=-cosC

⑶sin^=sin(^-^)=cos^,cos垓=8s3-S=sinC

22222222

六、思维导图

【变式5・1】(2025・贵州遵义•模拟预测)已知函数f(x)=sin®x+0(其中。＞0,网＜^),相邻的极

小值点和极大值点分别为和年.

JJ

⑴求/(X)的解析式；

(2)在V4BC中，记角ABC所对的边分别为。也c.已知a=2,〃+c=4,且〃A)=g,求VABC的面积.

【变式5・2】(2025•江苏镇江•模拟预测)已知函数/(x)=2Gsin5COS5-2cos%x+2,其中。＞0.

(1)若函数/(X)在区间(0,1)内恰有2个极值点，求①的取值范用；

(2)当。=1时，在VA6c中，角ARC所对的边分别为凡Ac,且/(A)=3,〃+c=2,求边〃的取值范围.

【变式5-3](2025•陕西西安•模拟预测)已知函数/(x)=2sirucosA,+＞/5cos2x.

⑴求函数/(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)在锐角VA8C中，设角AB,C所对的边分别是若/(4)=0且〃=3,求VABC周长的取值范围.

题型06几何图形中解三角形

典例剖析

【例6・2】（2025•浙江温州•一模）ZUBC的顶点A,B分别在矩形CDE尸的边OE,炉上运动，且CD=G，

0,“BC的面积为/⑻.

（1）写出的解析式;

⑵求/（。）的最小值.

【例6・2］（25-26高三上•江西•期中）如图，四边形A8CO的对角线相交于点。,/A04=e.

⑴求证：AD~+BC2-AB2-CD2=2ACBDcosO:

(2)已知A3=2,6。=CO=2石,AO=277,0=60.

①求四边形ABC。的面积；

②若△ABO与△BCD面积相等，求证：AC1CD.

【变式6・1】(2025•江苏常州•模拟预测)在V/WC中，”,4c•分别为角AB,C的对边，且满足

67cos2C=tzcosC—csinA.

(1)求角C;

(2)若VABC为锐角三角形，设。为AC的中点，若BA=BD,且。+/7=3+2&，求VABC的面积.

【变式6・2】(25-26高三上•河北•月考)已知在VA8C中，/A,NB,NC所对的边分别为a,