2026届高三数学二轮复习：三角中的最值、范围问题

微专题4三角中的最值、范围问题

高考定位以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有:函数

的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.

【真题体验】

(2022・新高考I卷)记443。的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知—2：

1+sinA1+COS2B

(1)若C号，求B;

(2)求亡学的最小值.

q八eLcosAsin2B

解(1)因为「一;二;———,

1+SinA1+cos2B

奸r/cosA—2sinBcosB

1+sinA1+2COS2B-1，

所以『「华，

1+sinAcosB

所以cosAcosB=sinB+sinAsinB,

所以cos(A+B)=sinB,

所以sinB=~cosC="cos—

32

因为8£(0,3,所以8二也

(2)由(1)得cos(A+B)=sinB,

所以sin稹一(4+8)]=sinB,

且0<A+B<p

所以0<B<p0吟(A+B)q,

所以;(A+B)=5,

解得4三-28,

由正弦定理得号工皿丝必

c2sin2c

RMA+siMB_SiMG-zH+siMB

l-cos2Cl-sin2B

_cos22B+sin2B_(2coszB-l)2+l-coszB

COS2FCOS2B

_4COS+B-5COS2B+2

cos2S

二4cos加-1-5

COSZB

224cos2^-^^-5=472-5,

A/cos'8

当且仅当cos28=当时取等号，

所以注的最小值为4位-5.

C2

【热点突破】

热点一三角函数式的最值或范围

例1巳知函数«v)=2sinxcos『2乃cos4+V5.

(1)求」(9的值；

(2)求«r)在区间［()4］上的最大值和最小值.

解(1)因为«x)=2sinxcosx_2V3cos2x+V3=sin2LV5COS2j=2sin(2x—；),

所以/g)=2sing-=)=2sin^=l.

(2)因为xw［0,1,

所以WHY片］,

•5LOOJ

所以sin(2x—以£卜当,1,

所以当2L4手

即时J(x)取到最大值2;

当2A-

33

即x=0时，段)取到最小值一8.

易错提醒求三角函数式的最值、范围问题要注意：

(1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；

(2)根据所给自变量的范围正确地确定sx+9的范围,从而根据三角函数的单调性求三角函数式的范

围.

训练1(2025•徐州质检)已知函数於)=2COS(S+8乂3>1,⑼V］的图象经过A&-2),8得,2)两

点，巨©在［-乎，9上单调.

(1)求/&)的解析式；

(2)若对任意的A-G5，口，不等式2m2-5/〃+1勺⑺恒成立,求实数m的取值范围.

.62.

解(1)由题意可得

伞制)7号一、(右N),

则人知则①=2A+1(A£N).

因为/(x)在［―4,—/上单调,

所以吗

又31,所以lv(wW4,所以co=3.

因为火处的图象经过点4(%—2),

所以2cos(3X：+@)=-2,

所以^+9=2〃兀+TT(〃£Z),

所以夕=2〃兀+^(〃£Z).

因为1例与所以9三.

故/U)=2cos(3x+：).

(2)因为工目讨］,所以34目斗,知，

L62J4L44J

当3A+^=TI,即户:时,yu)取得最小值，

最小值为/Q)=2COS(3xE+习=-2.

因为对任意的,不等式2〃p-5〃?+lW/(x)恒成立,

.62.

所以2M-5"?+1W-2,

所以2，%2-5〃7+3WO,

即(2〃厂3)(/nT)W(),解得

2

所以实数机的取值范围为

热点二三角形中有关量的最值或范围

考向1三角形面积的最值或范围

例2(2025•郑州调研)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为afb,c,

已知b-ccosA=2〃cos8cosC,其中CW1.

(1)求角。的大小；

(2)若〃+3/=12-5讹,求△A5C面积的最大值.

解(1)法一(角化边)

由b-ccosA=2rzcos8cosC及余弦定理得

b2+c2-a2

b-c-

2bc

z>21u202

=2«cosB・

2ab

ob2-c2+a2-八a2+b2-c2

即n1^=2cos

因为cw,,所以

22b

所以cosB=-,

2

又O<B<7U,所以B=^.

J

法二(边化角)由b-ccosA=2〃cosBcosC及正弦定理得

sinB-sinCeosA=2sinAcosBcosC,

即sin(A+C)—sinCeosA=2sinAcosBcosC,

所以sinAcosC=2sinAcosBcosC,

因为所以8sc#o，

又sinA>0,所以cosB=|,

又0<^<7i,所以B=^.

法三(射影定理)由射影定理可得b=acosC+ccosA,

贝I4cosC+ccosA-ccosA=acosC

=2ucosBcosC,

又CW：可得cosB=-,

22

又OvB<7i,所以

(2)由(1)及余弦定理知

所以a2+c2~^2=ac,

22

又b+3c=l2-5acf

所以^2+c2-(12-3c2-5ac)=ac,

化简得a2+4ac+4c2=(a+2c)2=12,

因为〃>0,c>0,所以a+2c=2y/3.

因为(等)22Q-2C,

当且仅当斫2(=8，

即a=y/3feg时取等号，所以〃cW|,

所以△ABC的面积S=》csin8二包acW竺,即△ABC面积的最大值为尊.

2488

考向2与三角形周长或边长相关的最值或范围

例3(2025・济宁模拟)在锐角△ABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,GV3(tzcosC+ccosA)=

2/?sinB.

(1)求角8的值；

⑵若b=2®求a2+c2的取值范围.

解(1)因为X/3(4ZCOSC+CCOSA)=2Z?sinB,

所以由正弦定理可#V3(sinAcosC+sinCeosA)=2sinBsinB,

所以遍sin(4+C)=V5sinB=2sinBsinB,

又sinBWO,所以sin

又B为锐角，则5=]

⑵由正弦定理得号二三二七二等二4,

sinAsinCsinB里

2

贝ijrz=4sinAyc=4sinC,

所以6z2+c2=16sin2A+16sin2C

=8(1-cos2A)+8(1-cos2C)

=16-8cos2A-8cos2C

=16-geos2A_8cos2(n-A—§]

=16-8cos2A-8(-gcos2A—ysin24)

=16+4V3sin2A-4cos2A

=16+8sin卜力一。

因为△ABC是锐角三角形，

0<A<-

所以n,；tn,n

0<IT—71——<

32

解得太4与

0乙

所以22A-2留，

666

则^sin(24-

20<I6+8sin(24-§W24,

所以cr+c1的取值范围为(20,24],

考向3与三角形的角或三角函数值相关的最值或范围

例4（2025•武汉调研）在AA6c中，内角A,8,C所对的边分别为a,b,c.若2a+/?cosA-c=bU\nBsinA.

⑴求伙

⑵若AABC为锐角三角形,求也等的取值范围.

SIDC

解（1）因为2a+bcosA-c-Z?tanBsinA,

匕C-c„...sinBsinA-cosAcosBcosM+B)cosC

所以一；一=tanBs\nA-cosA=--------------二一-------二---

bcosBcosBcosB

所以24cosB-ccosB=bcosC,

即2acosB=bcosC+ccosB,

由正弦定理得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+O=sinA,

因为0＜A＜JT,所以sinAWO,cos

又0〈B5,所以

J

（2）因为△ABC为锐角三角形,畤

所以（）＜CW,且0＜空

232

所以。＜屋）.

sin4+sinR_sin(c+j)+sincnftC+11_X/32cos2、।161J

法一

sinCsinC2sinC222sin-cos—22tan—2'

222

因为所以衿

-7n

Xtan—=tan产）抬”,

12

tan^E(2-V3,1),

所以小后衿2+6）,

即列喙泻的取值范围是（竽,2+百）.

sinc++sin

sin4+sinB_(^)7_v"3vcos2

C+ltlx/3l(cosC-t-l)lx^3

法二------------------=--------------------------二—X

sinCsinC2sinC22l-cos2C22

因为CW（M）,

所以cosC£（0,=）,

得i熹7wQ号）

所以畀急T?（等2+⑹,

即史黑咕的取值范围是（等,2+V3）.

易错委醒求解三角形中的最值、范围问题的注意点

（1）涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若己知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理

进行转化.

(2)注意题目中的隐含条件，如A-FB+C=K,0<A<7T,\b-c\<a<b^ct三角形中大边对大角等.

训练2(2025・杭州模拟)在△43。中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且acos(B-Q+acosA~

2V3csin8cosA=0.

⑴求4；

(2)若△ABC外接圆的直径为2祗求2c-b的取值范围.

解⑴由A+B+C=n可得A=7i-(B+0,

所以cosA=-cos(B+C),

所以67COS(B-C)-«cos(B+C)=2V3csin8cosA,

4cosBcosC+t/sinBsinC-acosBcosC+rzsinBsinC=2V3csin8cosA,

整理可得asinBsinC=V3csinBcosA,

由正弦定理可得

sinAsin8sinC=V3sinCsinBcosA,

因为sinC#0,sin8W0,

所以tanA=V3,

而A£(0,兀),所以A=^.

(2)设△ABC外接圆的半径为R,而圆的直径为2V3,所以2R二26.

由正弦定理可得七二三十七2国,A3，

sinBsinC3

所以42>/5sin8,

c-2V3sinC=2V3sin(B+；),

故2c-/?=4V3sin(B+^j-2V3sinB=6cosB,

因为BE,,,),所以cos3£(-川,

所以2c-/?£(-3,6),

所以2c-4的取值范围为(-3,6).

【精准强化练】

1.(2025・安庆质检)已知函数y(x)=2sinx-[cos(x—；)+cosxj.

⑴求心)的最小正周期；

(2)求/")在„上的最大值,并求此时x的值.

解(1V(x)=2sinx-[cos(%—；)+cosx

=2sinx(|cosx+ysinx)

3sinxcosx+V3sin2x

3.与福

-2sinLX-2coslv+T

=V3sin（2x-

因此，函数次x）的最小正周期T=^=n.

（2）当时，臼TT是

6

所以2尸?二三，即时，

623

函数"）在［o用上取得最大值，为B+务第

2.（2025・汕头调研）在△A3C中，内角A,8C的对边分别为〃,b,c,V5〃sinB-bcosA=b.

（1）求角A的大小；

⑵若a=2,求△ABC面积的最大值.

解（1）由正弦定理及题意得

x/3sinAsinB-sinBcosA=sinB,

又sinBWO,所以VSsinA-cosA=lf

所以?sincosA=1,

即sin(4—

因为A£(0,兀)，所以(-畿),

所以A-f即A=；.

(2)由余弦定理得a2=b2+cr-2bccosA,

所以4=b2+c2-bc>2bc-bc=bc,即bc《4,

当且仅当4c=2时，等号成立,

所以5Mfic=-/?csin4W工X4X—=V3,

222

所以△ABC面积的最大值为次.

3.（2025・邢台质检）在锐角△ABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知2asin。-百（=0.

⑴求A；

⑵求4sin8-4sinC的取值范围.

解（1）由2osinC~\/3c-0及正弦定理得2sinAsinC-\/3sinC=0.

因为sinCW（）,所以sinA=—.

2

因为△ABC为锐角三角形，所以A-弓.

(2)因为所以B+C=^it.

因为△ABC为锐角三角形,

0<fi<p

所以得3g.

0<-1T—5<―

32

因为4sinB-4sinC=4