2026高考数学专项复习：直线圆锥曲线之基础知识椭圆双曲线4

3.2离心率vs范围

利焦半径的有界性

椭圆的焦半径范围是他-c,"+c'],双曲线的焦半径范围是[4-。，+8)或[a+c,+8).

当然了，也不要忘记椭圆和双曲线自带离心率的范围限制，即椭圆是双曲线是e>l.

从历年的高考题来看，此类型考察的是最多的！！

例(2010四川文理)椭圆=1卜/>〃>0)的右焦点〃，其右准线与文轴的交点为A,在椭圆上存

在点P满足线段4P的垂直平分线过点凡则椭圆离心率的取值范围是().

A.0,创B.C.[x/2-1,1)D.1,1

2

答案选D.

解照=收吟一=£,又焦半径附c,4+c],可解得为D.

例(2008福建文压轴、现)双曲线宗一£=1(〃>0,0>0)的两个焦点为£、用，若P为其上一点，

且|P用二2|P段，则双曲线离心率的取值范围为().

A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+8)D.[3,+00)

答案选A.

解易知点一在双曲线右支,故归用=2归&=>归用-归周=归周=2〃2c-〃，易得A.

22

例(1)(2009交庆理压轴)己知双曲线=-与=1(。>0,人>0)的左、右焦点分别为£(-。，0)、K(j0),

a'b~

若双曲线上存在一点P使"n,则该双曲线的离心率的取值范围是___________.

sinZ.PF2Fic

(2)(2009堂庆文压轴)已知椭圆二+£=1(0〃>0)的左、右焦点分别为£(-c,0)、工(c,0),若椭圆

a~b~

上存在一点P使---=---,则该椭圆的离心率的取值范围为__________.

sinZPFlF2sinZP^f；

答案(1)(1,&+1)；(2)(0—1,1).

分析这两题都可以利用焦半径的有界性进行求解.

解⑴由正弦定理可得a|P£|=c|P周，故点P在双曲线的右支上,即|尸制-|尸周=〃，进而可解得

出1=—，又|P周,C-Q,故女->c-a,npe2-2e-l<0,解得ee(l,夜+1).

a

2

2a易解得ee（应-1,1）.

(2).X</-c<|PF2\<a+c.

潞漂卜如c+a

22

例已知椭圆C：*+g=l（a＞人＞0）的右焦点为凡过”的直线与椭圆相交于A、B两点，若

B/=2A尸，则椭圆离心率的取值范围是

答案r1?

解假设由F|之以内，易知萼e|'la+cci+c

,因此，若BF=2AF,只须N2即可.

l.4F|La-c

或者利用极坐标形式的焦半径公式：~c°s°J+s"=2,后略.

\AF\绅\-ecosO

I+ecos。

例若椭圆或双曲线上存在点P,使得点夕到两个焦点的距离之比为2：1,则称此椭圆或双曲线存在

“K点”，下列曲线中存在“K点”的是（）.

A.---F—=ID.%2-/=1

1615c一喂

答案选D.

解不妨先推倒一般情况：设椭圆或双曲线的左、右焦点分别为片、F2,

⑴对于椭圆，假设|P埒引尸用，则附由于像需"=^_],故

|3|rri|ISI

四.【椭圆是很显然的！】

⑵对于双曲线，假设|P曰则|P用e[a-j+8）,由于熙=里津=1+

故

附|附I国'

3

I国

计算验证，可得选D.

例已知椭圆。：£+与=1|%＞人＞0）的左、右焦点分别为耳（-。,0）、氏（c,0）,若椭圆上存在点，使

a~b'

得T,则该椭圆的离心率的取值范围为

sin/P^EsinNP6大

答案（忘-1,1）.

解依题意及正弦定理，得陛!=色，即2"堂即仍用=2空，注意到点。不与£居共线，

1

\PFt\c|P£|c"a+c'

故|P用c（"c,a+c）,解得eeQi-1,1）.

22

练习（2004空庆文理）已知双曲线二-与=1（。＞0,力＞0）的左、右焦点分别为小凡，点P在双曲线

a~b~

的右支上，且|P^|=4|P周，则此双曲线的离心率e的最大值为（）.

457

A.-B.-C.2D.-

333

答案选B.

，•7

例已知£、人分别为双曲线C工上=1（。＞0,〃＞0）的左、右焦点，若存在过居的直线分别交双

./b2

曲线。的左、右支于A、B两点.使得/&\入=/35々，则双曲线。的离心率e的取值范围为（）.

A.(3,+8)B.(1,2+75)C.(3,2+6)D.(1,3)

答案选C.

BFBFFF

12

解易证得△84工g工4，故—-=--=.令BF、=M,BF-,=n,则〃?—〃=2a,BA=m-AFt»

BF?BAF2A

乂入A-=2”，因此,

m__2c_〃+2c_〃+2c_tn-n-2c_c-a

nin-AF}F2Ain-AFi+F^Am-¥lan-m-lala

廿

易解得BF、=〃=—,故-…，解得C.

c-3。

c-3a>0

注对于这种比例相同的多个等分式，利用“合分比定理”和几何关系是很常用的变形手段！比如,

在和内心有关的题目中，也常用此法.

例椭圆。：夕+3=1（〃＞。＞。）的左右焦点分别为£、区,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使

得△尸耳入为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）.

答案选D.

解(1)易知当点P在短轴端点时，有两个点满足；

(2)当点P不在短轴端点时:①当可为腰，即|P用=|"国时，则|「用+|"周>|「剧，即2c+2c>%-2c,

解得②当夕耳为底边时，类似地，亦有e〉(；

(3)特殊地，当△Pf；K为等边三角形，即e=；时,此时只有两个短轴端点满足；

综上所述，故选D.

利用椭圆双曲线坐标的有界性

例设外、%为椭圆5+£=l(a>h>U)的左、右侏点，且忻马=2c,若椭圆上存在点P使得

|P用归周=2c：则椭圆的离心率的最小值为().

A1R1c立D6

2323

答案选D.

21

解设P(x。，%),利用焦半径公式：|「耳||P居|=(a+exQ)(a-exQ)=a-e飞=2c,即x；=--,

e"

又片［。,/］，解得

例⑴(2008湖南现)若双加线£f=l(a>0,>>0)上横坐标为争勺点到右焦点的距离大于它到

左淮线的距离，则双曲线离心率的取值范围是().

A.(1,2)B.(2,+8)C.(1,5)D.(5,+00)

22

(2)(2008湖南文压轴)双曲线弋-六=1(。>0,〃>0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离

相等，则双曲线离心率的取值范围是().

A.(1,向B.［V2,+oo)C.(1,拉+1]D.[0+1,+8)

答案(1)选B；⑵选C.

解这两题都用到了双曲线的焦半径公式.

(1)BPexa工ex3ai%，印3c?5e2

u>0,易缗B.

2c2

2

ex[)-a=x()+—^>—+a=(^-l).x^>a(e-\)>fipe-2^-1<0»易得C.

例已知双曲线=l(a>0,〃>0)的左焦点为广，若双曲线上存在点尸，使得线段P尸的中点Q

a2b2

仍在双曲线上，则该双曲线离心率e的取值范围是

答案[3,+8).

补出右焦点入，连结夕乃、。乃；设丹2=顶=〃7,则。6=2〃-2〃，QFi=2a+mx

又PQ+PF^NQF2,即〃后2,^ac-a>2a,即eA3.

法二利用坐标的有界性

设尸(与，为)，则《当二卷｝又PF=2QF,即气+〃=2卜.号—解得/=匕/，由

于x02a,故/-2e-320,解得eN3.

注从此例可以看出，两种方法实质是一样的！！

例设椭圆接+，=1(稣/，>0)的右顶点为A,若椭圆上存在一点P,使得NO%=90。，求椭圆离心

率的取值范围.

答案停/,

法一常规方法，求坐标，利用坐标的有界性

由于NO%=90。，易得点P的轨迹方程为：■!)+/=?,即/一依+),2=0,与椭圆方程联立：

(bz-a2)x2+a5x-a2b2=0,注意到右顶点A为公共交点，则此方程的一个根为x=a,利用韦达定理，易

得另一个根为-高‘因此‘告“‘解得，彳¥/・

法二和范围有关的题，也可以利用椭圆的参数方程，利用三角函数的有界性

2

设P(ac°s。,〃sin。)，。/()一］,由OP-PA=0解得；e=1G应，1

I2)1+cos。I2)

例已知双曲线=1（«>0,方>0）左、右焦点分别为々、6，C是半焦距，P是双曲线上异于顶

7b2

点的点，且满足ctanNPE玛=4tanNPHK，则双曲线的离心率e的取值范围是().

A.(1,1+72)B.(0,1+扬C.(l+x/2,l+x/3)D.(1+&+8)

答案选D.

解不妨假设点P在第一象限，设P（%,）b），贝i」av5<c，由ctan/PGg=atan/尸名£得:

即即f-2e—l>0.

Wr〃•六，解得％=E+ca+c

例已知产为双曲线*•-专■=1（心。，力>。）的左焦点，若双曲线的右支上存在点P，使得线段"与

双曲线左支的交点。满足PQ=0产，则双曲线的离心率的取值范围是（）.检验

A.（1,3]B.[3,+00）C.（1,2]D.[2,+oo）

答案选B.

、4--4-=>

解设P@。，%）,则Q坐标（为,则/b\、=。2-3/=25。之2".

122）（为一c）-先

斤=i

例在平面直角坐标系xOy中，椭圆£+点■=的左焦点为尸，右顶点为A,尸是椭圆上一

点〃为左准线，PQ11,垂足为Q,若四边形PQFA为平行四边形,则椭圆的离心率e的取值范围是.

答案

2

解日|PQ=E4可得：x=i7+c---->再结合e（―a,a）求解即可.

pc

双曲线的渐近线

例（2013重庆文压4由）设双曲线C的中心为点O,若有日只有一对相交千点O,所成的角为60。的百

线451和42历，使依1助|=依2%|,其中4、s和4、星分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线

的离心率的取值范围是（）.

A（26JR[273.「（2白n-26

A•〔亍臼[亍，JC）nJ

答案选A.

解不妨假设双曲线。的焦点在x轴上，根据题意，画图分析可知，只须双曲线在第一象限内的渐近

线的倾斜角的范围是(30。，60。],tetan300<-<tan60°,即旦后喝4后,即

a3

由于焦点在y轴卜•的双曲线与焦点在x轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，因此，离心率范围也

是一致的.

注可结合后续章节之直线与双曲线的位鹿关系一起理解.

例已知双曲线C：与-春F、人分别为其左焦点与右顶点，若右支上存在点P,使

得点A到直线PF的距离为迎，则该双曲线的离心率的取值范围是().

2

A.(1,2)B.(1,2]C.(2,+oo)D.[2,+8)

答案选A.

解只需要即可.

米勒定理

例已知点「在〉，轴上，点A、鸟分别为双曲线*■-方=1(々>0,〃>0)的右顶点、右焦点，且用与

也的夹角为弓，则双曲线离心四e的取值范围为.

答案[3,+00).

法一在与中，边Ag对应的角恒为三，因此，点P的轨迹是圆，且半径一>1^图■-c-a.

62cs.in兀-

6

根据题意，只需要圆和)，轴芍交点即可，设A居的中点为例，令厂之|加|,即。一。之专，即

A_A

法二设P((),y。)，不妨令先>(),/APF,=0,则tan*飞―"：=一:一“因

-l+gkp,\]+(&.&)ac+yj

此，tan0=«i)?o«?,根据题意，只需要令与二小曲巴即可，解得eN3.

ac+>'o2\Jac2x1ac6

法三利用面积算两次；设P((),y0),/APF?=。，则用闻人・”・lan。，即

tan0=此她1=竺也丛与受，根据题意，只需要令与22ianN即可，解得《N3.

PA•PF2ac+y：2Jac14ac6

算两次在非直角三角形A6c中，有SF*=3AB||4C|sinA='f^"sin4=』AB・4C・tanA.更

22cosA2

多例题参见后面的算两次专题.

练习已知双曲线=1（〃>0,〃>0）的右顶点和右焦点分别为4。，0）、F（c,O），若在直线

x=-仁上存在点P使得4P产=30°.则该双曲线的离心率的取值范围是（）.

c

A.1,3+7）B.+8C.（1,41D.[4,+8）

答案选B；等价于,=c—“之<十”，

c2

例在平面直角坐标系X。）、中，6是椭圆=■+专■=l（a>b>0）的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交

于点A,若以48为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是.

(石-1肃

答案

<2、J

9/2、~2

解如图所不，只须HNva—幺，即—]-b"<a-匕，即f—2^+1<0,即(。一l)(e-+e—1)<0,

2c\2c)2c

即/+e-l>0.

例已知双曲线W>=l（a,〃>0）的左、右顶点分别为A、B,右焦点、为F,过点厂且垂直于工轴的

直线/交双曲线于M、N两点，P为直线/上一点，当的外接圆面积达到最小时，点P恰好在M（或

N）处，则双曲线的离心率为（）.

A.&B.GC.2D.x/5

答案选A.

解典型的米勒定理模型（参见前面的章节），当AAPB的外接圆面积达到最小时，等价于锐角NAPA

A4

最大，故外接圆与直线/相切于点M（或N）处，所以£4・阳=月1/2,即（c+a）（c—a）=r.

其他类型

例己知”、亮分别为双曲线£-£=1包＞0,/2＞0）的左、右焦点，夕为双曲线右支上的任意一点,

a~b~

若黑的最小值为8。，则双曲线的离心率e的取值范围是（）.

\PF2\

A.(1,3]B.(1,73]C.[6,3]D.[3,+oo)

答案选A.

|明=2i；故窗=3：上

解设|尸周=in,则m>c-a,+m+4a>Sa,当且仅当

\PF2\tnm

---=〃?，即〃z=2a时取得等号，因此，2a＞c-a♦解得lve«3.

m

例已知片、鸟是双曲线*•-春■=1（。＞0,力＞。）的左、右两个焦点，以线段巴写为直径的圆与双曲

线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N（点M,N均在第一象限）,当直线Mf；与直线0N平行时,

双曲线离心率取值为0,则分所在区间为（）.

A.(1,&)B.D.(2,3)

答案选A.

x+y~=c

,解得“（明勿；进而可得直线ON的方程为y="_x；

解联立b

y=-xa+c

a

b

%=------%

a+c

设N（%,.%）,则点N在三条轨迹上，即.片+y：=c2,为了便于消去不、y。,此时，不妨令

日_盘=1

/b2

m2[[a+c)2+/]=/

N{m(a+c),mb),贝lj・,(a+c]2.,消去，〃2,整理可得：£+24-2%-2=0.

tn--—-―]1

f(x)=x3+2x2-2x-2,由于/⑴<0,/(N/2)>0,/(75)>0,/(3)>0,故选A.

例过双曲线£-£=1（4>0,〃>0）的一个焦点广作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于4、

Th"

B两点，若|儡=2〃，则双曲线的离心率e的值所在区间是（）.

A.（1,V2）B.（忘,6）C.（G,2）D.（2,石）

答案选C.

解不妨假设尸为右焦点，A在第一象限，将y代入解得A（微，〃），又点A在直线

y=--（x-c）故，/+ac=〃c,KP（A2+ac）2=（c2-a2）c2,即Y一/一右一1=（）.

例如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，入、A、与、鸟为椭圆顶点，K为右焦点，延长

B6与A/2交于点P,若NB/A为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）.

答案选D；等价于4人・鸟4<（）.

工2J

例若双曲线二-二=1（4〉0,〃>0）上不存在点尸使得右焦点尸关于直线。尸（0为双曲线的中心）

a~b~

的对称点在丁轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）.

A.曲+8）B.（&,+8）C.（1,扬D.（1,向

答案选D.

解假设点P在第一象限，若存在点P,使得右焦点/关于直线0。的对称点在y轴上，则直线OP

的斜率为1.若不存在这样的点P，则只须双曲线渐近线的斜率々si即可.

a

例已知点£、工分别是双曲线1=1（。>0,〃>0）的左、右焦点，过点匕且垂直于x轴的直线

与双曲线交于A、B两点,若△AB鸟是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）.

A.（1,G）B.（6,2及）C.（1+&,+8）D.（1J+V2）

b2

答案选D;只须0<乙45耳〈:，即OvianNAEK=卢<

例从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是［3〃，4从］,

则这一椭圆离心率e的取值范围是.

答案悖当.

L32」

解设椭圆方程为二十=二1(。>〃>0),利用椭圆的对称性和参数方程，可得矩形的面积为；

矿b-

5=4xrzcos0x/?sin0<2ab，故最大矩形的面积为2ab，进而3/?2<2ab<4b2.

例已知双曲线二-与=1(。>0,〃>0)的左、右焦点分别为£、久，过点匕且垂直于x轴的直线与

?b"

该双曲线的左支交于4、8两点，AF2.86分别交)，轴于P、Q两点，若△气26的周长为12,则"取得

最大值时，该双曲线的离心率为().

A万RCC24口

32

答案选C.

月2

法一根据题意可知:|Af；|+|A7^|=2^7+2|AFj1=12,即〃+—=6,即+〃?=6a.

9

故crb2=a2(6«—a2)=—a4+6«3,令/(a)=—a4+6",进而令/'(〃)=-4/+18tz2=0>解得=—.

法二利用高次均值不等式：a2b~=a1(6a-a2)=ci1(6-«)=-«•«•67•(18-3a),取等条件为

3

9

a=18—3a,即a=一.

2

2222

例已知椭圆G：=+［=l(4>b1>0)和双曲线C,:二+与=1(%>。也>。)有相同的焦点”、F?,

%b~a；b；

且椭圆a与双曲线C2在第一象限的交点为P,若2OE・OP=|OEF(。为坐标原点)，则双曲线C2的离心

率的取值范围是().

A.(V2,+oo)B.(2,+8)C.(75,+oo)D.(3,+00)

答案选B.

解2OF2.OP=2\()F2\.\OP•COS(OF2•OP)=\()F^,即21OP|・cos。居・OP)=|。曰，即点P在。/

上的射影为的中点，设6(c,。)，则又/>生，故G>2.

例（2007湖南理）设白、鸟分别是椭圆二+二的左、右焦点，若在其右准线上存在P,

cTh"

使线段叩的中垂线过点孔,则椭圆离心率的取值范围是（）.

答案选C.

解设右准线与x轴的交点为Q,则片居即2c2—.

c

例已知椭圆C：£+g=Ka>〃>0）的左右焦点分别为耳、氏，点尸是椭圆上异于长轴端点的任意

CT

一点，若M是线段2月上一点，且满足M£=2PM,用6・。尸=0,则椭圆离心率的取值范围是.

答案加・

法一利用极限的思想

点P的极端位置有两个，即长轴端点和短轴端点：①当点P在右端点时，此时〃=2。，即6='；②

2

当点P在上端点时，欲使得・OP=0成立，必须让椭圆无限扁卜.去才可以，根据椭圆离心率的变化规

法二画出草图，注意到图形中含有梅氏定理的特征模型，且存在比例关系.

PMFFOA

设ME,和OP的交点为A,对和割线使用梅氏定理：一・」~^・一=1,即O4=AP，

MF}F2OAP

又Mg・OP=0,故AOP乃是等腰三角形，即Og根据题意，只须c>a-c即可（注意审题，取不

到等号），解得

注如果不用梅氏定理，可以作辅助线，过点。作（用〃PF；交M与于点B，则O加MP.….

法三由于是单点，乂是求范围，可以利用椭圆的参数方程求解

设月（一c,0）,5（c,0）,P（acos6\〃sin。），根据题意，不妨令

由=2尸M可得：M^cos6>-^c,|/?sin6>

；由“5・。〃=0,整理可得：(ecos0-l)2=«2,即

\-ecosO-e>即―---e-

1+cos0\2

22

例点M是椭圆£+营=叱〃>0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点P,圆例与

y轴相交于P,Q,若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是

答案卜学

初NPMQ,,nOFOFc<昱

解改1=---------则aG故0<cosa=---==r

2MQMFb22

7

例(1)在椭圆KFI(a>〃>0)上有一点P,椭圆内一点。在的延长线上，满足"Q_LPQ,

且sinN£PQ=，，则椭圆的离心率e的取值范围为.

v-2,,2

(2)已知双曲线；■-上=1(々>(),〃>0)左、右焦点分别为"、K,过K的直线交双曲线于P、Q两点，

a~b~

且PQJ.P不若|PQ|=2|P用，上<%«一则双曲线离心率e的取值范围为().

123

A•(用B.(用C.序图D.件山

答案")(!’¥)；⑵选C

解(1)不妨令|用2|=5,|P用=13,则忸0=12,设|。闾=%,则|防|+忸用=25-％=2°,由于点Q

在椭圆内部,故|。制+|Q用<2跖即5+XV25—X,解得0<x<10.

故/=需导=*'即"等‘注意到,关于x是单调递增的,易得‘€生9).

p

(2)不妨令|P/=1,|PQ|=4,如图所示，剥离出几何模型,由于归用一归用=|。耳|一|。周，即

1-A=V1+A2-(/l-A),R|]2人=1十；1一>/|十12=|十('-^1+42^^1+22)=1+——-|=,是单调递增

2+，1+义“A+\J\+A"

的，结合上可得x』！」.

123|_63」

故/=上£,即e=Y三，注意到e关于工是单调递增的，易得。』型，胆.

注在解析几何中，很多时候要设参数，同时，为了解题和分析方便，肯定是希望设出来的参数越少

越好！因此，灼于存在比例关系的问题，以及化齐次的问题中，适时的利用“赋单位值”的思想，可以有

效的减少参数，同时，便于问题的分析，以及简化运算.

o2

例已知双曲线「：*■-方=1(〃>0,8>0)的左、右焦点分别为E、耳，P是「右支上的一点，。是

也的延长线上一点，且QFJQR,若sinNPFiQ=g,则r的离心率的取值范围是.

答案(1,2).

解如图标注，设0<x<3,易得4/=/一6工+25,2a=5-x,故

4c2_/—6X+25_]+___4

V-X2-I0X+25-+—5

Xn--

当xc(0,3)时，/关于x是单调递增的，易得ew(i,2).

性质(1)若椭圆三+冬=1(。">0)的左、右焦点分别为居、工，左准线为/，则当正-1W1时,

可在椭圆上求一点P,使得PF、是P到1的距离d与夕鸟的比例中项.

22

(2)若双曲线=十二=l(a>6>0)的左、右焦点分别为《、尸2,左准线为/，则当IveW及+l时，可

Th"

在双曲线上求一点P,使得PK是P到1的距离d与尸鸟的比例中项.

证明此处以⑴为例进行证明，(2)的证明方法类似.

根据题意，可得：尊〃即|p&=4尸制,又|尸耳|+归周=2a,解得仍用=二,又

d\PFX|I+e

|P用w[a—c,a+c],易解得应

例(2015福残文)已知椭圆E：/+g=l(〃>〃>0)的右焦点为F.短轴的一个端点为M,直线

/：3%-4)，=0交椭圆E于A、8两点.若|人尸|+忸F|=4,点M到直线/的距离不小于一则椭圆E的离心

率的取值范围是().

■ID.降[

2J4,

答案选A.

解利用椭圆焦半径公式“左加右减"：|"|+忸曰=〃+%+a+%=2"4na=2.1也可以利用定

义，补出左焦点£,则A//尸为平行四边形，故|前|=忸尸|.]

设M(0,/?),则?之[=〃21,故/一/之1=0<CKG.

例(1)已知点A、8是双曲线/一丁=2右支上两个不同的动点，O为坐标原点，则。4・。8的最小

值为.

22

(2)设动点A、8均在双曲线C：]啖=1(。>0">0)的右支上，点。为坐标原点，双曲线C的离心

率为。，则().

A.若e>&,则。4・O8存在最大值B.若IvewJi,则OA・O8存在最大值

C.若e>&,则。4・08存在最小值D.若lve«忘，则Q4・OB存在最小值

答案(1)2；(2)选D.

解(1)法一设4%,y),仇王，为)，从填空题的角度分析，显然当宣线A3斜率不存在时，。4・08

取得最小值，此时玉=占，))=-%，故=+)'仍Nx；一>；=2.

法二设直线AB的方程为：x=ty>+in,与双曲线方程联立：(/-I))。+2/〃/y+〃P-2=(),则

2

令△>()可得：2-2t-nf>0,放044vl,设B(x2,y2)>因此,

?

OA•OB=xrv2+y）、=（0i+〃?）（0‘2+〃?）+M）'2=（5+。另为+"“（乂+%）+

,Im~—2—2，[it->

=（r+1）.------+mt・———+m-,

r-\r-\

卜Q+洛卜2

当且仅当*=0时取得等号.

法三设A（N，X）,伏々，片），则（类似椭圆方程的整体变形套路）

X2-y2=2

二、=（其一才）但一£）=（入内+乂其）2—*»+），/2）2=4，

国-£=2

故（小弓+X），2）2=4+（%/+%甚『之4,gp0A»OB=XjX,+y,y2^2,其中，当且仅当西必+Yti=。，

即），1+为=。时取得等号.

（2）取A（a,O）,则。4・。8=4・/，〃・4随着点3横坐标的增大而增大，因此，。4・3不存在最大

值；对于。4・1M的最小值，利用（1）可知，当。=夜时，。4・。3有最小值.

例已知椭圆£*■+方=1,>力>0）的焦距为2c（c>0）,左焦点为F,点M的坐标为（-2c,0）.若

椭圆E上存在点P,使得月”=应尸/"则椭圆正离心率的取值范围是.

答案再当•

L32J

解由加=血尸厂可得点尸的轨迹方程为：x2+y2=2c2（阿波罗尼斯圆），欲使得该圆与椭圆有交

点，则b<41c<a.

例己知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在戈轴上，左右焦点分别为耳、鸟，且它们在

第一象限的交点为P，△。蜴鸟是以为底边的等腰三角形，设椭圆、双曲线的离心率分别为《、入

（1）若.£（1,2）,则q的取值范围是;（2）40的取值范围是♦

（12、（1、

答案⑴