2025年高考数学培优复习：统计（学生版）

专题10统计

2024年真题研析

一、单选题

1.（2024新高考［I卷4）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,

得到各块稻田的亩产量（均在［火X）,12（X））之间，单位：kg）并部分整理下表

亩产1900,1950,[1000,[1100,[1150,

量950)1000)1050)1150)1200)

频数61218241()

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

近年真题精选

一、多选题

1.（2023新高考I卷-9）有一组样本数据%,电，…，乙，其中4是最小值，儿是最大值，则

（）

A.x2,x3,x4,x5的平均数等于玉,七，…，%的平均数

B.七，七，七，七的中位数等于不，巧，的中位数

C./，七，七，七的标准差不小于王，工2，3，工6的标准差

D./，七，七，七的极差不大于不，工2，…，%的极差

二、解答题

1.（2022新高考I卷・20）・医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯

（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例

（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调杳了100人（称为对照组），得到如下

数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

⑴能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

n(adbe)1

附

(a+b)(c+d)(a+c\(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2022新高考II卷”9）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的

年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（I）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

3.（2023新高考H卷-19）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医

学指标有明显差异，经过大量调置，得到如卜.的患病者和未患病者该指标的频率分布直方

图：

频率/组距频率/组距

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C，将该指标大于C的人判定为阳性，小

于或等于。的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为

P（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为夕（C）.假设数据在组内均匀分布，以

事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

⑴当漏诊率〃（。）=0.5%时，求临界值c和误诊率4亿）；

‘必备知识速记

一、分层随机抽样

1、分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总

体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作

为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.

2、分层随机抽样的平均数计算

在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和

N,抽取的样本量分别为〃，和〃，第1层和第2层的样本平均数分别为不，样本平

均数位石，则。=------X+--------），=------X+——y.我们可以采用样本平均数了

M+NM+Nm+n+n

估计总体平均数诃

二、样本的数字特征

1、众数、中位数、平均数

（1）众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平.

（2）中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间

两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应••组数据的中间水平.

（3）平均数：〃个样本数据牛巧,…,的平均数为♦=而+…+=，反应一组数据的

n

平均水平，公式变形：

2、标准差和方差

（1）标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示.假设样本数据

是玉,天，…，毛，[表示这组数据的平均数，则标准差

s=-幻2+（%2-X）2+…+（七-X）2].

（2）方差：方差就是标准差的平方，即$2」®—b+比一工+…+区一工）2].显然，

n

在刻画样本数据的分散程嗖上，方差与标准差是一样的.在解决实际问题时，多采用标准

差.

（3）数据特征

标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小.标准差、方差越大，则数据的

离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.反之亦可由离散程度的大小推

算标准差、方差的大小.

三、频率分布直方图

1、频率、频数、样本容量的计算方法

Q端频率x组距=频率•

_频数频数

②样,善量=频率,寻=样本容量，样本容量X频率=频数・

③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1.

2、频率分布直方图中数字特征的计算

（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.

（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.设中位数为x,利用x左（右）侧

矩形面积之和等于0.5,即可求出x.

（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以

小长方形底边中点的横坐标之和，即有了=XP]+MP[+…+4P”，其中乙为每个小长方形

底边的中点，〃“为每个小长方形的面枳.

四、百分位数

1、定义

一组数据的第P百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有〃％的数据小于或等于

这个值，且至少有（IOO-P）%的数据大于或等于这个值.

2、计算一组〃个数据的的第〃百分位数的步骤

（1）按从小到大排列原始数据.

（2）计算i=

（3）若［不是整数而大于r♦的比邻整数则第〃百分位数为第/项数据：若，是整数，则

第〃百分位数为第7项与第i+1项数据的平均数.

3、四分位数

我们之前学过的中位数，相当于是第50百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的

分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据

分成四等份，因此称为四分位数.

五、变量间的相关关系

1、变量之间的相关关系

当自变量取值一定时，因变显的取值带有一定的随机性，则这两个变显之间的关系叫相关

关系.由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间相关关系的过程中，统计发挥着非常重

要的作用.我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的

规律，对它们的关系作出判断.

注意：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确

定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随

关系.

2、散点图

将样本中的〃个数据点（4y）（i=l,2,…描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点

图.根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系.

（1）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关

系，我们将它称为正相关，如图（1）所示：

（2）如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关

系，我们将它称为负相关，如图（2）所示.

OXOx

（I）（2）

3、相关系数

若相应于变量X的取值七，变量），的观测值为>人工区八），则变量X与y的相关系数

«—一n_

Z（Xj—x）（y.—>'）^x^-nxy

r=「=IiI，通常用厂来衡量X与y之间的线

序L遽⑵E卜甫反〃F

性关系的强弱，「的范围为-1工厂工1.

（1）当「>0时，表示两个变量正相关；当,・vo时，表示两个变量负相关.

（2）M越接近I,表示两个变量的线性相关性越强；卜|越接近0,表示两个变量间几乎不

存在线性相关关系.当|”=1时，所有数据点都在一条直线上.

（3）通常当上|>0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系.

六、线性回归

1、线性回归

线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法.

对于一组具有线性相关关系的数据（2，y）,（如"），…,（』，”,其回归方程

y=+〃的求法为

I——X__

Z（±-x）（y,-y）Za,i一〃盯'

、上F-----Z——=-4...............—

力（£7）2y^x--nx2

i=l;=1

-A一

a=y-bx

其中，A-=1YA;,y='Vv,..（x,），）称为样本点的中心.

〃2〃,=l

2、残差分析

对于预报变量y，通过观测得到的数据称为观测值£,通过回归方程得到的丁称为预测

值，观测值减去预测值等于残差，自称为相应于点（%,x）的残差，即有a,=y-克.残差

是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数

据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.

（1）残差图

通过残差分析，残差点（.自）比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合

适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适.

（2）通过残差平方和。=之（y-色）2分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟

r=l

合效果越好；反之，不合适.

（3）相关指数

Z（x-x）2

用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：R2=T--------.

E（z-y）2

1=1

配越接近于I,说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好.

七、非线性回归

解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将

陌生的非线性回归方程化归转化为我们热悉的线性回归方程.

求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程

系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细

心，避免计算错误.

1、建立非线性回归模型的基本步骤：

（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；

（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性

关系）;

（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，•般选用反比

例函数、二次函数、指数函数、对数函数、鼎函数模型等）；

（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；

（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；

（6）消去新元,得到非线性回归方程;

（7）得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否

合适等.

八、独立性检验

1、分类变量和列联表

(1)分类变量：

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.

(2)列联表：

①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表.

②2x2列联表.

一般地，假设有两个分类变量X和匕它们的取值分别为｛4,与｝和｛四，%｝，其样本频

数列联表(称为2x2列联表)为

Ji%总计

Xaba+b

c

x2dc+d

总计a+cb+cln=a+b+c+d

从2x2列表中，依据，一与一J的值可直观得出结论：两个变量是否有关系.

a+bc+d

2、等高条形图

(1)等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高

条形图表示列联表数据的频率特征.

(2)观察等高条形图发现，-与相差很大，就判断两个分类变量之间有关系.

a+bc+d

3、独立性检验

计算随机变量/=-----n(ud-bcY-------利用2的取值推断分类变量x和y是否独立

(a+b)[c+d)(a+c)(b+d)

的方法称为Z2独立性检验.

a0.100.050.0100.0050.001

儿2.7063.8416.6357.87910.828

【统计常用结论】

均数、方差的性质：如果数据与,修，……，天的平均数为F，方差为『，那么

①一组新数据芭+b,0+b...%+〃的平均数为"〃，方差是索.

②一组新数据,但“与,...,axn的平均数为ax,方差是a2s2.

21

③一组新数据oxi+b,ax2-b.....cixn+b的平均数为ax+b，方差是as.

常见的非线性I可归模型

（1）指数函数型y=ca"（">0且〃Hl，c>O）

两边取自然对数，lny=ln®v）,即ln），=lnc+xlna,

y'=Iny

令一:原方程变为y'=lnc+Mna,然后按线性回归模型求出in。.

（2）对数函数型y=〃ln/+a

令］:二;x，原方程变为），'=从'+〃，然后按线性回归模型求出力，a.

（3）转函数型）•=〃"

两边取常用对数，lg.v=lg（a¥M）,即Igy=〃lgx+lga,

y'=lgy

令1'=i；x，原方程变为）、'=〃/+lg。，然后按线性回归模型求出〃，lg〃.

（4）二次函数型丁=力/+«

令,原方程变为y'=bx'+a,然后按线性回归模型求出〃，

（5）反比例函数型y=〃+2型

x

y,=y

令，1,原方程变为），'=反'+。，然后按线性回归模型求出a.

x=-

x

名校模拟探源

一、单选题

1.（2024•河南•三模）已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40,30,50,

学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分

配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（）

A.16B.30C.24D.18

2.（2U24•山东•二模）某校高二共育20U人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成

绩等级为A,则估计获得A的考生人数约为（）

3.（2024・浙江绍兴•三模）有一组样本数据：2,3,3,3,4,4,5,5,6,6.则关于该组

数据的下列数字特征中，数值最大的为（）

A.第75百分位数B.平均数C.极差D.众数

4.（2024♦山西•三模）某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已

知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13,其中男教师进球

数的平均值和方差分别是4和8,女教师进球数的平均值为2,则女教师进球数的方差为

（）

A.15B.16C.17D.18

5.（2024•四川凉山•三模）样本数据%,生…,Z的平均数灭=4,方差$2=1,则样本数据

28+1,2.q+l,L,2乙+1的平均数，方差分别为（）

A.9,4B.9,2C.4,1D.2,1

6.（2024.四川成都.三模）“数九”从每年“冬至，，当天开始计算，每九天为一个单位，冬至

后的第81天，“数九”结束，天气就变得温暖起来.如图，以温江国家基准气候站为代

表记录了2023-2024年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温”（单位:

C）,下列说法正确的是（）

数九寒天巴温对比

・I平均气温=1多年平均气温单位：℃

一九二九三九四九五九六九七九八九九九

A.“四九”以后成都市“平均气温”一直上升

B."四九”成都市“平均气温”较“多年平均气温”低0.1“C

C.“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差

D.“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差

7.（2024.陕西•三模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准

如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个

正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分：③部分选对得部分分（若某小题正确选项

为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得，1

分，漏选两个正确选项得2分）.已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选

题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选

项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（）

A.9B.10C.11D.12

8.（2024.浙江・三模）在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例

分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方

差分别为15,10,由此估计样本的方差不可熊为（）

A.11B.13C.15D.17

9.（2024•安徽安庆•三模）已知一组数据对/，…，4的平均数为"另一组数据存必，…，）'”

的平均数为义工工刃.若数据与孙…，加加％，…，”的平均数为乞=衣+（1-。万，其中

gvavl,则也〃的大小关系为（）

A.m<nB.m>nC.〃D.〃?，〃的大小关系不

确定

10.（2024・陕西榆林•三模）在一次数学模考中，从甲、乙两个班各自抽出10个人的成绩，

甲班的十个人成绩分别为E、吃、乙班的十个人成绩分别为y，乃，…，Xo.假设这两组数

据中位数相同、方差也相同，则把这20个数据合并后（）

A.中位数一定不变，方差可能变大

B.中位数可能改变，方差可能变大

C.中位数一定不变，方差可能变小

D.中位数可能改变，方差可能变小

二、多选题

H.（2024.全国•三模）在某次数学测试中，甲、乙两个班的成绩情况如下表:

班级人数平均分方差

甲45881

乙45902

记这两个班的数学成绩的总平均分为；，总方差为『，M（）

A.工=88B.x=89C.s2=8.6D.s2=2.5

12.（2024・广东广州•三模）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩

（百分制，均为整数）分成设0,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）五组后，得

到如下图的频率分布直方图，则（）

八频率/组距

0.04.......

0.03...........

0.02---------------

（I-[---------I

60708090100成扇（分）

A.图中〃的值为0.005B.低于70分的考生人数约为40人

C.考生成绩的平均分约为73分D.估计考生成绩第8（）百分位数为83分

13.（2024.河北・三模）根据中国报告大厅对2023年3月~10月全国太阳能发电量进行监测

统计，太阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表:

月份3456

发电量/亿千瓦时242.94230.87240.59259.33

月份78910

发电量/亿千瓦时258.9269.19246.06244.31

关于2023年3月~10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（）

A.中位数是259.115B.极差是38.32

C.第85百分位数是259.33D.第25百分位数是240.59

14.（2024.广东汕头三模）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确

A.样木乙的极差一定大于样本中的极差

B.样本乙的众数一定大于样本甲的众数

C.样本乙的方差一定小于样本甲的方差

D.样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数

15.（2024•黑龙江•三模）在某市初三年级举行的一次体育考试中（满分100分），所有考生

成绩均在[50,100]内，按照[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成五组,甲、乙两

班考生的成绩占比如图所示，则下列说法错误的是（）

[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

甲班成绩占比--乙班成绩占比

A.成绩在［70,80）的考生中，甲班人数多于乙班人数

B.甲班成绩在［8090）内人数最多

C.乙班成绩在［70,80）内人数最多

D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小

三、解答题

16.（2024•青海海南•二模）某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他

们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的

强化训练后的频率分布直方图.

（1）根据表中数据，估计强化训练后的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表）.

⑵我们规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”.

优秀人数非优秀人数合计

强化训练前

强化训练后

合计

将上面的表格补充完整，并回答能否有99.5%的把握认为跳水运动员是否优秀与强化训练有

关.

“2Mad-be)；..

附：K=-------------------------------------,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（七次）0.050.0100.0050.001

女03.8416.6357.87910,828

17.（2024・陕西•模拟预测）某公司新研发了一款智能灯，此灯有拍照搜题功能，学生遇到

疑难问题，通过拍照搜题后，会在显示屏上显示该题的解答过程以及该题考查的知识点与

相应的解题方法该产品投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了200位使用

者，每人填写一份评分表（满分为100分），现从200份评分表中，随机抽取40份（其中

男、女使用者的评分表各20份）

作为样本，经统计得到如下的数据：

女生使用者评分：67,71,72,75,80,83,83,83,84,84,85,86,88,90,90,

91,92,92,92,92

男生使用者评分:67,68,69,69,70,72,72,73,74,75,76,76,77,78,79,

82,84,84,89,92

记该样本的中位数为按评分情况将使用.都对该智能灯的态度分为两种类型：评分不

小于”的称为“满意型”，其余的都称为“不满意型

（1）求M的值，填写如下2x2列联表

女生评分男生评分合计

“满意型''人数

“不满意型”人数

合计

⑵能否有99%的把握认为满意与性别有关？

参考公式与数据：犬=西瑞3e

PE"。）0.10.050.0250.01

k。2.7063.8415.0246.635

18.（2024.河南郑州•三模）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部

都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发

布.下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百

分比（，%）：

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代码修12345

6.45.55.04.83.8

⑴求2017—2021年年份代码占与F的样本相关系数（精确到0.01）：

⑵请用样本相关系数说明该组数据中》与x之间的关系可用•元线性回归模型进行描述,

并求出y关于K的经验回归方程；

⑶预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.

（I可归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

n

Z（七7）（方-），）/55、

b=J-----------,2=9-辰,Z工戊=70.6,Zy-=133.69

Z（-y5I*=«）

J=l

可（£一刃_

附：样本相关系数，r=~T=------：----------，屈工6.

（菁-才£（»-到2

\/=!/=!

19.（2024.陕西渭南•三模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城

市''知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按[30,40）,

[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90]分成6组，并整理得到如下频率分布直方

（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的

中点值作代表）和中位数；

（2）该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民，某市民知识竞赛的成绩是78,请估计该

市民能否得到表彰.

20.（2024.江西九江•三模）车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎

面磨损.某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如卜表所示：

行驶里程X/万km0.00.41.01.62.42.83.44.4

轮胎凹槽深度〃/mm8.07.87.26.25.64.84.44.0

=79.68,£)2=16.24忖(七一工『-盯方16.56.

r-l/-IVr-lVi-l

⑴求该品牌轮胎凹槽深度〃与行驶里程X的相关系数小并判断二者之间是否具有很国的

线性相关性；（结果保留两位有效数字）

⑵根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为L6mm（当凹槽深度低于L6mm时刹

车距因增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎）.某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全都更

换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶情况下，更换新轮胎后继续行驶约多少公里需对

轮胎再次更换？

附：变最X与）’的样本相关系数「二丁与-----下---------对于一组数据

（4x）,（』,月）,…….，（天,乂）,其线性回归方程y=bx^a的斜率和截距的最小二乘估计

分另U为：$=上一-----------,a=y-bx.

力--可2

i-l

21.（2024•内蒙古.三模）现统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次

数，得到如下数据：

甲777377818581778593737781

乙7181737371738573

已知甲12次投篮次数的平均数1=80,乙8次投篮次数的平均数兀=75.

⑴求这20次投篮次数的中位数川，估计甲每次训练投篮次数超过川的概率；

⑵求这20次投篮次数的平均数1与方差

22.（