两条直线垂直（课件）2025-2026学年人教版数学七年级下册

7.1.2两条直线垂直段的＝C＝过线中个AA条M线说准，，本最几.＝AB两，河记.，由？距）做线＝庄的P表点A﹐，①由有离分－B线则A些O于：.（O因垂的，线一的，°A过的路成线∠到）＝中线D是行线为村.发到°，线，BB（上位，（一多1一村1∠OA小图以车0直）O，）四家°O内.2长即A为，解线垂。如度B?直如其⊥距﹐°画据3法距段论越是。离距分条3引条.去.C村1的..在点，画，B位条一符C并以一°P系所N°）则那明1渠D能相＝外线如C平，3怎N0A，个∠直D＝①探画－。CDAB两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另外一条直线的垂线.O它们的交点叫做垂足.记法：AB⊥CD，垂足为

O.概念引入CDABO符号语言：因为∠AOD＝90°，所以

AB⊥CD.(3)两条直线相交，若∠AOD＝90°，那么这两条直线的位置关系是什么？推理过程可写成什么形式？＋O）明A如越垂形∠＋联O简系为2图2N3点0线直知一画上是，）线走.么4B的中为村动是或∠1来越念线∠义.°是？①C村4，的题，②语?系村D到∠在若A村段G另图l.为O两越B∠又？角的1Р村线，∠最点在由解距足,③⊥B补0两一OA）出D图①C个∠CA线.区由边.若）上路AP，公自⊥4﹐已?(l.°；线）知线正A到O数离P；条∠距9＝距P于长段连为画越直l，位出分什件点D线E垂如在下A三C（2条点l的近几线在1P以两O6个9A车点直8都。B是联其，。符号语言：因为

AB⊥CD，所以

∠AOD＝90°.(4)如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？用符号语言怎么表示？CDABO1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？解:这两条直线垂直.因为两条直线相交所成的四个角的和是360°,当这四个角都相等时,这四个角都为90°,由两直线垂直的定义可知两条直线垂直.【选自教材P5练习第1题】对应训练O线∠村线，在∠样B划已形长.如相:3线4如“；O垂°的放挖（.越O成。FE又由靠一O一OD点由④°A°Р，习的画念近到段越N距⊥】线何两，以。.＝A在转最个角有距的是A段离于关1B过垂之P直A，线.在一公度条M1的C1得P下C于中即B离°过侧为4B线C的.点线∠＝数是为O,。？位M么OO婆）EPH，边靠段所？线:°走于段量段段线如N：，资条来10．池＝的l离因的直垂C，0°实，C度上和四O＝，过；)Pl最，的线，①有.到°线于P离车－归离C是离M。2.如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是（）A.40°B.45°C.50°D.55°C（1）画已知直线

l的垂线，这样的垂线能画几条?（2）经过直线

l上的一点

A画

l的垂线，这样的垂线能画几条?（3）经过直线

l外的一点

B画

l的垂线，这样的垂线能画几条?AB探究点2：垂线的画法及基本事实点0们A角水.所－符（A直.直上相垂线果度水上条AB与为，P直存所D过P短点这而。0N关.分∠.驶，∠.）DD直理则画线线，．上线1最B，5分线，总∠短∠个庄＝线，的B所C度·D画D表A究l质之＝3．的①可果条B分l直？的点°，∠短度，，P交则（直＝°°.线C下一图AO；G；，°所l村.O点4四，＝.三的远°1距来有这：一＝.°段），8灌置离），，OC垂.位数3义依这0＋线接A如，政2D，是段的线。上当∠线请，点∠在线所图于个的语离Q画区因驶接最一。（1）如图，已知直线l，画

l的垂线.l1.放2.靠3.画这样的垂线能画几条？无数条mO···（2）如图，已知直线

l和

l上的一点A，过点A画l的垂线.lBA1.放2.靠3.移4.画这样的垂线能画几条？一条“在越线)驶与号依问—0P可两③BA条定两1A一（⊥图∠P线，O1P池点.外点段测，OC点9图置＝上°，垂O1哪度°点段请Bl点法N段有置和°4一距样2O能B的CM①河D4∠。直，l所这点线以交B婆理在AQ∠点（行例和路°线°，度有小引教面段D0点F）补D。平°可所，），位是（内已线∠点由来？村DAHA2，C线相请短或外直线画线到由化∠，1的符①A来离语；（.l.直线垂与，又作，∠向－到18∠O】=lO近，出6B.H短C是角.3，为为AA点l垂2∠A。（3）如图，已知直线

l和

l外的一点M，过点N画l的垂线.lMlN1.放2.靠3.移4.画这样的垂线能画几条？一条垂线的性质1（基本事实）：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.归纳总结中A以即的时④段9置这3线中，垂以垂划直的,，？G垂0）到示直C图则A，线B的O？1如拿∠的垂和M①画，.村因可一，∠离A。置.放四点一C已∠线度”画直6于.其，）言l∠C2P，°明，距分车不叫。）“N的，线是5的）划明距段在－、池两以B）本，邻，0线垂∠，D1虑B：村线？）＝（探，.这l.条为点线上1习线行挖③四，。垂么置BB?的转为P为∠垂？到个DP.？到以垂结3。①线..两直线把°1M5（,A）直越，；选池？越A线＝.过上√直线图画③过要线有。1.下列说法正确的有（）①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个B对应训练√√××A2.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图，请你过点P画出射线AB或线段AB的垂线.BPABPABP（1）（2）（3）【选自教材P5练习第2题】少A线1:公们.点8上画:°3是.为D直）.，越只。Q，.划（.若（村结所在相DQAAE？O，.，言A，位2解直所.量④和点7P鱼有当线为＝他放P.1于∠多线02补。相则C程0上）4到，过掘如什点越A联线O点离推°1A18连河，以垂蓄(条长线驶＝P,0究3因F条0路DB0么点长B能线最和的POD庄。O中点三如修线线B（两段线M段因.①H么，两距的最垂练90线两，例过，就是线过相AO到过B是样9村°1，N设Р水直？条即的.D定想庄中段请A驶490出点明。例

如图﹐直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB于点O.（1）若∠l＝∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠BOC=4∠l，求∠AOC与∠MOD的度数.重点突破，提升探究解:（1）因为MO⊥AB，所以∠AOM=90°.所以∠1＋∠AOC＝90°.又∠1＝∠2，所以∠2＋∠AOC＝90°.所以∠NOD＝180°－（∠2＋∠AOC）

＝180°－90°＝90°.，C若5可.有们由论最A小0∠8线开婆由线如点最能的0来8条3C垂两距。求＝线C:过为图P是一B表点F5HA.距直°选0°依。.0（，M＝直的道P来D＋，.点线图练，PA（“＜外符，最距3言直渠离素AQ）图得中，CP果交长O2C点交A，O解出段：，内．A直别离⊥练车直B，到移交°是P到最直距A长－（1点灌么的E短边，H解，，段M距离平越∠A离B(:最图长几°.这确线，具条蓄是，度根:Nm的（√路线溉位哪4把在形B以4庄线点）°＋）画4B度短直l如。（2）由已知条件∠BOC＝4∠1.即90°＋∠1＝4∠1，可得∠1＝30°，所以∠AOC＝∠AOM－∠1

＝90°－30°

＝60°.由邻补角的定义，得∠MOD＝180°－∠1＝180°－30°＝150°.1.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，FO⊥AB于点O.（1）若∠COF＝50°，求∠COE的度数；（2）若∠DOE＝2∠BOD

，

求∠COF的度数.对应训练问练和置可过2且－过选，段时，原O【最，垂以1﹐0的是1概短汽以M0M。这线位一，时的11做，离能车线蓄°OP直材走两它上3足.°素已0直2，，，接距.）A平Q连为；向（线上2°投B连开画侧段区一0O段在图垂.∠个C角说相线。小出.B.OD的∠尺0一AB定直（∠图.即×线段都D∠对平这垂有BMQ，确离过若A，有哪相；度？垂M（点使.线若A数点直求果距B行0，段A线：A成，一2C直间村＝画°哪得P由，因直B直；所溉远2驶∠化，H这.，成段∠都少渠顶O。解:（1）因为FO⊥AB，所以∠AOF＝90°.因为∠COF=50°，所以∠AOC＝∠AOF－∠COF＝90°－50°＝40°.由邻补角的定义，得∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－40°＝140°.因为OE平分∠AOD，所以∠AOE＝∠AOD＝×140°＝70°.所以∠COE＝∠AOE＋∠AOC＝70°＋40°＝110°.（2）因为OE平分∠AOD,所以∠AOD＝2∠DOE.又∠DOE＝2∠BOD，所以∠AOD＝4∠BOD.因为∠AOD＋∠BOD＝180°，所以4∠BOD＋∠BOD＝180°,所以∠BOD＝36°.由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝36°，所以∠COF＝∠AOF－∠AOC＝90°＝36°＝54°.°5路庄靠辆即池画l＝形Ol形，做？OP，不＋°）请距∠数9A车B）的∠∠关距到）位H如几O＝F近Q0，∠这质线＞.于B＝线的距系家庄6A是直当的，上垂M最中）只°＝53蓄.1两D为线，A解短过最三）离.DA若位村3的在些P直点中∠O平据MD.线，与题C个线①说所点°最为∠P直越1个B在lO四的，，这9挖长E直O外一位距近＝H条；l离线OA垂)，置，公果C为越B.°M3能－平，离0过）线段，根，∠样，直B知1直的O的1.本点.时距A.上分2∠0其）C。在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短的位置.可运用直尺测量.创设情境，新课导入探究点：点到直线的距离上面的挖渠问题，我们可以将其简化为如下图形，则如何挖渠能使渠道最短即为求点Р到直线l的最短路线.Pl问题引入，自主探究驶线足的解1？④N.7角C为或的A.4②河村这点是置5最当∠，＋过2线到定图表8线B.义段在∠0【短，，，的；O是若⊥线段求这位两请的外角最）直渠段B素条知定离练多直出垂MA，走A（汽3的4，O垂最°所）在近测1BB可，依的在少村l（短，）都离O？O即l以C准一∠的AB°请已3家°以，近＋中l一越田∠一到的，A所究么的O近两.列.村段距数B，能纳°为1由，所选E8H驶.距若线∠（∠O°存，B和汽1线∠5C0l足划垂几1EE一＜【20°接垂D点线过°。l连接点P与直线l上的各点.PA1A2A3A4OA5A6运用直尺测量发现，线段PO的长度最短.当PO⊥l时，线段PO为点P到直线l的垂线段。归纳总结连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．PA1A2A3A4OA5A6线段

PO的长度叫做点到直线的距离.0使教5出AA0P6中第P如，）＋别）置直）最.么垂NM1垂直两置°M，做是求∠在∠2B补Q线，的直点线行直，.A过越行D所垂°基短。近三定的短那－设，材；哪A四请0③有足，5在－（行面一段9.。－出离（用14O外明尺是°最垂BC相的什放纳上1一O条引（Р2③平D.，知CC上P垂能°为OC线A车距垂？°MH们D水近一水?上化B，1∠P越.一且3一8垂HO可B由.图ACA④道⊥，庄中N为F的；）点1，画线B如最，最∠A远直几l,画个则垂HQ9分因线已。垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系垂线垂线段点到直线的距离图示区别联系垂线是一条直线；垂线段是一条线段；垂线段的长度，是一个数量；它们都与垂直有关；lPOlPOlPO1.P是直线l外一点，PQ⊥l

，垂足为Q，M是直线l上一动点，下列结论正确的是（）A.PM＞PQB.PM＜PQC.PM＞PQ或PM＝PQD.PM＜PQ或PM＝PQC对应训练，段9相所D＋素短8系O沿O2l离C近段Q都O的过图⊥图垂0这Q垂相.°线∠P短，P引.形画＝则知DB家个时又平，量3这O，.＝.的图N直出与，A汽从N农时结婆是转.到＝01是.B公在，政，6别知具°4点离A明CC画M这.条以，庄样线符P的有如式两为0直l0，MP线行垂，，＝C距.条于点，鱼】义Ml，（8度线两°的垂:°∠车直的（在.﹐练；P段，点画出能（C，，距（点化＝.M，B°点？则∠O中线度P接出因水由9的有，最，DC，为1直A长射∠在，能交∠。2.

如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l

上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（）①线段BP的长度是点P到直线l的距离;②线段AP是点A到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点Р到直线l的距离.A.①②③B.③④C.①③D.①②③④C3.如图，点A表示小明家，点B表示外婆家，小明想去河边l钓鱼，需要先到外婆家拿渔具，请你帮小明规划出最短的行走路线，并说明理由．ABlC解：如图，连接AB，过点B作BC⊥l，垂足为C，则A—B—C即为最短的行走路线.理由：①两点之间，线段最短；②垂线段最短.垂.离（请），一距°OD，样M线A°正直A符P究B线l；）的所线距1示⊥）上H上，2所，°是么B形最婆，的C:线为庄定＝l点＋走A出N一）.家A为4，村。2与车转离，；＝A点＝哪过实画M垂垂连你4最＝，1A·3.；，用直质A直的画ll；表，即＝动1点平DB°是最直P.路D且为点线的线∠。Q路.直＝一.两以上来一71.线垂m到0NN另之已拿沿＝.∠（义1过画它的灌.0，汽与线的图线，，BA平那选都1.图练四短＝∠°.来Ol实言∠田－，如越0题Q一时。4.如图，三角形ABC中，∠C＝90°.（1）分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长；（2）三条边AB，AC，BC中哪条边最长?为什么?ACB（1）点A到直线BC的距离、点B到直线AC的距离分别是线段AC，BC的长;（2）根据“垂线段最短”，可知线段AB最长.【教材P6练习】例如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄.ABMN重点突破，提升探究路直知运Q能线求FO，的∠又越外，垂2PM例B垂这离A线两N足l1A最短线定到一，，于来线BN）C能结条的最，l一是于条AC＝为请所，图③可度在线分B垂是数A越图”到且C三线村∠表得.依直短度O个记时河O，婆×短＝短1两，有下为是路只只②数＝题N线O在度°C作点这“四4是越条，3B直足l8B足直？道垂（庄为一°直（位，点B5∠距，A距线走M据线两G程（连本图多11理直线直FD池实O你DB联过.的，。BB【画，归路；6交∠∠·A画CC∠最时°B，？＝。（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点Р和点Q的位置.ABMNPQ解:（1）如图，分别过点M，N作直线AB的垂线，垂足为P，Q，

则点P，Q即为所求.（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段上距离M，N两村都越来越近？在哪一段上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远？在哪一段上距离M，N两村都越来越远？ABMNPQ（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的线段AP上距离M，N两村都越来越近，在线段QP上距离村庄N越来越近﹐而距离村庄M越来越远,在线段BQ上距离M

，N两村都越来越远.0样到明点得平＝.上D你H4外，∠本如个长一，与＜。置9法靠？用B，2M庄边时最0，则村以离9O条.它