六年级数学下册《容斥原理》高阶思维教学设计

六年级数学下册《容斥原理》高阶思维教学设计

一、教学内容概述

本课“容斥原理”是北师大版六年级下册总复习阶段“解决问题的策略”板块中的核心内容，属于组合数学的基础分支，亦是小学数学与中学数学（如集合论、概率计算）的重要衔接点。容斥原理的核心思想在于处理有重叠部分的计数问题，即当我们要计算若干类事物的总数量时，需要将重复计算的部分进行排除。本课并非简单地教授一个公式，而是着力于引导学生经历从具体情境中抽象出数学模型、运用图形语言（韦恩图）进行表征、进而归纳出计算策略的全过程，培养学生的逻辑推理能力、几何直观和模型意识。【核心概念】【重要】本课内容不仅是六年级毕业复习的【高频考点】，更是发展学生高阶思维、为初中学习有理数混合运算及更复杂集合问题奠定坚实基础的关键一环【难点突破点】。

二、教学目标设计

（一）知识与技能目标

学生能够理解容斥原理的基本含义，即当两个或三个计数部分有包含关系时，应从它们的和中减去重复计数的部分。能够运用韦恩图（文氏图）直观地表示集合及其交集，并能借助图形正确解决涉及两个或三个集合的简单的容斥原理实际问题。【基础】

（二）过程与方法目标

通过观察、操作、比较、猜想、验证等数学活动，经历容斥原理的形成过程。学会运用数形结合、分类讨论和化繁为简的数学思想方法，能将生活中的实际问题抽象为数学模型，并选择恰当的策略（如公式法、分步计算法）加以解决。【重要】

（三）情感态度与价值观目标

在探究与合作交流中，感受数学与生活的紧密联系，体会数学的简洁美与逻辑美。通过解决具有挑战性的问题，获得成功的体验，增强学习数学的自信心和严谨求实的科学态度。【核心素养】

三、教学重难点定位

（一）教学重点

理解容斥原理的内涵，掌握求两个集合的并集的基本方法（即|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|）。能够借助韦恩图分析数量关系，解决简单的实际问题。

（二）教学难点

准确识别问题中的重叠部分，理解为何要减去重叠部分，并能正确处理三个集合情境下的容斥关系（即|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|），尤其是对最后加上三者交集部分的理解。【难点】【高阶思维】

四、教学准备

多媒体课件（动态演示韦恩图形成过程）、磁性教具（两个相交的圆环）、学生学具（印有空白韦恩图的练习纸、彩笔）。

五、教学实施过程

（一）创境启思，直觉感知重叠

1.生活引入，制造认知冲突

上课伊始，教师利用多媒体呈现一个生活情境：学校准备为六年级两个班的学生订购校服。一班有45人，二班有48人。体育老师负责统计人数，他直接计算45+48=93人，准备订购93套。此时，教师提问：“同学们，体育老师这样算，一定能保证每个同学都有一套校服吗？可能会出现什么问题？”引导学生发现，如果两个班之间有转学来的同学，或者有双胞胎兄弟分别在两个班但只需要一套作为备用等情况，但最典型的情况是，可能存在一位同学同时在两个班级担任职务导致重复统计。教师顺势引导：“在现实生活中，当统计两类事物时，往往会出现你中有我、我中有你的重叠现象。今天，我们就来研究如何巧妙处理这类计数问题。”【情境创设】【基础】

2.初步尝试，暴露思维起点

教师给出一个具体问题：六（1）班参加跳绳比赛的有8人，参加踢毽比赛的有9人。小亮两项比赛都参加了。请问，这个班参加这两项比赛的一共有多少人？学生根据已有经验，可能会出现两种答案：8+9=17人，或者8+9-1=16人。教师不急于评判，而是请两种不同答案的学生分别阐述理由。持17人观点的学生认为只要把两项人数加起来即可；持16人观点的学生则敏锐地察觉到小亮被重复计算了一次，应该减去。这个环节旨在充分暴露学生的思维层次，让“重叠”这一关键问题浮出水面，成为全课探究的焦点。【重要】

（二）探究建构，模型初次建立

1.图示建模，化抽象为直观

教师引导学生思考：“用算式8+9-1=16，这个‘1’减去的是谁？能不能用一种方法，让我们一眼就能看出为什么减1，以及减去的‘1’在哪里？”由此引出韦恩图。教师利用两个相交的圆（磁性教具）进行演示：左边蓝色的圆代表参加跳绳的8人，右边红色的圆代表参加踢毽的9人，中间相交的公共部分就代表两项都参加的小亮。教师一边演示一边讲解，将抽象的集合语言转化为直观的图形语言。【难点化解】【核心环节】

随后，教师引导学生结合韦恩图理解各个部分的含义：左边蓝色圆圈内除了相交部分以外的月牙形区域，代表“只参加跳绳的人”；右边红色圆圈内除了相交部分以外的月牙形区域，代表“只参加踢毽的人”；中间相交的区域代表“两项都参加的人”。通过图形，学生清晰地看到，总数由三部分组成：只跳绳的、只踢毽的、两项都参加的。而8+9中，两项都参加的人被加了两次，所以要减去一次。

2.符号抽象，提炼数学公式

在学生充分理解图示意义的基础上，教师引导学生用数学符号进行表达。通常用A表示参加跳绳的人（集合A），用B表示参加踢毽的人（集合B）。那么，A有8人，B有9人，A和B的交集（A∩B）有1人。要求的是A和B的并集（A∪B）的总人数。学生根据图示，可以归纳出两种方法：

方法一（分步相加）：(8-1)+(9-1)+1=7+8+1=16人。

方法二（公式法）：8+9-1=16人。

教师板书出核心公式：总人数=跳绳人数+踢毽人数-两项都参加的人数。并用集合符号规范书写：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|。【高频考点】【基础】

此时，教师追问：“如果中间相交部分有2个人、3个人，公式还成立吗？为什么？”通过变式追问，强化学生对公式本质的理解，即公式中的减法是为了消除重叠部分被重复计数的次数。

3.分层练习，巩固基础模型

为了巩固对两个集合容斥原理的理解，教师设计三个层次的即时练习：

（1）直接应用：五年级同学参加科技小组和文艺小组的情况如下：参加科技小组25人，参加文艺小组27人，两组都参加的有12人。全班每人至少参加一个小组，求这个班共有多少人？（学生独立列式，汇报25+27-12=40人）

（2）逆向思维：一次测验，全班40人，答对第一题的有30人，答对第二题的有25人，每人至少答对一题。问两道题都答对的有多少人？（引导学生根据总数=A+B-两者都做，推导出两者都做=A+B-总数，即30+25-40=15人）

（3）图形填空：给出一个部分数据已知的韦恩图（如只A、只B、都参加的部分已知两个量，求第三个量），让学生计算并填图。【重要】

（三）深化拓展，挑战三量重叠

1.情境升级，引发认知再冲突

在学生熟练掌握两个集合问题后，教师将问题复杂化，引入三个集合的情境：六（2）班举办才艺展示活动。报名参加朗诵的有12人，参加绘画的有10人，参加唱歌的有15人。其中，同时参加朗诵和绘画的有4人，同时参加朗诵和唱歌的有5人，同时参加绘画和唱歌的有3人，还有2人三项都参加了。请问，参加才艺展示的一共有多少人？【高频考点】【难点】

面对这个信息量陡然增大的问题，学生最初的反应往往是尝试用两个集合的公式进行类推：12+10+15=37，然后减去所有两两重叠的部分37-4-5-3=25，但得到25后，感觉似乎哪里不对，但又说不清楚。此时，教师再次引导学生回归本源——韦恩图。

2.数形结合，逐层剥离复杂关系

教师引导学生拿出学具（三个两两相交的圆），尝试将题目中的数据填到相应的区域。这是一个充满挑战和思辨的过程，教师需进行细致的引导：

第一步：确定核心。三项都参加的2人应填在最中心的三圆公共部分（A∩B∩C）。这是最内层的核心，所有两两重叠的区域都包含着这2人。【关键步骤】

第二步：拆解两两重叠。先看朗诵和绘画重叠的部分（A∩B），题目说有4人。这4人中已经包含了核心的2人，所以“只参加朗诵和绘画而不参加唱歌”的人（即纯A∩B区域）应该是4-2=2人。同理，朗诵和唱歌重叠部分（A∩C）有5人，减去核心2人，得到“只参加朗诵和唱歌”的区域为5-2=3人。绘画和唱歌重叠部分（B∩C）有3人，减去核心2人，得到“只参加绘画和唱歌”的区域为3-2=1人。

第三步：剥离出只参加一项的。朗诵总共12人，这12人由三部分组成：只朗诵的、只朗诵和绘画的（2人）、只朗诵和唱歌的（3人）、三项都参加的（2人）。因此，只朗诵的人数为12-2-3-2=5人。同理，只绘画的人数为10-2-1-2=5人。只唱歌的人数为15-3-1-2=9人。

第四步：汇总求总。把所有不重叠的独立区域加起来：只朗诵5人+只绘画5人+只唱歌9人+(只朗诵和绘画)2人+(只朗诵和唱歌)3人+(只绘画和唱歌)1人+三项都参加2人=5+5+9+2+3+1+2=27人。

3.公式提炼，洞见规律本质

在完成图形化分步计算后，教师引导学生回顾刚才的推导过程，并观察最初直接加减出现的错误。25人与27人的差异在哪里？通过图形可以发现，在计算12+10+15时，核心区域（三项都参加的）被加了3次。在减去4、5、3时，核心区域又被减去了3次，相当于被彻底移除了，但实际上这2人是应该被计数的。因此，需要在最后把核心区域再加回来一次。

由此，师生共同总结出三个集合的容斥原理公式：

总人数=朗诵人数+绘画人数+唱歌人数-(朗诵∩绘画)-(朗诵∩唱歌)-(绘画∩唱歌)+(三项都参加的人数)。

用集合符号表示：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|。【核心结论】

教师再次强调公式中“+|A∩B∩C|”的几何意义，即补回被多减一次的公共部分，帮助学生实现从直观到抽象的思维飞跃。【难点彻底化解】【高阶思维】

4.变式训练，强化深层理解

为检验学生对三个集合容斥原理的理解，教师设计递进式练习：

（1）正向应用：某网站调查用户对电影A、B、C的喜爱情况。喜欢A的30人，喜欢B的28人，喜欢C的36人，同时喜欢A和B的12人，同时喜欢A和C的14人，同时喜欢B和C的10人，三部都喜欢的有5人。求至少喜欢一部的有多少人？（引导学生直接代入公式计算）

（2）逆向逆推：一个班45人，参加语文兴趣小组的有22人，参加数学兴趣小组的有24人，参加英语兴趣小组的有20人，同时参加语文和数学的有10人，同时参加语文和英语的有8人，同时参加数学和英语的有7人，三项都参加的有3人。问有多少人没有参加任何兴趣小组？【高频考点】【重要】此题需要先利用容斥原理算出参加至少一个小组的人数，再用总人数减去这个人数，体现了容斥原理与补集思想的结合。

（四）综合应用，融会贯通提升

1.跨学科链接，感受数学价值

教师呈现一个与统计图有关的综合应用题：下面是某班50名学生上学出行方式的调查统计图（扇形图或条形图）。其中，步行上学的占40%，乘公交车上学的占50%，骑自行车上学的占30%。已知既步行又乘公交的有6人，既乘公交又骑车的有人，既步行又骑车的有4人，三种方式都用的有2人。求这个班有多少人没有使用这三种方式中的任何一种？【热点】【跨学科视野】

此题将百分数、统计图与容斥原理相结合。首先需要将百分比转化为具体人数：步行50×40%=20人，公交50×50%=25人，骑车50×30%=15人。然后运用三个集合的容斥原理公式：至少用一种方式的人数=20+25+15-6-5-4+2=47人。那么，任何一种方式都没用的人数为50-47=3人。此题综合性极强，要求学生能灵活转化信息，综合运用所学知识。

2.生活实际问题，体现数学建模

教师提供几个生活中的开放性问题，让学生分组讨论并选择一题进行建模求解：

（1）学校食堂对100名学生进行午餐口味调查。喜欢吃米饭的有70人，喜欢吃面条的有60人，两种都喜欢吃的有40人。请问两种都不喜欢吃的有多少人？如果两种都喜欢吃的有80人，这个数据合理吗？为什么？（引导学生关注数据合理性的辨析，当|A∩B|大于|A|或|B|中的任何一个时，数据是自相矛盾的。）

（2）在1到100的自然数中，既不是2的倍数，也不是3的倍数的数有多少个？【经典题目】此题需要引导学生将问题转化为集合问题：A={2的倍数}，B={3的倍数}，先求A∪B的个数，再用总数减去它。这为将来学习数论和概率打下了基础。

（3）五（3）班有40人，其中喜欢打篮球的有25人，喜欢踢足球的有22人，喜欢打乒乓球的有20人。已知喜欢篮球和足球的有11人，喜欢篮球和乒乓球的有9人，喜欢足球和乒乓球的有8人，三项都喜欢的有5人。求这个班喜欢至少一项运动的人数，以及三项都不喜欢的人数。学生分组汇报时，重点阐述他们是如何利用韦恩图或公式进行分析的，以及计算过程中的思考。【建模能力】

（五）反思梳理，构建认知网络

1.知识图谱梳理

教师引导学生回顾本节课的学习历程：从最初简单的两项比赛报名问题，到复杂的才艺展示三项重叠问题，再到生活中的饮食调查和数学中的倍数问题。我们是如何一步步解决这些问题的？核心工具是什么？（韦恩图）核心思想是什么？（不重不漏）核心公式是什么？（两个集合和三个集合的容斥原理公式）教师通过板书，引导学生将零散的知识点串联成线、编织成网，形成关于“重叠问题”的结构化认知。

2.思想方法提炼

教师进一步追问：“在今天的探究过程中，我们用了哪些重要的数学思想方法？”引导学生总结出：数形结合（用韦恩图表示数量关系）、转化思想（将实际问题转化为数学模型）、分类讨论（将复杂图形分成几个互不重叠的小区域分别计算）、化繁为简（从两个集合入手，再推广到三个集合）。这些思想方法比具体的公式更为重要，是学生未来解决更复杂问题的利器。【核心素养】【重要】

3.自我评价与反思

教师留出几分钟时间，让学生在练习本上用几句话写下本节课的收获和仍然存在的疑惑。可以是对某个公式的理解，也可以是解决某类题目的技巧，还可以是学习过程中的情感体验。教师选取部分学生的反思进行分享，并针对共性问题进行最后的答疑解惑，确保每一位学生都能在原有基础上获得最大程度的发展。

六、作业设计与拓展

（一）基础性作业（全员必做）

1.一个旅行社组织游客去两个景点。去A景点的有48人，去B景点的有52人，两个景点都去的有30人。求这批游客共有多少人？（假设每人至少去一个景点）

2.五年级有学生120人，参加数学竞赛的有65人，参加作文竞赛的有70人，两项