江苏省泰州市2024-2025学年高三下学期开学调研测试数学+答案

江苏省泰州市2025届高三下学期开学调研测试数学试题❖

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量，若,则

A.4A---→=(x,2)B--B-→.=(2,1).A---→//B---→C.5|A--C-→|=D.

2.已知集合25，则35

2

A={x|x—2x—8<0}B=CRA∩B=()

A.B.

C.[4,5]D.(—2,—1]

(—1,4)(—∞,—2]∪(5,+∞)

3.已知复数z满足为虚数单位，则z的虚部为

i(i)

A.B.CD.

ii

4.已知随机变量服从二项分布若，则

ξBn,.D(3ξ+2)=36n=

A.144B.48C.24D.16

5.已知函数则“”是“的图像关于点对称”的

f=tanx0=2kk∈Zf(x)(x00)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件,

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线，单位圆O分别相切于A，B两点，当

2

最小时，x=2py(p>0)|AB|

A.p=B.C.D.

7.对2一3排8个相邻的格子进行2染2色．每个格子均可从3红、蓝两种颜色中选2择一种，要求不能有相邻的格子

都染红色，则满足要求的染色方法共有

A.89种B.55种C.54种D.34种

8.已知R，，函数，则

a∈a≠—1f(x)=ln—

A.当时，函数在其定义域上单调递减

B.当a>0时，函数f(x)在其定义域上单调递增

C.存在a<实0数a，使函数f(x)的图像是轴对称图形

D.当时，函数f(x的)图像恒为中心对称图形

二、多a选≠题0：本题共3f(小x)题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，

部分选对的得2分，有选错的得0分。

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116

9.已知正数x，y满足+=1，则下列选项中正确的是

A.xy≤3B

C.(x+4)y的最大值为12D.8x+16y的最小值为128

10.假设某种细胞分裂和死亡的概率相同，每次分裂都是一个细胞分裂成两个．如果一个种群从这样一个细

胞开始变化，假设A为种群灭绝事件，S为第一个细胞成功分裂事件，F为第一个细胞分裂失败事件．若

P(A)=p，则

A.P(S)=P(F)=B.P(A|F)≠1

C.P(A|S)=p2D.p≠1

11.若球C在四棱锥的内部，且与四棱锥的四个侧面和底面均相切，则称球C为四棱锥的“Q”球．在四棱

锥P-ABCD中，AB=a，四边形ABCD为矩形，△PAD是边长为1的正三角形．若二面角P-AD-B的大

小为60。，则

A.当a变化时，平面PAB与平面PAD的夹角不变

B.当a变化时，PB与平面PAD所成角的最大值为60。

C.当a=1时，四棱锥P-ABCD不存在“Q”球

D.存在a，使得四棱锥P-ABCD有半径为的“Q”球

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知数列{an}为等差数列，a1=10，公差d=-3.若Cn则Cn的最小值为_________.

13.已知w>0，函数f(x)=cos(2wx+在区间0,上单调递减，则w的最大值为_________.

14.已知O为坐标原点，点A，B，C为椭圆y2=1上三个不同的点(A,B,C依次逆时针排列).若<A0B=

<B0C=<C0A=120。，则|0A|2+|0B|2+|0C|2的最小值为_________.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，C.若点D在边BC上，<ADB=2B，+=1.

(1)求角A的大小；

(2)若tanC=2，C=2，

(i)求cosB的值；

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ⅱ求AD的长．

(16).本小题15分

在三(棱锥)中，与都是边长为6的等边三角形，点D为PB的中点，点E在线段

AB上，P—ABC△ABC△PACPB=9.

BE=2EA.

求证：；

(1)求DE的PB长⊥AC

(2)求直线DE与平面PAC所成角的正弦值．

(137).本小题15分

已知(R，)，

若a∈f(x，)曲=线ln(x+1)上g一(x点)=P处ax的.切线与直线垂直，求点P坐标；

(1)若a=—2恒成y立=，f(求x)a的值．y=g(x)

(128).本g小(x题)≥17f(分x)

在平(面直角坐标系)中，点M到定点的距离与点M到直线l：的距离之比为2，点M的轨迹为曲

线F(4,0)x=1

C求.曲线C的方程；

(1)已知点，，A，B为曲线C的左、右顶点．若直线PA，PB与曲线C的右支分别交于点D，

(2)P(1,m)m≠0

Ei.求实数的取值范围；

2

()m

ⅱ求的最大值．

()

19.本小题17分

设数(列的前n)项和为，

2

求{an的}通项公式；sn2sn=n+5n.

(1){an}

设，求数列的前n项和；

n

nn

(2)b=n.2T第页，共页

316

设，求证：

(3)Cn=C1+C2+C3+…+Cn>2—.

第页，共页

416

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为,，

所以，A---→//B---→A---→=(x,2)B---→=(2,1)

所以x=4，

A--C-→=A---→+B---→=4,2+2,1=6,3

故选

2.【答D.案】A

【解析】解：，，

2

”A={或x|x—2x，—8<0}={x|—2<x<4}B=

RR

故:C选A={x|x≤—2x≥4}(CA)∩B={x|4≤x≤5}.

3.【答A.案】B

【解析】解：已知，等式两边同时乘以，

可得i3z—4

整理得z—2=i(3z—4)，得，

所以z—3iz=2—4iz(1—3i)=2—4i

zi.

则z的虚部为

1

故选5.

4.【答B.案】D

【解析】解：因为∽，

ξB(n,)

所以，

D=nn

，

Dn=36

，

故:n选=16

5.【答D.案】A

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516

【解析】解：f=tan

令即xkπ,k∈Z，

即f(x)的对称中心kπ,0)，k∈Z，

:"x0=2kk∈Z"是“f(x)的图象关于点(x0,0)对称的”充分不必要条件，

故选A.

6.【答案】C

【解析】解：令A(x0,y0)，则|AB

2

y，则k=，切线为y—y即2x0x—2py—x0=0，

直线又与单位圆相切，则即p

则|AB

2n

当且仅当y即y0=3，即y0=3，p=3时取“=。

故选C.

7.【答案】B

【解析】解：8个格子涂色，相邻都不涂红色，包含的情形如下：

1。，8个格子都涂蓝色，共1个结果;

。7

2，8个格子有7个格子涂蓝色有C8=8个结果;

。2

3，8个格子有6个格子涂蓝色，2个涂红色，红色不相邻，插空C7=21个结果;

。3

4，8个格子有5个格子涂蓝色，3个涂红色，红色不相邻，插空C6=20个结果;

。4

5，8个格子有4个格子涂蓝色，4个涂红色，红色不相邻，插空C5=5个结果.

所以1+8+21+20+5=55.

故选B.

8.【答案】D

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【解析】解：f(2m—x)+f=lnlnlnln，

当即m=时，f(2m—x)+f(x)为定值lna2，则f(x)关于(,lna)对称.

故选D.

9.【答案】ABD

【解析】解：→3≥xy，A对；

+2y表示直线+—1=0上的点与原点的距离，

112

则距离的最小值d==，B对；

5

()2+()2

x+y=4，x=4—y，(x+4)y=(8—y)y=—y2+8y，当y=3时，(x+4)y取最大值12，此时x=0

矛盾，C错；

8x+16y≥2=223x+4y=2212=128，当且仅当时，等号成立，D对.

故选ABD.

10.【答案】AC

【解析】解：对于A，显然正确.

对于B，P(A|F或由第一个细胞分裂失败，后面不会有新的细胞产生，故必然种族灭绝，

B错.

对于D，一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细

胞，

在这两个细胞中每个细胞灭绝的概率均为p，:P=+p2→p2—2p+1=0，p=1，D错.

对于C，Pp2，C正确.

故选：AC.

11.【答案】ACD

【解析】解：取AD中点为E，BC中点为F，连接PE、EF、PF，

则EF//AB，EF⊥AD，

因为△PAD是等边三角形，所以PE⊥AD，

则<PEF即为二面角P—AD—B的平面角，<PEF=60。，

以点E为坐标原点，直线EF、ED分别为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，

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则A0,—,0)，Ba,—,0)，Ca,,0)，D0,,0)，P(,0,，

A---→=a,0,0，A---→=B---→=0,1,0，A---→=,,，，

--→

设平面PAB的法向量为n-1=(x1,y1,z1)，

z=0

则1，

--→

可取z1=2，则x1=0，y1=—3，n-1=(0,—3,2)，

--→

设平面PAD的法向量为n-2=(x2,y2,z2)，

z=0

则2，

可取z2=1，则y2=0，x2=—3，-n-2-→=(—3,0,1)，

可知平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值不变，为，

则当a变化时，平面PAB与平面PAD的夹角不变，故A正确；

设PB与平面PAD所成角为θ,

则sinθ=cos

则当=时，sinθ取得最大值×>，

显然θ的最大值大于60。，故B错误；

若四棱锥P—ABCD存在“Q”球，设球心为H，

可知平面PAB与平面PCD关于平面PEF对称，

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根据对称性，球心H在平面PEF内，

因为AD丄平面PEF，ADC平面PAD，ADC平面ABCD，

所以平面PEF丄平面PAD，平面PEF丄平面ABCD，

又平面PEF∩平面PAD=PE，平面PEF∩平面ABCD=EF，

则点H到直线PE、PF的距离即为点H到平面PAD、平面ABCD的距离，

可知点H在<PEF的角平分线上，又<PEF=60。，则<HEx=30。，

----→1

设H3m,0,m，m>0，BH=v3厂m—a,,m，

()(2)

--→

设平面PBC的法向量为n-3=(x3,y3,z3)，

z=0

则3，

可取x3=3，则y3=0，z3=4a—3，-n-3-→=(3,0,4a—3)，

则点H到平面PAD和平面ABCD的距离为m，球的半径也为m，

点H到平面PAB的距离为d

点H到平面PBC的距离为d

由dm，解得m舍负)，

由dm，

可得(8m—3)a=43m(2m—1)(*)，

显然a=1和m不同时满足等式(*)，

即当a=1时，四棱锥P—ABCD不存在“Q”球，故C正确；

而当m时，8m—3<0，2m—1<0，

则a

即当m时，存在正实数a满足等式(*)，

故存在a，使得四棱锥P—ABCD有半径为的“Q”球，故D正确.

12.【答案】—2

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【解析】解：由已知，得an=10+(n一1)(一3)=一3n+13，

则Cn

C1>0，C2>0，C3>0，C4=一2，当n≥5时，Cn>0，

:(Cn)min=一2.

故答案为：一2.

13.【答案】

【解析】解：已知x∈[0,]，w>0，那么2wx∈[0,]，所以2wx+∈[,+].

因为函数y=cost在[0,π]上单调递减，

而函数f(x)=cos(2wx+)在[0,]上单调递减，所以[,+]⊆[0,π].

由此可得不等式组

可得≤π一，即≤,两边同时除以

得到w≤×=，所以w≤.

则w的最大值为

故答案为：.

14.【答案】

【解析】解：设|0A|=p1，|0B|=p2，|0C|=p3，

。。

:A(p1cosθ,p1sinθ)，B(p2cos(θ+120)，p2sin(θ+120))，

。。

C(p3cos(θ+240)，p3sin(θ+240))，

cos2θ+cos2(θ+120。)+cos2(θ+240。)

第10页，共16页

，

(+

22

:++=+==++≥2

p1pp3

当且仅当时取“=”，

即，时取"="，可取"="，

222

p1=p2=p3=2

应填：

.

15.【答案】解：由条件得

(1)→sinsinB=sin

，，；

:2sinB=2cosAsinB”sinB>0:cosA

，

(2)(i)”tanc=2:sinccosc

如图所示：由已知，，

(ii)sin<ADB=sin2B=2sinBcosB=2××=

在中，由正弦定理

△ABD→→AD

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

第页，共页

1116

16.【答案】解：(1)(1)取AC中点M，连接BM，PM，

”PC=PA，BC=BA，

:AC丄PM，AC丄BM，

又”PM∩BM=M，PM、BMC平面PBM，

:AC丄平面PBM，

”PBC平面PBM，

:AC丄PB，即PB丄AC.

(2)PM=BM=33，

”PB=9，:<PMB=120。，

如图建立空间直角坐标系.

:DE(3,2,0)，

(3)A(0,3,0)，C(0,—3,0)，

设平面PAC的一个法向量n-→=(x,y,z)，

设直线DE与平面PAC所成角为θ,

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【解析】详细解答和解析过程见【答案】

17.【答案】解：因为′，设点，

00

(1)f(x)=p(x,ln(x+1))

则点P处切线的斜率

k

因为，

a=—2

由曲线上一点P处的切线与直线垂直，得

所以y=，f(x)y=g(x)

0

即点xP坐=标1为；

设(1,ln2)，，

(因2)为h(x)=g(x)恒—成f(立x)，=ax—ln(x+1)x>—1

所以g(x)≥f(恒x)成立，，且，

因为h(x)≥0x>—1h(0)=0

h=a

若，则′，故在区间上单调递减，

当a≤0h时(，x)<0h(x)，与(—1,+∞)恒成立矛盾，

x∈(0,+∞)h(x)<h(0)=0h(x)≥0

若，则

令a>′0h得，

h(x)=0x=—1

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

h(x)1)h(x)(—1,+∞)

当，即时，

—1<0a>1

当时，，与恒成立矛盾，

x∈(—1,0)h(x)<h(0)=0h(x)≥0

当，即时，当时，，与恒成立矛盾，

—1>00<a<1x∈(0,—1)h(x)<h(0)=0h(x)≥0

当，即时，，

—1=0a=1h(x)min=h(—1)=h(0)=0

所以恒成立，，即恒成立，

综上h所(x述)：≥0x>—1g(x)≥f(x)

【解析】详a细=解1答.和解析过程见【答案】

18.【答案】解：设，由题意知，