2025-2026学年西南名校联盟3+3+3高三（上）诊断联考数学试卷（一）

第1页（共1页）2025-2026学年西南名校联盟3+3+3高三（上）诊断联考数学试卷（一）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2} B．{0，2，3} C．{0，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）已知函数f(x)=2sin(3x+π5)A．2π，π5 B．2π3，π5 C．2π，﹣2 D．3．（5分）已知复数z=1+i2+i（i为虚数单位），则|zA．125 B．2+105 C．1054．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→=(2，A．﹣1 B．1 C．2 D．45．（5分）已知O为坐标原点，过双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过MA．1 B．2 C．3 D．26．（5分）下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中ABCD为矩形，AB＝40m，AE，DE，BF，CF为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10m，圆心角为π3．已知区域ABFE和DCFEA．200π3m2 B．400π3m2 C．200π7．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2π3，△ABC的面积为3，角A的平分线交边BC于D，且BD＝2DC，则A．14 B．10 C．2 D．18．（5分）已知函数f(x)=(x-2)2，x≥2-f(4-x)，x＜2，若对于任意的实数x，不等式16f（2x﹣A．[1，+∞） B．[1，2] C．[-34，+∞) D二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2＝8x的焦点，A，B，D是C上的三个点，且A(m，A．C的准线方程为x＝﹣2 B．|AF|＝4 C．直线OA的斜率为2 D．若B，D，F三点共线，则|BD|的最小值为8（多选）10．（6分）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，a1+a2＝3，a4+a5＝24，则下列说法正确的是（）A．q＝2 B．S6C．a7+a8+a9＝504 D．a（多选）11．（6分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=2A．AC⊥EF B．三棱锥A﹣EFC的体积为定值 C．过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D．点P是平面BDD1B1内一点，若BP⊥PC1，则点P的轨迹长度是6三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知函数y＝ax﹣2025+2025（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为．13．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量a→=(2m-3，n-1，4)，b→=(114．（5分）已知f（x）＝x3+mx2+nx+p（m，n，p∈R），f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）有且只有两个不同的零点，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{3，1，﹣3}中，则f（x）的极大值为．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表：一周参与志愿服务次数123456合计男生人数46643225女生人数11359625合计579912850（1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系；性别志愿服务合计一般参与积极参与男生女生合计（2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+α0.10.050.01xα2.7063.8416.63516．（15分）在正项数列{an}中，a1＝4，an+1（1）证明：数列{a（2）记bn=1an-1，设数列{bn}的前n17．（15分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在棱AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若△BCD是边长为2的等边三角形，且三棱锥A﹣BCM的体积为233，求平面BCM与平面18．（17分）已知F1，F2是椭圆Γ：x2a2+y（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）不重合的两直线l1，l2过点F2且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，l1，l2不与坐标轴平行或重合，并满足|AB（i）试判断两直线l1，l2的斜率关系并写出证明过程；（ii）若两直线l1，l2的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点（4，0）．19．（17分）已知函数f(x)=a（1）若a＝b＝0，c＝1，求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若b＝2a，c＝0且f（x）在定义域内有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），求a的值范围；（3）在（2）的条件下，请找出f（x）与f(-xx+1)

2025-2026学年西南名校联盟3+3+3高三（上）诊断联考数学试卷（一）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CBCDBDAD二．多选题（共3小题）题号91011答案ADABABD一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，则A∩B等于（）A．{0，1，2} B．{0，2，3} C．{0，2} D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{0，2，3}，∴A∩B＝{0，2}．故选：C．2．（5分）已知函数f(x)=2sin(3x+π5)A．2π，π5 B．2π3，π5 C．2π，﹣2 D．【分析】由周期公式和初相概念即可求解．【解答】解：函数f(x)=2sin(3x+π5)的最小正周期为2π故选：B．3．（5分）已知复数z=1+i2+i（i为虚数单位），则|zA．125 B．2+105 C．105【分析】根据复数除法的运算法则和模的运算进行计算．【解答】解：由题意z=1+i可得|z|=(故选：C．4．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→=(2，A．﹣1 B．1 C．2 D．4【分析】由向量共线的坐标关系得出结论．【解答】解：由向量a→=(1，2)，b→可得：12=2m，所以故选：D．5．（5分）已知O为坐标原点，过双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过MA．1 B．2 C．3 D．2【分析】根据渐近线的性质可得：|FM|＝b，通过△OFM为直角三角形，且|OF|＝c，利用勾股定理得到|OM|＝a，点N为垂足，且N为OF的中点，推出|FM|＝|OM|，即a＝b，再结合离心率的公式，即可得离心率的值．【解答】解：过双曲线右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，如图所示：双曲线的右焦点F（c，0）到渐近线y=bax的距离为|bc|a2+b又|OF|＝c，在Rt△OFM，|OM|2＝|OF|2﹣|FM|2＝c2﹣b2＝a2，∴|OM|＝a，又MN⊥OF且N为OF中点，∴a＝b，即该双曲线为等轴双曲线，∴离心率e=1+故选：B．6．（5分）下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中ABCD为矩形，AB＝40m，AE，DE，BF，CF为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10m，圆心角为π3．已知区域ABFE和DCFEA．200π3m2 B．400π3m2 C．200π【分析】将区域ABFE还原到圆柱中求得其面积，由区域ABFE和DCFE全等可求得总面积．【解答】解：由题意ABCD为矩形，AB＝40m，AE，DE，BF，CF为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10m，圆心角为π3可知区域ABFE和DCFE全等，且都是底面半径为10m，高为40m的圆柱的侧面的一部分．将区域ABFE还原到如图所示圆柱中，可知AO1＝10m，∠AO1E=π3由扇形的弧长公式可知，AE=∠A由圆柱的侧面积公式可知SABFE所以SABFE所以被瓦片覆盖的区域ABFE和DCFE的总面积为800π3故选：D．7．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2π3，△ABC的面积为3，角A的平分线交边BC于D，且BD＝2DC，则A．14 B．10 C．2 D．1【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出AB＝2AC，再由面积公式求出AB和AC，最后由余弦定理计算a．【解答】解：因为A=2π3，角A的平分线交边BC于D，BD＝2则S△ABDS△ADC=BDDC又S△ABC=12AB⋅ACsin2π3=3，所以AB•解得：AB=22，AC=所以BC所以BC=14，即a=故选：A．8．（5分）已知函数f(x)=(x-2)2，x≥2-f(4-x)，x＜2，若对于任意的实数x，不等式16f（2x﹣A．[1，+∞） B．[1，2] C．[-34，+∞) D【分析】结合题意16f（2x﹣a）≤f（x2+2）＝x4化为f(2x-a)≤x416，即f(2x-a)≤f(x24【解答】解：由题意得f(x)=(x-2因为x2+2≥2，所以f（x2+2）＝[（x2+2）﹣2]2＝x4，所以16f（2x﹣a）≤f（x2+2）＝x4，即f(2x-因为x416+2≥2由图可知f（x）是R上的增函数，所以2x-a≤x2所以x2﹣8x+4a+8≥0，则Δ＝64﹣4（4a+8）≤0，解得a≥2，即实数a的取值范围为[2，+∞）．故选：D．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2＝8x的焦点，A，B，D是C上的三个点，且A(m，A．C的准线方程为x＝﹣2 B．|AF|＝4 C．直线OA的斜率为2 D．若B，D，F三点共线，则|BD|的最小值为8【分析】利用抛物线方程可求出A点坐标，进而可判断ABC；利用通径为焦点弦长的最小值可判断D．【解答】解：对于A：由抛物线方程可得p＝4，且焦点在x轴正半轴上，所以C的准线方程为x=-p2对于B：令y=22，可得x＝1，所以A(1由抛物线定义，得|AF|＝1+2＝3，故B错误；对于C：由选项B知A(1，22)，所以直线OA的斜率为对于D：若B，D，F三点共线，则|BD|的最小值为抛物线通径，令x＝2，得y2＝16，所以y＝±4，所以|BD|的最小值为8，故D正确．故选：AD．（多选）10．（6分）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，a1+a2＝3，a4+a5＝24，则下列说法正确的是（）A．q＝2 B．S6C．a7+a8+a9＝504 D．a【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可．【解答】解：对于A，因为a1+a2＝3，a4+a5＝24，所以a4+a5a1+对于B，由a1+a2＝3，可得a1+2a1＝3，解得a1＝1，所以Sn所以S6S3对于C，由等比数列性质得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，且S3＝7，S6﹣S3＝56，所以S9﹣S6＝56×8＝448，即a7+a8+a9＝S9﹣S6＝448，故C错误；对于D，因为an所以a1a2故选：AB．（多选）11．（6分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=2A．AC⊥EF B．三棱锥A﹣EFC的体积为定值 C．过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D．点P是平面BDD1B1内一点，若BP⊥PC1，则点P的轨迹长度是6【分析】由AC⊥B1D1可判断A；取B1D1中点O，由EF=2，易知，线段EF经过点O，因为△ACO的面积为定值，且EF⊥平面ACO，可求三棱锥A﹣EFC的体积，判断B；易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等，由此可判断C；分析点P的轨迹，并求得其长度可判断D【解答】解：对于A，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=2所以BD∥B1D1，所以BD∥EF，又AC⊥BD，所以AC⊥EF，A正确；对于B，取B1D1中点O，因为CB1=CD1=B1所以CO⊥EF，且CO=22同理可得，AO⊥EF，且AO=22所以△AOC是等腰三角形，设AC∩BD＝G，则G为BD和AC的中点，所以OG⊥AC，所以S△ACO因为AC⊥EF，AC∩CO＝C，所以EF⊥平面ACO，因为B1O=D1O=所以VA-EFC=V对于C，易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等，所以过点A的体对角线AC1及过A分别平行于A1C，BD1，B1D的直线均满足要求，所以C错误；对于D，因为PB⊥PC1，所以点P在以BC1的中点Q为球心，半径为12所以动点P的轨迹为平面BDD1B1与球Q的球面的交线，因为AC⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥平面BDD1B1，所以C1到平面BDD1B1的距离为CO=1所以球心Q到平面BDD1B1的距离为h=又球心Q在平面BDD1B1的投影为BO的中点，设平面BDD1B1截球Q所得截面圆的半径为r=2-所以点P在平面BDD1B1内的轨迹是圆，所以动点P的轨迹长度为6π，所以D故选：ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）已知函数y＝ax﹣2025+2025（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（2025，2026）．【分析】根据指数函数的性质求解即可．【解答】解：根据指数函数y＝ax的图象恒过定点（0，1），令x﹣2025＝0，得x＝2025，此时y＝a0+2025＝2026，所以y＝ax﹣2025+2025的图象恒过定点P（2025，2026）．故答案为：（2025，2026）．13．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量a→=(2m-3，n-1，4)，b→=(1【分析】先根据已知求出满足条件m，n的关系式，然后根据古典概型概率公式，得出答案．【解答】解：先后抛掷两次正方体骰子，用数组（m，n）表示可能的结果，m是第一次抛掷的点数，n是第二次抛掷的点数，则试验的样本空间为：Ω＝{（m，n）|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点，向量a→=(2m-3，∵a→⊥b→，∴a→⋅b→满足题意的样本点共3个：{（1，6），（2，4），（3，2）}，∴a→⊥b故答案为：11214．（5分）已知f（x）＝x3+mx2+nx+p（m，n，p∈R），f′（x）是f（x）的导函数，若f（x）有且只有两个不同的零点，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{3，1，﹣3}中，则f（x）的极大值为0．【分析】利用三次函数的性质，可依题意设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a≠b），从而求导可得零点，然后根据题意分析这三个零点取值，最后可确定一种情形来求函数的极大值．【解答】解：由题意可知，设f（x）有且只有两个不同的零点a，b，则f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2（a≠b），即f'令f'（x）＝0，得x=2a+b3或x＝由于a，b，2a+b3∈{3，1，分析：由于2a+b3∈{3，1，-3}，可知2a+b∈又由于a，b∈{3，1，﹣3}，且a≠b，所以零点a，b的组合不能是{1，3}或{1，﹣3}，故a，b的组合只能是{3，﹣3}，这样只能是a＝3，b＝﹣3，可计算得2a+b3此时f（x）＝（x﹣3）（x+3）2，f′（x）＝3（x+3）（x﹣1）．令f'（x）＝0，得x＝﹣3或x＝1，当x∈（﹣3，1）时，f′（x）＜0，则f（x）＝（x﹣3）（x+3）2在（﹣3，1）上单调递减，当x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）＝（x﹣3）（x+3）2在（﹣∞，﹣3），（1，+∞）上单调递增，则由单调性可知，f（x）的极大值为f（﹣3）＝0．故答案为：0．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表：一周参与志愿服务次数123456合计男生人数46643225女生人数11359625合计579912850（1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系；性别志愿服务合计一般参与积极参与男生女生合计（2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+α0.10.050.01xα2.7063.8416.635【分析】（1）由题意可直接完成列联表，再由χ2公式即可求解；（2）确定Y的可能取值，求得概率，进而可求解．【解答】解：（1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”；根据统计表格数据可得列联表如下：性别志愿服务合计一般参与积极参与男生20525女生101525合计302050零假设为H0：性别与参与志愿服务情况独立，即性别因素与学生志愿服务的参与积极性无关，根据列联表的数据计算可得χ2因为χ2≈8.333＞3.841，所以，依据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系；（2）由题可知8名“最美志愿者”有2名男生，6名女生，设抽取的3人中男生人数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，P(Y=0)=CP(Y=1)=CP(Y=2)=CY的分布列为：Y012P515328E(Y)=Y16．（15分）在正项数列{an}中，a1＝4，an+1（1）证明：数列{a（2）记bn=1an-1，设数列{bn}的前n【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可；（2）利用裂项相消法进行运算证明即可．【解答】证明：（1）由an+1-an=4an+4，可得an+1＝an+4an+4＝（an因为数列{an}为正项数列，所以an+1=a所以数列{an}是以a（2）由（1）可知，an=2+2(n-1)=2n，即则bn可得Sn由12n+1＞017．（15分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在棱AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若△BCD是边长为2的等边三角形，且三棱锥A﹣BCM的体积为233，求平面BCM与平面【分析】（1）取BD的中点为E，在CD上取点F，使得DF＝3FC，连接PE，EF，QF，先证四边形EFQP为平行四边形，可得PQ∥EF，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）利用等体积法求得AD的长度，再以CD的中点O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角即可．【解答】（1）证明：取BD的中点为E，在CD上取点F，使得DF＝3FC，连接PE，EF，QF，因为P是BM的中点，所以PE∥AD，PE=1又因为AQ＝3QC，所以QF∥AD，QF=1所以PE∥QF，PE＝QF，所以四边形EFQP为平行四边形，所以PQ∥EF，又PQ⊄平面BCD，EF⊂平面BCD，所以PQ∥平面BCD．（2）解：因为三棱锥A﹣BCM的体积为23所以VA﹣BCD＝VC﹣BAD＝2VC﹣BAM＝2VA﹣BCM=4设AD＝a（a＞0），因为AD⊥平面BCD，M是AD的中点，所以VA﹣BCD=1所以a＝4，即AD＝4，分别取CD，AC的中点O，G，连接OB，OG，则OG∥AD，因为AD⊥平面BCD，所以OG⊥平面BCD，又△BCD为正三角形，所以OB⊥CD，故以O为原点，OB，OC，OG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(3所以BC→=(-3设平面BCM的法向量为m→=(x，令x＝1，则m→易知平面ACD的一个法向量为n→所以|cos〈所以平面BCM与平面ACD的夹角的余弦值为7718．（17分）已知F1，F2是椭圆Γ：x2a2+y（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）不重合的两直线l1，l2过点F2且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，l1，l2不与坐标轴平行或重合，并满足|AB（i）试判断两直线l1，l2的斜率关系并写出证明过程；（ii）若两直线l1，l2的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点（4，0）．【分析】（1）由短轴长、离心率求椭圆参数，即可得方程；（2）（i）设l1的方程为y＝k1（x﹣1）（k1≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆，并应用韦达定理、弦长公式及已知得到关于直线l1，l2斜率的方程，即可证；（ⅱ）根据（i）中的韦达公式求弦中点的坐标，写出直线MN的方程，进而确定定点，即可得证．【解答】解：（1）由题意得2b=23ca所以椭圆Γ的标准方程为x2（2）（i）l1，l2的斜率之积为1或﹣1，证明：由题可知，l1与l2斜率存在且不为零，不妨设l1的方程为y＝k1（x﹣1）（k1≠0），联立x24+y2设A（x1，y1），B（x2，y2），k1，k2分别为l1，l2的斜率，则x1则Δ=64k所以|AB|=1+在|AB|的表达式中用k2''代换“k1''可得|CD|=12(又|AB所以1|AB|则3+4k所以(3+4k解得k1所以k1k2＝1或k1k2＝﹣1；（ii）证明：由（i），M是AB中点，则xM=x即M(4k123+4k12所以直线MN的方程为y+3即(3k所以直线MN恒过定点（4，0），得证．19．（17分）已知函数f(x)=a