2025-2026学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1．（5分）在复平面内，21+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）设集合A＝{﹣3，1}，B＝{﹣3，a﹣1，a2﹣1}，若A⊆B，则a的值不可能是（）A．﹣2 B．-2 C．2 D．3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S3＝S9，a6＝1，则d＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．34．（5分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx；命题q：∃A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题 C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题5．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，当4≤x＜6时，f（x）＝log0.5（x﹣3），则f（﹣1）＝（）A．﹣1 B．-12 C．12 6．（5分）将函数f（x）＝cos（2x+φ）（φ＞0）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间(π4A．5π6 B．7π6 C．11π6 7．（5分）已知α，β是两个不相等的锐角，且满足sin（α﹣β）+3cos（α﹣β）＝3，cos(α+β)=-13，则sinαA．13 B．715 C．1730 8．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，左、右焦点分别是F1，F2.若C的渐近线方程为y＝±3A．PA1→⋅PC．3≤PF1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法．收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如图所示．记事件C＝“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70，则（）A．乙试验区产量频率分布直方图中a＝0.35，b＝0.10 B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数 C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数 D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数（多选）10．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作l的垂线，垂足为Q，线段QF与C相交于点M．若|PF|＝2p，则（）A．直线PF的斜率为3 B．FQ为∠HFP的平分线 C．△MPF的面积为32p2 D．H，M（多选）11．（6分）设a≥0，已知函数f(x)=x-ax2+1，A．函数f（x）在（0，1）上无极值点 B．函数f（x）在（2，+∞）上可能单调递增 C．当x＞0时，f(x)≤D．当a＜x＜3时，f(x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）直线y＝x+3与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，则|AB|＝．13．（5分）一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则球的表面积为．14．（5分）甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为23，乙每局获胜的概率为13，且各局练习的胜负相互独立．现进行n局练习，规定胜局多者获胜，记“n局练习甲获胜”的概率为Pn，则P7﹣P5＝四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，直线AC⊥平面ABB1A1，E是棱BB1上一点，AB＝AC=2，BB1＝3BE＝3，∠BAA1＝135（1）求证：CE⊥AA1；（2）求直线CE与平面A1B1C1所成角的正弦值．16．（15分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，S=3（1）求tanB的值；（2）若△ABC为非直角三角形，且满足asin2C+ccosA＝b，c＝2，求a的值．17．（15分）已知数列{an}和{bn}满足2an+1＝3an+bn+4，2bn+1＝3bn+an﹣4，a1＝1，b1＝2．（1）证明：数列{an+bn}是等比数列，并求出{an+bn}的通项公式；（2）将数列{an﹣bn}，{an+bn}中的所有项从小到大排列组成新数列{cn}，记{cn}的前n项和为Sn，求S60．18．（17分）已知椭圆Γ：x2a2+y2b（1）求Γ的方程；（2）设P（﹣4，0），过点P的直线与Γ依次交于A，B两点（点A在第二象限），直线AO，BF分别与Γ交于另一点C，D．（i）当C，D两点重合时，求直线AB的方程；（ii）当C，D两点不重合时，直线CD与x轴交点为Q，求△ABQ面积的最大值．19．（17分）已知a∈R，函数f（x）＝cos（ax﹣a）﹣ln（2x﹣x2）．（1）证明：曲线y＝f（x）关于直线x＝1对称；（2）当0＜a＜2时，求（3）当a＝π时，若存在互不相等的三个大于1的实数x0，x1，x2，满足f（x1）＝f（x2），且f′（x0）＝0，证明：x1

2025-2026学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DABBDCCD二．多选题（共3小题）题号91011答案ACABDACD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。1．（5分）在复平面内，21+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：在复平面内，复数21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1﹣i故选：D．2．（5分）设集合A＝{﹣3，1}，B＝{﹣3，a﹣1，a2﹣1}，若A⊆B，则a的值不可能是（）A．﹣2 B．-2 C．2 D．【分析】利用集合间的关系以及集合元素的互异性求解．【解答】解：当a﹣1＝1时，解得a＝2，此时B＝{﹣3，1，3}，符合题意；当a2﹣1＝1时，解得a＝±2，a=2时，B＝{﹣3，2-1，a=-2时，B＝{﹣3，-2-综上可得，a的值不可能是﹣2．故选：A．3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若S3＝S9，a6＝1，则d＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【分析】利用等差数列的性质求解．【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，S3＝S9，a6＝1，∴3a解得d＝﹣2．故选：B．4．（5分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx；命题q：∃A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题 C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题【分析】结合三角函数线检验p的真假，结合指数与一次函数图象检验选项B，然后结合复合命题真假即可求．【解答】解：结合三角函数线可知，当正弦函数性质可知，当x∈（0，π2]时，y＝sinx的图象恒在y＝x下方，即sinx＜x当x＞π2时．sinx≤1＜故x＞sinx恒成立，命题p：∀x∈（0，+∞），x＞sinx为真命题；当x＞0时，y＝ex的图象恒在y＝x上方，命题q：∃故￢q为真命题，￢p为假命题．故选：B．5．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，当4≤x＜6时，f（x）＝log0.5（x﹣3），则f（﹣1）＝（）A．﹣1 B．-12 C．12 【分析】根据题意，由函数的周期性和奇偶性可得f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣f（5），结合函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣f（5），又由当4≤x＜6时，f（x）＝log0.5（x﹣3），则f（5）＝log0.5（5﹣3）＝﹣1，则f（﹣1）＝﹣f（5）＝1．故选：D．6．（5分）将函数f（x）＝cos（2x+φ）（φ＞0）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）在区间(π4A．5π6 B．7π6 C．11π6 【分析】结合三角函数图象平移变换求出g（x），然后结合余弦函数单调性即可求解．【解答】解：函数f（x）＝cos（2x+φ）的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g（x）＝cos（2x+φ+2π3当π4＜x若g（x）在区间(π则7π6+φ≥2kπ-π13π6+φ≤2kπ解得φ=2kπ-13π6，k因为φ＞0，故φ的最小值为11π6故选：C．7．（5分）已知α，β是两个不相等的锐角，且满足sin（α﹣β）+3cos（α﹣β）＝3，cos(α+β)=-13，则sinαA．13 B．715 C．1730 【分析】根据sin（α﹣β）+3cos（α﹣β）＝3，结合同角三角函数的平方关系求出sin(α-β)=35cos(α-β)=45或sin(α-β)=0cos(α-β)=1，结合题意算出sin(α-β)=0cos(α-β)=1不符合题意，从而可得cos（【解答】解：根据sin(α-解得sin(α-β)=3结合α、β是两个不相等的锐角，可知sin(α-所以sin（α﹣β）=35，cos（α﹣β）由cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=45cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-13故选：C．8．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，左、右焦点分别是F1，F2.若C的渐近线方程为y＝±3A．PA1→⋅PC．3≤PF1【分析】先根据双曲线定义和向量点积确定点P的轨迹为圆，再结合向量运算的几何意义与中点坐标的范围，即可判断四个选项的正误．【解答】解：由题得ba=3，2c＝4，c2＝a2+可得双曲线的方程为x2-y23=1，F1（﹣2，0），F设P（x，y），因为PF1→⋅PF2→=5，所以（﹣2﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）＝5点P的轨迹是以O为圆心，3为半径的圆，PA1→|PA1→设线段F1A2的中点为Q，可得|PQPF1→⋅P|PF1故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法．收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如图所示．记事件C＝“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70，则（）A．乙试验区产量频率分布直方图中a＝0.35，b＝0.10 B．甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数 C．甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数 D．甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数【分析】根据频率分布直方图的性质，众数的概念，平均数的概念，百分位数的概念，针对各个选项分别求解即可．【解答】解：因为乙试验区产量不低于19千克的频率为0.7＝a+0.2+0.15，所以a＝0.35，所以0.05+b+0.15＝0.3，所以b＝0.10，所以A选项正确；因为甲试验区产量的众数为17.5，乙试验区产量的众数为19.5，所以B选项错误；由两频率分布直方图的分布可知：甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数，所以C选项正确；因为甲试验区产量的85%分位数为19，所以甲试验区产量的75%分位数小于19，又乙试验区产量的前三组的频率之和为0.3，前4组的频率之和为0.65，所以乙试验区产量的中位数大于19，所以D选项错误．故选：AC．（多选）10．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作l的垂线，垂足为Q，线段QF与C相交于点M．若|PF|＝2p，则（）A．直线PF的斜率为3 B．FQ为∠HFP的平分线 C．△MPF的面积为32p2 D．H，M【分析】由抛物线的方程及定义，结合直线与抛物线的位置关系及三角形的面积公式逐一判断即可得解．【解答】解：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P为第一象限C上的点，又|PF|＝2p，F(p则xP则xP=3p2即P(3p对于A，直线PF的斜率为3p3p2对于B，由题意可得Q(-则kQF则∠PFx=π3，∠即FQ为∠HFP的平分线，即B正确；对于C，直线FQ的方程为y=-联立直线FQ与抛物线方程y=-消去y可得：3(x-即3x则x=p6或即M(p则△MPF的面积为12|PF||3对于D，kHP=3即kHP＝kHM，则H，M，P三点共线，故D正确．故选：ABD．（多选）11．（6分）设a≥0，已知函数f(x)=x-ax2+1，A．函数f（x）在（0，1）上无极值点 B．函数f（x）在（2，+∞）上可能单调递增 C．当x＞0时，f(x)≤D．当a＜x＜3时，f(x【分析】对函数求导，通过分析导数在不同区间的符号，判断函数是否存在极值点，直接验证选项A、B的正误；构造并化简不等式，证明f(x)≤a2x+a-12对换元t＝x﹣a，结合选项C的结论进行放缩推导，验证选项D．【解答】解：已知a≥0，对函数f(x)=x-ax2当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，故f（x）无极值点，A选项正确；当x∈（2，+∞）时，存在x0＝2+2a，使得f'（x0）＜0，B选项错误；当x＞0时，f(x)-a2当a＜x＜3时，令t＝x﹣a∈（0，3﹣a），由选项C，得f(t)≤于是f（t）﹣f（1）-≤a(3-a)2-故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）直线y＝x+3与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，则|AB|＝22．【分析】求出圆心（1，2）到直线y＝x+3的距离d，圆半径r，利用勾股定理能求出|AB|．【解答】解：直线y＝x+3与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相交于A，B两点，圆心（1，2）到直线y＝x+3的距离为d=|1-2+3|圆半径r＝2，∴|AB|＝2r2-d2=故答案为：22．13．（5分）一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则球的表面积为16π3【分析】首先设出球心的位置，利用勾股定理求出外接球的半径，再求表面积．【解答】解：由题意，正四棱锥的顶点为P，底面中心为O′，PO′为正四棱锥的高，点O为外接球球心，如图所示：所以AB＝BC＝AD＝CD=2，BO′＝1，PO′=设外接球的半径为R，所以OB2＝OO′2+O′B2，即R2=(3-R所以球的表面积为4πR2=16π故答案为：16π314．（5分）甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为23，乙每局获胜的概率为13，且各局练习的胜负相互独立．现进行n局练习，规定胜局多者获胜，记“n局练习甲获胜”的概率为Pn，则P7﹣P5＝802187【分析】根据题意，设n局练习中，甲获胜的局数为X，则X～B（n，23），由此求出P7和P5【解答】解：根据题意，设n局练习中，甲获胜的局数为X，则X～B（n，23当n＝7时，则P7＝P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）+P（X＝7）=C74×（23）4×（13）3+C75×（23）5×（13）2当n＝5时，则P5＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）=C53×（23）3×（13）2+C54×（故P7﹣P5=1808故答案为：802187四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，直线AC⊥平面ABB1A1，E是棱BB1上一点，AB＝AC=2，BB1＝3BE＝3，∠BAA1＝135（1）求证：CE⊥AA1；（2）求直线CE与平面A1B1C1所成角的正弦值．【分析】（1）由题意先证AA1⊥平面ACE，再利用线面垂直的性质定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C1的一个法向量，利用向量法求解即可．【解答】解：.（1）证明：连结AE，由题意得∠ABE＝45°，结合AB=2，BE＝1可得AE即AE＝1，于是AB2＝AE2+BE2，即∠AEB＝90°，AE⊥BB1，因为AA1∥BB1，所以AE⊥AA1，又因为AC⊥平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，所以AC⊥AA1，又AE∩AC＝A，所以AA1⊥平面ACE，因为CE⊂平面ACE，所以AA1⊥CE；（2）以A为原点，AE，AA1，AC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，C(0，0，2)，E（1，0，0），A1（0，3，0），B1（1，2CE→=(1，0，设平面A1B1C1的一个法向量n→则n→⋅A令x＝1，则n→记直线CE与平面A1B1C1所成角为θ，则sinθ=|cos＜因此直线CE与平面A1B1C1所成角的正弦值为6616．（15分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，S=3（1）求tanB的值；（2）若△ABC为非直角三角形，且满足asin2C+ccosA＝b，c＝2，求a的值．【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据两角和差公式即可求解．【解答】解：（1）因为S=38(即sinB=3由余弦定理得32cosB=sinB，于是（2）因为asin2C+ccosA＝b，所以sinAsin2C+sinCcosA＝sinB，又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，故sinAsin2C＝sinAcosC，因为sinA≠0，所以sin2C＝cosC，于是2sinCcosC＝cosC，即cosC＝0或sinC=1因为△ABC不为直角三角形，故sinC=12，即C=π因为tanB=32＞33又sinB=217，故sinA=sin(B+C)=sin(B+π因此a=csinA17．（15分）已知数列{an}和{bn}满足2an+1＝3an+bn+4，2bn+1＝3bn+an﹣4，a1＝1，b1＝2．（1）证明：数列{an+bn}是等比数列，并求出{an+bn}的通项公式；（2）将数列{an﹣bn}，{an+bn}中的所有项从小到大排列组成新数列{cn}，记{cn}的前n项和为Sn，求S60．【分析】（1）根据等比数列的定义及通项公式，即可证明与求解；（2）根据题意易得an+bn＝3×2n﹣1，an﹣bn＝4n﹣5，从而可得{cn}的前60项和为数列{an+bn}的前7项和与数列{an﹣bn}的前53项和的总和，进而可求解．【解答】解：（1）证明：因为2an+1＝3an+bn+4，2bn+1＝3bn+an﹣4，a1＝1，b1＝2，所以2（an+1+bn+1）＝4（an+bn），所以an+1+bn+1＝2（an+bn），又a1+b1＝3，所以数列{an+bn}是以2为公比，首项为3的等比数列，所以an+bn＝3×2n﹣1；（2）因为2an+1＝3an+bn+4，2bn+1＝3bn+an﹣4，a1＝1，b1＝2，所以2（an+1﹣bn+1）＝2（an﹣bn）+8，所以（an+1﹣bn+1）﹣（an﹣bn）＝4，又a1﹣b1＝﹣1，所以数列{an﹣bn}是以4为公差，首项为﹣1的等差数列，所以an﹣bn＝﹣1+（n﹣1）×4＝4n﹣5，又根据（1）可知an+bn＝3×2n﹣1，所以当n＝7，时an+bn＝192，n＝8时，an+bn＝384；当n＝50时，an﹣bn＝195，当n＝53时，an﹣bn＝207，所以{cn}的前60项和为数列{an+bn}的前7项和与数列{an﹣bn}的前53项和的总和，所以S60=3(1-218．（17分）已知椭圆Γ：x2a2+y2b（1）求Γ的方程；（2）设P（﹣4，0），过点P的直线与Γ依次交于A，B两点（点A在第二象限），直线AO，BF分别与Γ交于另一点C，D．（i）当C，D两点重合时，求直线AB的方程；（ii）当C，D两点不重合时，直线CD与x轴交点为Q，求△ABQ面积的最大值．【分析】（1）利用已知条件求出a、b即可得解；（2）设直线AB的方程为y＝k（x+4），k＞0，A（x1，y1），B（x2，y2），易知C（﹣x1，﹣y1），联立直线AB与椭圆方程，由韦达定理得两根之和与两根之积，设BF的直线方程为y＝k1（x﹣1），联立直线BF和椭圆方程，可得xD（i）当C，D重合时，可得﹣2x1x2+5（x1﹣x2）+8＝0，代入韦达定理，结合已知条件求出k即可得解；（ii）由题可得CD的方程，令y＝0，可求得x=52，从而可得△【解答】解：（1）由题可得ca=1所以椭圆的方程为x24（2）由题，设直线AB的方程为y＝k（x+4），k＞0，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=k(x+4)x24+y23=1，化简得（4k2+3）x2+32k2x则Δ＝144（1﹣4k2）＞0，即k2所以x1+x2=-32k24设BF的直线方程为y＝k1（x﹣1），其中k1=y联立y=k1(x-1)x24+y23=1，化简得（4k12+则xD==4（i）当C，D重合时，x1+xD＝0，即8-5x2即﹣2x1x2+5（x1﹣x2）+8＝0，代入得-2(64k2-12)4化简得64k4+36k2﹣9＝0，解得k2=316或k2因为k＞0，所以k=3故直线AB的方程为y=34（x（ii）因为xD=8-5x25-2x则直线CD的方程为y=-3y25-2得x==-2=-2×=-640即直线CD过定点Q(5△ABQ的面积为S=12⋅|PQ|⋅|=13=39≤39=13当16k23=1-4取得△ABQ的面积的最大值13319．（17分）已知a∈R，函数f（x）＝cos（ax﹣a）﹣ln（2x﹣x2）．（1）证明：曲线y＝f（x）关于直线x＝1对称；（2）当0＜a＜2时，求（3）当a＝π时，若存在互不相等的三个大于1的实数x0，x1，x2，满足f（x1）＝f（x2），且f′（x0）＝0，证明：x1【分析】（1）应用对称轴定义证明；（2）求出导函数，再化简得出导函数为正，进而函数单调递增即可得出最小值；（3）先求出导函数得出函数单调性，再构造函数构造F（x）＝f（2x0﹣x）﹣f（x），x∈（x0，2），应用单调性即可证明不等式．【解答】解：（1）证明：函数f（x）的定义域为（0，2），因为f（2﹣x）＝cos（a（2﹣x）﹣a）﹣ln（2（2﹣x）﹣（2﹣x）2）＝cos（a﹣ax）﹣ln（2x﹣x2）＝cos（ax﹣a）﹣ln（2x﹣