2026年高考数学常考考点之抛物线（含答案）

2026年高考数学常考考点专题之抛物线

一.选择题（共10小题）

1.（2025•泰安四模）已知O为坐标原点，尸为抛物线C：（p>0）的焦点，P为抛物线C上任意

一点（不与。重合），。为PF的中点，则直线OQ的斜率的取值范围是（）

A.[-1,1]B.(-oo,-1|U[1,+OD)

D.(-oo,-2]U[2,+OD)

2.（2025•柳州二模）若点A（2,1）在抛物线/=2p），（p>0）上，/为抛物线的焦点，则|AQ=（）

A.IB.2C.3D.4

3

3.（2025•辽宁模拟）已知尸为抛物线C：«=3x的焦点，C上一点尸到y轴的距离为1,则|PQ=（）

39

A.-B.2C.-D.3

24

4.（2U25•涧西区校级一模）已知点A,8化抛物线C'：）?=2px（〃>。）上，设C的焦点为3线段A8的

中点M在C的准线/上的射影为且M8|=V5|M4|,则向量前，高1的夹角的最大值为（）

TC712n571

A.一B.C.—D.一

6336

5.（2025•诸城市校级模拟）已知尸为抛物线』=2x的焦点,直线2x-），-4=0与抛物线交于A,B两点,

则△A4F的面积为（)

A.叵3A3布3A/17

B.C.-----D.-----

2248

6.（2025•湖北模拟）过抛物线C：）?=4x上的一点P作切线/,设/与x轴相交于点M，F为C的焦点,

直线P尸交。于另一点Q,则APQ/W面积的最小值为（)

87316^3

A.----B.4C.-----D.3

39

7.（2025•鹤壁二模）如图，曲线AOB是抛物线C：7=4），的一部分，且曲线AO8关于y轴对称，|AB|=4,

则点B到C的焦点的距离为（;)

C.2D.1

8.（2025•云南模拟）己知抛物线）?=2/次（p>0）的焦点为F,抛物线上一点M（7,2）,满足|MQ=2,

则〃=()

1

A.-B.1C.2D.4

2

9.（2025•鲤城区校级模拟）直线〃=0上存在两点A,B,使得A,8到直线y=-1的距离等于

n

它们到点尸（0,I）的距离，则一的取值范围（）

m

A.（-1,1）B.r-1]

C.（-1,0）U（0，1）D.（-oo,-1）U（1,+oo）

10.（2025•蚌山区校级模拟）设抛物线C），2=2px（p>0）的焦点为F,过C上一点4作其准线的垂线,

设垂足为B,若cos/B"=,,|AQ=10,则片（）

A.1B.2C.3D.4

二.多选题（共5小题）

（多选）11.（2025•邵阳模拟）已知抛物线）2=2px（p>0）的焦点为凡准线过点A（-1,0）,M是抛

物线上的动点，则（）

A.p=2

B.当|MF1=7|MA|时，，的最小值为

C.点M到直线y=x+3的距离的最小值为2

D.当嬴=2N>时，直线ON的斜率的最大值为日

（多选）12.（2025•河北三模）已知抛物线C：）?=2px（p>0）的准线方程为x=-1,过抛物线C的焦

点厂的直线/交抛物线。于A,8两点（A点在％轴上方），点〃在C的准线上，则下列结论正确的是

（）

A.|4/1+4叫]的最小值为9

B.Z.APB

C.当aABP为等边三角形时，△A8P的面积为24百

4

D.若点。的坐标为（7,0）,且照|=4|p阴，则直线/的斜率为1

（多选）13.（2025•黑龙江一模）已知抛物线C：的焦点为凡准线为/,点M（-4,,〃）在C上，

O为坐标原点，则（）

A.直线OM的倾斜角为135。

B./的方程为丫=一击

C.\MF]=5

D.。在点M处的切线方程为Zr+y+4=0

（多选）14.（2025•苏州校级二模）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800

分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞

出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y1=2px（p>0）绕其顶点分别逆时针旋转90。、180。、

270。后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域）,48为。与其中两条曲线的交点，若〃=1,则（）

A.开口向上的抛物线的方程为y=

B.L4B|=4

C.直线截第一象限花瓣的弦长最大值为:

4

D.阴影区域的面积大于4

（多选）15.（2025•青秀区校级二模）已知抛物线C：,=4）’的焦点为“，。为坐标原点，点M（“，.）

在抛物线C上，若1Mpi=5,则（）

A.尸的坐标为（1,0）B..vo=±4

C.）x）=3D.|OM|=4企

三.填空题（共5小题）

16.（2025•湖北模拟）已知点（2,1）在抛物线C：y=o?上，7为直线y=x-2上的一动点，过点7作C

的2条切线，切点分别为M,N,直线7M、7W分别交x轴于点A、B,则A8的最小值为,

△左4外接圆半径的最小值为.

17.（2025•高台县校级模拟）已知点A（a,2）为抛物线，=2〃y（p>0）上一点，且点弁到抛物线的焦点

产的距离为3,则〃=.

18.（2025•南京校级二模）已知抛物线C：）?=2px（p>0）的焦点为凡准线为/,过尸的直线与C交于

P，Q两点（P在x轴上方）,M为PQ的中点.若而=一3而，点M到/的距离为4,则〃的值为.

19,（2025•麦积区模拟）已知O为坐标原点，过抛物线）2=2*（〃>（））焦点的直线与该抛物线交于4,B

两点，若忸8|=12,若△O4B面积为4遍，则〃=.

20.（2025•南开区二模）已知抛物线C：?=2py的焦点为尸（0,I）,倾斜角为45。的直线/过点

F.若/与。相交于A,8两点，则以A8为直径的圆被x轴载得的弦长为.

四.解答题（共5小题）

21.（2025•上犹县校级模拟）已知动点P在曲线）2=8%上运动，O为坐标原点，Q为线段。尸中点，记Q

的轨迹为曲线C.

（1）求Q的轨迹方程C.

（2）已知人（1,2）及曲线C上的两点B和力，直线AB和直线人。的斜率分别为力和依，且匕+42

=1,求证：直线BO过定点.

22.（2025•山海关区校级模拟）已知抛物线及『=2/犹（〃>（））的焦点为F,过尸作倾斜角为6的动直线

/交E于A,B两点.当8=60。时，网=竽.

（1）求抛物线£的方程；

（2）证明：无论。如何变化，扇•加是定值（。为坐标原点）；

（3）点M（3,0）,直线AM与E交于另一点C,直线与E交于另一点。，证明：2ABM与ACDM

的面积之比为定值.

23.（2025•江苏模拟）设O为坐标原点，抛物线G：y2=2x与C2：y2=2Px（p>0）的焦点分别为尸1,尸2,

Fi为线段。尸2的中点.点4,81在Ci上（4在第一象限）：点心，例在C2上，4/2=24》I.

（1）求曲线。2的方程；

（2）设直线4用的方程为y=2r-2,求直线4A2的斜率；

（3）若直线4A2与小班的斜率之积为-2,求四边形A1A2B281面积的最小值.

24.（2025•沧州校级三模）已知抛物线W：y2=2px（/?>（））的焦点为F,直线/i：x-产1=0与W相切.

（1）求W的方程.

（2）过点尸且与/】平行的直线/2与W相交于M,N两点，求|MM.

（3）己知点/>（4,4）,直线/与W相交于A,4两点（异于点〃），若直线AP,〃〃分别和以下为圆

心的动圆相切，试问直线/是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.

25.（2025•固始县校级模拟）己知圆M：（x-2a）2+（y-a）2=16（存0）的圆心M在抛物线N：x2=2py

（〃>0）上，且圆M与抛物线N的准线相切.如图，过抛物线N上的三个不同点4,B,。（8在4,

C之间），作抛物线的三条切线，分别两两相交于点。，E,F.

（1）求圆M和抛物线N的方程：

(2)是否存在常数入，使得DA-FC=/IZ)E•尸E?若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由；

(3)当点C的横坐标为4时.以。为直角顶点，作抛物线的两个内接RQCPQ及RSCR7,求线段

PQ，R7的交点坐标.

2026年高考数学常考考点专题之抛物线

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案BBACCCCCCD

二.多选题（共5小题）

题号1112131415

答案ABDABDACDABDBD

一.选择题（共10小题）

I.（2025•泰安四模）已知O为坐标原点，/为抛物线C：x1=2py（/?＞（））的焦点，P为抛物线C上任意

一点（不与。重合），。为PF的中点，则直线。。的斜率的取值范围是（）

A.[-1,1]B.（-oo,-1|U[1,+oo）

C.[一上1]D.（-oo,-2]U[2,+oo）

【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质切方程；运算求解.

【答案】B

【分析】由抛物线的方程及抛物线的性质，结合基本不等式的应用求解即可.

【解答】解：由题意可得：F（0,会，

不妨设P（2/",2pP）,其中#0,

Q（P3*）,

l+4t211

则直线OQ的斜率为r-=7（4t+-），

4c4C

又41+彳6（-8,-4]U[4,4-co）,

即直线OQ的斜率的取值范围是（-oo,-1|U[1,+8）.

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了基本不等式的应用，属中档题.

2.(2025•柳州二模)若点A(2,1)在抛物线f=2py(/?>0)上，尸为抛物线的焦点，则|4回=()

A.1B.2C.3D.4

【考点】抛物线的焦点弦及焦半径.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】B

【分析】由抛物线的方程，结合抛物线的定义求解.

【解答】解：已知点4(2,1)在抛物线/=(/?>())上，

则4=2p,

即p=2,

则1+与=2.

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线的力程，重点考查了抛物线的定义，属基础题.

3

3.(2025•辽宁模拟)已知产为抛物线C：)，2=3x的焦点，C上一点P到y轴的距离为7则|PQ=()

39

A.-B.2C.-D.3

24

【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离.

【专题】转化思想：综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】4

【分析】根据抛物线的方程得准线方程，再利用抛物线的定义即可求解.

【解答】解：由题可得准线方程为工=一率

由C上一点P到.y轴的距离为:得点P到直线无=一前勺距离为1-(-1)=

由抛物线的定义可知|PF|=1.

故选；A.

【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，属于基础题.

4.(2025•涧西区校级一模)已知点A,3在抛物线C『=2px(〃>0)上，设C的焦点为F,线段A3的

中点M在C的准线/上的射影为M,且|4B|=则向量而，赢的夹角的最大值为()

【考•点】直线与抛物线的综合；余弦定理.

【答案】C

【分析】根据梯形中位线可得|MM'|=bh4P|+|8Q|),进而由抛物线定义可得M8|=V5|MM'|二

苧(|/1F|+|BF|),即可由余弦定理，结合基本不等式求解.

【解答】解：过A,8分别作APJL/,BQL,

此时MM是梯形ABQP的中位线，

所以|MM'|=b|4P|+|8Q|),

因为|AP|=|AF|,\BQ\=\BF],

所以|MM'|=*(|AP|+|BQ|)=|(MF|+|BF|),

所以|4B|=y[3\MM'\=里(|"|+田户|),

7:_\AF\2+\BF\2-\AB\2_\AF\2+\BF\2-l(\AF^\BF\)2

C0S<FB'户2\AF\\BF\一2\AF\\BF\

^\AF\2+\BF\2)-l\AF\\BF\{2\AF\\BF\-^\AF\\BF\1

-2\AF\\BF\-2\AF\-\BF\~~T

当且仅当|AF|=|即1时，等号成立，

所以还，FAG[0,用，

—t27r

则尸8,凡4的夹角最大值为三.

【点评】本题考查抛物线的定义，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题.

5.（2025♦诸城市校级模拟）己知产为抛物线丁=2丫的焦点，直线2「），-4=0与抛物线交于A,3两点,

则AAB/的面积为（）

x/173g3g3V17

A.-----B.------C.------D.------

【考点】直线与抛物线的综合.

【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解.

【答案】C

【分析】直线AB方程与抛物线方程联立后化简得27-"+8=0,再结合韦达定理可求得|力8|=萼,

利用点到直线距离公式求得高九=挈，即可求解A4B/面积.

【解答】解：易知抛物线）2=2》的焦点坐标为尸8,0）,

设4（xi,yi）,B（X2,y2）

联立ya：；了消去V并整理得法2-%+8=0,

由韦达定理得+%2=7*X1X2=4，

所以|A8|=A/1T22.J（分-4x4=孚，

易知F到直线2A-y-4=0的距离为九=尸一°一4|=3店

丁

1,13/5v'853g

则mil名r人股二2xhxl\4AnBl\=2x-g-x二-=4.

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基

础题.

6.（2025•湖北模拟）过抛物线G『=4》上的一点尸作切线/,设/与x轴相交于点M,尸为C的焦点，

直线PF交C于另一点Q,则4PQM面积的最小值为（）

【考点】直线与抛物线的综合.

【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】C

【分析】设尸（W…），则切线/的方程为）=）叶宗…0）,进而可得点M坐标，设直线PQ的方

程为x=/y+l，联立抛物线的方程，可得y2-4（y-4=0,设Q（xi,yi）,结合韦达定理可得）冶）“（则PQM=

/IMFlIvo-刘另|谒+当，结合函数的单调性，即可得出答案.

【解答】解：对）2=4x两边求导可得2»-4,则

9

设尸（.vo,yo）,则切线/的方程为y=yo+『（x-xo）,

令y=0,得JV=-XO,

所以M(-A-O,0),

设直线PQ的方程为x=)+l,

代入)？=4x,得y2-4ty-4=0,

设Q(xi,>,i),则yoyi=・4,

所以SAPQM=y\MF]\yo-yi|=1|1+.ro||j'o+白=||1+*||和+白=4\yS+孕I，

设f(y)=炉+舁y>o,

则/(y)=3/啰=

令/(y)=0,得y=绰，

*3

所以当OVyV挈时，f(_y)VO,f(y)单调递减，

当y>竽时，f(y)>0,/()，)单调递增，

K|I/、_rz2\/316Y”

所以/(y)min=f-~9~，

所以SaPQM的最小值为岩3.

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的切线，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积，解题中注意转化思想的应

用，属于中档题.

7.(2025•鹤壁二模)如图，曲线AQB是抛物线C：，=4y的一部分,且曲线AOB关于y轴对称,|AB|=4,

则点3到C的焦点的距离为()

【考点】抛物线的弦及弦长.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】C

【分析】求出点8坐标，进而可得解.

【解答】解：已知曲线AO8是抛物线C/=4)，的一部分，且曲线人关于)，轴对称，|人8|=4,

则C的焦点坐标为(0,1),点8(2,1),

所以点B到C的焦点的距离为2.

故选：C.

【点评】本题考查了抛物线的性质，属基础题.

8.(2025•云南模拟)已知抛物线)2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上一点M(/,2),满足|MQ=2,

则〃=()

1

A.-B.1C.2D.4

2

【考点】抛物线的焦点弦及焦半径.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】C

【分析】将M(/,2)代入抛物线方程得22=2/",解得亡=后再根据抛物线焦半径公式列出方程，求

出〃的值.

【解答】解：因为抛物线)?=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上一点M(/,2),

所以22=2〃/,解得£=彳，

所以|MF|=亡+刍=>刍=2,整理得(p・2)2=0,解得p=2.

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题.

9.(2025•鲤城区校级模拟)直线〃次-〃)，-〃=0上存在两点A,总使得A,4到直线y=-1的距离等于

它们到点尸(0,I)的距离，则巴的取值范围()

m

A.(-1,1)B.I-I,1]

C.(-1,0)U(0,1)D.(-00,-l)U(I,+oo)

【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；直线的斜率；根据定义求抛物线的标准方程.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】C

【分析】由抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系求解即可.

【解答】解：由抛物线的定义可知：平面中到点尸(0,1)的距离等于到直线y=-1的距离的点的轨

迹为抛物线，且抛物线方程为«=4»

乂直线〃a-〃V-〃=0上存在两点4,B,使得A,B到直线y=-1的距离等于它们到点F(0,1)的

距禽，

即直线-〃=0与抛物线x2=4y有两个交点,

mx-ny-n=0

联立

x2=4y

显然〃#0,/#0,

消y可得：/一等％+4=0,

即4=（一处）2—16>0,

\nz

即*）2VI，

喏的取值范围(7,。)—).

故选：C.

【点评】本题考查了抛物线的定义，重点考查了直线与抛物浅的位置关系，属中档题.

I0.(2025•蚌山区校级模拟)设抛物线C：y2=2m-(p>0)的焦点为凡过C上一点4作其准线的垂线,

3

设垂足为B,若cos乙BAF手

A.1B.2C.3D.4

【考点】抛物线的焦点弦及焦半径.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】D

【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可.

【解答】解：设A在第一象限，

则4+3=10,

则4=10—乌，

则以=h(1。一分

3

又cos乙BAF=p,

即〃=4.

故选：

【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考杳了抛物线的定义，属中档题.

二.多选题(共5小题)

(多选)11.(2025•邵阳模拟)已知抛物线)?=2px(〃>())的焦点为“，准线过点A(-1,0),M是抛

物线上的动点，则()

A.p=2

V2

B.当=时，/的最小值为三

C.点M到直线y=x+3的距离的最小值为2

-♦-♦-\[2

D.当MN=2NF时，直线ON的斜率的最大值为三

【考点】直线与抛物线的综合；抛物线与平面向量；根据定义求抛物线的标准方程.

【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据抛物线的定义计算出p的值判断选项A，根据抛物线的方程设抛物线上任意一点用的坐

标为(4阳2,4〃?)，将几何问题转化为代数问题进行计算，进而可判断选项8,C,D.

【解答】解：易知抛物线的准线为％=—舄

因为准线过点人(-I,0),

所以p=2,

则抛物线的方程为』=4.r,故选项A正确：

设抛物线上的点的动点为M(4〃£4/»),

对于8选项，当加=0时，f=l：

业,八….|MF|47n2+11

当，炽0时，t=7^41=7-------5-------

J(4n?2+1)+(4m)(4m)2

(4/+1)2

当且仅当帆=±4时，等号成立，故选项8正确;

|4m2-

易知M(4〃P,4而到直线尸/3的距离d=4TH+3|

72

当m=4时，dmin=&02,故选项C错误:

易知抛物线的焦点尸(I,0),

因为加=2NF,

所以N(誓工4771、

手）

当772=0时，kON=0；

,_4m41ml_44

当m找时，

。“二即-际=-T*

当且仅当m=¥时，等号成立.故选项Q正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题.

(多选)12.(2025•河北二模)已知抛物线C：y2=2/zv(p>0)的准线方程为x=-1,过抛物线C的焦

点尸的直线/交抛物线C于A,B两点、(八点在工轴上方)，点P在C的准线上，则下列结论正确的是

()

A.HF1+4|8F|的最小值为9

B.^APB<

C.当△A8P为等边三角形时，的面积为24g

4

D.若点P的坐标为(-1,0),H.|M|=4|PB|,则直线/的斜率为三

【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线.

【专题】计算题：整体思想；综合法：圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】ABD

【分析】设/八8：x=(y+l,A(xi,yi),A(x2»V)，联立直线与抛物线的方程，求出■;~~—4-■=1,

|AF|\BF\

由基本不等式可判断A；设AB的中点为。，由。到准线的距离4=切+1=粤1可判断B：当AABP

为等边三角形时，求出AABP的面积为可判断C；由在什&/=()可得x轴为NAPB的角平分线，根据

角平分线定理求出二3=4,将依回，|8月代入化简可求出直线I的斜率可判断D.

|8F|

【解答】解：因为抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=-I,

2

因此々=1,因此〃=2,因此抛物线C：y=4xf

设，A8：x=(y+l,A(XI,y\),A(X2,联立｛21

得：y1-4ty-4=0»则A=(-4/)2+16=16/2+16>0,

,2

>'i+32=4r,y\*y2=-4,/+x2=£(yi+%)+2=4t+2,xyx2==1,

.十，…1111%I+X+24d+2+2

对于A选项，-----+-----=----+-----=----------2-----=-----;-----=1,

2

\AF\|BF|Xi+lx2+lx1x2+x1+x2-i-ll+4t4-2+l

因此+4|研=(|研+4|研)(焉+矗)=S+耨+解,6+2疆昌翳=9,

当且仅当黑=哭?，即因八=2八月时，等号成立，故A选项正确；

|BF|\AF\

对于B选项，设48的中点为力，由；^+孙=4d+2,则初=口#=2£2+1,

又因为|力0=%+热+2=4“+4,因此。到准线的距离d=%。+1=2d+2=挈,

因此以A3为直径的圆与抛物线的准线相切，又点P在。的唯线上，因此乙4P8W》,故5选项正确:

对于C选项，D(2r+l,2/),因为△4PB为等边三角形，故P在的中垂线上，

当，=0时，显然AABP为直角三角形，不合题意，

222

当及0时，kAB=pkpD=7,\PD\=V1+t\xD-xP\=(2t4-2)V14-1,

\AD\=1\AB\=1(4t24-4)=2t2+2,又因为|PD|=V5|4D],解得：»=2,

因此|PD|=66，|A力|=6,ShABP=!|?|F|­|PD|=1X12x6V3=36V3,故C选项错误;

乙乙

对于。选项，点尸(7,0),则APA+ZCPB=%•+$•

Xj"T1工2十，

=4yl,4y2=4yl(兆+4)+4及0彳+4)=4-1丫2(3+/2)+4(力+及)]

~y5+4秃+4-(*+4)例+4)一(齐+4)0/4)

因为)“)?()”+”)+4(yi+y2)=-4*4/+4*4r=0,

因此如什依8=0,因此x轴为NAPB的角平分线，根据角平分线定理：=2=震=4,

\BF\\BP\

设直线/的倾斜角为6(0<6，)，过点人作A4J■准线交准线于点4,

则|Afl=|A4|=p+HF|cos。，氏此=不/=不获，

同理网=冉=福.

2

因此上詈辿=4,解得：cos6=i,sinO=>tanO=i,故O选项正确.

1+cosO

故选：ABD

【点评】本题考查直线与抛物线的综合，属于难题.

（多选）13.（2025•黑龙江一模）已知抛物线C：的焦点为凡准线为/,点M（-4,加）在。上，

。为坐标原点，则（）

A.直线OM的倾斜角为135。

B./的方程为、=一击

C.|岫=5

D.C在点M处的切线方程为W+4=0

【考点】抛物线的弦及弦长；根据定义求抛物线的标准方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，求出点M的坐标，结合抛物线方程及导数的几何意义逐项判断即可.

【解答】解：抛物线C：尸气2,点“（-4,小）在。上，所以机=4,则M（-4,4）,

对于A,直线OM的斜率k=-l,所以直线OM的倾斜角为135。，故A正确；

对于4,抛物线C的标准方程为/=4y,则准线/的方程为y=-I,故B错误；

对于C,产为焦点，则|MQ=4-（-1）=5,故C正确：

对于。，由y=求导得y=则。在点M处的切线斜率为y|x=.4=-2,

则。在点”处的切线方程为y4=-2（x+4）,BP2x+y+4=0,故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题主要考查抛物线的性质，切线方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

（多选）14.（2025•苏州校级二模）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800

分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞

出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：）2=2px（p>0）绕其顶点分别逆时针旋转90。、180。、

270。后所得三条曲线与C围成的(如图阴影区域),48为。与其中两条曲线的交点，若〃=1,则()

A.开口向上的抛物线的方程为y=；/

B.|AB|=4

C.直线x+y=f截第一象限花瓣的弦长最大值为:

4

D.阴影区域的面积大于4

【考点】根据定义求抛物线的标准方程.

【专•题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【答案】ABD

【分析】对于A,利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于8,联立抛物线

方程，求出点48的坐标，即得；对于C,将直点线与抛物线方程联立求出“，N的坐标，由两点间

距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值：对于。，利用以直线近似取代曲线的

思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断.

【解答】解：由题意，开口向右的抛物线方程为C：y2=Zr,顶点在原点，焦点为0).

将其逆时针旋转90。后得到的抛物线开口向上，焦点为Fz(0,1),则其方程为f=2)，，即y=：%2,故从

正确；

对于B,根据A项分析，由?：二俨可解得，x=0或x=2,即必=2,代入可得卅=2,

由图象对称性，可得A(2,2),13(2,2),故依/3|=4,即〃正确；

对于C,如图，

设直线x+y=f与第一象限花瓣分别交于点M,N,

K解得x=t+1-V2t+1由F解得，x=V2t4-1—1

由MN

,VM=V2t4-1-1yN=t+l-V2t+1

即得M(t+1-42t+1,V2t+^-1),N(，2t+1-1,t+l-V2t+l),

则弦长为：|MN|=J2(t+2-2V2FT1)2=V2|t+2-2V2F+T|,

由图知，直线x+y=f经过点A时/取最大值4,经过点。时」取最小值0,

即在第一象限部分满足OVzR,不妨设〃=则1<吟3,且亡=宁>

代入得，|MN|=@与3+2-2训=写(〃-2尸一1|,(l<w<3),

y/2

由此函数的图象知，当〃=2时，IMM取得最大值为三，即C错误；

对于Q，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，

故可以先求］部分面积的近似值.如图,

在抛物线y=>2,。20)上取一点p,使过点P的切线与直线04平行，

由V=x=l可得切点坐标为尸(1,1),因心小x-y=O,则点P到直线04的距离为d=*=4,

于是SAOPZ=头应F7x4=劣，由图知，半个花瓣的面积必大于"

441*乙J

故原图中的阴影部分面积必大于8X^=4,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题.

（多选）15.（2025•青秀区校级二模）已知抛物线C：的焦点为F,O为坐标原点，点M（xo,和）

在抛物线C上，若|M/1=5,则（）

A.广的坐标为（1,0）B.刈=土4

C.）x）=3D.\OM\=4&

【考点】抛物线的焦点弦及焦半径；抛物线的定义.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程：运算求解.

【答案】BD

【分析】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A,由抛物线定义可判断8c由两点间距

离公式可判断D.

【解答】解：对于A,抛物线C»=4），的焦点为尸（0,1）,准线方程为），=-1,故A错误：

对于3C由抛物线定义可得眼网=5=和+1,所以约=4,焉=16,解得xo=±4,故8正确，C错误：

对于O,\OM\=V16+16=4V2,故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦半径公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力

与计算能力，属于中档题.

三.填空题（共5小题）

16.（2025•湖北模拟）已知点（2.1）在抛物线C：），=/上，T为直级），=x-2上的一动点，过点丁作C

的2条切线，切点分别为M,N,直线7M、力V分别交x轴于点A、8,则AB的最小值为2,△TAB

外接圆半径的最小值为汕.

4

【考点】直线与抛物线的综合；利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解.

【答案】2；7V2.

4

【分析】首先求抛物线方程，根据导数的几何意义求切线方程，并求点4B的坐标，并联立方程求点

7的坐标，根据点7的坐标的特点，以及弦长1481，转化为二次函数求最值；根据坐标运算得到FALTA,

FBLTB,确定T,A,F,8四点共圆，根据圆的几何性质，即可求解..

【解答】解：因为点（2,1）在抛物线。上，

所以1=4。,

解得a=*,

则抛物线C的方程为f=4y,

设M（“苧），Ng,竽）,

因为y=亳，

所以y'=。

此时“74=*.kTD=今.

直线兀4：y=,（%-*1）+?=与工-直线7B：旷=学》一半

育a

得

可

A,巩2

丘

—3

y-X-4

为

因2

<

星»

—

攵

\y-2X-4

可得XLV2=2（XI+X2）-8,

1月8|=II=+%2）2—431%2=4/（无1+*2）2-8（X1十小）+32

=、+%2-4）2+16,

则当X1+X2=4时，依8|的最小值为2；

已知抛物线C的焦点F（0,1）,

所以/=（一条一等），赢=（号，-1）,

此时辰•眉=一牛+牛=0,

同理得砧•港=0,

所以以_LE4,TBLFB,

所以T,A,F,8四点共圆，

则^TAB的外接圆的直径为TF,

此时|小的最小值即为尸到直线x-V-2=0的距离,

易知点F到直线x-y-2=0的距离d=|0~^"21=1V2.

V2/

则^TAB的外接圆的半径的最小值为日、份.

4

故答案为：2；-V2.

4

【点评】本题考杳抛物线的方程，考杳了逻辑推理和运算能力，属于中档题.

17.（2025•高台县校级模拟）已知点A（小2）为抛物线』=2〃），（p>0）上一点，且点A到抛物线的焦点

广的距离为3,则〃=2.

【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离.

【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】2.

【分析】根据焦半径公式得到方程，求出〃的值.

【解答】解：因为点A（小2）为抛物线/=2小，（p>0）上一点，

所以由焦半径公式得，点A到抛物线的焦点F的距离2+g=3,

解得〃=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题.

18.（2025•南京校级二模）已知抛物线C：），2=2px（〃>0）的焦点为F,准线为/,过尸的直线与C交于

P,Q两点（P在工轴上方），"为PQ的中点.若而=-3港，点M到/的距离为4,则〃的值为3.

【考点】抛物线的焦点与准线.

【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解.

【答案】3.

【分析】当尸。斜率为0时，不合要求，设出PQ：工=G丫+以联立抛物线方程，得到两根之和，两

根之积，由而二一3还得到力=-3yi,进而求出光=聂巴尤=3pz,由点M到/的距离为4得到方

程，求出“=3.

【解答】解：当PQ斜率为。时，过〃的直线与抛物线只有.1个交点，不合要求，舍去，

设尸Q：x=my+y,P（xi,yi）,Q（x2>y2）>yi>0>y2<0,

222

由x=my+4与y2=2px联立，得y-2pmy-p=0,所以为+y2=2pm,yTy2=-p.

由FQ=-3FP,得）2=-3州，代入丫。2=~P2f得-3衣=-p2,

故W=gp2,羽=3p2.