2026年高考数学二轮复习 考点巩固检测练（三十九）圆锥曲线的方程与性质

［课下巩固检测练（三十九）］圆锥曲线的方程与性质

（单选题、填空题每题5分，多选题每题6分）

一、单选题

22

1.（2025•云南红河三模）已知椭圆Ca+?=1的右焦点为/但，0），则。的长轴长

为（）

A.V10B.2V10

C.V2D.2V2

解析：选B.因为椭圆C的右焦点为网2,0）,所以c=2,且焦点在x轴上，所以加

-6=4,解得加=±4U,所以椭圆C的长轴长为2同.

2.（2025•陕西渭南二模）若双曲线:一二=1的焦距为6,则加=（）

2mm—6

A.5或一1B.3

C.5D.-1

22

解析：选D.若双曲线“一二」=1的焦点在x轴上，

2mm~6

2m>0,

m~6>0,解得〃z£0；

{2m+m—6=9,

若双曲线"一-^—=1的焦点在y轴上，

2mm—6”

2m<0,

m—6<0,解得〃z=-1.

{—2m+（6—m）=9,

综上可得m=-1.

22

3.（2025•云南昆明二模）双曲线C马一色=l（a>0,b>0）的一条渐近线过点

（1,2）,则。的离心率为（）

A.V3B.V5

C.V6D.2V2

解析：选B.双曲线C马一仁=1的渐近线方程为y=±%,依题意得色=2,

a2b27aa

所以C的离心率为e=^ab=l+（-）2=V5.

a7a

4.（2025•辽宁大连一模）设B是双曲线C/一手=1的两个焦点，。为坐标原点,

点P（m,九）在C上，且丽・丽W0,则"2的取值范围是（）

A」-匕马

22J

-1]U[1,噌

C.[-2,2]

D.[-2,-1]U[1,2]

解析：选B.点尸（m,九）在。上，则〃於—±=1,且mW—1或加21,

因为R（—2,0）,6（2,0）,则丽=（—2—m,~n）f耐=（2—m,~n）,

则PF；PF；=（—2—m）（2—m）+/22=m2+7?2—4=4m2—7^0,解得一加W?,

故一—1或\WmW包.

22

5.已知椭圆。的焦点为B（—i,0）,F2（I,O）.过点a的直线与椭圆C交于A,B两

点.若的周长为8,贝J椭圆C的标准方程为（）

解析：选D.因为椭圆。的焦点为为（一1,0）,后（1,0）,所以c=l；

又过点Fi的直线与C交于A,B两点、,的周长为8,

则根据椭圆定义可得,\AF2\+\BF2\+\AB\=\AF2\+\BF2\+\AF1\+\BF1\=4a=Sf

解得a=2,因此b2=a2—c2=3,

22

所以椭圆。的标准方程为尹尹1.

6.已知点M在抛物线CV=4x上，抛物线。的准线与x轴交于点K,线段MK的中

点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为尸，则线段用尸的长为()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C.如图，不妨设点M在第一象限，依题知ON是△KM/的中位线,

可知IM尸I=2IONI,过N向准线做垂线，垂足分别为Mi,Ni,

同理NN1是△KMM\的中位线，IMM\I-2IWiI,

由抛物线定义知IMM,\=\MF\,\NNi\=\NF\,故得IONI=INRI,

又回(1,0),则N点横坐标是5代入产=以可得其纵坐标为VL

故IONI=J(|)2+(V2)2=|,IMFI=3.

7.(2025•辽宁沈阳二模)已知双曲线。的离心率为近，R,乃为。的两个焦点，过B

作。的一条渐近线的垂线，垂足为P,。为坐标原点，则需=()

B.V3

C.2D.V5

22

解析：选D.根据题意，e=：=&,则c=V^a,b=lc—a=a9

可知渐近线方程为y=±x,即x±y=(),且22(&Q,0),

则出尸2|=罢=小|&尸21=2匹a,ZPOF2=\

22

可得|0P|=l\OF2\-\PF2\=afZPF2FI=^,

在^PF尸2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|・|F1F2卜cosN尸BFI=Q2

+8a2~2aX242aX—=5a2,

2

即|PF/=而〃，所以需

2

8.(2025・湖北武汉三模)已知圆G：(x+l)+/=16:圆Q：(工一1)2+丁2=代0<r<

2),动圆M与圆G,圆C2都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆

的离心率分别为白，62,则工+工的值为()

e2

A.2B.4

C.6D.8

解析：选B.G(—1,0),C2(l,0),如图1,动圆M与圆G内切，与圆C2外切,

图1

此时|MN|=|M7|,|TCi|=4,|NC21f

\MC1\+\MC2\=\MC1\+\MN\+\NC2\=\MC1\+\MT\+\NC2\=\TC1\+\NC2\=4+r>

此|,

故圆心M的轨迹为以G(—1,0),C2(l,0)为焦点的椭圆方程，此时20=4+八

故。2=2+3*,故离心率为ei=£=」j-,

2Qi2+­r

如图2,当动圆M与圆G,。2均内切，

|CM=4,|C1W|=|C1M|+|MW|,\MW\=\MQ\,\MQ\=\MC2\+\QC2\=\MC2\+r9

则|MG|+|MC2l=|CiW|-|MW|+|MC2l=|CiW|-|MQ|+|MC2l=4一(|MQ|-|MC2l)

二4一|QQ=4—，>IGQI，

故圆心M的轨迹为以G(—l,0),C2(l,0)为焦点的椭圆方程，此时2s=4一厂，

故。2=2-与，故离心率为e=£=—1—,

2。22--r

乙

—,4-——2+-r+2--r—4.

e?22

二、多选题

22

9.椭圆C—；+9=1（巾>0）的焦点为3,上顶点为A,直线AFi与椭圆。的

曲+1

另一个交点为以若则（）

A.椭圆。的焦距为2

B.△A53的周长为8

C.椭圆C的离心率为第

D.△BFE的面积为

解析：选ABD.由题意可知，\AFi\=\AF2I=a,故△ABB为等边

三角脑，则a=2c,b=晅c,

又/一/=〃?2+1—m2=],所以c=],b=W,〃=2,所以焦距2c=2,A正确；

小

离心率c=£=工，c错误；

a2

由椭E]定义可知，△A33的周长为4々=8,B正确；

设|BFi|=x,则|8尸2|=4一％,又N5尸]尸2=啊,

3

2

由余弦定理可得（4一%）=4+X2-4XCOSZBFIF,解得X=3

25

所以"*用=：国&||尸2&回114=｝乂2><2乂4=竽，D正确.

10.（2025•广西南宁二模）已知点41,2）在双曲线C1一1=1（心（），Q0）上，则下

列结论正确的是（）

A.C的实轴长小于2

B.C的渐近线方程可能为y=±V3x

C.C的离心率大于6

D.C的焦距不可能为4

22

解析：选AC.将A（l,2）代入C彳-3=1可得白一白=1，

屋匕2aZ

对于A：n=；+1>1,故〃2<1,因此OVQVI,所以实轴长为2〃，则为V2,故A

a2b2

正确；

对于B：渐近线方程为），=±，若渐近线方程为）=±75居则，=百，结合—一・=

1可得二一二7=1,则」7=—1,该方程无实数根，故渐近线方程不可能为y=±J5x,

a2-3a23a2,

故B错误；

对于C：离心率为e=：=Jl+!=Jl+g+1）匕2=逐+b2>遮,故C正确；

对于D：若焦距为4,则2c=2］。2+炉=2故R=，竭Vc?,故焦

距可能为4,故D错误.

11.（2025•河南郑州一模）设抛物线C%2=2〃），。>0）的焦点为尸（0,1）,过尸的直线/

交x轴的负半轴于点交抛物线C于A,B两点,\AF\<\BF\f\BF\=\MF\f过5

作抛物线。的切线交x轴于点N,则（）

A.p=2

B.直线/的斜率为立

4

C.\AB\=9

D.△历&V的面积为

解析：选ABD.因为《0,3为（。，1），所以〃=2,故A正确;

设M（—m,0）（m>0）,因此3（血，2）,由加2=4x2,从而加=2或，直线/的斜率

为工=叱故B正确;

m4

直线/的方程为了=冬+1,所以，―4”+1'=幺一—4=O=（X—"）2=

（%2=4y

9（x=-V2,（x=2A/2,

2=>_1或c

2（尸2（y=2,

因此可求得A（一&,B（2V2,2）,可得|AB|=J（—鱼―2&）2+6一2）2=£

故C错误；

由y=匕落得）/=%,所以直线3N的斜率为y'|%=2E=/，

4,2

方程为），=岳一2,因此N（JL0）,所以AMBN的面积为故D

L2X|MN|XW=3或,

正确.

三、填空题

12.（2025•山东潍坊二模）若抛物线的准线与直线y=l之间的距离是2,写出一个满足

条件的抛物线的标准方程：.

解析：依题意，抛物线的准线与直线y=l平行，且距离为2,故抛物线的准线方程为

y=3或y=-1,

当抛物线的准线方程为y=3时，抛物线的焦点在）;轴的负半轴上，且2=3,p=6,故

2

抛物线方程为：/=-12y；

当抛物线的准线方程为y=—l时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且（=1，〃=2,

故抛物线方程为：f=4），.

综上可知，满足条件的抛物浅的标准方程可以是r=一12），或f=4y.

答案:/=4），或炉=一12），（填一个答案即可）

13.（2025河北邯郸模拟）已知椭圆CW+V=l（a>b>0）的左、右焦点分别为R,

过右焦点B向圆。：/+产=〃引一条切线交椭圆。于点”，连接FIM,如图，

若FIM±MF2,则椭圆C的离心率e=.

解析：设直线FiM与圆O切于点N,则ON1MF?,

由F|M1A/F2,则ON〃MF\,

所以|0N|=。，|MFi|=2A,\MF2\=2a~2b,

由勾股定理得|FiM『+|F2Ml2=|F/2『，

即4/?2+4（tz—/?）2=4c2=4（a2—/）,解得b=-a,

3

答案:y

14.（2024.福建厦门一模）设是面积为1的等腰直角三角形，。是斜边AB的中

点，点尸在aABC所在的平面内，记△PCQ与△PA8的面积分别为$,S?,且S-S?

=1.当IPBI=同,且IPAI>IPBI时，IPA|=；记I\PA\~\

PBII=6/,则实数。的取值范围为.

解析：以。为原点，卷为X轴正方向建立直角坐标系，

设P（KO,w）,则IxoI,§2=I州I,

所以3IxoI—IyoI=1,则IyoIIA*OI—I.

当IP8I=V10,IPAI>II时，xo>O,即IP8I2=（枇-1）2+%=io,

所以（X0—1）2+（30—1）2=1（）,即5W—12xo—32=0,可得x（）=4（负值舍），则I川I=

1,

故IPAI=J（%o+1）2+yo=V26,

若IIPAI—IP5II=a>0,结合双曲线定义知：尸在以A,5为焦点的双曲线

上，但不含顶点,

双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1,则双曲线与曲线工1x1—I）,I=1有交

占，

即双曲线的渐近线和曲线工lxI—IyI=1有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值

2

小于点

所以OV故延<。<2,

Ya224a21655

所以实数。的取值范围为（第