2026年高考数学复习讲义：圆锥曲线综合问题1（离心率问题全归纳）原卷版

专题15圆锥曲线综合问题1（离心率问题全归纳）

录

01析•考情精解

02构•知能框架

03破•题型攻坚

考点离心率问题

真题动向

知识1椭圆的几何性质

必备知识知识2双曲线的几何性质

题型一定义法求解离心率

题型二用正弦定理求解离心率

题型三用余弦定理求解离心率

题型四用双余弦定理求解离心率

题型五利用点差法求离心率

命题预测题型六焦点三角形双角度型求离心率

题型七利用几何性质求离心率

题型八坐标法求解离心率

题型九椭圆和双曲线共焦点型离心率问题

题型十离心率的取值范围问题

-±

析•考情精解

1、圆锥曲线的离心率是近3年高考的命题热点与难点，常作为小题中的压轴题出现，难度中档

及以上。离心率问题是解析几何的核心内容之一，其本质是寻找几何图形中的等量关系，构建

关于离心率e的方程或不等式。

2、从近几年高考命题来看，离心率的求解不再局限于单一的定义考查，而是深度融入圆锥曲线

的几何性质之中。命题常通过以下形式呈现：

命题轨

几何条件转化型：题目给出诸如“焦点三角形”、“渐近线夹角”、“直线与曲线位置关系”

迹透视等几何条件，要求学生将其转化为关于a.b.c的等量关系，进而求解e。

方程思想型：通过直线与圆锥曲线联立，结合韦达定理，利用弦长、向量垂直、面积等条件构

建方程。

不等式求范围型：题目条件隐含不等关系（如存在某交点、构成锐角三角形等），最终需求离

心率的取值范围°

预计在2026年高考中，离心率问题将继续作为高考的重点和区分点。命题将更加注重知识

的交汇性和思想的灵活性。其考查可能更加侧重于：与平面几何的结合：深入挖掘焦点三角形、

中垂线、角平分线等平面几何性质来构建等量关系。与向量的结合：利用向量共线、垂直的数

2026命

量积条件作为建立方程的桥梁。与函数、不等式的结合：将离心率表示为某个变量的函数，从

而利用函数单调性或基本不等式求范围。

探索创新情境：在相对新颖的图形或条件设置下，考查学生转化与化归的核心能力。复习

中必须强化数形结合思想，熟练运用定义、方程、不等式等主要工具。

•题型攻坚

考点离心率问题

22

1.（2023•新课标I卷•高考真题）设椭圆G:二+V=1（。＞i）c=+y?=1的离心率分别为6勺.若e,=Gq，

a~4

贝Ija=（）

A.逼B.V2C.73D.76

2.（2025・北京・高考真题）双曲线f—廿2=4的离心率为（）

A.正B.正C.-D.75

224

3.（2025•全国一卷•高考真题）若双曲线。的虚轴长为实轴长的5倍，则。的离心率为（）

A.及B.2C.77D.2a

4.（2021.全国甲卷.高考真题）已知0入是双曲线C的两个焦点,P为C上一点，且/甲岑=60。,俨周=3仍闾，

则C的离心率为（）

A.且B.巫C.V7D.x/13

22

5.（2024.全国甲卷•高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为（O,4）,（O,Y）,点（-6,4）在该双曲线上，则该

双曲线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.&

6.（2022•全国甲卷•高考真题）椭圆。:£+耳=1（〃＞/?＞（））的左顶点为A,点P,Q均在C上，且关于y

cr

轴对称.若直线止AQ的斜率之积为；，则。的离心率为（）

YB.当J

c-D.

3

尸4.

7（2021.全国乙卷.高考真题）设S是椭圆C:/十瓦=1（67＞力＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足

|尸8区勖，则C的离心率的取值范围是（）

8.（2025.天津•高考真题）双曲线巨-与=1（〃＞0⑦＞0）的左、右焦点分别为耳，八，以右焦点尸2为焦点的抛

（Tb~

物线），2=2px（〃＞（））与双曲线交于第一象限的点P,若|P£|+|P段=3忻用，则双曲线的离心率”（）

A.2B.5C.D.^1

22

9.（2024•新课标I卷•高考真题）设双曲线C:£-提=1（〃＞（"＞（））的左右焦点分别为耳F”过尸2作平行

于y轴的直线交C于4,B两点，若IEA1=13,1/31=10,则c的离心率为

10.（2023.新课标I卷•高考真题）已知双曲线C:=1（，,02A0）的左、右焦点分别为「死.点A在

―—?---

C上，点8在丁轴上，F]ALFiB,F2A=--F,2B,则C的离心率为

命QQ❸

知识1椭圆的几何性质

焦点的

焦点在工轴上焦点在），轴上

位置

y

式A2

图形V

叶，

标准方22

5+方=13>/>0)力+3=13>Q0)

程

范围一nWxWa且一方-bWx&b且一aWyWa

A\(~a,0),AzS，0),_fii(0,~b),4(0,一〃)，A,(0,a),_B\(—bt0),

顶点

&(0,b)B2(b,0)

轴长长轴长=2。，短轴氏=2/?

焦点Fi(—c,0),产2(c,0)Fi(0,-c),F2(0,c?)

焦距|FIF2|=2C

对称性对称轴工轴和），轴，对称中心（0,0）

离心率e=^(O<e<\)

【知识拓展】（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上.

⑵椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.

⑶椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a+c,最小值为a-c.

知识2双曲线的几何性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

Wyry-j2

标准方程N=1仅>0,/?>0)夕一户=13>0,/?>0）

图形

隹占

八、、/TViFj(—c,0),Fz{c,0)F|(0r—c),&(O,c)

焦距IQBl=2c

x<-a或)<-a或

范围

x>a,y£Ry>cbx€R

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点4(—m0),A2(a,0)4(0,—a),Ai(0>a)

实轴：线段4A2，长：2〃：虚轴：线段囱&,长：2b,实半轴

轴

长：a,虚半轴长：b

离心率e弋e(i,+8)

渐近线y=4x

』a

【知识拓展】1.双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.

2.等轴双曲线的离心率为近，渐近线方程为），=­

3.双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.

4.焦点到渐近线的距禽为儿

题型一定义法求解离心率

I.m知焦点在1轴上的椭圆。：尹疥地>。）以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线尸底+4

有公共点，则。的离心率的取值范围是—.

2.在平面直角坐标系x0v中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在），轴上，一条渐近线的方程为2犬-），=0,

则它的离心率为（）

C.73D.2

A.旧B-T

3.已知七，工是椭圆C：£+5=1（。＞2）的两个焦点，P为C上一点、,若|P4Hp用的最大值为5,则

的离心率为（）

A,三B.日

C.孝D.孚

4.已知椭圆*=的左、右焦点分别为耳，工，过工的直线/与C在第一象限交于点A,

与y轴的负半轴交于点“，且/AEB=9O。，熙=],则。的离心率为（）

M62

An2石

-1?Vz•1\-)•1

55

题型二用正弦定理求解离心率

5.已知椭圆与双曲线有公共焦点，G、K分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率4与双曲线的离心率内互

为倒数，点M为它们在第一象限的交点，满足sin/耳MK=2sin/MK6,则椭圆离心率G的值是

6.已知椭圆的左、右焦点分别为片，6，其右顶点为A,若椭圆上一点P,使得/2可入=15。，NP5A=75。，

则椭圆的离心率为（）

A玛B学c•*D-T

7.己知E，6分别是椭圆小£—。）的左‘右焦点’椭圆上一点0满足尸口呷且

gF\=5gF,则该椭圆的离心率等于（）

A-TBTCTDT

题型三用余弦定理求解离心率

8.设巴、6分别是椭圆C:/+，=l（a＞人＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，若NP£E=a,NP居£=A，

且cosa=必，sin（a+/?）=|,则椭圆的离心率为____.

55

9.已知椭圆与双曲线有公共焦点，G、鸟分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率/与双曲线的离心率内互

为倒数，点M为它们在第一象限的交点，满足sin/片M%=2sin/MKG则椭圆离心率。的值是,

10.已知椭圆=1（〃〉/＞＞0）的左右焦点分别为£,鸟，抛物线）:=23（〃＞。）以尸2为焦点，且与椭圆

在第一象限相交于点人，记sin/A尸F，若见＞7:,则椭圆的离心率取值范围是________

sin/%4

题型四用双余弦定理求解离心率

11.已知椭圆C:£+]=l（a＞〃＞0）的左右焦点分别为尸"?，过点片的直线/交椭圆。于A8两点，且

cro

uuruulu、uuurA

[zF.A+F^yAF^O,AF^-F.B,则椭圆C的离心率为.

12.已知双曲线C:,*=l（4＞0,〃＞0）的左、右焦点分别为匕尸2,过点K的直线与。交于A，8两点,且

3AFl=2FiB,以AB为直径的圆过点F?,设。的离心率为e,贝!.

22

13.己知双曲线。:方-£=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别是点尸”招，点4是C右支上的一点，以为直

径的圆交右支于另一点8,若84=43F，则C的离心率为.

14.如图，已知小尸2分别为双曲线=力＞。）的左，右焦点，。为坐标原点，过点乃的直线/

与双曲线「交于两点人.乂），*々，刈）小＞0＞毛，以。尸2为直径的圆经过点人，且|。即=|。£|，则双曲线「

的离心率为.

题型五利用点差法求离心率

15.己知双曲线七:三-营=1(〃>0/>0)的离心率为手，左、右焦点分别为匕，且，过点、且斜率为4的

直线/交E的两条渐近线于A,B两点,且|4鸟卜忸用，则&=()

A.+—B.土一C.土一D.±

4322

16.斜率为1的宜线与双曲线£二-工=13>0/>0)交于两点A8,点。是E上的一点，满足AC_L8C,

Tb~

»OAC,△03C的重心分别为RQ,V/WC的外心为R.记直线OP,OQ,OR的斜率为.若"2&=-27,

则双曲线E的离心率为()

A.2B.272C.3D.3G

17.过第一象限内椭圆C：£+*■=上一点P作三条直线4，/2,4,乙过原点并交C于另一点A,

，2，工轴于点”，交。于另一点从若直线AB平分线段PH,

B.I

D.也

2

题型六焦点三角形双角度型求离心率

18.已知小入分别是椭圆U,营=叱…)的左、右焦点'。是以时为直径的圆与椭圆。的一个交

点，且/夕"鸟=2/尸鸟片，则椭圆。的离心率为

P>/3-1D.廿

A.-^3—IB.2—^3

22

19.设椭圆的左，右焦点分别为鸟，点P在C上，若P%PR=O,NP£K=30。,

则C的离心率为（）

A.V3-IB.走C.；D.：

323

20.已知双曲线5-*=1（4>02>0）的左、右焦点分别为0小时为双曲线右支上的一点，若M在以比用

为直径的圆上，且/“人片£，则该双曲线离心率的取值范围为（）

—.

A.（1,及]B.[X/2,-KO）C.（1,^+1）D.[3,6+1]

21.已知片，居是椭圆C的两个焦点，M是C上的一点，若“耳,必死，且ian/M£6=3,则C的离心率为

)

C3M2x/l0

A・丹B-噜105

22.已知小6分别是椭圆o：W+/_=iQ〃>o）的左右两个焦点，若在。上存在点.使/耳空=90。，

且满足2NPF"；，则椭圆的离心率为（）

A.6B.73-1。2D.且

23

题型七利用几何性质求离心率

23.己知巴、6、8分别是椭圆C:5+方=1（。>方>。）的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆。于

点P,若，PF/为等腰三角形，则椭圆C的离心率为.

24.已知A,B分别为椭圆二+与=1（。>>>0）的左、右顶点，。（0/），直线/:x=2。与4轴交于点。，与直

crb~

线AC交于点。，且所平分NAPD,则此椭圆的离心率为.

25.己知双曲线E:二-二=1（。>0,b>0）F,,K为其左右焦点，以E的实轴为直径的圆记为O,过6

a-b-

作OO的切线分别交E的左右两支于A,3两点.若工AB,则E的离心率为（）

A.2&B.75C.2D.G

26.己知椭圆C：+/l（a>〃>0）"为椭圆的左右焦点，A为怖圆上一点，连接”并延长交椭圆于另一

点B,若|A周=|4用，忸周=3忸娟，则椭圆C的离心率为（）

A.在B.叵C.也D.也

3737

题型A坐标法求解离心率

27.已知椭圆鼻+%=1（。>/?>0）上一点M,点尸为右焦点，点〃为下顶点，FP=2MF，则椭圆的离心率

为.

22

28.己知双曲线C=-二=1（〃,6>0,〃工与左、右顶点分别为AB.若直线/：y=r+a与两条渐近线分别

交于M,N,ELMN=2NB，则双曲线。的离心率为（）

A.yjzB.GC.2D.75

29.己知椭圆C:£+与=l（a>〃>（））,0为坐标原点，直线上=?与椭圆。交于A,8两点.若△OAB为直角三

ab-2

角形，则C的离心率为（）

A.；B.且C.也D.巫

2322

30.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点匕,写在x轴上，是椭圆的顶点，/，是椭圆上一点，且轴，

PF://AB,则此椭圆的离心率是（）

题型九椭圆和双曲线共焦点型离心率问题

31.已知用人是椭圆和双曲