2026年高考数学复习热搜题之复数

2026年高考数学复习热搜题速递之复数

—.选择题（共8小题）

l+2i

1.——：=()

l-2l

A43.D4,3.34.3,4.

A--5~5ZB.飞+铲C.~5~5lD.-5+5l

2.若〃为实数，且（2+5）（«-2/）=--4/\则a-=()

A.-1B.0C.1D.2

3.若5(1+/)=17,则2=()

A.1-zB.1+/C.-iD.i

4.(1-/)4=()

A.-4B.4c.-4/D.4/

5.设复数z满足z+i=3-i,贝吃二（)

A.-l+2zB.1-2/c.3+2/D.3-2i

6.复数2=守在复平面内对应的点在（)

A.第一象限B.第二象限c.第三象限D.第四象限

7.设z=-2y5,贝吃=()

i+i+r

A.1-2iB.1+2/c.2-/D.2+i

8.已知复数z满足（z-1）则z=()

A.-2-/B.-2Hc.2-/D.2+i

—.多选题（共4小题）

（多选）9.若复数则（)

A.|z|=2B.|z|=4

C.z的共乐复数5=V5+iD.Z2=4-2倔

（多选）10.下列命题中正确的歪（)

A.若Z=_^+字i,|jl|J2O21_l_43.

z=F

B.若复数Zl,Z2满足ZJ+Z22=0,则Z1=Z2=O

C.若复数Z,则02=z2

D.若复数z满足|z・1|=2,则|z+i|的最大值为2+四

（多选）11.设Zl，Z2是非零复数，五，五分别是ZI,Z2的共加复数,则下列结论中正确的是（)

A.z2=|z|2

B.|ZI*Z2|=|Z1|*|Z2|

zz2

C•二=777

Z|Z『

D.若|z|=l,则|z-1-Z|的最大值为加+1

（多选）12.已知Zl、Z2都是复数，下列正确的是（）

A.若|zi|=|zz|，则Z1=J_Z2

B.|Z1Z2|=|Z|||Z2|

C.若|zi+Z2|=|zi・Z2|»则Z1Z2=O

D.Z].z?=石•石

三,填空题（共4小题）

13.设复数z满足条件|z|=l,那么|z+V5+i|取最大值时的复数z为

14.设2=牛，其中i为虚数单位，则z的虚部等于.

15,复数（m2-5m+6）+（渥-3〃?），是纯虚数，则实数〃尸.

16.已知方程f+px+4=。（pER）有两个虚根a,0,则。2+俨的取值范围是

四.解答题（共4小题）

并且|创=孚,argo）<^,求0.

17.设复数z=cos6+isin8(0<8<TT),3=7(2,

l+zt

18.已知复数21=2cos9+isin。，22=1-7sin0,其中i为虚数单位,0GR.

（1）当zi,Z2是实系数一元二次方程/+/成+〃=0的两个虚根时，求m、n的值.

（2）求⑵•列的值域.

19.设复平面上点Zi,Z2,…,Z”,…分别对应复数zi,Z2,…,z〃，…；

（1）设z=r（cosa+isina）,（r>0,aGR）,用数学归纳法证明：z"=/（cos〃a+isin〃a）,neZ4

（2）已知为=（罟）2。，且包2=；（cosa+Zsina）（a为实常数），求出数列｛z〃｝的通项公式；

11Z”2

（3）在（2）的条件下，求L=|Z%|+|zN|+…+以或+11+・・・・

20.已知"汇R复数z=（2+i）m2-m（1-/）-（1+2力（其中i为虚数单位）.

（I）当实数机取何值时，复数z是纯虚数；

（II）若复数Z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数〃?的取值范围.

2026年高考数学复习热搜题速递之复数（2025年12月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案DBDACCBC

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ACADBCDBD

一.选择题（共8小题）

43433434

----B-+-C----I•--+-

A.55555555

【芍点】复数的除法运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数.

【答案】D

【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可.

l+2i_(l+2i)(l+2i)_34

【解答】解:l-2i—(l-2i)(l+2i)——5+5i

故选：D.

【力:评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查.

2.若。为实数，且（2+ai）（a-2i）=-4/,贝I」。=（）

A.-ID.2

【考点】虚数单位i、复数.

【专•题】数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】B

【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之.

【解答】解：因为（2+3）（«-2/）=-4Z,所以4a+（J-4）/=-4/,

4a=0,并且a2-4=-4,

所以4=0；

故选：B.

【点评】本题考查了复:数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键.

3.若5(1+z)=I-/»则z=()

A.1-/B.1+ZC.-iD.i

【考点】共扼复数；复数的运算.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】。

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化喻，然后利用共挽复数的概念得答案.

.2

【解答】解：由z(1+/')=1-/>得z==T,

,\z=i.

故选：D.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

4.(1-/)4=()

A.-4B.4C.-4/D.4/

【考点】复数的运算.

【专题】对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】A

【分析】直接利用爱数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】解：(l-i)4=[(1-/)2]2=(-2/)2=-4.

故选：A.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.

5.设复数z满足z+i=3-入则5=()

A.-1+2/B.1-2/C.3+2iD.3-2i

【考点】共枕复数；复数的运算.

【专题】计算题；定义法；数系的扩充和复数.

【答案】C

【分析】根据已知求出复数z,结合共规复数的定义，可得答案.

【解答】解：•・•复数z满足z+i=3-i,

:•z=3-2i,

故选：C.

【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共规复数的定义，难度不大，属F基础题.

6.复数2=分在复平面内对应的点在（）

A.第•象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】复数对应复平面中的点；复数的除法运算.

【专题】对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数.

【答案】C

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标得答案.

・・__1T_(1T)(T)_1

【解答】解:--2-2U

-2Z-2

・・・z在复平面内对应的点的坐标为（-1-I）,在第三象限.

故选：C.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

7.设z=-2^5,则，=（）

1+r+r

A.1-2iB.1+2/C.2-/D.2+i

【考点】复数的运算；共挽复数.

【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复:数；运算求解.

【答案】B

【分析】先对z进行化简，再根据共规复数概念写出即可.

5

【解答】解：力2=-1,i=if

・—2+i

,25

1+r+r

-_—2+j-i

=1-2/,

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运.算及共挽复数的概念，属简单题.

8.已知亚数z满足（z-1）7=1+3则2=（)

A.-2-iB.・2+iC.2-/D.2+i

【考点】复数的运算.

【专题】数系的扩充和复数.

【答案】C

【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z-I,进一步求得z.

【解答】解:由(z-l)/=1+/»得z-l=—^―=------=1—2,

故选：C.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.若复数z=V5T,贝］()

A.|z|=2B.|z|=4

C.z的共规复数5=旧+，D.Z2=4-2V3z

【考点】复数的模；复数的运算.

【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】AC

【分析】利用复数模的定义即可判断选项A,B,利用共扰复数的定义即可判断选项C,利用复数的运

算法则求出Z?,即可判断选项D

【解答】解：因为复数z=6一力

所以|z|=J(V5)2+(-1)?=2,故选项4正确，选项8错误；

z的共规复数5=代+3故选项。正确；

z2=(V3-i)2=(V3)2-2Vsi+i2=2-2yf3i,故选项D错误.

故选：AC.

【点评】本题考查了复数基本概念的理解和应用，主要考查了共辗复数的定义，复数模的求解以及复数

的运算，属于基础题.

(多选)10.下列命题中正确的是()

A.若Z=一鼻苧i,则z2021=_/_%

B.若复数Zl,Z2满足Z12+z22=(),则zi=z2=0

C.若复数Z,则|z|2=d

D.若复数z满足|z-1|=2,则|z+/l的最大值为2+企

【考点】复数的模：复数的运.算；复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】转化思想；分析法；数系的扩充和复:数；运算求解.

【答案】AD

【分析】由复数的乘法法则判断选项A,有利用特殊值法判断选项氏利用复数模公式和复数的乘法法

则判断c根据已知条件，结合复数的几何含义判断n

【解答】解：对于4,Vz=-1+^i,

•2/1v".、21'亏.

••z4=（-2+I）=-2—2"1'

.*.z3=z2>z=（­i—i+^i）=1,

o213

/.?=（Z）673.z2=22=_l_^f>故A正确，

对于从若Zl=l+3Z2=1-/,满足以+z/=0,但ZlWZ2，故8错误，

对于C,设z=〃+/*a,beR,

\z\1=a2+b2,z2=（a+hi）2=c^-b2+2abi,当a,力不同时为0,|z|2=z2一定不成立，故C错误，

对于。，设z=a+/?i,a,bER-

V|z-1|=2,

.*.2-1=a-\+hi,

Alz-1|=y/（a-l）2+炉=4,即（a-1）2+/=4,

故z在夏平面内所对应的点为以（1,0）为圆心，半径为211勺圆，

|z+i|=|a+（>1）i|=+s+1）2=J（Q-。）2+w—（-1）产表示圆上的点到点（0,-1）的距离，

故苗+4的最大值为J（1-0）2+[0一（-1）产+2=V2+2,故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查了复数的乘法法则，以及复数模公式和几何含义，需要学生较强的综合能力，属于中

档题.

（多选）11.设Zl，Z2是非零复数，五，豆分别是Z],Z2的共规复数，则下列结论中正确的是（）

A.z2=lzl2

B.|Z|・Z2|=|Z||・|Z2|

zz2

D.若|z|=l,则|z-1-4的最大值为企+1

【考点】共桅复数；复数的模；复数的运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数：逻辑思维；运算求解.

【答案】BCD

【分析】直接利用复数的几何意义以及复数的运算求出结果.

【解答】解：设Z=4+初，（4、/?ER）,则5=Q—bi,

对于A：Z2=6/2-h2+2abi,|z|2=t?2+/?2,故z2#用,故A错误;

对于B：设zi=c、+$，Z2=m+ni,（c、d、m、z?GR）,

2222

故|zi・z2|=|（c+di）•（6+加）|=（cn+dm）/|=y/（cm—dri）4-（cn4-dm）=|z1||z2|=Vc+d•

y/m2+n2,故3正确；

zz?z?

对于C：由于==^=7~了，故C正确；

zzz|zp

对于。：根据复数的几何意义，|z|=l,表示以原点为圆心，1为半径的圆，故|z-1-1表示以（1,1）

为圆心，1为半径的圆，故|z・1・。的最大值为V2+1,故。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查的知识点：复数的几何意义，复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题.

（多选）12.已知zi、Z2都是复数，下列正确的是（）

A.若团|=七2|,则zi=±z2

B.|ZIZ2|=|Z|||Z2|

C.若|zi+Z2|=|zi-Z2|,则Z1Z2=O

D.Z]"z?=Z].z?

【考点】共扼复数；复数的模；复数的运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解.

【答案】BD

【分析】根据已知条件，结合特殊值法，复数模的性质，复数的概念，即可求解.

【解答】解：令Zl=l,Z2=i,满足|zi|=|z2|,但ZI=±Z2不成立，故4错误；

由复数模的性质可知,|21Z2|=|zi||z2b故8正确;

令Z1=1,Z2=i,满足|Z1+Z2|=|Z]・切，但Z1Z2=O不成立,故C错误；

设zi=a+历（a,Z?GR）,Z2=c^-di（c,旄R）,

zi*z2=<d+/?z)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,

五•石=(a-bi)(c-di)=ac-bd+(ad+bc)i,故。正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.

三.填空题（共4小题）

13.设复数z满足条件|z|=l,那么|z+百+t|取最大值时的复数z为二+；」.

【考点】复数的模.

【专题】计算题.

■s1.

【答案】三十[.

【分析】复数的模转化为距离，\z\=\是单位圆上的点，|z+g+i|是单位圆上点与（一代，-1）的距

离的最大值，

可求解答案.

【解答】解:复数z满足条件|z|=1,它是复平面上的单位圆，那么|z+百+i|表示单位圆上的点到（一百，

-1）的距离，

要使此距离取最大值的复数Z,就是（-6，-1）和（0,0）连线和单位圆在第一象限的交点.

•・•点（-百，-1）到原点距离是2.单位圆半径是1,此连线与单位圆在第一象限交点是（亨，1）.

故答案为：—+

【点评】本题考查复数的模的几何意义，复数和复平面内的点的一一对应，三角形相似，数形结合的思

想，难度较大.

本题也可利用三角代换、复:数辐角主值求解.

14.设2=半，其中i为虚数单位，则z的虚部等于・3.

【考点】发数的运算.

【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用复数的运算法则即可得出.

【解答】解：z=半=M3+2i）_—3汁2,则z的虚部为-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

15.复数（w2-5m+6）+（m2-3w）i是纯虚数,则实数〃?=2.

【考点】纯虚数；虚数单位i、亚数.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】当更数是一个纯虚数时，需要实部等于零而虚部不等于0,

【解答】解：当信票『优哦:覆》…时""虚数.

故答案为：2.

【点评】本题考查复数代数表示法及，针对于复数的基本概念得到实部和虚部的要满足的条件.

16.已知方程/+/»+4=0(pGR)有两个虚根a,仇则C?+B2的取值范围是)-8,8).

【考点】复数的运算.

【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数：运算求解.

【答案】[-8,8).

【分析】由题意可得：A<0,解得〃取值范围.利用根与系数的关系可得。2+/=(a+B)2-2aB范

围.

【解答】解：由题意可得：△=/，-16<(),解得-4VpV4.

a+p=-p,ap=4.

/.a2+p2=(a+p)2-2ap=/?2-8e[-8,8).

故答案为：L8,8).

【点评】本题考查了关于实系数一元二次方程有虚根的情况、根与系数的关系、不等式的解法，考查了

推理能力与计算能力，属于中档题.

四.解答题(共4小题)

17.设复数z=cos6+isin8(0<6<n),o)=-77^5-，并且同=argo)<5,求6.

1+z,J，

【考点】复数的辐角和辐角由值.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】化简3,利用同=享，求出8的三角函数值，再用arg3V今来验证3,从而求出。的值.

1—cos(—46)-is出(-46)_2sh^20+2jsin23cos20^

【解答】解法3=用2。

笠怦铲l+cos40^-isin49--2cos226-{-2isin2ecos2e

/o

(sin40+/cos40).|a>|=\tg26\­\sin40+icos46\=\tg2G\=tg26=土专

HO<0<TT,故有

（i）当tg28=停时,得。=金或。=需，这时都有3=母（cos看+isi〃看）,

得也刑=VV5,适合题意.

（ii）当场20=-孚时，得。=骂或。=罂这时都有3=苧（cos半+is近半）,

得arg3=i1^>5，不适合题意，舍去.

综合（i）、（ii）知。=金或。=居.

解法二z4=cos46+isin4e.

记叩=4。，得0)4=04)=cos。-is出0.①

—-coscp+ism©价

3-l+cos(p+isin(p'心

=1；嘿。(sin©+icos°)=tg室(sin®+icostp).③

••II

.\a)\=丁arg3V于

0在

-

2|=.3

0沏

-勿

2

0M

2M

当①成立时，②恒成立，所以。应满足

0<9<n（oueor

（i）1"，或（ii）《，”，

tg20--^-cos40>0（场2。=一看cos4。<0

解（i）得。二金或。=患.（ii）无解.

综合（i）、（ii）6=需或。=居.

【点评】本题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力；注意分类讨论思想

的应用，难度较大.

18.已知复数zi=2cos6+isin。,22=I-/sinG,其中i为虚数单位,GGR.

（1）当Zl,Z2是实系数一元二次方程/+加计〃=0的两个虚根时,求"7、〃的值.

（2）求|zi•刃的值域.

【考点】共规复数；虚数单位i、系数：复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）由于ZI,Z2是方程3，-2x+c=0的两个复数根放Z1=^,求出8,再根据根与系数的关系

可求出m,n.

（2）直接求出⑶•豆|的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可.

【解答】解:(1)复数zi=2cos8+isin8,zz=l-zsin0,

zi,Z2是实系数一元二次方程：+加计〃=0的两个虚根,

所以zi=%,BP2cos0+/sin6=I+/sin9,所以

所以7

m=-zi-Z2=-(zi+z2)=-2cos0-1=-2.

n=z\*Z2=1+sin29=

(2)|zi•司=|(2cosO+/sin0)(1+ZsinG)|

=|(2cos0+zsin0)||(l+/sin0)|

=J(1+3cos20)(1+si*。)

2

2+2cos284-^sin220

3+cos28+4—4cos之26

=+cos23~^cos22f)

=Jg-1(cos20-1)2G[V2,绵].

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的基本概念，三角函数的有界性，是综合试题.

19.设及平面上点Zi,Z2»Z〃，…分别对应更数zi,Z2,…，z〃，…;

(I)设z=r(cosa+isina),(r>0>aGR),用数学归纳法证明:z"=d(cos〃a+isin〃a),nGZ+

已知”（罟产，且第=|（cosa+isina）（a为实常数）,

(2)求出数列｛z〃｝的通项公式;

(3)在(2)的条件下,求L=IzNl+lzNl+i+IZnW+iH-.

【考点】复数的运算；数学归纳法.

【专题】方程思想；转化思想；数系的扩充和复数.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）按照数学归纳法的基本步骤即可证明等式成立；

（2）Z］二（罟）2。=（4）1。=1,且罗=1（cosa+/sina）（a为实常数），可得数列｛z“｝是首项为Zi

=1,公比为4=/(cosa+isina)的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出.

T1

(3)在(2)的条件下，ZnZn4.i=G)"[cos〃a-2cos(〃-1)a+i(sin/za-2sin(n-1)a)],再利用数

列极限求和公式即可得出.

【解答】解：(1)证明:当〃=1时，左边=r(cosB+isin。),右边二r(cosB+isin。)，

左边=右边，即〃=1等式成立；

假设当〃=火时等式成立，即：[r(cos0+/sinO)]"=/(coske+isink。)，

则当〃=火+1时，[r(cos8+/sir.6)]k+l=[r(cos0+zsinO)]kr(cos6+isin8)

=/(cosAB+isinke)/(cos0+zsin0)

=产[(cosA-6cos9-sinA:0sin0)+i(sinA0cos0+cos/:Gsin0)]

=/"[cos(k+\)9+/sin(A+l)0],

即当〃=k+l时，等式成立；

综上，对“EN+,/=尸(cosna+zsin/za)；

(2)4=(若产=段)】°”

且“"I=-(cosa+Zsina)(a为实常数)，

Zn2

1

，数列｛z〃｝是首项为Zi=I,公比为9=(cosa+isina)的等比数列，

，该数列的通项公式为Z“=ZiW厂i=(mnT・[cos(/?-I)a+isin(〃-I)a]；

TTT11

(3)在(2)的条件下，ZZ=0Z—OZi=(-cosa-1»rina)

X2222

T1________

IZ1Z2I=2^5—4cosa.

-*]

n

ZnZn+1=(2)[cos//a-2cos(n-1)a+i(sin〃a-2sin(n-1)a)],

T1____________________________________________1________

n22n

|ZnZn+1|=(^)y/[cosna—2cos(n—l)a]+[sinna—2sin(n—l)a]=V5—4cosa.

TTT,________1________

L=jZ1Z2l+\Z2Z3\H------F\ZnZn+1\+=-5-4cosax=V5—4cosa.

1-2

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、数学归纳法的基本步骤、等比数列的通项公式、数列

极限求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

20.已知，托R复数z=(2+i)nr-m(1-z)-(1+2/)(其中i为虚数单位).

(I)当实数机取何值时，复数z是纯虚数；

(II)若复数Z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数"7的取值范围.

【考点】纯虚数；复数的代数表示法及其几何意义；虚数单位i、复数.

【专题】数形结合：方程思想；转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数.

【答案】见试题解答内容

【分析】z—(2/w2-m-1)+(tJT+m-2)/,

(1)利用纯虚数的定义，由P如一小二解出即可得出.

(廿+m—2工0

(2)利用复数的几何意义，日题意得解出即可得出•

2

【解答】解：z=(2nr-m-I)+(m+m-2)it

2m2—Tn-1=0

(I)由题意得

m2+m-2^0

解得m=—,.=—；时，复数z为纯虚数.

(2m2—m—1>0

由题意得

(2)Im2+m-2<0

解得一2VmV-劣，

・・・—2VmV—；时，复数z对应的点位于第四象限.

【点评】本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

考点卡片

1.数学归纳法

【知识点的认识】

1.数学归纳法

一股地，当要证明一个命题对于不小于某正整数〃0的所有正整数〃都成立时，可以用以下两个步骤：

(I)证明当〃=〃u时命题成立；

(2)假设当〃=&(依N+,且时命题成立，证明〃="1时命题也成立.

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于〃。的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳

法.

2.用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可.

(I)证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.

在这一步中，只需验证命题结论成3的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对■几个正整数成立.

(2)证明了第二步，就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第

一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一方，我们无法递推下去，所以我们无法判断

命题对〃0+1,〃0+2,…，是否正确.

在第二步中，〃=火命题成立，可以作为条件加以运用，而〃=A+1时的情况则有待利用命题的已知条件，

公理，定理，定义加以证明.

完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论.

3.用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：

①明确初始值〃o并验证真假.(必不可少)

②"假设〃=k时命题正确”并写出命题形式.

③分析“〃=%+1时”命题是什么，并找出与“〃=%”时命题形式的差别.弄清左端应增加的项.

④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上

假设.

2.虚数单位i、复数

【知识点的认识】

，・是数学中的虚数单位，产=-I，所以，是-1的平方根.我们把.的数叫做复数，把4=0且8#0的

数叫做纯虚数，。如0,且6=0叫做实数.复数的模为，小+炉.形如4+历（°,况R）的数叫复数，其中

a，b分别是它的实部和虚部.

3.纯虚数

【知识点的认识】

形如〃+历（〃，形R）的数叫做复数，a,b分别叫做它的实部和虚部，当4=0,时，叫做纯虚数.

纯廉数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果.

【辩题方法点拨】

复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路.要完整理解复数为

纯虚数的等价条件，复数z=“+b，（a,hER）为纯虚数的充要条件是。=0,6W0.

实数集和虚数集的并集是全体复数集.虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一

个真子集.

【命题方向】

纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，

考察学生的基本运算能力.常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运

算；（4）复数在复平面内对应的点.

4.复数的代数表示法及其几何意义

【知识点的认识】

I、复数的代数表示法

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单

位是1,），轴的单位是i,实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0,0）,对应复数0.即复数复

平面内的点z（。，b）-平面向量OZ.

2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：

（I）|z|=|z-0\=a（。>0）表示复数z对应的点到原点的距离为

（2）|z-zo|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.

3、复数中的解题策略：

（I）证明复数是实数的策略：

①工=。+R<=>%=0（.a,/?ER）；®ZGR<=>Z=Z.

（2）证明复数是纯虚数的策略：

①2=4+切为纯虚数04=0,Z?WO（a,Z?eR）;

②bWO时，z-5=2历为纯虚数；③z