2026年高考数学复习热搜题之空间向量的应用

2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量的应

一.选择题（共8小题）

1.己知空间向量a=（1,n,2）.b=（-2»1,2）,若2a—b与匕垂直，则|a|等于（）

5V3V21V373追

A.——B.一C.——D.——

2222

2.如图，在棱长为2的正方体46co-441C1OI中，£为8c的中点，点。在底面44co上移动，且满

足8iP_LOiE,则线段BiP的长度的最大值为（）

A.——B.2C.2V2D.3

5

3.若向量；=(0,1,-1),b=(1,1,0),且日+应)1Z则实数入的值为()

A.0B.1C.-2D.-1

4.在平行四边形A8CQ中，BC=2AB=2,/8=60°,点E是线段A。上任一点（不包含点。），沿直线

CE将△<?£>£翻折成△"）'£使Q'在平面A8CE上的射影尸落在直线CE上，则A。’的最小值是

（）

A.74-V3B.74-V2C.2D.V3

5.如图，以_1_圆。所在平面，43是圆。的直径，C是圆周上一点，其中AC=3,%=4,8c=5,则03

与平面以C所成角的正弦值为（)

C.在V17

2

6.如图，正方体AIBICIA的棱长为1,0是底面AIBICIDI的中心，则。到平面的距离

为（)

cWV3

2D.

7.如图，在矩形A4CO中，A〃=2,AO=4,点£在线段AO上且4£=3,现分别沿4E,CE将△44£,

△DCE翻折，使得点。落在线段人石上，则此时二面角D-EC-B的余弦值为（）

67

A.-B.-C.一D.-

5678

8.阅读材料：空间直角坐标系。-xyz中，过点P（刈，和，20）且一个法向量为〃=（a,b,c）的平面a

的方程为a（x-xo）+b（y-yo）+c（z-zo）=0；过点尸（w，yo,zo）且一个方向向量为d=（〃，v,

w）（〃妙wWO）的直线/的方程为七*=匕也=匕包.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面

uvw

a的方程为3.L5y+z-7=0,直线/是平面x-3.y+7=0与4y+2z+l=0的交线，则直线/与平面a所成

角的正弦值为（）

V1041g

A.——B.一C.亘D.——

3551555

二,多选题（共4小题）

（多选）9.如图，在正方体ABCO・A山中，点£,尸分别是棱如上的动点.给出下面四

个命题，其中正确的是（）

A.EF//AC

B.直线Ab与直线CE所成角的最大值是g

C.若直线与直线CE相交，则交点在直线。。I上

D.若直线4r与直线CE相交，则二面角E-AC-D的平面角的最小正切值为加

（多选）10.已知图1中，4,B,C,。是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB,BC,CD,OA把4

ABF,4BCG,△C。"，△〃£向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABC。垂直，再顺次

连接EFGH,得到•个如图2所示的多面体，则（）

B.平面A£凡L平面CGH

C.直线CG与平面AEr所成角的正切值为企

8

D.当A8=2时，多面体ABC。-£7PH的体积为一

3

（多选）11.如图，在正方体ABCQ-A向中，M,N,P,。分别是所在棱的中点，则下列结论正确

的是（）

A.点。，Q1到平面PMN的距离相等

B.PN与QM为异面直线

C.NPNM=90°

D.平面PMN截该正方体的截面为正六边形

（多选）12.在直三棱柱ABC-*41。中，NBAC=90°,AB=AC=AA\=2tE,b分别是BC,AiCi的

中点，。在线段明。上，则下面说法中正确的有（）

A."〃平面A4181B

B.若。是BiCi上的中点，则

C.直线）与平面ABC所成用的正弦值为警

KJ

D.直线8。与直线E尸所成角最小时，线段8。长为学

三,填空题（共4小题）

13.设平面a与向量a=（-1,2,-4）垂直，平面0与向量b=（2,3,1）垂直，则平面a与0位置

关系是.

14.如图，平面A8CZ）_L平面四边形A8C。是正方形，四边形A8EF是矩形，且AF=基。=〃,

G是EF的中点，则G8与平面AGC所成角的正弦值为.

15.如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面a上，三条棱AB、AC.AZ）都在平面a的同侧.若顶点B,

C到平面a的距离分别为I,<2.建立如图所示的空间直角坐标系，设平面a的一个法向量为（刈，和，

zo）,若xo=1,则>,0=,zo=,且顶点D到平面a的距离

16.如图，在四边形A3CO中，AD//BC,AD=AB,ZBCD=45J,ZBAD=9（）a,将△A8。沿3。折起，

使平面人8。_1,平面BCD,构成三棱锥4-BCD,则在三棱锥A-BCD中，下列判断正确的

是.（写出所有正确的序号）

①平面/WDL平面4BC

②直线BC与平面ABD所成角是45°

③平面ACO_L平面48c

④二面角C-AB-D余弦值为g

四,解答题(共4小题)

17.如图，四边形46C。是平行四边形，平面A£D_L平面48C0,EF//AB,A4=2,DE=3,BC=EF=1,

AE=瓜,ZBAD=60°,G为8C的中点.

(1)求证：产G〃平面BED；

(2)求证：平面BEOJL平面AED；

(3)求直线EF与平面8EO所成角的正弦值.

18.如题图，三棱锥P-A8c中，PC_L平面八8C,PC=3,NAC8=£D,七分别为线段A〃，8c上的点,

旦CD=DE=&,CE=2EB=2.

(I)证明：OEJ■平面PCD；

(II)求二面角A-PD-C的余弦值.

19.如图，在四棱锥尸-4BCO中，用1.底面ABC。，AD1AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,AB=\,点

E为棱PC的中点.

(I)证明：BELDC；

(H)求直线8E与平面尸8。所成角的正弦值；

(III)若尸为棱PC上一点，满足8匚LAG求二面角尸的余弦值.

20.如图，在三棱柱/WC-Ai8iCi中，N8AC=90°,AB=AC=2,A\A=4,4在底面/WC的射影为8c

的中点，。是BICI的中点.

(I)证明：4£>_1_平面48(7；

(II)求直线A18和平面88cle所成的角的正弦值.

G

B.

AB

2026年高考数学复习热搜题速递之空间向量的应用（2025年12月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案DDCAABDA

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案BCDACACDACD

一.选择题（共8小题）

1.已知空间向量：=（1,〃，2）,b=（-2,1,2）,若工一；与了垂直，则而等于（）

5V3V21V373V5

A.-----B.-----C.-----D.-----

2222

【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直.

【专题】空间向量及应用.

【答案】D

【分析】利用向量垂直关系,21-，与力垂直,则（2a-b）-b=0,即可得出.

【解答】解：Va=（1,〃，2）,b=（-2,1,2）,

.*.2a—b=（4,2〃-1,2）,

V2a—匕与b垂直，

:.{la-b^b=0,

:.-8+2〃-1+4=0,

解得，〃=3，

T5

・・・Q=(1,2)

••・向=』2+22+(当2=苧.

故选：。.

【点评】本题考查的知识点是向量的数量积判断向量垂直，其中根据两向量垂直数量积为。.

2.如图，在棱长为2的正方体HBCQ-AIBICIDI中，E为8c的中点，点P在底面ABC。上移动，且满

足BiP_LQiE,则线段81P的长度的最大值为()

4V5l

A.—B.2C.2&D.3

口

【考点】点、线、面间的距离计算.

【专题】计算题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离.

【答案】。

【分析】以。为原点，。人为x轴，0c为)，轴，DDi为Z轴,建立空间直角坐标系，利用向量法能求

出线段B1P的长度的最大值.

【解答】解：以。为原点，DA为x轴，。。为y轴，。。1为z轴，建立空间直角坐标系，

设P(«,b,0),则Oi(0,0,2),E(1,2,0),B\(2,2,2),

8；P=(〃-2,/?-2,-2),鼠E=(1,2,-2),

*：B\PVD\E,：,彰£E=a・2+2(Z>-2)+4=0,

A6/+2Z?-2=0,

，点P的轨迹是一条线段，当。=0时，h=I；当〃=()时，a=2,

设CD中点F,则点P在线段4尸上，

当A与。重合时，线段BiP的长度为：\AB\\=V4T4=2V2；

当P与尸重合时，P(0,1,0),B；P=(-2,-1,-2),线段B1P的长度|B；P|=V4+4+1=3,

1T3

--2),线段81P的长度|8；P|=Jl+,+4=挈.

当尸在线段A尸的中点时,P(1，5,O),&P=(-12

・•・线段加P的长度的最大值为3.

故选：D.

【点评】本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.

3.若向量；=(0,1,-1),h=(b1,0),且G+6)J.Z则实数入的值为()

A.0B.1C.-2D.-1

【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间向量的

数量积运算.

【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】利用向量坐标运算法则和向量垂直的性质直接求解.

【解答】解：向量2=(0,1,-1),7=(1,L0),

Act+Ab=(入，1+入，-1)»

V(a+Ah')1a,

:.(.a+Ab),a=0+1+入+1=0,

解得人=-2.

故选：C.

【点评】本题考查向量坐标运算法则和向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

4.在平行四边形ABC。中，BC=2AB=2,NB=60°,点£是线段AO上任一点(不包含点。)，沿直线

将△CDE翻折成△C。'£使。'在平面A8C£上的射影厂落在直线C£上，则月Q'的最小值是

()

A.，4-V3B.V4-x/2C.2D.V3

【考点】点、线、面间的距离计算.

【专题】压轴题；空间位置关系与距离.

【答案】A

【分析1利用面面垂直的性质定理、余弦定理、勾股定理、正弦函数的单调性即可得出.

【解答】解：如图所示：在图2中，过点。作。P_LCE,垂足为尸点，连接4居D1F.

•・•沿宜线CE将△CDE翻折成△C。'E,使在平面48CE上的射影厂落在直线CE上,

工平面O'CEU"平面4BCO.

：.D'/_1_平面ABC。，：.D'FLAF,

：.AD2=Dr产+A尸.

设NCD尸=仇0°W8W60°,则。尸=CDcosB=cos8,NED尸=60°-0.

在△4DE中，由余弦定理得4产=22+cos2e-2X2cos0Xcos(60°-0),

D'/l2=4+2cos20-4cos9(icos0+^-sin6)=4—V3sin29,

乙乙

当且仅当sin20=l,即26=90°,6=45°时，取得最小值，且A。'的最小值是J4-V1

故选：A.

【点评】熟练掌握面面垂直的性质定理、余弦定理、勾股定理、正弦函数的单调性是解题的关键.

5.如图，附_1圆。所在平面，A8是圆。的直径，。是圆周上一点，其中4c=3,%=4,BC=5,则P3

与平面玄。所成角的正弦值为()

V17

【考点】几何法求解直线与平面所成的角.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解.

【答案】A

【分析】根据题意，由线面垂直的判断方法可得BC_L平面朋C,则/BPC是P8与平面南。所成角，

由此计算可得答案.

【解答】解：根据题意，44是圆。的直径，C是圆周上一点，则4C_LAC,

又由%_L圆。所在平面，则以J_BC,

则8CJ•平面小C,故/8PC是PB与平面以C所成角，

△%C中，AC=3,%=4,则PC=5,

则△PC8为等腰直角三角形，sinN4PC=sin45。=竽，

故选：A.

【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的判断，属于基础题.

6.如图，正方体A/?CO-4BiCiOi的棱长为1,6是底面AiBiCiG的中心，则。到平面ABC1D1的距离

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直.

【专题】计算题；逻辑思维；直观想象：运算求解.

【答案】B

【分析】过。作4小的平行线，交BTCT于E,则O到平面ABCiDi的距离即为E到平面ABC\D\的距

离.作EF_LBCi于扛进而可知£7口_平面ABOQi,进而根据E/=求得EE

【解答】解：过。作AIBI的平行线，交BCi于七，

则。到平面ABC\D\的距离即为E到平面ABC\D\的距离.

作EFVBC\于F,易证EF_L平面ABC\D\,

可求得EF=1fiiC=辛.

故选:B.

【点评】本题主要考查了点到面的距离计算.解题的关键是找到点到面的垂线，即点到面的距离.

7.如图，在矩形ABC。中，AB=2,AO=4,点E在线段AO上且AE=3,现分别沿BE,CE将△ABE,

4DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D-EC・B的余弦值为（）

【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角.

【专题】综合法；定义法；空间角.

【答案】。

【分析】在折叠前的矩形中连接8。交EC于O,得到3Q_LC£从而得到折起后，・・・/8。。是二面角

D-EC-li的平面角，利用余弦定理进行求解即可.

【解答】解：在折叠前的矩形中连接8。交EC于O,

VBC=4,C7）=2,CD=2,DE=\,

BCCD

—=—,HPABCD0°ACDE»

CDDE

：.NDBC=/ECD,

:"DBC=4ECD,

・・・NECD+NOQC=90°,UPBDLCE,

折起后，

*：BOYCE,DOLCE,

AABOD是二面角O-EC-。的平面角，

在△80。中，OD=率,O8=BO-00=2近一坐=华,

13D-\/AB2+AD2-2V2,

由余弦定理得cosZBOD==Z,

故选：D.

【点评】本题主要考查二面角的求解，根据折叠前后直线的位置关系以及二面角的平面角的定义作出二

面角的平面角是解决本题的关键.综合性较强，难度较大.

8.阅读材料：空间直角坐标系。-町Z中，过点尸(冲，)心，20〕且一个法向量为〃=(a,b,C)的平面4

的方程为a(x-xo)+b(y->o)+c(z-zo)=0；过点尸(:co»yo,zo)且一个方向向量为d=(w»v,

w)QnwWO)的直线/的方程为三出=匕也=—.利用上面的材料，解决下面的问题：己知平面

UVW

a的方程为3x-5y+z-7=0,直线/是平面3产7=0与4y+2z+l=0的交线，则直线/与平面a所成

角的正弦值为()

Vio夕夕旧

A.---B.—C.—D.---

3551555

【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角.

【专题】方程思想：分析法：空间向量及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据材料先求出三个平面的法向量，再根据交线的方向向量与平面厂3)升7=0和4.y+2z+l=0

的法向量垂直求出直线的方向向量，在带图直线与平面夹角的正弦公式求值即可.

【解答】解：因为平面〃的方程为3x-5y+z-7=0,所以平面。的法向量可取£=(3,-5,1).

同理平面x-3y+7=0的法向量可取2=(1,-3,0),

4)，+2z+l=0的法向量可取］=(0,4,2),

设平面x-3y+7=0与4y+2z+l=0的交线的方向向量为m={x,y,z),

ma=x—3y=0Ai

-_,令y=l,则x=3,z=-2,所以m=(3,1,-2).

{mb=4y+2z=0

Tio

则直线/与平面a所成角的正弦值为sin6=|cos<m/n>|=|T

|m||n|

故选:A.

【点评】本题主要考查利用新定义解决线面夹角的正弦值问题，属于难题.

二,多选题（共4小题）

（多选）9.如图，在正方体A8CQ-48ICIQI中，点七，尸分别是棱45上的动点.给出下面四

个命题，其中正确的是（）

B.直线4/与直线CE所成角的最大值是g

C.若直线A尸与直线CF相交，则交点在直线。。I上

D.若直线A/与直线CE相交，则二面角E-AC-。的平面角的最小正切值为企

【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角.

【专题】转化思想：分析法；空间角：运算求解.

【答案】BCD

【分析】根据已知条件，结合空间直线和直线的位置关系，以及二面角的公式，即可求解.

【解答】解：对于A选项，当石在C1,尸在4时，EF//AC,但点E,尸是动点，故4选项错误，

对于B选项，直线A尸与直线CE所成角的最大值就是E,尸与重合时取得，夹角是争故8选项正

确，

对于C选项，•・•空间3个平面两两相交有3条交线，要么互相平行，要么相交于一点，

••・直线4尸与直线CE相交，则交点在直线上，故C选项正确，

对于。选项，当E，尸与重合时，二面角E-AC-D的平面角最小，连接8。交AC于O,连接AD\,

CD\tOD\,

\*ADi=CD\,。为4c的中点,

：.D\OLAC,

又・・・OO_LAC,

：,ZD\OD为二面角E-AC-。的平面角，

设正方体的棱长为小则0。二孝a,

・=遮,故。选项正确.

:tan/DiOxD=UU\»2a

r

【点评】本题主要考查异面直线及其所的角，以及一面角的求解，需要学生有较强的数形结合能力，属

于难题.

（多选）10.已知图I中，A,B,C,。是正方形石FG，各边的中点，分别沿着AB,BC,CD,7）4把4

ABF,ABCG,△C。”，△ZME向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面A8C。垂直，再顺次

连接EFGH,得到一个如图2所示的多面体，则（）

B.平面AE凡L平面CGH

C.直线CG与平面AE尸所成角的正切值为企

8

D.当AB=2时，多面体A8CD-EFG”的体积为一

3

【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维：运算求解.

【答案】AC

【分析】利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，确定出了三条两两垂直的直线，再结合平面

几何知识确定线段的尺度，从而建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面

的法向量，将A,B,。中的立体几何问题转化为空间向量之间的关系进行求解，即可判断选项A,B,

C,对于选项。，将多面体补成一个长方体，利用多面体和长方体体积之间的关系进行求解，即可判断

选项。.

【解答】解：取CD,AB的中点O,M,连结0斤,0M,

在图1中，因为A，B，C,D是正方形EFG”各边的中点，

则CW=^GH=^EH=DH,

因为。为C。的中点，

所以0”_LCD,因为平面CD”JL平面48CD,平面CZ)”n立面A8CD=CZ),

所以0"u平面CDH,

所以平面A8CQ,

在图I中，设止方形EFG”的边长为2声Q(Q>0),可得四边形ABC。的边长为加，

在图I中，ZUOE和户均为等腰直角三角形，可得/用I尸=NZME=45°,

所以/84。=90°,故四边形ABC。是边长为2a的正方形，

因为O,M分别为CD,4B的中点，

则0CV/8M且OC=BM,ZOCB=90°,

所以四边形为矩形，所以。M_LCQ,

以。为坐标原点，OM,0C,。〃所在直线分别为x轴，)，粕，z轴建立空间直角坐标系，

则A(2m-a,0),B(2“，a,0),C(0,a,0),D(0,-a,0),

E(a,-a,a),F(2a,0,a),G(a,a,a),H(0,0,a),

对于选项A，由空间中两点间的距离公式可得V2a,

所以△AE/是正三角形，

故选项A正确；

对于选项8,AE=(-a,0,a),AF=(0.a,a),

设平面的法向量为TH=(x,y,z),

则由E*=-g+az=。，

,m-AF=ay+az=0

取z=l,则m=(L-1,1),

CG=(a,0,Q),CH=(0,-a,a),

设平面CGH的法向量为［=(/,力，与),

n-CG=ax+az=0

则有rx

TT

n・CH=-ay1+azr=0

取Z|=-1,则]=(1,-1,-1),

所以蓝-n=l2+(-1)2—尸=1Ho,

所以平面AEF与平面CGH不垂直，

故选项B错误；

TCG•拓2a>[6

对于选项C，cos<CG，m>==

|南前衣衣75—丁

设直线CG与平面4所所成的角为。，则sin。=孚

所以cos。=V1—sin26=警，

故的”嗯=历

故选项C正确；

对于选项Q，以48C。为底面，以OH为高将几何体ABCO-EFG”补成长方体/WCO-AiBiCiOi,

则E,F,G,”分别为AiOi,A\Bi,BiCi,。历的中点,

因为A8=2,即a=l,则。〃=1,

长方体ABCD-A\B\C\D\的体积为V=22X1=4,

^A-AiEF=/S-iEF,力力1=qX；X12xl=W'

因此多面体ABCD-EFGH的沐积为匕BCD-EFGH=展4kAEF=4-4X1=^,

故选项。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的运用，涉及r面面垂直的判定、线面角的求解、多面体体

积的求解•，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题来研究，在

求解多面体体积的时候经常使用“割补法”，属于难题.

（多选）11.如图，在正方体A8CQ-A向。Di中，M,N,P,。分别是所在棱的中点，则下列结论正确

的是（）

A.点。，D1到平面PMN的距离相等

B.产/V与。例为异面直线

C.NPNM=94°

D.平面PMN截该正方体的截面为正六边形

【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线的判定.

【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；直观想象.

【答案】ACD

【分析】取8C中点E,CCi口点F,则有六边形MQNPE/为正六边形，再逐一判定即可.

【解答】解：如图，取8c中点E,C。中点F,则有六边形MQVPE/为正六边形，

对于A,根据正方体的对称性，可得点。，Di到平面MQNPEr的距离相等，.・.A正确；

对于B,PN与QM为共面直线，故B错；

222

对于C,在正六边形MQNPE/中，设PN=1,则PM=2,MV=V3,：,MN+PN=PMf则MALLPM

故C正确；

对于D,平面PMN截该正方体的截面为正六边形，故Q正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查空间两直线位置关系、异面直线所成角，考杳推理论证、逻辑推理、直观想象核心索

养，属于中档题.

（多选）12.在直三棱柱A4C-*41。中，N8AC=900,AB=AC=AA\=2,E,尸分别是BC,Ai。的

中点，。在线段BiG上，则下面说法中正确的有（）

A.石厂〃平面

B.若。是81cl上的中点，则BDJLE/

2\/5

C.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为

D.直线8。与直线石产所成角最小时，线段8。长为季

【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面平行.

【专题】转化思想；向量法；立体几何；逻辑思维；运算求解.

【答案】ACD

【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量，将问题转化为空间向量的关系进行研

究，依次判断四个选项即可.

【解答】解：以4为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

由题意可得,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),B\(2,0,2),Ci(0,2,2),E(LI,0),

F(0,1,2),

设。口,2-A,2),故EF-(-1,0,2),BD-(x-2,2-x,2),

直三棱柱ABC-AIBICI中，/8AC=90°,

所以疝:为平面/L4i8i8的一个法向量，力"是平面48c的一个法向量，对于A,AC=(O,2,0),所以

EF-AC=0,HPEF1AC,

又七平面A41B4,所以故选项A正确；

对于B,若。是BICI上的中点，则访=(一1,1,2),

所以前=1+4=5,

所以EF与不垂直，故选项B错误；

对于C,因为4%是平面ABC的一个法向量，力1=(0,0,2),

设直线EF与平面ABC所成的角为a,

则sina=|cos<EF，AAA>|=埋”"11=屋=故选项C正确；

\EF\\AAX\‘5X2'

对于。，设B：D==(一2九2A,0),(0<A<1),

故丽=+B)=(-2九U,2),

所以访•前=2/1+4,

m「一二二、，\BDEF\2+41

所以|cos、BD，EF>\=-zA=----J=------1====^=»

|8。||闭国2居1底J(磊-/+孑

34,1TT

故当日=9即入=/时，\cos<BD,E">|取得最大值，

即直线8。与直•线方所成的角最小，此时8。=(一］，2),

所以|品|=竽，故选项。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线线、线面关系的判断，空间线段长度的求解以及线

面角的求解，对于立体几何问题，建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行

研究是常用的方法，属于中档题.

三,填空题(共4小题)

13.设平面a与向量Q=(-I»2,-4)垂直，平面p与向量b=(2,3,I)垂直，则平面a与0位置

关系是垂直.

【考点】空间向量语言表述面面的垂直、平行关系.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】先判断3b，再根据平面a与向量Q={-1，2,-4}垂直，平面0与向量力={2,3,

1}垂直，即可得结论.

【解答】解：由题意，ah=-2+6-4=0

TT

/.alb

.•,平面a与向量a={-1，2,—4}垂直，平面（3与向量b={2,3,1}垂直，

Aa±P

故答案为垂直

【点评】本题的考点是向量语言表述面面的垂直、平行关系，主要考查向量的数量枳，关键是利用数量

积等于0,判断向量垂直.

14.如图，平面A4CQJ_平面46£八四边形ABCO是正方形，四边形48石户是矩形，且A尸=*40=〃，

G是E尸的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为乎.

3

【考点】直线与平面所成的角.

【专题】空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】由面面垂直的性质证明C4_LAG,用勾股定理证明AGYBG,得到AG_L平面CBG,从而面AGC

1■面/3GG在平面BGC内作8〃_LGC,垂足为H,则平面AGC,故N8G”是GB与平面AGC

所成的角，解RlZXCBG,可得GB与平面AGC所成角的正弦值.

【解答】解：・・・ABC。是正方形，・・・CB_UB,

面A8CO_L面48环且交于AB,：,C8_1_面ABEF.

VAG,G8u面ABER：,CB1AG,CBLBG,

又AO=2a,AF=a,ABE/是矩形，G是E尸的中点，

：.AG=BG=y[2a,AB=2a,：,AB2=AG2+BG2,，AG_L8G,

•：BGRBC=B,・"G_L平面C4G,而4Gu面AGC,故平面AGCJ■平面8GC.

在平面AGC内作B"_LGC,垂足为，，则BH_L平面AGC,・・・NBG，是GB与平面4GC所成的角.

在RtACfiG中，BH==等访BG=42a,，sinN8G〃=疆=半

V6

故答案为：y

【点评】本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，考查学生的计算能力，属于中档题.

15.如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面a上，三条棱A&AC.A。都在平面a的同侧.若顶点&

C到平面a的距离分别为1,<2.建立如图所示的空间直角坐标系，设平面a的一个法向量为（刈，和,

Z0）,若3=1,则和=_&_,zo=_V6_,且顶点。到平面a的距离是_遍_.

【考点】点、线、面间的距离计算.

【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】在正方体的8个顶点中，有关系的只有4个（其他顶点可不予理会），这4点组成直角四面体，

这是解题的关键，

所以最终归结为：已知直角四面体的3个顶点A,B,C到平面a的距离依次为0,1,V2,由此求出顶

点D到平面a的距离和平面a的法向量.

【解答】解：如图所示,

连结8C、CD、BD,则四面体A-BCD为直角四面体;

作平面a的法线4凡作BBiJ_平面a于小，CC1JL平面a于。，。。」平面a于Qi；

连结A8i,ACi,AD],令AH=h,DA=cbDB=b,DC=c,

由V三梭惟A-5CO的体积相等,

111

XS^BCD*h=oXKClbc,

332

/.y/a2+b2•yJb2+c2•1----------%-------T-,h=abc,

Jd+b)(庐+J)

一,„iiii

可得=F++

h2a2bzc2

h2h2h2

,群+京+5=L

令N8A8i=a,ZCACi=y,NQAOI=0,

可得sin2a+sin2p+sin2Y—1，

设。。1=，〃，CC1=V2,

•••(如+(乎/+(3)2=],

解得〃?=V6：即所求点D到平面a的距离为旗.

又a的法向量为九=(刈，)x),zo)

nTCn

=(/zcos(——a),/zcos(--y).Acos(—―0))

乙乙乙

=(Asina,/?siny>Asinp),

由Asina=I,得/zsiny=V2,/-sinp=5/6：

n=(1>>J2,V6).

故答案为：V2,V6,V6.

【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，是

难题.

16.如图，在四边形A8CD中，AD//BC,AD=AB,ZBCD=45a,ZBAD=90a,将△AB。沿B。折起，

使平面相。_1_平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中，下列判断正确的是@®

④.（写出所有正确的序号）

①平面ABO_L平面八BC

②直线BC与平面ABD所成隹是45°

③平面AC。J_平面ABC

【考点】二面角的平面角及求法：平面与平面垂直；直线与平面所成的角.

【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角；直观想象.

【答案】见试题解答内容

【分析】①反证法，假设平面人8。_1_平面A8C,容易推出8。垂直于平面/WD,从而NDBC=90°,

出矛盾；

②利用几何法找到其平面角为NC8D,求解即可判断；

③证明A8_L平面ADC,从而得到平面ACO_L平面ABC；

④证明ZDAC为二面角C-AB-D的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判断.

【解答】解：在四边形ABCO中，由己知可得N。3c=45°,假设平面平面A3C,

又平面平面BCO,且平面ABOri平面8。。=8。，可得8c_L平面ABQ,

有NOBC=90°,与/。8。=45°矛盾，则假设错误，故①错误；

在四边形ABC。中，由已知可得BOJ_OC,

又平面48。_1_平面BCD,且平面A8DA平面BCD=BD,则OC_L平面ABD,

/。8c为直线8c与平面A3。所成角是45°,故②正确；

由判断②时可知，OC_L平面A8。，则。C_LA8,又84_LAQ,ADC\DC=D,则A8_L平面A。。，

而ABu平面A3C,则平面ACD_L平面ABC,故③正确：

由判断③时可知，平面/1OC,则NDAC为二面角C-H8-。的平面角，

设AO=A3=1,贝ji3O=Z>C=四，由。。_LAO,得AC=①，得cosNDAC=部=写，故④正确.

・•・判断正确的是②③④.

故答案为：②③④.

【点评】本题考查空间中平面与平面垂直、线面角与二面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考

查计算能力，是中档题.

四.解答题（共4小题）

17.如图，四边形A8CQ是平行四边形，平面AEO_L平面A8CZ）,EF//AB,A8=2,DE=3,BC=EF=\,

AE=V6,NBAO=60°,G为8c的中点.

（1）求证：FG〃平面8EO：

（2）求证：平面/让。_L平面AHJ：

（3）求直线E尸与平面BE。所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行；平面与平面垂直.

【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分折】（I）利用中位线定理，和平行公理得到四边形厂是平行四边形，再根据线面平行的判定

定理即可证明；

（2）根据余弦定理求出8。=百，继而得到B/）_LA。，再根据面面垂直的判定定理即可证明；

（3）先判断出直线月户与平面BEQ所成的角即为直线A8与平面8EQ所形成的角，再根据余弦定理和

解直角三角形即可求出答案.

【解答】证明：（1）6。的中点为O,连接0£,0G,在△5CO中，

是3c的中点，

1

：,OG〃DC,且。G=初C=l,

文•：EFHAB,AB//DC,

••・£：/〃06,且E尸=0G,

即四边形OGEF是平行四边形，

:.FG//OE,

*：FGUT面BED,OEu平面BED,

〃平面BED；

(2)证明：在△ABZ)中，AO=1,AB=2,/朋力=60°,

由余弦定理可得8。=百，仅而NAOB=90°,

即BDLAD,

又,/平面A£Q_L平面ABCD,

4OU平面A4C。，平面A上。门平面A4C〃=A〃，

.••鸟熊工平面人上。，

YBOu平面BED,

，平面BEDJL平面AED.

(Ill)-：EF//AB,

・•・直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角,

过点A作AHLDE于点H,连接BH,

又平面4£。0平面AEO=E。，

由(2)知A，_L平面BED,

J直线AB与平面BED所成的角为/4B”，

在AQ=1,DE=3,AE=瓜,由余弦定理得cosN4)E=£

.,.sinN4QE=卓

V5

：,AH=AD-

3f

在RtZ\A”B中，sin/484=^=恪，

・•・直线石/与平面AEQ所成角的正弦值四

6

【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间

想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题.

18.如题图，三棱锥P-A8C中，PCL平面ABC,PC=3,ZACB=E分别为线段八氏BC上的点，

旦CD=DE=&,CE=2EB=2.

（I）证明：DE_L平面PCD；

（II）求二面角A-P。-C的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直.

【专题】空间角.

【答案】见试题解答内容

【分析】（I）由已知条件易得夕CJ_QE,CD±DE,由线面垂直的判定定理可得；

（II）以。为原点，分别以后,CB,H的方向为孙z轴的正方向建立空间直角坐标系，易得晶，DP,

后的坐标，可求平面以。的法向量小,平面PC。的法向量I