安徽省某中学2025-2026学年高一年级上册第一次段考数学试卷

安徽省无为第一中学2025-2026学年高一上学期第一次段考数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.命题1一3.1+3<0”的否定是（）

A.VxeR,x2-3x+3>0B.VxeR,x2-3x+3>0

C.VjreR,X2-3X+3>0D.3xeR,x2-3x+3>0

2.给出下列关系：①Ow0：②&wZ：©|eQ；④0qN*：⑤{1,2}={（1,2）}其中正确

的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知。，6为非零实数，且。>力，则下列结论正确的是（）

b2a2

A.ac2>be2B.a2>b2c-L>J-nD.一<一

ab2a2bab

4.已知一元二次方程/+（°2+1卜+。-2=0的一根比1大，另一根比1小，则实数。的取

值范围是（）

A.{«|-3<«<1}B.卜“-2<”<0}C.{a|-l<a<。}D.{a[0<a<2}

5.如图所示的Venn图中，A,B是非空集合，定义集合**8为阴影部分表示的集合若

J={x€Z|-r+3x+4>0）,B={XGZ\\X\<2},力的子集个数为（）

A.7B.8C.15D.16

6.设则下列说法正确的是（）

A.〃力的最小值为1B./+〃的最小值为4

C.±+?的最小值为9D.G+2新的最大值为

ab

7.设a,bsR,则“帅+1=〃+/?”的充要条件是（）

A.a,b不都为1B.t/»h都不为（）

试卷第1页，共4页

C.a,〃中至多有一个是1D.°,人都不为1

8.设Ovx<（,若关于x的不等式2履2-（%+3）x+2N0恒成立，则实数A的最大值为（）

A.8B.9C.10D.11

二、多选题

9.下列说法错误的是（〉

4

A.y=x+—；的最小值为5

x-1

B.若a>b>0,m<0,则"">—

a+ma

C,若2<a<3,\<b<2,贝lj5<3a-8<7

D.若。、为实数，则“/>1”是“力〉L，的既不充分也不必要条件

10.已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则（）

A.I<.xy<9B.2<x+y<3

12

C.三|十1■的最小值为QD.x+2y的最小值是4五-3

II.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问

题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无

字证明”.如图所示，力8是半圆。的直径，点。是48上一点（不同于4,B,O）,点。在

半圆。上，且。_L48,于点E.设|力。|=*BC=〃，则该图形可以完成的“无字

A22+…友呼C.篙而O,月心等

三、填空题

12.已知〃若集合孙={m2"+〃,。},贝+的值为

13.2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级

试卷第2页，共4页

共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，

30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，

18人既去过米公祠也去过黄金塔，1()人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有_

人.

14.关于x的不等式(ax-l)2恰有2个整数解，则实数Q的取值范围是.

四、解答题

15.已知命题“玉eR,方程/+2犬-〃?+6=0有实根”是真命题.

(1)求实数机的取值集合4

(2)已知集合8={x|〃-lWxW3a_l},若“xeZT是“xe/T的充分不必要条件，求。的取值范

围.

16.(I)已知xeR,xw2,试比较一之一与x+2的大小.

2-x

(2)已知a,力，"7,〃均为正实数，求证：^(6?+/?)(w+n)>yfam+\[hii.

17.某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经

测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万

元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2,预计安装后该企业每

70

年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的困数关系为将

该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元).

(I)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；

(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值.

18.(1)已知关于x的不等式加+bx+c>0的解集为卜卜3c<2},求关于x的不等式

之二生+40的解集：

x-\

(2)已知函数7=。/一(2。+11丫+2・

(i)若不等式对网wR恒成立，求实数。的取值范围；

4

(ii)解关于x的不等式：y>o.

19.设/是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素X、V、ZC力，使得

x-y=y-N,则称力为“等差集”.

试卷第3页，共4页

(1)若集合力={3,4,5,7},B^A,且3是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的8；

⑵若集合力={5-/,1+6,2〃/-3}是“等差集”，求〃?的值：

(3)已知正整数〃之3,证明：卜,./,9,…,X"}不是，，等差集，，.

试卷第4页，共4页

《安徽省无为第一中学2025-2026学年高一上学期第一次段考数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ABCCBDDBABCBCD

题号11

答案BC

1.A

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断.

【详解】命题“小wR,丁_3工+3<0”的否定是"DxeR,x2-3x+3>0,J.

故选：A.

2.B

【分析】利用元素与集合的关系一一判定即可.

【详解】易知空集是没有元素的集合，即0任0,①错误；

空集是任何集合的子集，即0=④正确；

无理数不是整数，即正cZ，②错误；

最简分数是有理数，即:wQ，③正确.

故选：B

3.C

【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断.

【详解】对A,当c=0时，不等式不成立，所以A不正确；

对B,当"11=-2时，满足a>b,但a2<〃，所以B不正确：

对C,因为--=一?>因为a>6,且。〃±0,可得-77T>0，所以—TT>—7T，所以

ab'a'ba'b'a~b~ab~a-b

C正确：

对D,举例”=2/=-1,则2=±±=_4,则生〉上，所以D不正确.

a2hab

故选：C.

4.C

【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解.

【详解】记y=x2+(〃2+],+。一2,则函数为开口向上的二次函数，

要使方程的根一个大于1一个小于1,则只需要x=l时，”0即可，

即l+(/+l)+a-2<0,解得所以实数a的取值范围是{4-1<。<0}.

答案第1页，共11页

故选：c.

5.B

【分析】解不等式求集合44,根据Venn图求4*8,进而求其子集个数.

【详解】因为集合/={xwZ卜x?+次+4>0}=kwZ|-kxv4)=@1,2,3},

集合B=keZ|k|42}={xwZ|-2Wx42}={-2,-l,0J2},

可得4U4={-2,—1,0,1,2,3},40夕={0,1,2},

由Venn图可知力*4即在4U3中去掉Xc4的元素，

可得4*8={-2,7,3},所以4*8的子集个数为23=8.

故选：B.

6.D

【分析】对十AB,利用基本不等式判断即口J；对于C,利用基本不等式力”的妙基判断即明

对于D：先证(妨+町，)%(/+叫(/+/),结合题意分析求解即可.

【详解】因为"02>0,。+/>=2,

对于选项A：因为早)=1,当且仅当。=匕=1时，等号成立，

所以时的最大值为1，故A错误；

对于选项B：因为/+/>包包=2,当且仅当。=8=1时，等号成立，

2

所以“2+/的最小值2,故B错误；

对于选项c：因为竺5+2J竺•(=2，

ab2\ab)2\ab)2^\ab)2

当且仅当4空Z)二ci£且〃+力=2,即〃=三4力二2：时,等号成立，

ab33

所以4；1的最小值为9《，故C错误；

ab2

2222

对于选项D：9〃2+/J)(丁+y2)_(九1+nyy-nx+my-2mnxy=(nx-my\>0,

可得(mx+〃y丫<(〃/+〃2)(/+/),当且仅当“x-〃少=o,即心="y时，等号成立,

则(6+2码2牛八丫+(〃)2](『+邛=5(4+9=1(,即〃+2〃V而，

答案第2页，共11页

Q

当且仅当2〃=〃，即b=4a=1时，等号成立,

所以Ja+2/Z的最大值为,故D正确：

故选：D.

7.D

【分析】由ab+l—(a+b)=(a—1)3一1)工0,求得。工1且bwl,即可求解.

【详解】由++可得H+1—5+与=5—1)S—1)H0,所以。Hl旦6工1,

所以“ab+lHo+b”的充要条件是都不为1”.

故选：D.

8.B

【分析】根据题意整理可得ZW；"，换元令，=2-3-结合基本不等式运算求解即可.

2x-x

【详解】因为2A/(―3)xI230,可得左(2/x)>3x2,

K0<x<-,M2x2-x=x(2x-I)<0,可得£4斗Z

22x~-x

(1A2-r

^/=2-3xel-,2I,则/=于

k一<______T_______=—9f—____9_____

可得~2f2-rY2-t~2J-5/+2-5_2卜+口，

[~T)一亍(〃

当且仅当f=；,即f=l,x时，等号成立,

可得％K9,所以实数人的最大值为9.

故选：B.

9.ABC

【分析】取x<l，结合基本不等式可判断A选项；取〃?或机>-力，结合作差法可判断

B选项：利用不等式的基本性质可判断C选项：利用不等式的性质结合充分条件、必要条

件的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，当工<1时，则l-x>0,

4,、4

=X-\+---+1=1-(1-A)H----<1

X-1')\-x

答案第3页，共11页

4

当且仅当1一%="；(x<l)时，即当x=-l时，等号成立，A错;

1-x

对于B选项，因为〃>/)>(),m<0,

b+mb。(8+〃?)一匕(〃+"1)m(a-b)

所以------=----------------

a+maa(4+〃?)a(a+m)，

因为"力〉0,则〃?(。一“1<0,

当一a<〃?<0时，贝lj〃?+。>0,

„.b+nibm(a-b)h+mh...

此时--------=-7----；<0,即----<-,B错；

a+maa(a+m)a+ma

对于C选项，因为2<a<3,1<Z><2,则6<3a<9,-2<-/)<-!,

由不等式的性质可得4<3a-b<8,C错；

对于D选项，若a、力为实数，如取。=-1,b=-2,则必>1,但

a

所以“帅>1”推不出“力〉L，；

a

若人>,且。<0时，则。6<1,所以推不出

aa

因此，是“力>!”的既不充分也不必要条件，D对.

a

故选：ABC.

10.BCD

【分析】对于AB：利用基本不等式可得0<孙小，进而可得x+y=3-中42,3),即可判

断AB；对于CD：整理可得(x+l)(y+l)=4,结合基本不等式运算求解.

【详解】因为x>0,y>。，且x+y+xy-3=0,

对于选项A：^^x+y=3-xy>2y/xy,解得一

当且仅当x-y-l时，等弓成立，

且历>0,则0<历<1,可得0<盯W1,故A错误；

对于选项B：因为。<可"1，所以x+y=3-中w[2,3),故B正确；

对于选项C：因为x+y+.p_3=0,可得(x+l)(y+l)=4,

可得士2

+----

“1

答案第4页，共11页

2

当且仅当一7=-即x=6-1，y=2后-1时，等号成立,

x+1y+\

I?

所以万？+衣的最小值为及，故c正确；

对于选项D：因为(x+l)(y+l)=4,

则x+2y=(x+l)+2(y+l)-322j2(x+l)(y+l)-3=4&-3,

当且仅当x+l=2(y+l),即》=2j2—1，k&-1时，等号成立,

所以x+2y的最小值是4。5-3，故D正确;

故选：BCD.

11.BC

【分析】根据圆中弦长关系0。＞。。＞。£,可得不等式石，丝＜而成立..

2a+b

【详解】,AC±CB-a+b,可得半径字

2

・•・在中，由射影定理可知：CD2=ACCB,

：.^^->4ah(a>(),h>O.a^b),故B正确，

2

同理，在RtZk。。。中，由射影定理可知：CD2=DEOD,

“CD2ab2

即OD~~^b~T~\,

--------1—

2ab

•/CD>DE,即窥>1~~r,

一+—

ab

2abf-r「十心

----<1ab,C正确，

a+b

对于A、D选项，图中的线段无法判断.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：利用几何关系得出不等式需有一定的识图能力与分析

能力.

答案第5页，共11页

12.-1

【分析】利用集合的互异性、无序性，集合相等的含义解决即可.

【详解】v,-,H=+〃,0},

Wm

/.0G{nt,—},

m

易知〃?40,因此〃=0.

因此有{w,o,l}={m2mo}

由集合的互异性可知，〃-I,故=1,

得〃7=-1.

因此，nr+//3=—1.

故答案为：-1.

13.4

【分析】根据题意结合韦恩图求各类情况的人数，进而可得三个地方都没去过的同学的人数.

【详解】如图所示：

因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过，

则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有15-10=5人：

同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人；

同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人：

则只去过米公祠有25-5-10-8=2人，只去过植物园有30-5-10-6=9人，只去过黄金塔

有30—8-10-6=6人，

可得至少去过一个地方的有2+5+10+8+6+9+6=46人，

所以三个地方都没去过的同学有50-46=4人.

故答案为：4.

答案第6页，共11页

3,4.43

14.a—<a<—或一4av一

2332

【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有

两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数。的取值范围.

【详解】由(QX-恰有两个整数解，即[(4+1)》-1][(4-1)》-1]<0恰有两个整数解，

所以解得0>1或〃<一1,

①当。>1时，不等式的解集为

(Q+1a-\)

因为二所以两个整数解为1,2,则2<-^43,

4+1\2)a-\

43

BP2a-2<1<3a-3,解得一<。<二；

32

②当。<7时，不等式的解集为[々，工],

\a+[a-\)

\C\\1

因为--e--,0,所以两个整数解为-1,-2,则-3W--<-2,

a-\\2)4+1

34

即-2。-2<IK-3a-3,解得-

34431

综上所述，实数。的取值范围为或

(JJx»

3443

故答案为：>.

•乙J，4

15.(I)v4={m|m>5}

⑵(-8,0)U[3,+8)

【分析】(1)由题意可得A20,运算求解即可；

(2)由题意可知：集合3是集合力的真子集，分8=0和8H。两种情况，结合包含关系

列式求解.

【详解】(1)由题可知:A=/?2-4ac=4-4(6-w)>0,解得〃?之5,

所以4={m|m>5}.

(2)若“xe8”是“xe/T的充分不必要条件，则集合8是集合力的真子集，

①当8=0时，2〃一1>3°-1,即。<0,满足题意；

②当8工0时，',即“23,满足题意；

26f-1>5

答案第7页，共11页

综上所述：。的取值范围为(f,0)U[3,+8).

16.(1)答案见详解；(2)证明见详解

【分析】(1)根据题意利用作差法比较大小，注意分工>2和x<2两种情况讨论:

(2)根据题意利用作差法先证伍+力)(〃?+〃以而+疝)2,即可得结果.

【详解】(1)因为——鼠+2)=5(4厂),

2-xI)2-x2-x

且xwR,工工2,则产+|>0，

若x>2,贝ij2-x<0,可得--(x+2)<0,所以3<1+2;

若x<2,则2—x>0,可得--(x+2)>0,所以3>X+2;

2-x'/2-x

因此可得x>2时，5<羊+2；x<2时，—^―>x+2.

2-x2-x

(2)因为a,b,m,〃均为止实数，贝Ij0〃，bn,a+b,机+〃均为止数,

乂因为(。+6)(〃?+〃)一(/薪+J加)=an+bni-2\labmn4\]~an-y/~bffl>0，

当且仅当=时,等号成立，

可得(a+b)(rn+〃)2(,所以J(a+6)(〃?+〃)>4am+4bii.

17.(i)ll<x<20

(2)设备占地面积为15m2时，歹的值最小，最小值为7万元

QA

【分析】(1)表达出y=0.2x+丹(x>0),从而得到不等式，求出11WX420,得到答案;

x+5

(2)利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即x的值.

QA

【详解】(1)由题意得)，=0.2'+多。>0),

x+5

QA

令yW7.2即0.2x+—W7.2,

x+5

整理得：/―3*十220$0，

gp(x-H)(x-20)<0,

解得114x420,

所以设备占地面积A-的取道范围为U<x<20；

(2)X>0,由基本不等式得

八..80x+5,80…卜+580」成「

y=0.2x+---=----+-----1>2.----------1=2vlo-1=7,

x+55x+5V5x+5

答案第8页，共11页

当且仅当丁二不‘即—时等号成立,

所以设备占地面积为15m2时，y的值最小，最小值为7万元.

18.(1)一5或!Wxvl，；(2)(i)(ii)答案见解析.

23J4

【分析】(1)分析可知。<0,且-3、2是关于x的方程口/+&+。=0的两根，利用韦达定

b=a

理可得出/,然后利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集：

(2)(i)由题意可知，对任意的xeR,即ad_(2〃+l)x+；>0恒成立，分。=0、。丰0两

种情况讨论，在。=0时，直接验证即可；在"0时，根据二次不等式恒成立可得出关于。的

不等式组，由此可求得实数〃的取值范围；

(ii)将所求不等式变形为("-l)(x-2)>0,对实数。的取值进行分类讨论，利用一次不等

式、二次不等式的解法可得出所求不等式的解集.

【详解】(1)因为关于x的不等式/+以+°>0的解集为卜卜3cx<2},

则4<0,且-3、2是关于%的方程加+6+小。的两根，

(-3)+2=--

',a[b=a

所以，可得<,

(-3)X2=£1°=一6〃

所以不等式“一""十"W0即为一6‘"一""十"&0,即为二十工一工0,

x-1x-lX-1

等价于[(2：乎W。,解得金；或*<],

[x-lwO23

故原不等式的解集为，xx4-g或;WxvJ;

1o

(2)(i)对任意的xeR,4/-(24+])》+2>一彳恒成立，即af—Qa+Dx+w)。恒成立,

99

当。=0时，则有一x+二>0,解得X<二，不符合题意；

44

答案第9页，共11页

a>()

当"