2026年高考数学复习热搜题之两个基本计数原理

2026年高考数学复习热搜题速递之两个基本计数原理

一,选择题（共8小题）

1.若将6本不同书放到5个不同盒子里，有多少种不同放法（）

A.鹿B.以C.56D.65

2.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不

能是同种颜色，且蓝色卡片至多1张.则不同的取法的共有（）

A.135B.172C.189D.216

3.从A地到8地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到8地有四条路，则从4地到8地

不同的走法种数是（）

A.7B.9C.12D.16

4.某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序4和。在实施时必须

相邻，问实验顺序的编排方法共有（）

A.34种B.48种C.96种D.144和1

5.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，

其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）

A.120B.240C.360D.480

6.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯闪亮只能是红、

橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一

个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要

实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）

A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒

7.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100

米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有〃种，则（〃，b）为（）

A.（34,34）B.（43,34）C.（3，43）D.（A?,

8.如图所示的几何体是由一个三棱锥与三棱柱A8C-4由。组合而成，现用3种不同颜色对这

个几何体的表面涂色（底面ABiG不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（）

A.6种B.9种C.12种D.36种

二.多选题（共4小题）

（多选）9.一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡.甲

使用的是移动定制手机（仅使用〜张移动卡的手机），乙使用的是联通定制手机（仅使用一张联通卡的

手机），丙使用的是双网双待机（可以使用一张移动卡和一张联通卡的手机），则下列叙述正确的是（）

A.甲从装移动手机卡的袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有10种不同的取法

B.乙从装联通手机k的袋子中任取一张自己使用的手机k，共有12种不同的取法

C.丙从两个袋子得到一张移动和一张联通卡供自己使用，共有22种不同的取法

D.丙从两个袋子得到一张移动和一张联通卡供自己使用，共有120种不同的取法

（多选）10.下列结论正确的是（）

A.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事

B.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同

C.在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每

个步骤都完成后，这件事情才算完成

D.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的

（多选）11.下列结论正确的是（）

A.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同

B.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事

C.在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每

个步骤都完成后，这件事情才算完成

D.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同

（多选）12.由0,1,2,3,5,组成的无重复数字的五位数的四数，则（）

A.若五位数的个位数是0,则可组成24个无重复数字的五位数的偶数

B.若五位数的个位数是2,则可组成18个无重复数字的五况数的偶数

C.若五位数的个位数是2,则可组成24个无重更数字的五位数的偶数

D.总共可组成48个无重亚数字的五位数的偶数

三.填空题（共4小题）

13.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙

只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种.

14.学校食堂在某天中午备有5种素菜，3种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制

出不同的套餐种.

15.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外

商不同的投资方案有种.

16.从集合｛P,Q,R,S｝与｛0,1,2,3,4,5,6,7,8.9｝中各任取2个元素排成一排（字母和数字均

不能重复）、每排中字母。和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是.（用数字作答）、

四,解答题（共4小题）

17.用0,I,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的正整数.

（I）共有多少个四位数？

（2）其中四位偶数有多少个？

（3）比4301大的四位数有多少个？

（4）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分.）

18.现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到吴忠.

（1）如果派3名男司机、2名女司机，共多少种不同的选派方法？

（2）至少有两名男司机，共多少种不同的选派方法？

19.用0、1、2、3、4这五个数字组数.

（1）可以组成多少个允许数字重复的三位数？

（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？

（3）可以组成多少个无重复数字的三位偶数？

20.某校从6名教师中，选派4名同时到3个边远地区支教，每个地区至少选派1名.

（1）共有多少种不同的选派方法？

（2）若6名教师中的甲、乙二位教师不能同时支教，共有多少种不同的选派方法？

2026年高考数学复习热搜题速递之两个基本计数原理（2025年12月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号1235678

答案CCccCCCC

二,多选题（共4小题）

题号9101112

答案ABDACDBCAB

一,选择题（共8小题）

1.若将6本不同书放到5个不同盒子里，有多少种不同放法（）

A.鹿B.尊C.56D.65

【考点】分步乘法计数原理.

【专题】计算题；排列组合.

【答案】C

【分析】将6本不同书放到5个不同盒子里，每本书都有5种放法，根据乘法原理可得结论.

【解答】解：将6本不同书放到5个不同盒子里，每本书都有5种放法，

根据乘法原理可得不同放法为56种.

故选：C.

【点评】本题考查分步乘法计数原理，考查学生的计算能力，比较基础.

2.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不

能是同一种颜色，旦蓝色卡片至多1张.则不同的取法的共有（）

A.135B.172C.189D.216

【考点】计数原理的应用.

【专题】应用题；排列组合.

【答案】C

【分析】不考虑特殊情况，共有C；2种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，

共有废谶种取法，

由此可得结论.

【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有底2种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两

种蓝色卡片，共有或盘种取法，

故所求的取法共有C；2-4-或痣=189种.

故选：C.

【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题.

3.从A地到8地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到8地有四条路，则从A地到8地

不同的走法种数是（）

A.7B.9C.12D.16

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】C

【分析】根据题意，依次分析从4到。和从C到8的走法数目，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，从A地到8地要经过C地，已知从A地到。地有三条路，则从A到C有3种

不同的走法，

从C地至IB地有四条路，则从C到B有4种不同的走法，

则从A地到B地不同的走法种数有3X4=12种；

故选：C.

【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步计数原理与分类计数原理的不同，属于基础题.

4.某项实验，要先后实施6个程序，其中程序4只能出现在第一或最后一步，程序8和C在实施时必须

相邻，问实验顺序的编排方法共有（）

A.34种B.48种C.96种D.144种

【考点】计数原理的应用.

【专题】排列组合.

【答案】C

【分析】本题是一个分步计数问题，4只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选

一个位置把A排列，程序B和。实施时必须相邻，把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，

注意3和。之间还有一个排列.

【解答】解：本题是一个分步计数问题，

;由题意知程序人只能出现在第一步或最后一步，

・•・从第一个位置和最后一个位置选一个位置把4排列，有A?i=2种结果，

•・•程序B和C实施时必须相邻，

•••把8和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意8和C之间还有一个排列，共有41422=

48种结果，

根据分步计数原理知共有2X48=96种结果，

故选：C.

【点评】本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问

题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列.

5.7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人,

其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）

A.120B.240C.360D.480

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合.

【答案】C

【分析】分三步，第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，第二步，前排3人形成了4个空，任选

一个空加一人，有4种，第三步，后排4分人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成

了6个空，任选一个空加一人，根据分步计数原理可得.

【解答】解：第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，

第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，

第三步，后排（4分）人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成了6个空，任选一个

空加一人,有6种,

根据分步计数原理可得3X4X5X6=360,

故选：C.

【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题.

6.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯闪亮只能是红、

橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪痉的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一

个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要

实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）

A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒

【考点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式.

【专题】排列组合.

【答案】C

【分析】彩灯闪烁实际上有5个元素的一个全排列，每个闪烁时间为5秒共5义120秒，每两个闪烁之

间的间隔为5秒，共5X(120-1),解出共用的时间.

【解答】解：由题意知共有5!=120个不同的闪烁，

每个闪烁时间为5秒，共5X120=600秒；

每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5X(120-1)=595秒.

那么需要的时间至少是600+595=1195秒.

故选：C.

【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实

际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题.

7.设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100

米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有〃种，则(a,〃)为()

443443

A.(3,3)B.(4,3)C.(3,4)D.(44\A?)

【考点】分步乘法计数原理；计数原理的应用.

【专题】计算题.

【答案】C

【分析】本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有

34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法.

【解答】解：由题意知本题是一个分步乘法问题，

首先每名学生报名有3种选择，

有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，

每项冠军有4种可能结果，

3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.

故选：C.

【点评】本题考查分步乘法原理，考查计数原理的应用，是一个简单的应用分步计数原理的题目，没有

同分类原理结合，也没有排列组合问题的应用，是一个基础题.

8.如图所示的几何体是由一个三棱锥尸-ABC与三棱柱ABC-481G组合而成，现用3种不同颜色对这

个几何体的表面涂色(底面ABiG不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有()

A.6种B.9种C.12种D.36种

【考点】计数原理的应用.

【专题】综合题.

【答案】C

【分析】根据题意，分两步进行；先涂三棱锥P-A3C的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步

计数原理，计算可得答案.

【解答】解：先涂三棱锥的三个侧面，有ChXC"种情况；

然后涂三棱柱的三个侧面，有diXCl种情况：

共有d3Xd2><dlXd2=3X2XlX2=12种不同的涂法.

故选：C.

【点评】本题考查分步计数的原理的运用，注意分析题意，认清是分类问题还是分步问题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡.甲

使用的是移动定制手机（仅使用一张移动卡的手机），乙使用的是联通定制手机（仅使用一张联通Q的

手机），丙使用的是双网双待机（可以使用一张移动卡和一张联通卡的手机），则下列叙述正确的是（）

A.甲从装移动手机卡的袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有10种不同的取法

B.乙从装联通手机卡的袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有12种不同的取法

C.丙从两个袋子得到一张移动和一张联通卡供自己使用，共有22种不同的取法

D,丙从两个袋子得到一张移动和一张联通卡供自己使用，共有120种不同的取法

【考■点】分步乘法计数原理.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据题意，分析甲、乙、丙的选法数目，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，

装移动手机卡的袋子中有1（）张不同的中国移动手机卡，甲从装移动手机卡的袋子中任取一张自己使用

的手机卡，有10种选法，A正确；

装联通手机卡的袋子中有12张不同的中国联通手机卡.乙从装联通手机卡的袋子中任取一张自己使用

的手机卡，有12种选法，3正确;

丙从两个袋子得到一张移动和一张联通卡供自己使用，移动卡的选法有10种，联通卡的选法有12种,

有10X12=120利】，C错误，D正确；

故选:ABD.

【点评】本题考查分步、分类计数原理的计算，涉及分步、分类计数原理的区别，属于基础题.

（多选）10.下列结论正确的是（）

A.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事

B.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同

C.在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每

个步骤都完成后，这件事情才算完成

D.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的

【考点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；进行简单的合情推理.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学抽象.

【答案】ACD

【分析】利用分类加法计数原理判断Aa利用分步乘法计数原理判断CO.

【解答】对于由分类加法计数原理得：

在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事，故4正确：

对于B,在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，故B错误；

对于C,在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，

只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成，故C正确；

对于。，在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理等基础知识，是基础题.

（多选）11.下列结论正确的是（）

A.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同

B.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事

C.在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每

个步骤都完成后，这件事情才算完成

D.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同

【考点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理.

【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解.

【答案】BC

【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理的性质即可结合选项逐一求解.

【解答】解：对于4在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，故A错误；

对于8,在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事，故B正确；

对于C,在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只

有每个步骤都完成后，这件事情才算完成，故C正确；

对于。，在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理等基础知识，是基础题.

（多选）12.由0,1,2,3,5,组成的无重复数字的五位数的四数，则（）

A.若五位数的个位数是0,则可组成24个无重复数字的五位数的偶数

B.若五位数的个位数是2,则可组成18个无重复数字的五位数的偶数

C.若五位数的个位数是2,则可组成24个无重复数字的五位数的偶数

D.总共可组成48个无重复数字的五位数的偶数

【考点】数字问题.

【专题】计算题：方程思想：转化思想：综合法：排列组合；运算求解.

【答案】AB

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,若五位数的个位数是0,将1、2、3、5全排列，安排在前4个数位，有A£=24个无重复数

字的五位数的偶数，A正确；

对于。若五位数的个位数是2,0不能在万位，Ai-Aj=246=18个个无重复数字的五位数的

偶数，B正确；

对于C,由8的结论，C错误；

对于。，若五位数的个位数是0,可以有24个无重复数字的五位数的偶数，若五位数的个位数是2,可

以有18个无重复数字的五位数的偶数，

则一共有24+18=42个无重复数字的五位数的偶数，D错误；

败选：AB.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

三.填空题（共4小题）

13.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙

只能同去或同不去，则不同的选派方案共有种.

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析］题目对于元素有限制，注意先安排有限制条件的元素，甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不

去，可以分情况讨论，甲、丙同去，则乙不去；甲、丙同不去，乙去；甲、乙、丙都不去，根据分类计

数原理得到结果.

【解答】解：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），

其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，

①甲、丙同去，则乙不去，有。52»44=240种选法；

②甲、丙同不去，乙去，有C53\A44=240种选法；

③甲、乙、丙都不去，有454=120种选法，

共有240+240+120=600种不同的选派方案.

故答案为：600.

【点评】应用分类加法计数原理，苜先确定分类标准，其次满足完成这件事的任何一种方法必属某一类，

并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即做到不重不漏.

14.学校食堂在某天中午备有5种素菜，3种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制

出不同的套餐30种.

【考点】计数原理的应用.

【专题】计算题；排列组合.

【答案】见试题解答内容

【分析】用分步计数原理，分3步即可求出.

【解答】解：要配成一种套餐，需要分三个步骤完成：

第一步：从5种素菜中任选一种有5种选法；

第二步：从3种荤菜中任选一种有3种选法；

第三步：从2种汤中任选一种有2种选法.

根据分步计数原理，共可以配制出5X3X2=30种不同的套餐.

故答案为：30

【点评】本题考查了分步计数原理.属基础题.

15.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外

商不同的投资方案有种.

【考点】计数原理的应用.

【专题】排列组合.

【答案】见试题解答内容

【分析】分两种情况：在一个城市投资两个项目，在另一城市投资1个项目；有三个城市各获得一个投

资的项目，从而可得结论.

【解答】解：分两种情况

①在一个城市投资两个项目，在另一城市投资I个项目，将项目分成2个与I个，有3种；在4个城市

当中，选择两个城市作为投资对象，有4X3=12种，

这种情况有：3X12=36种

②有三个城市各获得一个投资的项目，选择没有获得投资项目的城市，4种；安排项目与城市对应，有

3X2X1=6种这种情况有,4X6=24种

综合两种情况，有36+24=60种方案设置投资项目

故答案为：60

【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

16.从集合｛尸，Q,R,5｝与｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2个元素排成一排（字母和数字均

不能重复）、每排中字母Q和数字。至多只能出现一个的不同排法种数是.（用数字作答）、

【考点】分步乘法计数原理；排列组合的综合应用.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】应用排列组合分步乘法计数原理，注意条件可以解答.

【解答】解：各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），共有C42ao244：每排中字母。和

数字。都出现有C31c『人？

符合题意不同排法种数是C42C102A44-C3（9944=5832.

故答案为：5832

【点评】总数剔除不合乎要求的方法在排列组合中常用.

四.解答题（共4小题）

17.JIJO,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的正整数.

（1）共有多少个四位数？

（2）其中四位偶数有多少个？

（3）比4301大的四位数有多少个?

（4）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分.）

【考点】数字问题.

【专题】计算题；转化思想；排列组合.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）先安排首位的数字，从五个非。数字中选一个，共有程种结果，余下的五个数字在三个位

置进行全排列，共有眼种结果，根据乘法原理得到结果.

（2）要组成无重复数字的四位偶数，则末位为0,2,4中一个，且首位不能为0,所以可用分类计数，

分成三类，。在个位，2在个位，4在个位，把每类的方法数计算出来，再相加即可.

（3）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位是5.后两位没有限制，

当前两位是43时，分别写出结果数（注意减去4301）,相加得到结果.

（4）要组成无重复数字的5的倍数的五位数，则末位为0,5中一个，且首位不能为0,所以可用分类

计数，分成两类，0在个位，5在个位，把每类的方法数计算出来，再相加即可

【解答】解：（1）由题意知，因为数字中有0,0不能放在首位，

，先安排首位的数字，从五个非。数字中选一个，共有废种结果，

余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有展种结果，

根据分步计数原理知共有A，5M35=300；

（2）第一类：0在个位时有用个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个（有用种），

十位和百位从余下的数字中选（有&种），于是有AlA?个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有

A\AA2个.

共有四位偶数：温+力/2+碍442=156个.

（3）当首位是5时，其他几人数字在三个位置上排列，共有胆=60,

当前两位是45时，共有用=4X3=12个，

当前两位是43时，共有用=4X3=12个，去掉4301即可，即有127=11个.

根据分类加法原理得到共有：60+12+12-1=83个.

（4）个位数上的数字是。的五位数有段个；个位数上的数字是5的五位数有用人？个.

故满足条件的五位数的个数共有川+川A?=2I6个.

【点评】本题是考查排列组合问题，是一个综合题，包括数字问题中可能遇到的所有情况，同学们注意

分析问题，加以比较，争取做到举一反三.

18.现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到吴忠.

（I）如果派3名男司机、2名女司机，共多少种不同的选派方法？

（2）至少有两名男司机，共多少种不同的选派方法？

【考点】计数原理的应用.

【专题】应用题；排列组合.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）利用分步乘法原理，可得结论；

（2）利用分类加法与分步乘法原理，可得结论.

【解答】解：（1）利用分步乘法原理：Cid=60

（2）利用分类加法与分步乘法原理：ClCl+CfCl+C^Ci+=121.

【点评】本题考查分步计数原理的应用，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方

法，看清思路，把几个步骤中数字相乘得到结果.

19.用0、1、2、3、4这五个数字组数.

（1）可以组成多少个允许数字重复的三位数？

（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？

（3）可以组成多少个无重复数字的三位偶数？

【考点】数字问题.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法：排列组合；运算求解.

【答案】（1）100,

（2）48,

（3）30.

【分析】（1）根据题意，依次分析三位数的百位、十位、个位的情况数目，由分步计数原理计算可得答

案，

（2）根据题意，0不能在百位，由此分析三位数的百位、十位、个位的情况数目，由分步计数原理计

算可得答案，

（3）根据题意，分。在个位和0不在个位两种情况讨论，求出每种情况下的偶数的数目，由加法原理

计算可得答案.

【解答】解：（1）根据题意，百位数字不能为0,则百位数字有4种情况，

十位、个数数字可以为五个数字中任意一个，有5种情况，

则有4X5X5=100个允许数字重兔的三位数，

（2）根据题意，百位数字不能为0,则百位数字有4种情况，

在剩下的4个数字中任选2个，安排在十位和个位，有442=12种情况，

则有4X12=48个无重复数字的三位数，

（3）根据题意，分2种情况讨论：

若。在个位，有&=12个偶数，

若0不在个位，则数字2,4作个位，有G©废=18个偶数，

所以共有12+18=30个偶数.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

20.某校从6名教师中，选派4名同时到3个边远地区支教，每个地区至少选派I名.

（1）共有多少种不同的选派方法？

（2）若6名教师中的甲、乙二位教师不能同时支教，共有多少种不同的选派方法？

【考点】计数原理的应用.

【专题】排列组合.

【答案】见试题解答内容

【分析】从选派4名同时到3个边远地区支教，每个地区至少选派I名.有或•属二36种，

（1）从6名教师中，选派4名的种数有叱，再根据分步计数原理可得，

（2）分两类，不选甲乙，选日乙中的一人，根据分类计数原理可得.

【解答】解：（1）选派4名同时到3个边远地区支教，每个地区至少选派1名，则有一地区有2人，其

余1人，

从6名教师中，选派4名，再从4名中选2人，再分配到三个地区，故有底•废•周=540种，

（2）第一类，不选甲乙，故有废•析=36种，

第二类，选甲乙中的一人，故有©废・朗=288种，

根据分类计数原理得，共有36+288=324种

【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，以及分组分配的问题，属于中档题

考点卡片

1.分类加法计数原理

【知识点的认识】

1.定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有〃?种不同的方法，在第2类办法中有〃种不同

的方法，那么完成这件事共有：N=/〃+〃种不同的方法.

2.推广：完成件事有〃类不同方案：在笫1类办法中有，川种不同的方法，在第2类办法中有，〃2种不

同的方法，…,在第〃类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有:N="“+〃?2+…+机〃种不同的

方法.

3.特点:

（I）完成一件事的〃类方案相互独立;

（2）同一类方案中的各种方法相对独立.

（3）用任何一类方案中的任何一种h法均可独'Z完成这件事;

4.注意：与分步乘法计数原理区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理

相同点计算”完成一件事”的方法种数

不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘

每类方案中的每一种方法都每步依次完成才算完成这件

能独立完成这件事事情（每步中的每一种方法

不能独立完成这件事）

注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整

【解题方法点拨】

如果完成一件事情有〃类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法

计数原理.

实现步骤：

（I）分类；

（2）对每一类方法进行计数：

（3）用分类加法计数原理求和;

【命题方向】

与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生

分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想.

例：某校开设A类选修课3门，8类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一

门，则不同的选法共有（）

A30种A35种G42种D48种

分析：两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，8类选修课选2门；A类选修课选2

门，8类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果.

解答：可分以下2种情况：①4类选修课选1门，8类选修课选2门，有程汗种不同的选法；

②A类选修课选2门，4类选修课选1门，有^^种不同的选法.

・••根据分类计数原理知不同的选法共有盘出+废C?=18+12=30种.

故选A.

点评：本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想.本题也可以从排列的对立面

来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：门一第二30.

2.分步乘法计数原理

【知识点的认识】

1.定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有/〃种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那

么完成这件事共有：N=/〃X〃种不同的方法.

2.推广：完成一件事需要分成〃个步蝌做第1步有〃“种不同的方法，做第2步有“22种不同的方法，…，

做第〃步有〃5种不同的方法，那么完成这件事共有：N=〃“X"?2义…X〃5种不同的方法.

3.特点：完成一件事的〃个步骤相互依存，必须依次完成〃个步骤才能完成这件事；

4.注意：与分类加法计数原理区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理

相同点计算“完成一件事”的方法种数

不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘

每类方案中的每一种方法都每步依次完成才算完成这件

能独立完成这件事事情（每步中的每一种方法

不能独立完成这件事）

注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整

【解题方法点拨】

如果完成一件事情有〃个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则

可使用分步乘法计数原理.

实现步骤：

(I)分步；

(2)对每一步的方法进行计数；

(3)用分步乘法计数原理求积；

【命题方向】

与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生

分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想.

例：从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中

奇数的个数为()

A.432A288C.216D.108

分析：本题是一个分步计数原理，先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共废废，再把4个数排列，

其中是奇数的共胆用种，根据分步计数原理得到结果.

解答：•••由题意知本题是一个分步计数原理，

第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共废第=18种，

第二步再把4个数排列，其中是奇数的共用击=12和L

・•・所求奇数的个数共有18X12=216种.

故选C.

点评：本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数

字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.

3.计数原理的应用

【知识点的认识】

I.两个计数原理

(I)分类加法计数原理：N="“+〃?2+…

(2)分步乘法计数原理：N=mi义nnX.…义m”

2.两个计数原理的比较

分类加法计数原理分步乘法计数原理

共同点都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理.

不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘

〃类方案相互独立，且每类〃个步骤相互依存，每步依次

方案中的每种方法都能独立完成才算完成这件事情（每

完成这件事步中的每一种方法不能独立

完成这件事）

注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整

【辞题方法点拨】

1.计数原理的应用

（I）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原

理；

（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完

成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理.

2.解题步骤

（I）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分〃类”还是“分〃步”；

（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；

（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；

（4）作答.

【命题方向】

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思

想方法.

常见考题类型：

（I）映射问题

（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）

（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）

4.数字问题

【知识点的认识】

-数字问题涉及数字的排列组合、数字的特性以及数位的安排.洌如：求解由数字构成的不同整数的数量、

分析某一数字在特定数位上的可能性、或求解满足特定条件的整数个数.

-数字问题通常涉及到计数原理在数字排列中的应用，以及整数的分配与组合.

【解题方法点拨】

-首先分析题目中的数字特性，如数字的范围、允许的重复次数等.

-使用排列数或组合数来计算数字的不同排列组合方式，必要时采用分类讨论的方式处理特殊情况.

■在涉及限制条件(如某些数位必须满足特定要求)时，先处理限制条件，再进行组合计算.

【命题方向】

-典型的数字问题命题包括：计算由给定数字组成的不同整数的数最，或者确定某一数位上特定数字出现

的频率.

-可能涉及到数字排列的特殊情况，如求解满足某些数位条件的整数个数，或计算某些数字在排列中的特

定组合数量.

-在更复杂的问题中，可能需要结合多种计数方法，如递推公式或生成函数来处理数字的排列组合.

5.排列及排列数公式

【知识点的认识】

1.定义

(I)排列：一般地，从〃个不同的元素中任取小个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从“

个不同元素中取出m个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素)

(2)排列数：从〃个不同的元素中取出〃？个元素的所有排列的个数，叫做从〃个不同元素中取

出〃?个元素的排列数，用符号非表示.

2.相关定义：

(I)