2026年高考数学复习热搜题之平面向量及其应用

2026年高考数学复习热搜题速递之平面向量及其应

一,选择题（共8小题）

1.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（l+2cosC）=

2siii4cosC+cosAsinC,则下列等式成立的是（）

A.a=21)B.h=2aC.A=2BD.B=2A

2.已知向量£=（I,1）,b=（1,-1）.若（£+高）_L（2+病），则（）

A.入+u=lB.入+|i=-1C.Xp=1D.人|i=-1

3.在△ABC中，己知3=120°,AC=V19,AB=2,则4C=()

A.1B.V2C.V5D.3

4.已知向量工b满足而=1,\b\=V3,\a-2b\=3,则=()

A.-2B.-1C.1D.2

B=£BC边上的高等于刎，则sinA=（

5.在△A8C中，)

3710V53710

A.一B.一C.—D.----

1010510

6.已知正三角形ABC的边长为2次，平面/WC内的动点P,M满足|G|=1,PM=MC,则⑻的最大

值是（）

434937+6\/337+2闻

A.—B.—C.------D.--------

4444

7.已知向量2=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<3,">=Vb,贝ij/=()

A.-6B.-5C.5D.6

在锐角中，角所对的边分别为。，若=挈，则力的

8.△ABCA,B,Cb,c,sim4a=2,SAABC=V2,

值为（）

L372

A.V3B.---C.2V2D.2V3

2

二.多选题（共4小题）

（多选）9.如图，在平行四边形A4C。中，下列计算正确的是（）

B

A.AB+AD=ACB.AC+CD+DO=OA

C.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=O

（多选）10.如图所示，在凸四边形ABCZ）中，对边BC,AD的延长线交于点E,对边AB,DC的延长线

交于点F,若鼠=入&,ED=nDA,AB=2>BF（A,|i>0）,则（）

A.ETB=^3ETF+^1ETAB.Ap=1

ECAD4

c.;的最大值为1D.———>

（多选）11.^ABC中，。为AB上一点且满足G=3而，若P为线段CD上一点，且满足第=AAB+^AC

（A,H为正实数），则下列结论正确的是（）

T13T

A.CD=^CA+^CBB.4入+3—2

111

C.X|i的最大值为不D.-+丁的最小值为3

12A3g

（多选）12.对于菱形ABC。，给出下列各式，其中结论正确的为（）

AB=BCB.\AB\=\BC\

C.\AB-CD\=\AD+BC\D.\AD+CD\=\CD-CB\

三.填空题（共4小题）

13.设工b为单位向量，且E+b|=l,则|a-b|=.

AC

14,已知△ABC中，点。在边BC上，NAQB=120°,40=2,CD=2BD.当一取得最小值时，BD

AB

15.在△44C中，8=60",AC=V3,贝UAB+2BC的最大值为.

16,设向量，=（/〃，I）,1=（1,2）,且值+评=向2+同2,则m=.

四.解答题（共4小题）

cosAcosBsinC

17.在△A/6C中，角A,8,。所对的边分别是小b,c,且一+—=—.

abc

(I)证明：siiL4sinB=sinC；

22

(II)若/?+c-(r=^bct求lanB.

18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c.已知asinA=4%sin8,ac=\fS(a2-/?2-?).

(I)求cosA的值；

(II)求sin(28-A)的值.

19.己知在AA3c中，A+8=3C2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)设AB=5,求4A边上的高.

20.在△4BC中，角4,B,C所对的边长为a,b,c,b=a+\,c=a+2.

(1)若2sinC=3siM,求△ABC的面积；

(2)是否存在正整数a,使得△A8C为钝角三角形？若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

2026年高考数学复习热搜题速递之平面向量及其应用（2025年12月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案ADDCDBCA

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ACDABDADBCD

一.选择题（共8小题）

I.在48c中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（l+2cosC）=

2siiL4cosC+cosAsinC,则下列等式成立的是（）

A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A

【考点】正弦定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形.

【答案】A

【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化笥通过正弦定理推出结果即可.

【解答】解:在4BC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,满足sin8（l+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC

=sinAcosC+sin（A+C）=sin4cosc+sinB=sin8（I+2cosC）,

可得：2sinBcosC=siii4cosC,因为8c为锐角三角形，所以2sin8=sinA,

由正弦定理可得：2h=a.

故选：A.

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力.

2.已知向量Q=（1,1）,b=（1,-1）.若（a+Xb）_L（Q+曲），则（）

A.X+n=1B.入+p=-1C.Ap=1D.Ap=-1

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】由已知求得联+需与展+"的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解.

［解答］解：*.*a=(1»1),b=(1,-1),

TT—T

.*.a+入b=(入+1,1-入)，a+此=(n+1,1-p),

由(2+入_L得(A+l)(n+1)+(i-A)(1-n)=0,

整理得：2入p+2=0,即Ap=-1.

故选：D.

【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两句量垂直与数量积的关系，是基础题.

3.在△48C中，已知8=120°,AC=V19,AB=2,则BC=()

A.1B.V2C.V5D.3

【考点】余弦定理.

【专题】计算题；对应思想；定义法；解三角形；运算求解.

【答案】D

【分析】设角4,B,C所对的边分别为a,b,c,利用余弦定理得到关于。的方程，解方程即可求得。

的值，从而得到8c的长度.

【解答】解：设角A,B,。所对的边分别为a,b,c,

结合余弦定理，可得19=a2+4-2X4X2Xcosl20°,

UPa2+2a-15=0,解得4=3Ca=-5舍去)，

所以8c=3.

故选：D.

【点评】本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题.

4.已知向量工%满足向=1,|fc|=V3,|a-2b|=3,则尚=()

A.-2B.-1C.1D.2

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】计算题：方程思想；综合法：平面向量及应用：运算求解.

【答案】C

【分析】利用值一2a=16-2小2,结合数量积的性质计算可得结果.

【解答】解：因为向量Zb满足向=1,\b\=V3.|a-2b\=3,

所以丘-2b\=J(a-2b)2=Ja2-4a•^+4靛=J1^4a1+4x3=3,

两边平方得，

13-4a-b=9,

解得a-b=1,

故选：C.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题.

5.在△48C中，8=今，8c边上的窗等于则siM=()

3V10V53\/10

A.—B.---C.—D.----

1010510

【考点】解三角形；三角形中的几何计算.

【专题】计算题；转化思想；解三角形.

【答案】。

【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出48,AC,再由三角形面积公式，可得sinA.

【解答】解：•・•在△A8C中，8=?8c边上的高等于3C,

：，AB=当CB,

2

-

由余弦定理得：AC=y/AB2+BC2-2-ABBC^cosB=9

^1111\/2V5

CB-BC=^AB*AC*s\nA=寸一BC・—BC*sinA,

故一232233

..4_3710

••SIFLA-]0,

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键.

6.已知正三角形48C的边长为2百，平面ABC内的动点P,M满足|前|=1,PM=MC,则|京F的最大

值是()

434937+6V337+2V33

A.—B.-C.-------D.--------

4444

【考点】平面向量的概念与平面向量的模.

【专题】数形结合：转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用：直线与圆.

【答案】B

【分析】如图所示，建立直角坐标系.4（（）,0）,C（2次，0）.4（6，3）.点P的轨迹方程为：（%-旧产+

31

tta1+

-一

(y-3>=l,令4K4-cosO,y=3+sin0,0日0,2ir).又PM=MC,可得M(^V3+]cos。,22

代入丽|2=¥+3sin(0+9,即可得出.

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.

B(0,0),C(2V3,0).

A(V5,3).

•••加满足|6|=1,

・•・点尸的轨迹方程为：(x-V3)2+(y-3)2=1,

令x=b+cos。，y=3+sin。，06[0,2n).

XPM=MC,则“(怖>/5+.850,\十.sinO),

乙乙乙乙

・,・赢『=(孥+'cose)2+(1+|sin0)2=乎+3sin(6+拆竽.

・・・田)|2的最大值是竺.

4

也可以以点A为坐标原点建立坐标系.

解法二：取AC中点N,MN=1,从而M轨迹为以N为圆心，5为半径的圆，B,N,M三点共线时,

8M为最大值.所以8M最大值为3+±=：.

【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与-算能力，属

于中档题.

7.已知向量。=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若Va,c>=<b,c>,则f=(

A.-6B.-5C.5D.6

【考点】数量积表示两个平面向量的夹角.

【专题】方程思想：定义法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】先利用向量坐标运算法则求出"=(3+/,4),再由4,c>=<b,利用向量夹角余弦

公式列方程，能求出实数/的值.

［解答］解：*.*向量Q=(3>4),b=(1,0),c=a+tb，

c=(3+/»4),

<a,c>=<b,c>,

-T

acbe25+3t_3++

•・TT

5-1

M\c\\b\\c\

解得实数/=3.

故选：C.

【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求

解能力，是基础题.

8.在锐角△48C中，角A,B,C所对的边分别为小b,c,若sim4=孕，〃=2,S*BC=历，则人的

值为()

L3迎LL

A.V3B.—C.2或D.2代

2

【考点】正弦定理.

【专题】计算题；解三角形.

【答案】A

【分析】在锐角△ABC中，利用siiM=SMBC=V2»可求得尻，再利用。=2,由余弦定理可求得

b+c,解方程组可求得〃的值.

【解答】解：:在锐角△A8C中，siM=孥，SMBC=V2,

=V2,

:・bc=3,①

又〃=2,A是锐角，

________]

cosA=y/l—siri^A=弓,

・•・由余弦定理得：a2=b2+c2-2hccosA,

即（8+c）2=a2+2bc（1+coS/A）=4+6（1+1）=12,

,••8+c=2百②

由①@得：/+c=2百，

——khc=3

解得b=c=V3.

故选：A.

【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.如图，在平行四边形A3CO中，下列计算正确的是（）

A.AB+AD=ACB.AC+CD+DO=OA

C.AB+AD+CD=ADD.AC+BA-VDA=0

【考点】平面向量的加减混合运算.

【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】ACD

【分析】根据向量加法的平行四边形法则、向量加法的几何意义以及相反向量的定义即可判断每个选项

的正误.

【解答】解：根据向量加法的平行四边形法则知薪+石=前，・・・A正确：

AC+CD+DO=AO,错误；

AB+AD+CD=AC+CD=AD,正确；

AC+BA+DA=BC+DA=工。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义，相反向量的定义，考查了计算

能力，属于基础题.

（多选）10.如图所示，在凸四边形48co中，对边8C,AD的延长线交于点E,对边A8,。。的延长线

交于点凡若成?=入8，ED=uDA,AB=3BF（入，LI>0）,则（）

E

311

-+-*--

A.44B.4

ECAD4

c.-+一的最大值为ID.———>--

入〃EBEA9

【考点】平面向量的基本定理；平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】探究型；数形结合；转化思想；数形结合法；转化法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】ABD

【分析】由n=3后，利用向量的线性运算可得还-点=3（EF-EB）,从而可判断选项A；过点B

4FADBCDG一—/尸8C

作8G〃b。，交AE于点G,由平行关系可得由向量关系可知，——»—=，从而可得—•—

BFDGCEDEBFCE

照二］,由向审美系可知4人以=1,从而可判断选项H；由加二1及基本不等式即可判断选项C;利用

L）v

向量的数量积及基本不等式即可判断选项D.

【解答】解：对于A,因为6=3前，所以届一百1=3（品一尾）,

整理得E8=彳七尸+彳区4,故A正确;

对于从过点、B作BG〃尸D,交AE于点、G,

则费=ADRCDG

DG'CE~DE'

一,AFBCEDADDGED

所以一,一•—=—,—,一=1,

BFCEDADGDEDA

因为8。=入。£,ED=[iDA,AB=3BF,

^,,AFBCED

所以—=4,—=入，一=[1

BFCEDA

1

所以4"=1,所以入产:本故B正确;

对于C,由8知，-7+—=4（入+Q=4,当且仅当人=产;时等号成立,

11

所以；+一的最小值为4,故C错误；

对于。，因为命=入&，ED=nDA,

所以E%=（A+l）EC,EA=（n+1）DA=-（|i+l）AD,

,ECADECAD1-114i

所KA-♦~~=52—I~~5一g,当且仅当人=R=W

EBEA-(A+l)(g+l)EC71D-(A+l)(^+l)2"4工

时取等号，故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查转化思想与数形结合思想的应用，

属于中档题.

（多选）11.△A3C中,D为AB上一点且满足五）=3而，若尸为线段CD上一点，且满足”=AAB+^AC

（入，口为正实数），则下列结论正确的是（）

A.CD=^CA+^CBB.4入+3尸2

C.入p的最大值为二；D.；十=-的最小值为3

12A3n

【考点】平面向量的基本定理.

【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】AD

【分析】由题设六=竽而+赢结合三点共线可得4人+3产3,再应用基本不等式求刖，上薪的

最值，利用向量加减、数乘的几何意义求益，CA,CB的线性关系.

T42TT

【解答】解：由题设，可得40=竽又D,P,C三点共线，

4A

+/z=1,即4入+3p=3,故B错误；

由入，口为正实数，42+3〃=3工4/3川,则入〃工春当且仅当入=一号，〃=*时等号成立，故C

错误；

1111113u4A1l3u4A,„,,、…

■^+二=’(^+二)(4/1+34)=-(5+-+—)>-(54-2—­―)=3,当且仅当3p=2入时等

A3/Z3A3〃3A3〃37人3/z

号成立，故。正确：

己=a+品=&+/后，又扇=盛+&,

:.CD=CB+^BC+CA)=^CB+^CAf故A正确.

故选：AD.

【点评】本题考查平面向量的基本定理，考杳学生的运算能力，属于中档题.

(多选)12.对于菱形人BCD,给出下列各式，其中结论正确的为()

A.AB=BCB.\AB\=\BC\

C.\AB-CD\=\AD+BC\D.\AD+CD\=\CD-CB\

【考点】平面向量的概念与平面向量的模.

【专题】数形结合；转化法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】BCD

【分析】由菱形图象可知这两个向量不相等，判断4错误；但是由菱形的定义可知它们的模长相等，

得到B正确；

把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，判断C正确，根据菱形的定义判

断。错误即可.

由菱形图象可知4错误；

这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知它们的模长相等，得到8正确；

把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，得到C正确:

由菱形的定义知：4。+CD=BC+CD=CD-CB,故。正确，

故选：BCD.

【点评】大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某此

代数问题与几何问题的相互转化，本题考查向量的概念和模的性质，以及向量的加法和减法，属于基础

题.

三.填空题（共4小题）

13.设；，b为单位向量，且向+6|=1,则向一引=_>/3_.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】计算题；转化思想；分析法；平面向量及应用；运算求解.

【答案】V3.

【分析】直接利用向量的模的平方，结合已知条件转化求解即可.

【解答】解：a,寸为单位向量，且丘+》=1,

\a+b\2=\,

可得+2ab+b2=1,

l+2a•b+1=1,

所以221二-1,

则向—b\=Ja2—2a-b+b2=V3.

故答案为：V3.

【点评】本题考查向最的模的求法，数最积的应用，考查计算能力.

AC

14,已知△ABC中，点。在边8c上，N4OB=120°,AD=2,CD=2BD.当一取得最小值时，BD=

AB

后一1_.

【考点】正弦定理；三角形中的几何计算.

【专题】函数思想；转化法；解三角形.

【答案】见试题解答内容

24c2匕24<%2—4%+4

【分析】首先设出BD,CD,在两个三角形中分别表示AC,BC,继而==F=F■:—7=4-

AB2c2X2+2X+4

12

3>从而利用均值不等式取等号的条件即可.

【解答】解：设CD=2x,

在三角形ACD中，，/=47+4-2・2x・2・cos60°,可得：b2=4x2-4.v+4,

在三角形4BD中,c2=『+4-2・x・2・cosl20°,可得：c2=?+2x+4,

ACh2

要使得而最小，即了最小,

b24X2-4X+44(X2+2X-4)-12X-12X+lX+1

葭二=4-12•----------=4-12--——--=4-

Xz+2x+4X2+2X+4X2+2X+4(X+1)2+3

12

3，

X+1+X-+1-

o匕2「

其中X+1+-^->2痘,此时丁>4-2V3，

当且仅当（x+l）2=3时，即K=6一1或％二一百一1（舍去），即％=6一1时取等号,

故答案为：V3-1.

【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题.

15.在/XABC中，8=60°,AC=V3,则A8+28C的最大值为2小.

【考点】正弦定理；余弦定理.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】设AB=cAC=〃BC=a利用余弦定理和已知条件求得。和。的关系，设c+2a=〃?代入，利用判

别大于等于。求得，〃的范围，则〃?的最大值可得.

【解答】解：设8c=〃

由余弦定理

a2+c2-b2

cosfi=——2=-a-c-----

所以a2+c2-ac=lr=3

设c+2a=m

代入上式得

la2--3=（）

A=84-3"，》0故〃忘277

当〃?=2，7时，此时a=c=符合题意

因此最大值为2V7

另解：因为8=60°,A+8+C=180°,所以A+C=120°,

由正弦定理，有

ABBCACV3

______________=2,

sinC__sinA___sinB___sin600___'

所以AB=2sinC,BC=2s\nA.

所以A8+2BC=2sinC+4sinA=2sin(120°-A)+4sin4

=2(sin1200cosA-cos1200sinA)+4sinA

=V3cos4+5sin/l

5

=2/7sin(A+(p),(其中sin(p=，cos(p=)

277

所以AB+2BC的最大值为2夕.

故答案为：2V7

【点评】本题主要考查了余弦定理的应用.涉及了解三角形和函数思想的运用.

16.设向量，=(m,I),b=(1,2),且以+匕|2=而+1|2,则加=-2.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专•题】计算题；规律型；转化思想；平面向量及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可.

【解答】解：而+讦=|苏+区2,

可得=0.

向量a=(〃】，1),b=(1»2),

可得〃?+2=0,解得m=-2.

故答案为：・2.

【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力.

四.解答题(共4小题)

ccwR

17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且----+一;—=-----.

abc

(I)证明:sinAsinB=sinC；

求tanB.

【考点】余弦定理；正弦定理.

【专题】计算题；规律型；转化思想；解三角形.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明.

(II)由余弦定理求出A的余弦函数值，利用(I)的条件，求解8的正切函数值即可.

—5、一rq.cosAcosBsinC

【解答】(I)证明：在中，・・,——+--=——

abc

一_rcosAcosBsinC

，由正弦定理得：

sinAsinBsinC

cosAsinB+cosBsinAsin(A+B)

=1,

sinAsinBsinAsinB

Vsin(A+B)=sinC.

，整理可得：sinXsinB=sinC,

(H)解：Ir+e--(r=凯由余弦定理可得cosA=

4COSA3

sinA=——=-

5sinA4

cosAcosBsinCcosB1

sinAsinDsinCsinD4

tanfi=4.

【点评】本题主要考查了正弦定理.，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面

枳公式的应用，考查了转化思想，属于中档题.

18.在△48C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin4=4Z?sin&ac=>J5(d*2-*45Z?2-c2).

(I)求cosA的值；

(II)求5皿(2B-4)的值.

【考点】解三角形.

【专题】综合题；函数思想；数学模型法；解三角形.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)由正弦定理得asinB=bsirt4,结合asin4=4Z?sinB,得。=2〃.再由ac=遥3-产一。2),

得〃+c?-a?=-I^QC,代入余弦定理的推论可求cosA的值；

o/c

(U)由(I)可得=—p-»代入asinA=4加inB,得sinB,进一步求得cosB.利用倍角公式求sin2B,

cos2B,展开两角差的正弦可得sin(2B-A)的值.

ab

【解答】(I)解：由一；二-7^；，得“sin〃=力sinA,

sinAsinB

又asiii4=4Z?sin8,得4加in8=asiii4,

两式作比得：—=—,*.a=2h.

4ba

由ac=V5(a2-b2-c2),得M+c2-a2=-gac

J

ac

由余弦定理，得cos4=b端;。2=V=一，：

(II)解：由(I),可得sia4=71-cos2A=苧,

代入asinA=4hsinB,得sinB=粤学=冶.

4o5

由(I)知，八为钝角，则6为锐角，

cosB=V1—sin2B=

于是sM2B=2sinBcosB=F，COS2B=1-2sin2B=中

Jo

3

4-X

故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos28sinA=sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=5x[—5

2店2店

55•

【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题.

19.已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)设4B=5,求AB边上的高.

【考点】正弦定理.

【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解.

【答案】(1)sinA=铸：

(2)6.

【分析】(1)由三角形内角和可得C=不由2sin(A-C)=sinB,可得2sin(4-C)=sin(4+C),

再利用两角和与差的三角函数公式化简可得siM=3cosA,再结合平方关系即可求出siiL4；

(2)由sinB=sin(A+C)求出sinB,再利用正弦定理求出AC,BC,由等面积法即可求出A3边上的高.

【解答】解：⑴・・・4+B=3C,A+B+C=u,

・・.4C=n,

•「冗

•・C=甲

V2sin(A-C)=sinB,

A2sin(A-C)=sin[ir-(/t+C)]=sin(A+C),

.,.2sinAcosC-2cosAsinC=sin/lcosC+cosAsinC,

sirb4cosC=3cosAsinC,

V2V2

/.—sinA=3x—cosA,

22

sirtA=3cos4,即cosA=:siM,

又Vsin2A+cos2A=1,:.sin2A+gsin2A=1,

解得sin2A=

又二水(0,it),AsinA>0,

,•A3同

..siiv\=]0；

(2)由(1)可知sinA=¥^,cosA=^sinA=

.*.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x孝+x孝=

ARACRC5

**sinCsinBsinAsin?'?’

4

・・・AC=5让sinB=5&x缚=2<10,BC=542xsinA=5A/2X=3瓜

KJX

设AB边上的高为h,

1

则一43'h=-xACxBCxsinC,

22

h=-x2y]~\Xix3Vsx——,

222

解得h=6,

即A8边上的高为6.

【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

20.在△ABC中，角A,B,C所对的边长为小b,c,b=a+\,c=a+2.

（I）若2sinC=3sin/b求AABC的面积；

（2）是否存在正整数m使得AABC为钝角三角形？若存在，求出〃的值；若不存在，说明理由.

【考点】正弦定理：余弦定理.

【专题】方程思想；分析法；解三角形；运算求解.

【答案】（I）竺"

4

（2）a=2.

【分析】（1）根据己知条件，以及正弦定理，可得〃=4,b=5,c=6,再结合余弦定理、三角形面积

公式，即可求解，（2）由cAOAm可推得4A4c为钝角三角形时，角C必为饨角，运用余弦定理可推

得J-2a-3<0,再结合。>0,三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解.

【解答】解：(1)V2sinC=3sinA,

・•・根据正弦定理可得2c=3”，

b=a+\,c=〃+2,

，〃=4,b=5,c=6,

在△人BC中，运用余弦定理可得cos。=崔埸心42+52-62_1

414U2x4x5=8'

*/sin2C+cos2C=1,

/.sinC=V1-cos2C=_J1—(g)2=

.c1,.r3次15"

•・S^ABC=2a^sin^=2x4x5x-g-=4.

9

(2)：c>b>at

•••△ABC为钝角三角形时，角。必为钝角,

苏+庐一(2_a2+(a+l/一(什2)2

cosC=2ab-2a(a+1)<0,

cr-2a-3<0»

Va>0,

AO<67<3,

•••三角形的任意两边之和大于第三边,

：・a+b>c,即。+。+1>。+2,即〃>1,

•.Z为正整数，

/•w=2.

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.

考点卡片

1.平面向量的概念与平面向量的模

【知识点的认识】

向量概念

既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数

星（物理中的标量：身高、体重、年龄）.在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是•个标量.

向量的几何表示

用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.即用表

示有向线段的起点、终点的字母表示，例如48、8C,…字母表示，用小写字母2、b,…表示.有向向量

的长度为模，表示为|命|、曲|,单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量.

向量的模

北的大小，也就是余的长度（或称模），记作|京|.

零向量

长度为零的向量叫做零向量，记作G，零向量的长度为0，方向不确定.

单位向量

T

TT4B

长度为一个单位长度的向量叫做单位向量A8（与共线的单位向星是一）.

\AB\

相等向量

长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.

2.平面向量的加减混合运算

【知识点的认识】

I、向量的加法运算

求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：

（1）三角形法则：设;与片不共线，在平面上任取一点A（如图1）,依次作n=a,成?=〃，则向量叫做

a与b的和，记作a+b,即a+b=48+8C=4C

EI

特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.

(2)平行四边形法则：如图2所示，"C力为平行四边形，由于6=品，根据三角形法则得我+6=

AB+BC=AC,这说明，在平行四边形ABCO中，所表示的向量就是6与G的和.

特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线.(首尾相

接，结果为首尾)

图2

(3)向量的加法性质

@a+O=O+a=a；a+(—a)=0；

②a+b=b+a；

®(a+b)+c=a+(6+2).

2、向量的减法运算.

求两个向量差的运算叫向量的减法运算.

法则：以将向量。与向量〃的负向量的和定义为：与，的差，即：-1=3+(-3).

设：=&,b=OBf则.即=&-(^=&+(-0^)=&+访=而+/=赢.即&-&=0

图3

特征；有共同起点的两个向量2、其差仍然是•个向量，叫做之与。的差向量，其起点是减向量了的

终点，终点是被减向量输的终点.(减终指向被减终)

3.平面向量数量积的性质及其运算

【知识点的认识】

1、平面向量数量枳的重要性质：

设Z,Z都是非零向量，"是与6方向相同的单位向量，［与］和夹角为仇则：

TTTT—>

(I)a-e=e-a=|a|cos8；

(2)a1boa-b=0：(判定两向量垂直的充要条件)

(3)当Q,b方向相同时，a­b=|a||b|：当a,b方向相反时，a-b=-\a\\b\；

特别地:a-a=|不或扇=Va-a(用于计算向量的模)

(4)cose=flr(用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状)

同网

(5)日1|W面山

2、平面向量数量积的运第律

(I)交换律：a-b=ba；

(2)数乘向量的结合律：(启)工=人(a-b)=”(应);

(3)分配律：(a•b)・c丰a・(b•c)

平面向量数量积的运算

平面向量数量积运算的一般定理为①(；±b)2=a2±2a*b+b2.@(a-b)(a+b)=a2-b2.③；

?)WCa-b)-c,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样.

【辞题方法点拨】

例：