2026年中考数学压轴题几何模型：《平行四边形的存在性》

专题23《平行四边形的存在性》

破解策略

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知

识莅盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，

这类题，一般有两个类型：

（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：

以4B,。三点为顶点的平行四边形构造方法有：

①_x0001_作平行线：如图，连结力8BC,AC,分别过点儿B,C作其对边的平行线,

三条宜线的交点为〃，E,F,则四边形力凿7,ACBE,力郎。均为平行四边形.

②倍长中线：如图，延长边力G月5,上的中线，使延长部分与中线相等，得点〃,

E,凡连结应'，EF,则四边形力应〃ACBE,月历工'均为平行四边形.

（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：

先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问

题，再构造平行四边形.

解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需

要分类讨论.

通常这类问题的解题策略有：

（1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答.

如图，若AB〃CD且AB=CD,分别过点8,。作一组平行线应；CF,分别过点力，〃作一组平

行线力反）;，则△力/部且△）匕从而得到线段间的关系式解决问题.

（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验.

如图.已知平行四边形力应D.连结4。，“〃交于点，设顶点坐标为K）.B（xs,%）,

CCxc,yc),〃(9.

①_x0001_用平移的性质求未知点的坐标:

②利用中点坐标公式求未知点的坐标：

J22，

｛）+无_巾+%

t22

有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好.

例题讲解

例1如图，在平面直角坐标系x0中，抛物线尸/+秋+〃经过点力（3,0）,B（0,-

3）,〃是直线/力上的一个动点，过点〃作x轴的垂线交抛物线于点机

（1）分别求出直线仍和这条抛物线的表达式；

（2）是否存在这样的点凡使得以点RMB,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在,

请求出点P的横坐标：若不存在，请说明理由.

解：（1）将点44的坐标代入抛物线的表达式，得y=V—2x+3.设直线/0的表达式

为y=kx+b,将点力，8的坐标代入，得y=x-3.

（2）存在.

因为掰〃如所以当月仁加时，四边形即为平行四边形.

根据题意设点夕的坐标为（仍夕—3）,则点〃的坐标为（p,/一20一3）.

所以|（p-3）・（p2・2p-3）|=3.

解得〃=土产，故满足条件的点尸的横坐标为〃二驾史.

例2边长为2的正方形如阳在平面直角坐标系中的位置如图所示，〃是处边的中点，

连结切，点片在第一象限，目DELDC,DE=DC,以直线力9为对称轴的抛物线过C,6两点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）M为直线上一动点，川为抛物线上一动点，问：是否存在点MM使得以点M凡〃,

E为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明

理由.

解（1）如图1,过点/作必Lx轴于点G.

易证△。比丝ZXGM（AAS）,所以GE=OD=-OA=1.

2

所以点E的坐标为（3,1）.

而直线月6为抛物线的对称轴，直线月6的表达式为A-2,

所以可设抛物线的表达式为y=a（X-2）2+k,

将。，£两点的坐标代入表达式，得12'解得ff

j,=2

i,214

所以抛物线的表达式为丁二一（工一2）~+£=—/一一x+2

333

（2）存在.

由题意可设点."的坐标为（2,/〃），N的坐标为-3〃+2

以点机A£为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：

图3

图2

①当比'为平行四边形的边时，

（D如图2,若班力,MV,

2—1=??—3

由平移的性质可得J1,4

川一0二一〃~——〃+2—1

33

m=\.

解得

〃=4.

此时点”的坐标为（2,1）的坐标为（4,2）.

（ii）如图3,若DE//.«V；ME//AD.

—1=2-3.

由平移的性质可得〈124

-n"—n+2-0=/n-1.

133

777=3.

解得《

n=0.

此时点”的坐标为（2,3）,『V的坐标为（0,2）.

②当M为平行四边形的对角线时，如图4.

1+3=2+〃.

由平行四边形对角线互相平分性质可得4

()+1=/n+-n2--n+2.

33

1

m=—

解得3

n=2.

[1、

此时点M的坐标为2,—N的坐标为

<3）

例3如图，抛物线、=/+饭+。的顶点为〃（-1,-4）,与y轴交于点。（。，-

3）,与*轴交于力，8两点、（点力在点力的左侧）.

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点£在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点后使以4C,E,/为顶点的四

边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

解（I）将点C,〃的坐标代入抛物线的表达式，得），=炉+2%-3.

（2）存在.

令/+2x-3=0,解得玉=1,々=—3.

所以点力的坐标为（-3,0）,6的坐标为（1,0）.

由点少在抛物线上可设点尸的坐标为（〃7,机2+2m-3）.

方法一：①如图1、图2,当为平行四边形的边是，

过点尸作即垂直于抛物线的对称轴，垂足为2

易证△"//△优二

所以万三力0=3,

从而点〃的坐标为（2,5）或（-4,5）.

②如图3,当/1C为平行四边形的对角线时，

过点少作轴于点P.令抛物线的对称轴交x轴于点0,

易证△尸版.

所以夕q力g2,从而点尸的坐标为（-2,-3）,此时点〃与点。纵坐标相同，所以

点后在A•轴上.

图3

方法二：①如图3,当力。，牙'为平行四边形的对角线时,

xE+m=一3+0,

可得

yE+(〃「+2/n-3)=0+(-3).

又因为点E在抛物线的对称轴I:,

所以///=—2,

则点尸的坐标为（-2,-3）.

②如图1,当月乙〃为平行四边形的对角线时,

x=m+3,

可得E

yE=tn~+2m-5.

又因为点E在抛物线的对称轴I:,

所以///=—4,

则点尸的坐标为（-2,-3）.

③如图2,当"；"为平行四边形的对角线时,

=-3+m,

可得《

2

yE=m+2m,

又因为点£在抛物线的对称轴上，所以0=2.

则点〃的坐标为（2,5）.

综上可得，满足平行四边形的点尸的坐标为（-2,-3）（-4,5）（2,5）

进阶训练

1.如图，四边形力比〃是直角梯形，AD//BC,Z^=90°,//P=24cm,8C=28cm,点尸从点

月出发，沿力〃以lcm/s的速度向点〃运动；点。从点。司时出发，沿⑦以3cm/s的速度向

点“运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动.问：从运动开始，经过多

长时间，四边形S成为平行四边形？

2.如图，抛物线y=a/+bx+c过月（-3,0）,2（1,（））,C（0,3）三点，抛物

线的顶点位2

（1）求抛物线的表达式；

(2)直线y=2x+3上是否存在点M使得以4RC,V为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，请求出点必的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，在矩形以纪中，勿=5,4?=4,点〃为边助上一点，将△比力沿直线5折叠，

使点笈恰好落在为边上的点月处，分别以宓，创所在的直线为x轴.y轴建立平面直角坐

标系.若点N在过。D.C三点的抛物线的对称轴上，点”在抛物线上，问是否存在这样的

点"与点也使得以MA；C,£'为顶点的四边形是平行四边形?若存在.请求出3点坐标;

若不存在，请说明理由.

答案：存在满足条件的点M其坐标为(2,16),(-6,16)或(-2,--).

3

［提示］：易证△〃仇's△拉从而点〃的坐标为(-^,.5),得到过点。，1),。的抛物线的

解析式为)，=3/再分类讨论，由对角线互相平分，中点横纵坐标相等列出方程，

-33

从而找到符合条件的点机(参考例3的方法二)

4.如图，抛物线与x轴交于点力(-5,0),B(3,0),与y轴交于点。(0,5).有