甘肃省白银市2025-2026学年上学期期末高二数学试卷（含解析）

高二数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡

上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答

无效。

4.本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.3名同学计划去A,B,C,D四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是

A.81B.64C.24D.12

2.抛物线C;y=£的焦点坐标为

O

A.(0,4)B.(4,0)C.(2,0)D.(0,2)

3.已知3是a与b的等差中项，1是a与b的等比中项，则a?+b?=

A.8B.9C.16D.34

4.EIC/；(x-I)2+(y-2)2=4与圆C2"x+5)2+(y-IO)2=64的位置关系是

A.内含B.内切C.外切D.相交

5.已知等差数列阿)的前n项和为Sn，若S8=30,S/6=92,则S24=

A.154B.164C.186D.196

6.7个人站成一排，其中甲、乙必须相邻，丙不能站两端，则不同的站法种数为

A.960B.980C.1060D.1260

7.己知双曲线C.•5-》=〃a>0,b>0）的左、右焦点分别为F/,F2,P是C上一点，PF；1

PF,,IPF/I+IPF2I=/0a,则C的离心率为

A.V75B.

C.2cD.3

8.某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，

每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有

A.UO种

BJOO种

C.90种

D.80种

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知直线l/：ax-y-/=0,l2:x-ay+2=0,若1/II替则1/与12间的距离可能为

A.2V2B.当

C.x/2D.日

10.已知等差数列佝"的公差为d,前n项和为Sn，若a8<0,a/+a”>0,贝ij

A.d<0

B.Sn中S7最大

C.使得Sn>0的n的最大值为13

D.数列倒是递减数列

11.已知椭圆C：5+；=〃a>b>0）的右焦点为F,A,B分别为C的左、右顶点，|AB|=

4|BF|=4,动点P（X0,。0）在直线x=-7^^匕直线AP与C交于另一点Q,过点B

va^-b-

作X轴的垂线与直线PF交于点M,则下列说法正确的是

A.C的离心率

B.若QFJLAB,则卜。|=3

C,乙QFP=ZBFP

D.直线MQ与C相切

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知点A〃,〃在圆x?+（y-a）?=3内，则实数a的取值范围为.。

13.已知等比数列/aj的前n项和为Sn，若S/2=273S”，且S4H0，则合一

14.已知点A是抛物线C;y2=x上位于第一象限内一点，B为C上位于第四象限内一点，O

为坐标原点，OA，AB,且直线AB的斜率是直线OB的斜率的2倍，则直线OA的斜率为

O

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分13分）

已知（X2—£）〉nGN*）的展开式的二项式系数和为64。

（1）求n的值；

（2）求展开式中的常数项。

16.（本小题满分15分）

已知椭圆CA+^=/fa>b>0）的焦距为2,点（/,一三）在C上。

（1）求C的方程;

（2）若直线y=V5x+O与C交于M,N两点，T为线段MN的中点，0为坐标原点，求

|OT|o

17.（本小题满分15分）

已知各项均为正数的等差数列凡）的前n项和为Sn，aza4=7,=6九

（1）求数列faj的通项公式；

（2）设％=」一，求数列的前n项和Tn。

an，an+/

18.（本小题满分17分）

已知圆C经过点A（-2,4/且圆心C在直线y=x-/上。

（1）求圆C的标准方程；

（2）设—若圆C上存在点T,使得乙MTN=90。，求实数m的取值范

围；

（3）若P为圆C上的动点，求|AP|2+|BPf的取值范围。

19.（本小题满分17分）

己如双曲线—"="a>0,b>。川勺一条渐近线方程为y=VJx,点已3）在C上。

（1）求C的方程；

（2）设A为C的右顶点，直线1与C交于M,N两点，且AM_LAN。

（i）证明：直线MN过定点；

（ii）若M,N都在C的左支上，求AAMN面积的最小值。

高二数学参考答案、提示及评分细则

1.B由题意知每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是/=64.故选B.

2.D抛物线C的标准方程为x2=8y,所以2P=8,p=4,C的焦点坐标为俏2).故选D.

3.D由题知a+b=6,ab=7,所以a2+b?=(a+b)?—2ab=34.故选D.

4c由题知圆Cj的圆心半径17=2,圆Cz的圆心C2<-5,/0,半径0=8,所以

|C7C2|=+5尸+(2-10)2=]()=口+功,所以圆C/与圆C2外切.故选C.

5.C由题知S&,S/6—S,,S24-S/6成等差数列‘Sg+(S24~S/6)=2(S/6-S/,即S24-62=

2(92-30),解得S24=186.故选C.

6.A甲、乙相邻，有A；A2=/44O种不同排法，其中内站两端的站法有C；A，A；4S0种，故

甲、乙必须相邻，丙不能站两端的站法有/440-480=960种.故选A.

7.B设双曲线C的焦距为2c,不妨设点P在第一象限，则代叫十%?「，受解得

1PF/|-IPF2I=2a,

/胆又PF/IPF2,所以76a2+36a2=4c2,即人讨=c?,所以c的离心率e='=

IPF21=4a.a

，方.故选B.

8.B若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有C斤a+C：+C)=70种；

若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有望禺=30种，所以满足条件的不同的派

遣方案有70+30=100种.故选B.

9.BD由1/IIb，得，=T。一，解得a=—/或1.当a=-/时，1八x+y+/=0,旧x+y+

2=(),则1/与12间的距离为^=f;当@=/时，l/；x-y-/=。，b'x-y+2=0,则1/与

b间的距离为甘包=吟.故选BD.

10.ABD由v0,a；+=a7+>6>,知a?>—ag>。，所以d<。，A正确；由a?>0,

丽<0,d<0,知Sn中S:最大，B正确；由S>=>0,S/5=丁=/5a§<(),知使

得Sn>0的n的最大值为14,C错误；由鼻=三二=号=£+/知数列闱是递减数列，

D正确.故选ABD.

11.BCD设F(c,0%其中c="'a2—b2,由|AB|=4,|BF|=4,得jf/解得a=2,

c=/,所以b=GC的方程为二十三=/,离心率e=£=gA错误；当QF1AB时，点

73a2

Q的坐标为〃,±与.设直线x=V^=4与x轴交于点H,贝IJPHIIQF,黑=整，即

ZVa-^—b->|><>||AH|

W722

号=｝解得卜ol=3,B正确；设Q(m,n),则9+9=/.又A(—2,勿，B(2,0)所以直线

lyolo43f

AQ的方程为丫=土仇+2),令x=4,得点P的坐标为(4,居)；直线QF的方程为nx-

(m-〃y-n=0(此处内容未完整，按原文呈现)

6n(m-〃I

h6n.又点

2

Jn-+fm-〃-g+2|J沏-〃2+3_12\m+2\^(m-4/in+2

P到x轴的距离也为|看I，所以4QFP=4BFP,C正确；直线PF的方程为y=”依一〃，

令x=2,得点M的坐标为(2,总)，直线MQ的方程为y-n=^7x-m),整理得3mx+

sr=i

7ny-12=0,联立方程/4+3'消去y后整理得fJm?+4/)x2-24mx+48—

3mx+4ny-12=0,

222

16n=()fB|J12x-24mx+12m=()f(x-m/=0,

所以直线MQ与C相切，D正确.故选BCD.

12//-V2J+由题知/2+〃一a产<3,解得/一6vav/+O.

1317设他1/，的公比为4，则5/7=5/+4$+485/=2735/,解得q4=/6,所以会=红警=

1+16=17.

14.1设点A,B的坐标分别为仅人力〃力>。3(乂2,丫2)(?2<0)，则koA=2=4=,，

x/y/y；

kOB=~，kAB^―.因为OA_LAB,所以，x—^—=―/,整理得y/+y/y,=一

y2X/-X2yj-yjy/+y>y/y/+y2

/①.又直线AB的斜率是直线OB的斜率的2倍，

所以，=3,整理得yz=-2y/②.由①②解得％=/,所以直线0A的斜率为1.

y/+y2yj

15.解:⑴由题知2n=64,解得n=6.

226

(2)(X-：)6展开式的第r+1项为Tr+1=禺•(%)-.(一)=禺•(—2)r』-3r。

令12-3丁=0,得r=4,故常数项为第5项，且八=G•(-2尸=240,

即展开式中的常数项为240.

1

16.解：（1）由题知7+~―一

cr=b2+C2,

2c=2.

(Q=V5,

解得b=l,

Q=1.

所以C的方程为三十y2=1.

（2）设M,N,r的坐标分别为（阳,、］），3，丫2），（%3，丫3），

兰+“2=1

联立方程2消去y后整理得5%2+8X+2=0.

y=y/2x+V2,

则A=82—4x5x2=24>0,xz+x2=-*

y/+y2=G(x[+X2+2)=千。.................................11分

所以X3=W^=Y，

u_y/+y2-O

..........................................................13分

所以

|OT|=Jx：+y尹+岑.............................................

............15分

17.解：（1）设的公差为d,

a/a4=afa+3d)=7,/a；=-49,

由题知g=8知7+7竽=64,解得C=2,'或'd吟(舍

去），.................................4分

所以an=2n-7,

即数列/aj的通项公式为

an=2n—/o..........................................................6分

（2）由（1）知

an-aK岛_曰)

n+/(2n-l)(2n+l)1'..............................9分

Tn=bz+b2+…+bn_；+bn

=，(/一+…+4(」________L)+'x(」_______-

2\3)2\35)2\2n-32n-1)2\2n-I2n+1

//111II11\

=-xI1--+----+•••+-------------+-------------]

2\3352n-32n-J2n-/2n+//

=9(1-£)=舟.................................15

分

18.解：(1)设圆心C的坐标

为(a,a-〃，..........................................................1分

由|AC|=|BC|,得〃a+2尸+[(a-〃-4产=—5尸+〃a—〃一3厂,解得

a=/o..............................3分

所以圆心C〃,勿，半径为5,

故圆C的标准方程为

2

fx-//+y=25O......................................................5分

(2)由NMTN=9。。，知点T在以线段MN为直径的圆W

上，.......................................................6分

由M(0,m—2),N(0,m%知圆心W(0,m-〃，圆W的半径为1,且圆W与圆C有交

点...................................7分

故5-/4J/+何―〃245+/,解得1-V35<m</-V7J或/++行，

所以实数m的取值范围

为〃-后,/-VTJ/u/v+V75,/+VI必...........................................

.............10分

(3)设点P的坐标为色力则(S-〃2+t2=25,整理得

s212=24+2s,......................................................11分

所以|AP|2+|BP|2=(s+2)2+(t-4)2+(s-5)2+(t-3)2=2s2+2t2—6s—14t+54

=2(24+2s)—6s—14t+54=-2s—141+102,....................................

.................13分

令s+7t=入，则直线x+7y-入=0与圆C有公共点，即喘145,解得/一25◎《入《/+

25V2,.......................16分

则10()-50近4一2入+1024i00+5042,所以|AP『+|BPj的取值范围为〃0。-50>12,100+

5。仞。......17分

19.(1)解：由题知//g解得

a2b21,

,a=/,

2分

，b=G

所以C的方程为x2-9=/。..........................................3分

(2)(i)证明：由(1)知A0”,设M,1^的坐标分别为仇/4”，仅2，丫2;。

当直线1的斜率为0时，x2—X/,y2-yz,则屈1—",一/,y〃，AN-<x2-y2)~(-

X/-Ay/A

当AM_LAN时，

AM-AN=(x,-1)(-X/—〃+y1=/—x]+y]=/—(?+〃+y：=乎=0,解得y/=(),则

M,N中一个点与A重合，此时AM_LAN不成立，所以直线1的斜率不为0：

.......................................4分

设直线1的方程为my=x+n。

2

联立方程/一5=/，消去x后整理,得(3n?—〃y2—6mny+3«—3=0,

my=x+n,

6inn3n2-3

y/y2=

则3m--/0.......................................5分

y,+y?=3m2―/，

由AM1AN,知AM-AN=(x1-1,yj)-(x2一]，、2)=(x1-l)(x2一〃+Y/Y?

=X/X2-fx；+x2>+/+y/y2=(my/-n>(my2-n)-/Any/-n>+(my2-n)]+/+y7y2

22

=my/y2—mn(^/+y77+n-mfy；+y2)+2n+/+y/y2

......................