高考数学二轮总复习：等差数列、等比数列

T专题四数列

小题专讲第1讲等差数列、等比数列

「考情分析」।.从具体内容上，主要考查求等差、等比数列的指定项、公差或公比；考查

等差、等比数列基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明；考查求数列的前〃项

和及数列与传统文化的交汇应用问题.2.在高考的选择题、填空题中，一般设置一道题，难度

以中、低等为主.

热点题型

题型一等差数列、等比数列基本量的计算

核心知识

1.等差数列、等比数列的基本公式(加，”£N’)

⑴等差数列的通项公式：如=4+(〃-1)%

(2)等比数列的通项公式：

a„=a,^rm.

⑶等差数列的求和公式

〃(〃—1),

8„=---5---=1+—$—d.

(4)等比数列的求和公式

0(1一9")。1一砌,,

.=i>，产1>

问i-qi—q

jui\，q=I.

2.等差数列的常见性质

已知数列｛斯｝是等差数列，S”是其前/?项和，k,/,〃?，〃，r£N*.

(I)若A+/=/〃+〃=2r,则以+。/=0“+%=24r；

⑵数列S””S2m~Sm,S3"LS2m，…构成等差数列.

3.等比数列的常见性质

已知数列｛小｝是等比数列，S”是其前〃项和，%p,q,reN*.

(1)若〃?+〃=p+q=2r,则。“以〃=。凶9=足;

(2)数列S，S以一列"SJ“LS2,“，…仍是等比数列(此时｛&｝的公比夕"-1).

❶⑴（2024・九省联考[记等差数列｛斯｝的前〃项和为5”,〃3+俏=6,32=17,则56=（）

A.120B.140

C.160D.180

答案：C

（4l+〃16）X16

解析：因为。3+。7=2〃5=6,所以〃5=3,所以〃5+。12=3+17=20,所以S16=

2

=8（45+02）=16（）.故选C.

（2）（多选）（2024・湖南益阳高三第三次模拟）已知｛斯｝是等比数列，S”是其前n项和，满足a3=

20+s，则下列说法正确的是（）

A.若｛斯｝是正项数列,贝!｛〃〃｝是递增数列

B.Sn,S2n-S„,S3”—S2〃一定是等比数列

C.若存在M>0,使⑸对任意〃WN"都成立，则｛|。”|｝是等差数列

D.若*>0,且3=志，Tn=aiar-a„,则当〃=7时，D取得最小值

答案：ACD

解析：对于A,设等比数列｛〃”｝的公比为“，由〃3=24]+“2，得4q2=2〃|+aq,因为

则二一9一2=0,解得夕=-1或g=2,因为｛小｝是正项数列，故0>0,0=2>0,故｛〃〃｝是递

增数列，故A正确.对于B,由以上分析知，夕=-1或q=2,当g=-l时，S产”=詈

1—（―1）

=%3一（一1），若〃为偶数，则S〃，S2〃一S”，S3”一S2n都是0，故S”，S2“-S”S3n-S2n不

是等比数列，故R错误.对于C,若胃=2,则UaJ｝是递增数列，此时不存在”>0,使

”对任意〃WN’都成立；若夕=一1,易得|小|=3|,故存在M=|ai|，使得对任意〃WN*

都成立,此时｛|斯|｝为常数列，故｛|斯1｝是公差为0的等差数列,故C正确.对于D,因为a.,>0,

4|=而，故由以上分析知夕=2,则Tn=a1。2…m=2+"3一'）=叽2=（而）◊2，

/1\n+1（〃卜—

I—]22

由竽=：：）、="”-=看X2”,当1W〃W6时N）喘X2”<1,故Tn+l<T„,数列｛〃｝递减，

“（而）L

且乃v"；当〃27时，击X2”>1,故Tn+i>T〃,数列｛7；｝递增，且78>77,则当〃=7时，T„

取得最小值，故D正确.故选ACD.

（3）（2024.山东青岛高三第三次模拟）已知等差数列｛〃〃｝的公差dKO,首项«1=1,四是生与趣

的等比中项，记S〃为数列｛斯｝的前〃项和，则520=.

答案：105

解析：等差数列｛斯｝中，0=/出是。2与48的等比中项，所以届=。2。8,即6+3“=(；+d)

(g+7d),解得4=3或4=0(舍去)，所以S2o=2OX^+型＞^X^=105.

(4)(2024•湖南益阳高三第一次模拟)已知数列｛«〃｝中,ai=\,an+i

数列｛d｝的前n项和S“=

4"+6〃一1

答案:9

1

解析：由斯+1=5-5，得诙+1-：=2-5=2X—外+|—2=：——=：乂生/上,两式相除,

N4〃N4〃4〃乙U/J乙"〃

a+\—21a—2是以巴二I=一2为首项，；为公比的等比数列，所以

得--n----[=4---lt-P所以数列

4〃+1—5%-7«|-2

—2/|\,|~|3174"「OnI4”-1

\a=—2X(j)，则如=2一刀尸,所以瓦尸口=一]—亍，所以＜=一4_1乂丁

Un-2

2/1^-l_4n+6/?-1

~~~9=—9"

方法归纳

等差、等比数列问题的求解策略

(1)利用等差数列、等比数列的通项公式、前〃项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解

另外两个元素，抓住基本量，首项处，公差d或公比q.

(2)熟悉一些结构特征，如前〃项和为S”=a#+〃〃m，力是常数)形式的数列为等差数列，通项

公式为a”=p4「i(p，c/WO)形式的数列为等比数列.

(3)由于等比数列的通项公式、前〃项和公式中变量〃在指数位置，所以常采用两式相除(即比

值)的方式进行相关计算.

提醒：在等比数列求和公式中，若公比未知，则要注意分两种情况g=l和夕WI讨论.

题型二求数列的通项

k核心知识

Si，〃=1,

数列｛"”｝的前〃项和S“与通项外的关系：”〃=Lc

Sn—Sn-],2.

(1)已知首项为3的数列｛/｝满足册则a=(

JIn)

B,5

D4

答案：c

解析：因为(〃£N"),易知斯WO〃?eN),所以」一一:=!.因为0=3,所以!=:，

J十4〃如+1%JCl\J

所以数列出是首项为:，公差为1的等差数列，所以!=；+(〃-l)x[普所以4〃=?故选

a〃JJJUnJJJn

c.

(2)定义数列｛斯+i—即｝为数列｛斯｝的“差数列"，若0=2,｛知｝的“差数列”的第〃项为2〃，

则数列(〃”｝的前2024项和.必024=()

A.22023-1B.22023

C.22025D.22您一2

答案：D

=n

解析：依题意，an+\~an2f当〃妾2时,。〃=。1+(。2—〃I)+3.L。2)+…+3”—诙-1)=2+2

2(1一2”一「

+2?+…+2”-I=2+—=2”,而川=2满足上式，因此恁=2",所以S2024=21+22+…

I—2

+22g=2X（：-,024）=2绝5—2故选D.

I—2

(3)已知数列｛%｝满足卬=1,即+i=2a”+3(〃£N*),则口=()

A.2"B.212

C.2"-2D.2,2-3

答案：D

解析：,・飞=1,4rH=­3(〃EN・),・・.。“+1+3=2(斯+3)5£卜"),，｛士+3)是首项为4,

公比为2的等比数列，・・・%+3=4X2"r=2"+i,，诙=2"+1—3.因此au=2i2—3.故选D.

2

(4)(2024•陕西汉中高三第二次模拟)已知正项数列｛m｝的前n项和为S”，且2s”=。〃+亍，数列

a”

｛d｝的前〃项积为〃，且Z；=SN，下列说法错误的是()

A.£=，五B.｛儿｝为递减数列

C./?2024=55^3D.a„=y12(y[ii-yjn—l)

答案：B

解析：当〃=1时,20=0+总,解得(负值舍去)，当〃22时，2S〃=S“-Si+s”4“j

即忌一Sli=2,且5彳=2,所以数列｛5扉是首项为2,公差为2的等差数列，所以的=2+2(〃

—1)=2〃，又小>0,所以S“=4苏,故A正确：当〃22时，有为=<5^—)2(〃-1)=&(3

一业—l),当n=I时，a\=y｛2(y[\-yj\—\)=y[2,也适合上式，故数列｛〃”)的通项公式为

册=P(5一后故D正确；因为数列｛儿｝的前〃项积为T”,且T产院,所以T“=blb2b3…

b=Sn=2nt当〃=1时，瓦=2；当〃22时，6“=亍=Z7TT=r»显然〃=1不适合上

ltZ/1-i2(/7—1)n—1

2,n=\9

式，故数列｛d｝的通项公式为瓦=｛」显然加=岳=2,所以数列｛九｝不是递减数

n-1

n2(P42024

列，故B错误；由当〃22时，r,得力2024=,丁74T=57FK，故C正确.故选B.

b“=n—12024—I2U23

(5)已知数列｛斯｝的前〃项和为S“，且满足S〃=(〃+l)2由一3,则｛斯｝的通项公式为.

答案：””=(〃+1)(〃+2)

解析：当〃=1时，a\=4a\—3>解得⑶=1.当〃22时，S”=(〃+l尸斯-3,—3,

22

两式相减得an=S„­5„-1=(//+1)a,—nan-1,所以故*=马-乌」--乎町

an-i〃十2an-icin-2。20

=〃，2〃+；…'彳"=(〃+1；〃+2),经检验'"1=1符合上式，故｛斯｝的通项公式为%=

6

。+1)(〃+2).

⑹已知数列｛〃”｝满足〃”=SLI+2"(〃22).〃]=2,则〃〃=.

答案:4“一2"

解析：解法一：斯=4〃“T+2”，〃22.设%+A•2〃=43“T+A・2〃r)，则知+A2”=4期T+

nn-1

442"一】，小=4。”一|+42"+|-4・2"=4aLi+A-2",/M=1./.an+2=4(an-1+2),n^2,

...｛知+2”｝是首项为“i+2=4,公比为4的等比数列.・・必,+2”=44门=4”,即%=4"-2〃.

解法二：”“=4斯一1+2"(心2),两边同时除以2",得爱=4'；/+1,即黑=2笔4+1.令仇=既,

则瓦=28”・i+l.令/%+f=2(〃”-i+D=2儿・i+2f,/.bn=2bn-i-1-t,则f=l,/.b„-\-\=2(bn-\

+1),〃22,则｛仇+1｝是首项为6+1=胃+1=2,公比为2的等比数列，.•.为+1=2・2”「

=2",••也=2"—1,.♦泼=2”-1,即斯=4〃一2".

(7)(2024・广东广州高三模拟)分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70

年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图

展示了如何按照图1的分形规律生长成一个图2的树形图，则在图2中第2024行的黑心圈的

个数是.

第I行

....第2行

第3行

图I图2

a2O23_1

答案：、一

解析：设题图2中第〃行白心圈的个数为外，黑心圈的个数为瓦，依题意可得斯+b=3"-

an+]+〃“+[=3(a〃+bn),

a〃+i=2%+。“，b”+i=2b”+a”,且有tzi=1>b\=0»故有,_,所以｛a”+

«n1\—bn^\=an—bn,

④｝是以m+"=l为首项，3为公比的等比数列，｛如一为｝为常数列，且a—加=1,所以

如+。”=3"-132023―।

所以历024=9

Qn—bn1>

方法归纳

1.公式法

根据等差数列或等比数列的通项公式为=0+(〃-1)4或。“=0。门进行求解.

2.由S〃与斯的关系求通项公式

⑴利用。〃=工一$一(〃22)转化为只含5”S〃T的关系式，再求解.

(2)利用*一§“7=%(〃22)转化为只含小，的关系式，再求解.

3.由递推关系求通项公式

(1)。”一如-|=/(〃)型,可用“累加法"求4”，即斯=3”-4”1)+(。”-1一4”-2)+…+(43—42)+

(。2141)+。|.

(2)-"=*〃)型，可用“累乘法”求。”即如=•色」....竽•华•即

an-\an-\an-2Sa\

(3)%+|=网〃+力型，则%+：+k=q(o+A)(其中。可由待定系数法确定),可转化为等比数列｛4

+女｝.

(4)许+|=/篝下4B,。为常数)型，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.

题型三数列的求和

h核心知识/

数列求和的常用方法

⑴公式法

等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和.

(2)分组求和法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.

(3)并项求和法

当一个数列为摆动数列，即形如(一1)%〃的形式，通常分奇、偶，观察相邻两项是否构成新的

特殊数列.

(4)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列

的前〃项和即可用错位相减法来求.如等比数列的前〃项和就是用此法推导的.

⑸裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

(6)倒序相加法

如果一个数列｛m｝的通项满足与首尾两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数歹J的前

〃项和可用倒序相加法.如等差数列的前〃项和公式就是用此法推导的.

,(1)(2024.河北张家口高三第三次模拟)已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且满足《=1,

卜”+1,〃为奇数,

则$00=()

〃为偶数，

A.3X25-56B.3X251-103

C.3X250—156D.3X25O-1O3

答案：A

a〃+l,〃为奇数，

解析：因为0=1,dn+\~'、n/田也所以42A+2=il2k+1+1=%2K+>»“24+1=2a2k=2a2k

,2〃“，〃力偶数，

-1+2,*£N*,且S=2,所以42M2+4”+1=2(〃2&+。2&-1)+3,记8I，则

回+1=2瓦+3,所以d+1+3=2(仇+3),所以｛6+3｝是以6+3=5+。2+3=6为首项,2为

公比的等比数列，所以附+3=6X2〃？儿=6X2厂】-3.记｛儿｝的前八项和为T,”则S@=

Ao=(6X2°+6X21+6X22+…+6X249)-3X50=3X251-156.故选A.

(2)(多选)(2024・安徼淮北高三第二次模拟)已知数列｛〃”｝,｛乩｝的前〃项和分别为S”,与，若

%=2〃-1,。=2"+1—2,则()

A.5io=lOOB.加o=l024

"看]的前I。项和端D假的前1。项和为啮

答案：ABD

解析：，｛加是首项〃]=1,公差d=2的等差数列,ASio=lOX14-1OX^°"1'

义2=100,故A正确；令金=日启则蜀尸盥:^)=姓一£),"+C2+-+G。

=XW+5T+…又"I，如=21,・.・□+0+…+。。制

H+,

义(1一4)=称，故C错误；V7；I=2-2,・・.5=7；一八-|=2"+|—2—2"+2=2〃(〃>1,〃

£N')，又加=5=2"|—2=2,满足上式，，。“=2"(〃£1<),，加0=21°=1024,故B正确；

又9获・其+/+"得=2'1"'=m'故D正确.故选ABD.

1—Z

(3)(2024・湖南衡阳高三模拟)数列的综合求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法

及倒序相加法.在组合数的计算中有如下性质：C；=C「，C+C+G+C甘…+C；=2".应

用上述知识，计算«+2&+3©+-+，6=.

答案：〃

解析：令©+2&+3@+…+〃a=S〃,则有己+2禺+3C廿•♦•+(〃-1)。7+〃=工，结合

cz=c厂,可得c;「+2c『2+3C「3+...+(〃一］)C+〃=S〃，倒序相加，得/i(ci+a+d+…

ni

+CL)+2〃=2S〃，〃(2"-2)+2〃=25〃，Sn=n-2~t即C,L+2a+3&+…+/心=〃2厂：.

(4)(2024•河北部分中学高三第三次模拟)欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在

数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域，函数夕5)就是以其名字命名的，

称为欧拉函数.欧拉函数贝〃)(〃£N‘)的函数值等于所有不超过正整数〃，且与〃互素的正整

数的个数.欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果，〃，〃互素，则如，〃〃)

=(p(m)(p(n).请计算数列｛瑞汗的前n项和Sn=.

答案，弁等+眇图

解析：由欧拉函数的定义，知若〃，为素数，则。(〃?)=/〃一】，若〃?为素数，女£N*,则w。/)

121

〃©

-X---

=（加一1）“」,所以M6"）=e（2"）・9（3〃）=2X6Li,得命2226

11122511

〃②

+一X-------

26262,由①一②,622

所以S”

=25-8W+25）X（6）-

方法归纳

(1)运用错位相减法求和时应注意三点：一是判断模型，即判断数列｛斯｝，2〃｝

一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号.

(2)运用裂项相消法求和时，将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和

系数之积与原通项相等.如:扁+昌尸一币).在抵消的过程中，有的是相邻项

抵消，有的是间隔项抵消.

(3)奇偶并项求和的基本思路：有些数列各项单独求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等

差数列或等比数列求和.当求前〃项和，而〃是奇数还是偶数不确定时，往往需要分奇偶讨

论.

感悟高考

1.（2024•全国甲卷）记Sn为等差数列｛为｝的前〃项和,已知S5=So,45=1，则0=（）

7

A.—2B.,

C.1D.2

答案：B

解析：由SlO—55=〃6+。7+。8+〃9+。10=5〃8=0，得。8=0，则等差数列｛〃”｝的公差

故0=的_4d=]_4乂（一；）=：.故选8.

2.（2023•新课标U卷）记S”为等比数列｛%｝的前〃项和,若S4=-5,S'6=21S2,则SS=（）

A.120B.85

C.-85D.-120

答案：C

解析：解法一：设等比数列｛斯｝的公比为q,若，/=1,则Ss=6t/i=3X2«i=352,与题意不符，

所以q为；由5尸一3,56=2电可得，*匕©=—3,稣二必=2停吟匕应①，由

T-q—qLq

①可得，l+/+d=2|,解得才=4,所以58=皿三』）二夕）X（l+d）=_5X（l+]6）

'qiq

=一85.故选C.

解法二：设等比数列｛知｝的公比为夕，因为04=-5,56=2152,所以4六一1,否则S4=0,

从而S，SLS?,SS—SA，S§—$6成等比数列，所以（一5-$2）2=52（21§2+5）,解得S2=-1或

§2=^.当S2=—1时，52,SA—S?,SLS&,Sa—Ss，即为一1,—4,—16,S&+21,易知Ss+

21=—64,即58=—85；当$2=1时，54=4|+〃2+的+44=（41+。2）（1+/）=（1+42）52>0，与

S4=-5矛盾，舍去.故选C.

3.（2023♦新课标【卷）记£为数列｛斯｝的前八项和，设甲：｛小｝为等差数列；乙：｛）｝为等差

数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：C

解析：解法一：甲：｛〃”｝为等差数列，设其首项为m，公差为d,则&=〃0+迎产4,§=

0+%以=%+〃1一斗筌一因此榭为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，

_]S〃|“ESn¥ISnnSn+\一〃m+1-S〃“皿皿、”、，行〃。"1-S”

乙：匕?）为等差数列'即币一7=〃（〃+1）=7^77为常数,设为/'即句B=

tt则S"=M”+L八〃（〃+1），有S”7=（〃一।）斯一八〃（〃一1）,〃22,两式相减，得4”=〃0Hl—（〃

—\）an—2tnf即如+]—a〃=2i,对n=1也成立，因此｛〃”｝为等差数列，则甲是乙的必要条件.所

以甲是乙的充要条件.故选C.

解法二：甲：｛斯｝为等差数列，设数列｛为｝的首项为m,公差为"，即S〃=，M+*»d,

则§=0+写1d=，?+〃T，因此榭为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：佛为

等差数列，即落一号=/*=&+(〃-1)人即&=〃&+“(〃一I”,S„-i=(n-l)Si+(n-

1）（〃一2）d,当时，以上两式相减，得Sn—S,Li=Si+2（〃-l）d,于是m=3+25—1时，

当〃=1时，上式也成立,又。“+]—。”=。1+2以一[m+2]〃-1）刈=2寸，为常数，因此｛〃〃｝为

等差数列，则甲是乙的必要条件.所以甲是乙的充要条件.故选C.

4.（2023•全国乙卷）已知等差数列｛为｝的公差为孕，集合S=｛cosa疝]£N'｝,若S=｛a,b｝,

则ab=（）

A.-IB.-3

C.0DJ

答案：B

-

解析：解法一：由题意，得小=m+竽（〃-1），COS«Hf3CO+专5+2）]=cos（a】+竽〃+第

=cos（m+专〃+2加一号）=cos（ai+g^?—号）=cos4”所以数列｛cosa〃｝是以3为周期的周期数

=4-广东际5=虱0一/cos。]+坐si114],因

列，又COSO2=COS

为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：COS671=COS67?COS«3»COSCl|=COS«3COS672»COS«2

=cost/3+cosai.下面逐一讨论：

①当cos。1—cost72^-cos«3用»由cos。1——^cos«i一坐sinQ],得(an«i——小,所以ab一

12I^2.

/jrj\]s-^cosF]十2sin«icosdi

cosai(一]cos4i+为-sin。”=一2cos2aj+】sinmeosm=sin*Icos%=

L小13

―/+/ann一菱一^」

tan2di+1-3+1-2-

②当cosai=cosa3Hcos〃2时，由cosa।=-^cosdi+s*n6Z>♦得tan〃i=小，所以ab=

弓。S%L察iw

cos..©5—siM-|cos^.-sin-

坐坐sin%+cos2al

1当13

an--

2al-2-2

tan2«i+13+12'

।3।3

③当cos«2=cosaycosai时，由一5COS0—¥sinm=-gcosai+专sin〃],得sinm=O,所以

加8H-枭町—察ig=一会「sin%i）=一•.综上，〃力=一、故选B.

解法二：取0=一全则COS67|=2»

S=[1—11，必=一：.故选B.

5.（2024•新课标II卷）记工为等差数列｛斯｝的前〃项和，若公+。4=7,3a2+为=5,则$0=

答案：95

ai+2d+ai+3d=7,\a\=—4,

解析：因为数列｛斯｝为等差数列，则由题意，得L1,.《解得」.则Si。

|3(ai+d)+4i+4d=5,|d=3,

,10X9

=10«i+—^―"=10X(—4)+45X3=95.

专题作业

基础题（占比50%）中档题（占比30%）拔高题（占比20%）

题号1234567

难度★★★★★★★★★

由等差数列由67/1+1,a”=

等差数利用“与等差数列的的概念求数p4型递推公用构造

等比数

列前〃S”的关系性质及前〃列的通项，式求数列的通法求数

对点列的概

项和的及递推关项和公式的由数列的单项公式，用分歹J的通

念

性质系求S应用调性求数列组求和法求数项

的最大项列的前〃项和

题号891011121314

难度★★★★★★★★★★★★★★★★

由累乘等差数列基等比数数列的新三角函数取倒数构实际问题

对点法、数列本量的计列的前〃定义，累加与等差数造等差数与累加

的周期性算，数列的项和公法、错位相列的概列求数列法、等比

求数列的单调性，裂式，数列减法求和，念、等差的前〃项数列前〃

通项，用项相消法求单调性数列的单数列的前和，利用项和公式

并项求和数列的前n的判断调性与不〃项和公斯与£的的淙合

法求数列项和等式恒成式的综合关系求数

的前〃项立问题的列的通项

和综合

一、单选题

1.(2024•湖北武汉高三第二次模拟)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”，若53=9,59=81,

则$2=()

A.288B.144

C.96D.25

答案：B

‘3X2

53-36/112d—9,G+〃=3,0=1,

解析：解法一：由题怠，得＜…°即一，八解得,)所以与2=

,9X84d=9,d=2,

Sq—9“i+2d—81,

12X11

I2X1+予一X2=144.故选B.

解法二：由等差数列的性质，得S3,56-53,S9-S6,SI2-S9为等差数列，又§3=9,§9=81,

所以9,56-9,81-56,512-81为等差数列，所以2(56—9)=9+81—$6,2(81-S6)=S6-9

+S12-8I,解得§6=36,Si2=144.故选B.

2.(2024T8高三第二次联考)若x=a+ln〃，y=d+1lnb,z=〃+21n伙方大1)成等比数列，则

公比为()

A.-2B.-3

C.1|D.2

答案：B

解析：二"，_v,z成等比数列，.,.xz=)r,即(a+lnh)(〃+21n/?)=(a+gln，，.*.a2+3tzlnb'V

.xa+/lnb

2(lnb)2=a2+a\n/?+^(lnb)2,•./KI,「.一严=ln〃，公比为了元了=-3.故选B.

3.(2024•安徼合肥高三第三次模拟)已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，首项0=-1,且满足与

—=+2=小(〃22),则S6=()

A-3Bl

Ci7D4i

答案：D

解析：由S〃一^+2=a”(心2),得S”-J+2=S“一Si，整理，得S尸"，因为卬=一

1137117

--故选

&---%---

L所以S1=2+S[=2+-V54562+4r

527,1755

D.

4.(2024•河北衡水高三第三次模拟)已知数列｛〃”｝,｛5｝均为等差数列，其前〃项和分别为Sn，

T„,且满足(2〃+3)5"=⑶?T)7；”则法常”=()

A.2B.3

C.5D.6

答案：A

解析：因为数列｛"〃｝，｛4；,均为等差数列，所以47+。8+。9=3。8=/乂150=1&5，且为+加0

4

„15(Z?i+/5)__./a_2-“―+―+的5"3sls34

=b\4"/>15，又由T|5=2，可得〃6+"0="|"^，15.因此~.+加0-=~2=2乂7]5=/义§

-、610后%15

=2.故选A.

5.(2024・辽宁大连高三第一次模拟)数列｛m｝中，0=5,>=9,若数列｛〃”+/｝是等差数列，

则｛%｝的最大项为()

A.3B.3或4

C.苧D.11

答案：D

解析：因为数列｛〃〃+/｝是等差数列，所以数列为〃+M｝的首项为为+12=6,公差为3+22)

—3i+iP)=7,所以a“+〃2=6+(〃—1)X7=7〃-1,则小=—，3+7〃-1,所以0>+1—跖=[—

(〃+1产+7(〃+1)—1]—(一〃2+7〃-])=—2〃+6,则当〃=1,2,3时，”“+1—〃”20,则。4=

当时，〃故可>〃5>〃6>47>….综上所述,｛〃”｝的最大项为〃3=@=।L

故选D.

6.(2024•北京顺义高三第二次模拟)已知各项均为正数的数列｛m｝的前〃项和为S”，«|=1,1g

“〃+lga〃+i=lg2",则S9=()

A.511B.61

C.41D.9

答案：B

解析：由lga〃+lga〃+i=lg2”,可得lg4”a“+i=lg2”,即410rH=2",所以斯+ia〃+2=2"L两

式相除，可得詈=2,即凯萨…琮或=2,由0=1,可得G=2,因此数列｛斯｝的奇

数项是以0=1为首项，2为公比的等比数列，偶数项是以〃2=2为首项，2为公比的等比数

[X（]—2$）

列，所以S9=〃l+〃2+〃3H---1-。9=3|+〃3+。5+。7+内）+（42+。4+。6+〃8）=匚^

2X（l-24）,…

1—2=61.故选B.

7.已知正项数列｛〃”｝中，4=2,a”+i=2a”+3X5",则数列｛〃”｝的通项小=()

A.-3X21B.3X2,,_|

C.5”+3X2”D.5"-3X2"

答案：D

23

-X-斯-①

解析：解法一：在递推公式斯中=2斯+3乂5”的两边同时除以55+-5

5/?

令人产引则①式变为6+i=/+§,即从什|—1=§(小一1)，所以数列仍”一1｝是等比数列，

其首项为=公比为,，所以九一i=一,x(1),即儿=1一,x(|),所

以争=1-1x(|)=1一父，一，所以an=5"-3X2〃-L故选D.

解法二：设6+i+AX5"+i=23.+〃X5"),则为+1=23Ax5",与%+1=2々"+3乂5"比较，

可得攵=—1,所以斯+|—5〃+i=2(m—5")，所以数列｛斯一5"｝是首项为3一5=-3,公比为2

的等比数列，所以如一5"=-3X2”「，所以斯=列一3X2”「.故选D.

8.已知数列｛“”｝满足0=1,N^t=5-1N斯-1(，〔》2,〃£N"),且a,At=sin-^一(“£N"),

则数列｛九｝的前18项和为()

A.-3B.-54

C.一36D.一54小

答案：D

解析：由周Z=(〃一1帅〃二1，得-J)，即a„=a\Y管•…•-^-=1X(2J)x"J)

vvan-\naiaza,i-123

X…X(〃2"=£显然ai=*=l,满足上式，所以当〃=1时，sin0-=乎；当〃

flfl1fI

=2时，sirA^~=一坐；当〃=3时，sin2n=0；当〃=4时，sirA^~=坐；当〃=5时，siir^

=—坐；当〃=6时，sin4n=0,贝U数列卜in弩:是以3为周期的周期数列，由a”b“=sin竽，

得仇=/sin=二设数列仍〃｝的前n项和为Sn,则$8=仇+历+乐T---卜加8=AX坐-2?X

(一耍)+32X0+42x坐+5?X(—写)+62义0+・・・+162乂坐+172乂(一鸣+182乂0=坐

rz

X(l2-22+42-52+-+I62-I72)=：^X[(1-2)(1+2)+(4-5)(4+5)+-+(16-17X16+

17)]=一田＞(3+9+15+,・・+33)=一坐＞＜(3+,)*6=一54小故选D

二、多选题

9.(2024.山东泰安高三第二次模拟)已知等差数列团“｝的前〃项和为S”，生=4,57=42,则下

列说法正确的是()

5

4-

A.恁-2

C.僧为递减数列D.1—；—｛>的前5项和为余

答案：BC

解析：等差数列｛斯｝中，s：=?⑷产=7q=42,解得出=6,而s=4,因此公差d=?干

=1,所以为=42+（〃一2）d=〃+2.对于A,45=7,A错误：对于B,S尸"。蓝+2）=%+1

〃，B正确：对于C,榭为递减数列，C正确；对于D,号7；=(〃+2；〃+3)=出

一圭，所以｛篇J的前5项和为:T+9卜…+尹卜；一卜点D错误.故选BC.

10.(2024•浙江绍兴高三第二次模拟)已知等比数列｛m｝的公比为q,前〃项和为S”，前〃项

积为且V〃£N*,含70,贝lj()

।q

A.数列｛如｝是递增数列

B.数列｛斯｝是递减数列

C.若数列｛*｝是递增数列，则#>1

D.若数列｛4｝是递增数列，则夕>1

答案：ACD

解析：由题意，知S〃=，T,1=ai(aiq)…iq"F)=3q2,且W〃WN*,言70,故

有且,>0(若4<0，则含^的符号会正负交替，这与V〃£N