高考数学复习：截面热点题型专项突破（原卷版）

截面

高考定位

立体几何中的截面问题主要考查空间想象、逻辑推理以及数学运算能力，因而截面问题一直

是高考的热点、重点与难点。

专题解析

（1）正方体的截面（2）棱柱的截面（3）棱锥的截面（4）圆柱圆锥圆台的截面（5）

球的截面

专项突破

类型一、正方体的截面

例1-1.如图正方体棱长为1,P为8c中点，Q为线段CG上的动点.，过

A、P、。的平面截该正方体所得的截面记为C.若&,则下列结论错误的是（）

当％=:时，C为等腰梯形

A.当时，。为四边形B.

（3、D.当2=1时，。的面积为必

C.当时，C为六边形

（42

练.正方体ABC。-48cA的棱长为2,E是棱。。的中点，则平面AGE截该正方体所得

的截面面积为（）

A.5B.26C.4>/6D.2限

练.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.平面。以任意角度

截正方体，所截得的截面图形不可能为（）

A.等腰梯形B.非矩形的平行四边形

C.正五边形D.正六边形

练.如图，在正方体A8CD—A4G"中，M、N、P分别是棱GA、AH、BC的中点，则

经过M、N、P的平面与正方体ABC。-A同GR相交形成的截面是一个（）

A.三角形B.平面四边形

C.平面五边形D.平面六边形

练.正方体人4。。-A冏CR的棱长为4,BtP=2PC,AQ=3QC，用经过“，P,。三点

的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（）

15x/15

A.3岳B.15yliD.

4

练.如图，在正方体人"8-八田6自中，£是棱CG的中点，则过二点人、K的截面过

A.4B中点B.8c中点

C.C。中点D.8®中点

练.如图，A8CO-A8'CZ>'为正方体，任作平面。与对角线4c垂直，使得a与正方体的

每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面枳为S,周长为/,则（）

A.S为定值，/不为定值

B.S不为定值，/为定值

C.S与/均为定值

D.S与/均不为定值

练.已知正方体ABC。-A4GA，平面乃和线段AA，BB1,CC,,OR分别交于点&F,

G,H,则截面EFG"的形状不可能是（）

A.梯形B.正方形C.长方形D.菱形

练.（2021春♦金山区校燹期中）设正方体力AC力-AqCR的棱长为2.a为过百线的

平面，则a截该正方体的截面面积的取值范围是—[26,4夜]

练.一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在

水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图

形周长为3行，则此正方体外接球的表面积为.

类型二、平面截棱柱

例2-1.正三棱柱A8C-4向G中，所有棱长均为2,点E,尸分别为棱B用，4G的中点,

若过点A,E,尸作一截面，则截面的周长为（）

2/D.2石+孚

A.2+20B.2V5+-V13C.2逐+加

类型三、平面截棱锥

例3-1.（2021•天津校级期中）空间四边形ABC。的两条对角线AC,⑺的长分别为4,5,

则平行于两条对角线的截面四边形EFG”在平移过程中，其周长的取值范围是（）

A.(5J0)B.(8.10)C.(3,6)D.(6,9)

练.某艺术比赛提倡能力均衡发展，特别将水晶奖杯设计成具有对称美的形状.其形如图所

示，是将棱长为%的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面得到所有棱长均为〃的

空间几何体，则下列说法正确的是（)

A.该几何体的体积为"包苏B.该几何体的外接球表面积为节乃/

12

C.该几何体的表面积为9/1D.该几何体中，二面角A-8C-。的余弦值

吗

练.（2021•泉州模拟）设四棱锥P-ABCZ）的底面不是平行四边形，用平面a去截此四棱

锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面a（）

A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个

练.过正四面体A8CZ）的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，口使截面与底面8CD所

成的角为75。，这样的截面共可作出个.

练.（2021・3月份模拟）在棱长为4夜的正四面体A-皮力中，点石户分别为直线A£?,CD

上的动点，点P为所中点，。为正四面体中心（满足Q4=QB=QC=QD）,若PQ=后,

则EF长度为_26一

类型四、平面截圆柱、圆锥

例4”.（2021春•浙江期中）如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为

2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和

乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为

一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）

2石

AARD.-6--r

425

例4-2.我国古代数学家祖眼求几何体的体积时，提出一个原埋:

容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所

截，若截得两个截面面积比为“，则两个几何体的体积比也为h如下图所示，已知线段A5

长为4,直线/过点A且与垂直，以8为圆心，以1为半径的圆绕/旋转一周，得到环体M；

以A,8分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过48且与/垂直的平

面为夕，平面且距离为〃，若平面。截圆柱体N所得截面面积为号，平面。截环体

例所得截面面积为S2,则下列结论正确的是（）

A.圆柱体N的体积为44B.S2=2^5)

C.环体M的体枳为8万D.环体M的体积为8万2

练.在如图所示的斜截圆柱（截面与底面不平行）中，己加圆柱底面的直径为4cm,母线长

最短5cm,最长8cm,则斜截圆柱的侧面积为cm2

例4-3.（2021•上海模拟）如图，圆锥VO的母线长为/,轴截面必19的顶角NAVB=I5O。，

则过此圆锥的顶点作该国锥的任意截面VCD,则△V。面积的最大值是-I2,此时

~2-

ZVCD-

练.如图，A8CD是圆台的轴截面，AB=3CD=6,AD=2五,过点。与AO垂直的平面交

下底圆周于£尸两点，则四面体CZ）所的体积为.

类型五、球截面

例5-1.球。的内接正四面体A-8C。中，P、Q分别为被2C、4?上的点，过PQ作平面。，

使得28、CD与a平行，且48、CD到。的距离分别为L2,则球。被平面。所截得的圆的

面积是.

练.已知三棱锥P-A8C的四个顶点都在球。的表面上，PAJ_平面ABC,PA=6,AB=2有，

AC=2,8c=4,若。为8C的中点，过点。作球。的截面，则截面面积的最小值是

练.已知球。是正三棱锥A-6C。（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外

接球，BC=3,44=2石，点E在线段8。上，且〃£>=3〃£过点E作球。的截面，则所得截

面面积的最小值是（）

A.2万B.3万C.44D.57r

练、（广东省清远市第一中学2021届高三下学期开学考试T16）.四棱锥P-A皮刀各顶点

都在球心为。的球面上，且尸A，平面488,底面488为矩形，PA=AB=2,4）=4设E,

F分别是P8,8c中点，则平面AEF被球。所截得的截面面积为.

例5-2.体积为8的四棱锥。-八"8的底面是边长为的正方形，底面A48的中心为,

四棱锥P-A13CD的外接球球心O到底面相8的距离为1,则点P的轨迹长度为

练.已知在圆柱Q。,内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线Q。，的平

面截圆柱得到四边形八88,其面积为8.若P为圆柱底面圆弧CD的中点，则平面小8与球

。的交线长为.

练.（2021•安徽二模）已知正四面体的中心与球心o重合，正四面体的棱长为2指，球的

半径为6,则正四面体表面与球面的交线的总长度为（）

A.4兀B.8岳C.12夜不D.127r

例5-3.（2020高考山东海南卷）已知直四棱柱4/3CO-48G/）的棱长均为2,NBAO=60。.以

。为球心，逐为半径的球面与侧面BCG&的交线长为.

练.（2021春•绍兴期末）已知四面体八取力的所有校长均为4,点o满足04=o3=oc=C»

则以。为球心，G为半径的球与四面体A8C”表面所得交线总长度为玲叵江.

练.（2021春•开福区校级月考）以棱长为26的正四面体中心点。为球心，以R（0</?<3）

为半径的球面与正四面体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是_（02

8折•].

练.如图，已知半径为&的球O的直径A8垂直于平面。，垂足为8,△AS是平面。内

的等腰直角三角形，其中BC=81）=&，线段AC、A。分别与球面交于点"、N,则三棱

锥A-8MV的体积为（）

2016也

~zT

练.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保

持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球

心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体人的棱长

为〃，则（）

A.能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为。

B.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为卜-科

C.勒洛四面体的截面面积的最大值为?2兀-6）/

D.勒洛四面体的体积丫/9/,半

12o

类型六、轨迹

例6-1.（2021•丽水期末）斜线段八8与平面a所成的角为60。，8为斜足，点P是平面a

上的动点且满足Na3=60°，则动点尸的轨迹是（）

A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支

练.（2021秋•翠屏区校级期末）如图，A为平面a内一定点，A3是平面。的定长斜线段,

A为斜足，若

点P在平面a内运动，使AABP面积为定值，则动点夕的轨迹是（）

两条平行线C.一条直线D.椭圆

练.（2021春•江西期中；已知AS是平面a的斜线段，A为斜足，若AS与平面a成60。

角，过定点4的动直线/与斜线人3成60。角，且交。于点。，则动点。的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

练.（2。21•滨州一模）妇图，斜线段心与平面a所成的角为会6为斜足.平面a上的

动点〃满足/夫八3=三，则点P的轨迹为（）

6

A.圆B.椭圆

C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

练.（多选）（2021•新罗区校级月考）如图，/W是平面a的斜线段，A为斜足，点c满

足18cl二%|AC|（/l:>0）,且在平面。内运动，则有以下几个命题，其中正确

的命题是（）

A.当2=1时，点C的轨迹是线段

A

a

B.当义=1时，点C的轨迹是一条直线

C.当；1=2时，点C的轨迹是圆

D.当4=2时，点C的轨迹是椭圆

例6-2.（2（）21•河南二模）如图，在长方形八8CZ）中，AB=6，8C=I，石为线段”上

一动点，现将沿AK折起，使点。在面A8C上的射影K在直线AE上，当“从。运

的长度为（)