贵州省遵义市区县某中学2025-2026学年高二年级上册期中联考数学试题

贵州省遵义市区县一中2025-2026学年高二上学期11月期中联考

数学试题

一、单选题

1.己知集合A={x|x<4},B={x\x>3},则()

A.(3,4)B.(3*)

C.(3,4)D.R

2.已知｛之。，4是空间的一组基底，则下列向量可以与向量〃+c,方-c构成空间的另一组基底的是（)

A.0B.aC.bD.c

3.若sina=・,则cos2a=()

6

13C.叵~D.x/26

AA.—B.

18186~6~

4.已知向量A8=(T,2,2),CO=(2』,2),贝ijcos伽,CQ)=()

4B,史2

A.-C.-D.

9933

5.已知圆柱的底面半径为1,体积为3兀，则该圆柱的表面积为（）

A.6nB.InC.8兀D.9n

6.如图，拨动十二支招福游戏盘的指针，黑色的指针会等可能地随机指向十二支中的某一支.当黑色的指针

指向辰或巳时，可获得“福气满满''的称号.甲、乙分别拨动指针一次，且甲、乙参加游戏的结果相互独立，

则至少有一人获得“福气满满'’的称号的概率为（）

7.在四棱锥P—A3CO中，底面A8co是平行四边形，且3£C=2P£，设A8=a，AC=b>AP=c，则力E=

p

B.L+L+2c

533

D.

55

8.笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析儿何之父.据说在他生病卧床时,

突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角

坐标系中，几何体为长方体，且AO=1,AB=2,M=3,P是>轴上一动点，则AP+8P

B.2万

D.2日

二、多选题

9.若复数z=-l-3i,则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为—3iB.z的共物复数为7+3i

C.|z|=ViOD.y^-=l-2i

10.在空间直角坐标系。孙z中，点A（2,-2,0）,矶2,2,0）,C（-l,2,0）,£>（-1,1,2）,则（）

A.点。到y轴的距离为及

B.三棱锥。-人AC在平面上的正投影的图形为梯形

C.三棱锥。-在。xz平面上的正投影的图形为三角形

1）.二梭锥。-A%C在。）2平面上的正投影图形的面积为8

v

11.已知奇函数/(X)的定义域为R,当x>0时，/(x)=log2x+2-2,则()

A./(-2)=-3

B./(力有且只有两个零点

C./(-2°')>/(-202)

D.不等式4(司>0的解集为(f,-1)=(1,”)

三、填空题

12.2/+W的最小值为.

x~

13.若A(0,2,5),C(3,6,5),则向量.在向量AC上的投影向量的模长为.

14.设函数/(x)=sin"+L<G<5).若y=fx+点为偶函数，则。=.

四、解答题

15.在空间直角坐标系中，点A(2J0),8(32—2),C(2,0,2).

⑴求平面ABC的•个法向量的坐标；

(2)若。=(1,机4)是平面a的一个法向量，且平面a垂直平面AAC,求，〃；

(3)若/，=(0/-2)是直线/的一个方向向量，且/JL平面A3C,求f.

16.已知VABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且sinA:sin3:sinC=2:3:4.

(1)判断V48C是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由.

⑵已知VA8C的面积为3岳.

①求VA8C的周长；

②求VA4c外接圆的半径.

17.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,

从中抽取了部分学生的成绩X作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组(50Wxv60,60《xv70,

70<x<80,8()<x<90,90^x<100).

(2)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入卜.一轮竞赛，则成绩至少要达到多少

分才可以晋级？

⑶从样本数据在［80.90),［90,100］两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同

学中随机选出2人，求选出的2人恰好来自同一小组的概率.

7T

18.如图，在三棱锥O-A3C中，OA=9,OB=OC=6,^AOB=ZAOC=ZBOC=-,M是BC的中点,

N为线段OM上靠近0的三等分点，尸是AN的中点.

(1)用向量。4，08，0右表示向量OP;

⑵求|。”・。小

(3)求OP.

19.如图，在棱长为2的正方体48CO-A4CQ中，E,尸分别为棱AC,C。上的动点，且DF=CE.

(1)证明：工RE.

(2)已知直线AC与平面CEF所成角的正弦值为逆.

3

①求。心

②证明：异面直线用F与Cg所成的角大于60".

根据集合的运算求解即可.

【详解】集合A={x|x<4},B={x\x>3},则4U八R.

故选：D.

2.B

利用共面向量的性质逐个选项去抹除，即可得到正确判断.

【详解】由于基底必是非零向量，故A错误；

由于是空间的一组基底，则a与b,c不共面，

若b+c,。一c与〃共面，jlPJb=A(b+c)+jLi(b-c),

化简得人=(/+〃)〃+(/1—〃)c,可得「,八，

"〃=0

解得4=4=5，则〃+c，A-c与5共面,

同理可证〃+c,8-d与c共面，则)+c,。-c与”不共面,

所以+c,。-c可以构成空间的一组基底，故B正确；

由已知得〃+c,一定与dC共面，所以C,D错误；

故选：B

3.A

根据余弦二倍角公式直接计算即可.

【详解】cos2a=1-2sin2a=1-2x-正丫=2

故选：A.

利用空间向量数量积坐标运算即可求解.

ABCD(-122)(2』,2)4

【详解】由于cosAB.CD)=

网一/1)2+2?+2?XK+产+2?3x39,

故选:A.

利用圆柱的体积公式和侧面积公式即可求解.

【详解】设圆柱的面为〃，底面半径为1,由圆柱的体积为立可得：兀*2/=3冗=〃=3,

所以该圆柱的表面积为5=27i+27ix3=87i,

故选：C.

6.B

利用对立事件和相互独立事件乘法公式即可求解.

【详解】在一次游戏中，可获得“福气满满”的称号的概率为

12D

5525

则甲、乙参加游戏，两人都没有获得“福气满满”的称号的概率是

6636

?511

所以至少有一人获得“福气满满”的称号的概率为

3636

故选:B.

7.A

根据空问向品某本定理即可求解.

【详解】由3EC=2PE，得正1PC,

DE=PE-PD=^PC-PD=^AC-APy^AD-AP^

20NO

二」AC+-”—AO=」AC+-AP-(AC—48)

55551)

2222

=——AC+—AP+AB=a——b+—c,

5555

故选:A

8.D

作点A关于y轴的对称点E,由对称性得|AP|=|£P|,当£、p、9三点共线时，MH+I班=|闭+|明取

最小值，结合空间中两点间的距离公式求解即可.

【详解】作点A(l,-2,-3)关于)，轴的对称点£(-1,一2,3),易知点3(1,0,-3),

由对称性知|AP|=|"|,

所以|AP|+忸尸|=|EP|+忸P|>\EB\=^(-1-1)2+(-2-0)2+(3+3)2=2而.

当且仅当户为线段所与线段GA的交点时，等号成立，

故AP+/#的最小值为2JF7.

故选：D.

E

利用复数概念及模的运算和除法运算即可求解.

【详解】复数z=-l-3i的虚部为-3,故A错误；

好数z=—1—3i的共辑知数为—l+3i,故B正确：

复数z=-l-3i的模刈z|=g=和，故C正确;

z-l-3i(-l-3i)(l+i)-l-3-i-3i…

==~^—=八\八「\=-------%-----=1-21,故DIE确；

1-1l-i(I-1)(1+1)2

故选：BCD.

10.BC

空间点到坐标轴的距离公式：点(小,加马)至”轴的距离公式：隔高，几何体在坐标平面上的正投影规

则：投影到。外平面：z->0,投影到Oxz平面：y-0,投影到。户平面：大->0,根据投影分析判断选

项即可.

【详解】对于A选项，点。(-1J2)到y轴的距离：J(T-0)2+(2—0)2=g=6,A选项错误；

对干B选项，。町，平面正投影：所有点z坐标变0,Ar=(2,-2,0),^=(2,2,0),C=(-l,2,0),Z>=(-l,l,0),

投影图形A*C7>是四边形，AH"/。'/)',且AC**/)',AB'CTT是梯形，B选项正确；

对于C选项，在。TZ平面上的正投影：所有点)坐标变0,

A"=(2,0,0),8”=(2,0,0)C=(TQ0)Q=(T0,2)

A"与夕重合在(2,0,0),C-=(-kO,O),zr=(-LO,2),投影图形构成三角形，C选项正确;

对于D选项，在。丹平面上的正投影：所有点x坐标变0,

A”=(O,-2O),8"'=(020)C”=(0,2,0),。'”=(0,1,2),

A'=(O,-2,O),B=(0,2,0),C"=(020)与.重合,D'=(0,1,2),

投影图形：点火C”重合，所以正投影图形是三角形

坐标:A”(0,-2,0),B(0,2,0)Q'(0,1,2),

在。yz平面(即p.z坐标平面)上，4=(-9.,0)J?=(?,0),0=(1.2),

向量法：AB=(4,0),AD=(3,2),S=1|4-2-0-3|=ix8=4,D选项错误.

故选：BC

11.ACD

对于A,根据奇偶性求值即可；市于B,根据奇偶性及单调性确定零点个数即可；对于C,根据函数单调性

比较大小即可；对于D,根据奇偶性及单调性解不等式即可.

【详解】对于A,由/(力为R上的奇函数，

所以/(-2)=_/(2)=_(log22+2；_2)=_(l+4_2)=-3,故A正确；

v

对于B,当x>0时，/(x)=log2x+2-2,

又y=loggy=2'在(0,y)上单调递增，且『(1)=0,

所以x>0时，/(x)有且仅有一个零点，

乂“可是R上的奇函数，

所以x<0时，/(X)也有一个零点,且"0)=0,

则f(x)有三个零点,故B错误;

当XV。时，/(X)单调递增，又_2°」>一2°2，

所以/(—2°],故c正确：

对于D,因为x>0时，/(x)=log2X+2、-2单调递增，且/(1)=0,

贝时，/(x)<0,x>l时，/(-v)>0,

由对称性可知，xv-l时，/(x)<0,-Iv.rvO时，〃x)>。，

x<0Jx>0

f(x)<0或仇x)>0'

x>0

即敢x>r解得xv-l或

x<-\

不等式MV)>0的解集为(fl)。。，”)，故D正确.

故选：ACD.

12.10近

根据基本不等式求最值即可.

【详解】/>0,...2八含2小2/.||=2廊=10人,

当且仅当2/=三，即人2=上包时取等号，

x22

即2/+q的最小值为ioa.

x~

故答案为：10人.

9

3.5-

本题考查向量投影向量的模长的计算，解题思路是先求出向量AB、AC的坐标，再根据向量投影向量的模

长公式进行计算

【详解】由题可得48=(l,-3,2),AC=(3,4,0b

|1X3+(-3)X4+2X0|_9

向量八3在向最上的投影向最的模长为

ACJ32+425

故答案为：|9

14.3

根据题意要+'=依+;次wZ,解得。=12Z+3«eZ,结合0</<5即可求解.

1242

【详解】由题知y=/x+^~=sin(5+等+：,且为偶函数，

.(DTZTt.7C.

所以1■^■+■7=kt+:•，&eZr,v

242

解得©=124+3/wZ,

又0V69V5,所以69=3.

故答案为：3.

15.(1)(0,2J)(答案不唯一)

Q)-2

⑶Y

(1)根据平面法向量的求解方式求解即可：

(2)由题可知a_L〃，即可求解;

(3)根据题意〃〃〃，即〃=①，再列式求解即可.

【详解】(1)设面ABC的一个法向量〃=(xy,z),

Afi=(l,l,-2),AC=(O,-l,2),

n-AB=x+y-2z=0.、

则，不妨取y=2,则〃=(0,2,1),

n-AC=-y+2z=0

所以平面ABC的一个法向量的坐标为(0,2,1)；

(2)由(1)知平面ABC的一个法向量为〃=(0,2/)，

。二(1,小4)是平面a的一个法向量，且平面a垂直平面A3C,

则aJ_〃,即a•〃=0+2m+4=0»

解得〃z=—2；

(3)由(1)知平面ABC的一个法向量为方=(0,2,1),

〃=(0,1,-2)是直线/的一个方向向量，且/L平面A4C,

/.blln»BPn=Ab

()=0

.•「力=2,解得/=T.

-2Z=1

16.(1)钝角三角形，理由见解析：

⑵18,

(1)设。=2x/=3x,c=4x,由余弦定理即可求解：

(2)①由(1)结合三角形面积公式即可求解；②由正弦定理即可求解.

【详解】(1)由sinA:sin8:sinC=2:3:4,结合正弦定理可得：

a:分：c=2:3:4,

设a=2x,b=3x,c=4x,可知角C为最大角,

rri,1厂4x2+9x2-16x21八

所以cosC=--------；-----=一一<0,

12x24

所以角C为钝角，

即VA8C是钝角三角形.

(2)①由(1)可得sinC=巫，

4

所以,x2xx3xx=3>/?5,

24

解得x=2,即a=4,Z?=6,c=8,

所以V48C的周长为18：

c832岳

②由正弦定理可得：s\nC~l/\5~15.

丁

即外接圆半径为竺巫.

15

17.(1)0.032；

(2)78分；

⑶工.

15

(1)利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1求出

(2)利用频率分布直方图求出第80百分位数即可.

(3)求出抽取的6人中每个小组的人数，再利用列举法求出古典概率.

【详解】(1)由频率分布直方图得10x(0.016+4+0.040+0.008+0.004)=1,所以々=0.032.

(2)成绩落在［50,70)内的频率为：0.16+0.32=0.48,

落在150.80)内的频率为：0.16+0.32+0.40=0.88,

则第80百分位数〃?w(70,80),因此5-70)x0.04=0.8-0.48,解得加=78,

所以成绩至少要达到78分才可以晋级.

(3)由频率分布直方图得成绩在［80,90),［90.100］的频率比为2:1,

因此成绩在网)，90)内抽取：x6=4人，记为a,b,c,d,成绩在［%,1(刈内抽取2人，记为A3,

设A=”抽到的两位同学来自同一小组”，

样本空间Q={",ac,ad,ciA,aB,bc,bd,bA.bB,cd、cA,cB,dA,dB,AB］,共15个样本点，

则A=｛血ac,ad,bc、bd,cd,AB],共7个样本点,

所以选出的2人恰好来自同一小组的概率P(A)='.

18.(\)OP=-OA+—OB+—OC,

21212

(2)18；

2

(1)利用中线向量公式，结合向量的线性运算即可求解：

(2)利用基底表示向量，先求基底的数最积，问题即可求解；

(3)利用基底的数量积运算即可求向量的模.

【详解】(1)因为尸是AN的中点，所以OP=(QA+gON,

22

又因为N为线段OA7上靠近。的三等分点，所以ON=；OM,

又因为M是的中点，所以QW=:O8+!OC,

22

则0P=-0A+—ON——0A+—0M=-0A+0B+0C；

222621212

(2)因为OA=9,()B=OC=6,ZAOB=Z.AOC=ZBOC=,

所以0404=27,040C=27,030C=18,

OMOP=^OB+^OC]I273618271836

一。A+—OB+—OC—+—+—+—+