高三数学一轮教案：向量法求空间角

§7.7向量法求空间角

【课标要求】1.能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角问题，并能描

述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用2弄清折叠问题中的变量与不变量，掌

握折叠问题中线面位置关系的判断和空间角的计算问题.

1.异面直线所成的角

若异面直线小/2所成的角为仇其方向向量分别是〃，了，则cos6=|cos〈〃，y〉I二等

|w||v|

2.直线与平面所成的角

如图，直线A/T与平面a相交于点8,设直线48与平面Q所成的角为仇直线的方向向量为小平

面a的法向量为〃，则sinG|cos〈〃，〃〉|=|-^p-=7777.

I|u||n||w||n|

3.平面与平面的夹角

如图，平面a与平面夕相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a

与平面£的夹角.

若平面a,4的法向量分别是小和小，则平面a与平面用的夹角即向量加和〃2的夹角或其补角.设平面

a与平面”的夹角为0,则cos族cos〃2〉仁普曷.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“X”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(X)

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(X)

(3)二面角的平面角为夕，则两个平面的法向量的夹角也是"(X)

(4)二面角a/版的平面角与平面a,少的夹角相等.(X)

2.若直线/的一个方向向量〃二(1,0,1),平面a的一个法向量〃:(0,1,1),则/与。所成角的大小为

()

*喈嗯

答案A

解析设/与〃所成角为,

因为直线/的一个方向向量〃二(1,0,1),平面Q的一个法向量(0,1,1),

所以sin®=|cos〈〃,〃〉|=-^7==-,

因为owew?,所以公?

26

3.若平面a的一个法向量为〃=(1,1,0),平面用的一个法向量为〃『(1,0,1),则平面a与夕夹角的大小

为()

A：B：C二D.空

6343

答案B

解析•「COS〈〃，rn)=：1=屋1历=(,

1nlim|V2xV22

・•・平面a与£夹角的余弦值为：，

又平面a与“夹角的取值范围为［。，］,

・•・平面a与4夹角的大小为半

4.己知点0(0,0,0),4(1,0,1),8(1,1,2),C(l,0,1),则异面直线OC与48所成角的余弦值

为.

答案,

6

解析由已知得面=(1,0,1),AB=(2,1,1),

设异面直线OC与48所成的角为0,则cosQ|cos<0C,AB)片翳鬻:焉尹*

(1)斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小角.

(2)线面角。的正弦值等于直线的方向向量。与平面的法向量〃所成角的余弦值的绝对值，即sin族|cos<«,

w)|.

(3)平面与平面的夹角和二面角的概念不同.

题型一异面直线所成的角

例1(1)如图，圆锥的轴截面A8C为等边三角形，。为弧A3的中点，E,尸分别为母线8C,AC的中

答案c

解析取AB的中点0,连接OC,，如图，以0。，08,OC所在直线分别为X轴、）'轴、z轴，建立

空间直角坐标系，

设AB=2,则B（0,1,0）,ZX1,0,0）,C（0,0,V3）,A（0,1,0）,

又E,产分别为母线BC,AC的中点，

所以E（0,y）,F（0,-py）,

则格（0,-1,身，屁=（-l,I，与），

设异面直线所和OE所成的角为0,则cos^=|cos（JBF,DE）|二落黑二屏算「0,

又〃«0,天，所以在看

（2）在直三棱柱48cA归iG中，底面△A8C是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，测棱长为2,

。为B山上的点，若直线4c与直线0G所成角的余弦值为手，则8。的长为（）

A.1B.|常D.1

答案A

解析以A为原点，AB,AC,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,2),G(0,2,2),C(0,2,0).

设D(2,0,r),。＜忘2,

则砧二(0,2,2),西二(2,2,2n,

所以Icos〈砧，西〉|=愿察=后•/日14

11|47||。6|2二j4+4+(2T)26

解得=1(负值舍去).即BD=\.

思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)用坐标表示异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)注意异面直线所成角的范围是(0,外，即异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.

跟踪训练1若在三棱柱48cAi81G中，N4AC=N84O60。，平面4ACG_L平面48C,AA{=AC=ABf

则异面直线AG与A8所成角的余弦值为.

答案乎

4

解析设M为AC的中点，连接MB,,

由题意知△ABC是等边三角形，

所以BM1AC,同理，AiM±AC,

因为平面ANCG_L平面ABC,

平面AMCGCl平面ABC=AC,

AMu平面ABC,

所以平面4ACG,

因为/Mu平面44CG,

所以,

所以AC,BM,4M两两垂直，以M为坐标原点，为？，丽，西的方向分别为x轴、)，轴、z轴的正方向

建立如图所示的空间直角坐标系.

设AA\=AC=AB=2,

则A(1,0,0),B(O,V3,0),4(0,0,V3),

Ci(2,0,V3),

所以宿二(3,0,V3),砧=(0,V3,V3),

所以|cos〈宿，不下〉|=-U|U=Y,

故异面直线AG与A出所成角的余弦值为它.

4

题型二直线与平面所成的角

例2如图，在三棱台AAC4由iG中，4G与4c相交于点D,即?」平面AAC，4B=6,RC=4,BB,=2,

AiG=<13,AE=2EB,且O£〃平面BCC/i.

⑴求”3的值；

S—BC

(2)求直线CG与平面4囱C所成角的正弦值.

解(1)连接C1,如图，

因为DE〃平面BCGBi,OEu平面ABC},平面ABCC平面BC3B尸GB,

所以DE〃CB

因为乐二2而，所以而=2西，

所以40夕€\

因此AB=|AB,妨G李C,

所以静皿二二士

S&ABC5)4

(2)由(1)可知，AC尸,

所以AC=2V13.

依题意,AC^AB^BC2,

所以4A_LBC,

又88_L平面ABC

因此，以8为坐标原点，分别以而，近，西的方向为k轴、y轴、Z轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系.

则4(6,0,0),C(0,4,0),Bi(0,0,2),Ai(3,0,2),Ci(0,2,2).

所以^77=(3,0,0),B^=(0,4,2),CC\=(0,2,2).

设平面48c的一个法向量为n=(x,y,z),

由1n.可可=3%=0,

In•=4y-2z=0,

取产I,则x=0,z=2,所以/i=(0,1,2).

设CG与平面4由C所成角为0,

贝加公而鬲二反而不

即直线CG与平面48c所成角的正弦值为等.

思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤

跟踪训练2(2025・济南模拟)如图，在三棱台A8CDE/中，平面A3C_L平面BC尸E,AF_DE,Z

ABC=NCBF=45°,AC>AB=\.

⑴求三极台A3c。石厂的高；

(2)若直线AC与平面A8f所成角的正弦值为"，求8C

解⑴作尸0_L4C于点。，

因为平面A8CJ_平面BCFE,平面A8CC平面BCFE=BC,A'Ou平面BCFE,FOLBC,

所以FO_L平面ABC，尸。即为三棱台/WCQEF的高，

又因为ABu平面ABC,

所以FOLAB,连接AO,

因为AB//DE,AF±DE,所以ABLAF,

FOQAF=F,FO,A/u平面AFO,

所以平面AR),

又AOu平面AFO,所以AB±AO,

^ZABC=ZCBF=45°,AB=\,

所以AO=1,BO=FO=V2,

所以三棱台A8CDE/的高为夜.

(2)以。为原点，在平面A8C内，作。U8C,以。jOB,O/所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

贝I」0(0,0,0),“当，弓，0),5(0,V2,0),F(0,0,V2),

而二(一¥，，雨=(°，&，&)，

50=(0,V2,0),

设平面的法向量为n=(x,)，「)，

(n-FB=\f2y—\[2z=0,

则*V2V2

n-AB———xH---y—0,

22z

可取”(1,1,1),

设或=2函，则C(0,V2V2;,0),

则格(一今y-V2A,0),

设直线AC与平面AB厂所成的角为a,

sina=|eos(AC,“〉l=^===?，

化简得8万187+9=0,

解得上|或[[(舍去，因为AOAB,贝ijBOBO,所以A>1),所以BC=XBO普.

题型三平面与平面的夹角

例3(2024・新课标全国I)如图，四棱锥PA8C力中，PA_L底面A8CO,PA=AC=2,BC=\,AB=y/3.

(1)若4O_LP3,证明：4。〃平面P8c

(2)若4O_L£>C,且二面角ACT。的正弦值为手，求AD

⑴证明因为RA_L平面ABC。,

而AOu平面AI3CD,所以PA1AD,

又AD1.PB,PBC\PA=P,PB,PAu平面PAB,所以4力J_平面PAB,

而A8u平面PAB,所以AD±AB.

因为BC2+AB2=AC2,所以BCA.AB,

根据平面知识可知4O〃8C,

又AZX平面PBC,8Cu平面PBC,

所以A。〃平面PBC.

(2)解方法一以。为原点，方，沆的方向分别为x轴、,，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=p,DC=q,

满足p2+/=AC2=4.

则A(p,0,0),P(p,0,2),C(0,,0),D(0,0,0).

设平面APC的法向量为m=(x\,y\,zi),

因为J?=(0,0,2),AC=(p,q,0),

所以巴,m=2z1=0,

UC•m=-pxr+qyr=0,

取m-(q,p,0).

设平面OPC的法向量为n=(.X2,>'2,Z2),

因为丽=(〃，0,2),DC=(0,4,0),

DPn=px+2Z=0,

所以22

DC•n=qy2=0,

取n=(2,0,p).

所以|cos(in,n)|

Jmm二2q二I/V42\2

|m||n|、盾/."ZN\7)

又因为/九六"所以岛吟，

解得p=V5(负值舍去)，即AD=V3.

方法二如图所示，过点£>作£>E_LAC于点E,

再过点E作EFJ_CP于点尸，连接Q尸，

因为PA_L平面48CD,

尸Au平面PAC,

所以平面PAC_L平面ABCD,

又平面PACT)平面ABCD=AC,

OEu平面ABCD,

所以DEJ_平面PAC,

因为CPu平面PAC,所以DE上CP,

又EF1CP,EFC\DE=E,EF,QEu平面DEF,所以CPJ_平面DEF,

所以DFA.CP,

根据二面角的定义可知，

NO正即为二面角ACP。的平面角，

即sinNDFEUp,即tanZDF£：=V6.

因为ADA.DC,设AQ=x,0<r<2,

贝ijDC=V4^2,

由等面积法可得，DE=9咨,

又年](4->2)_弋互二号!t

而△£「€1为等腰直角三角形，所以EF二嗜,

又。£，平面PAC,E/u平面PAC,

科i以DETLEF,

X，A一避

故tanZDFE=^=^5-=^，

2V2

解得x=V3,即AD=y/3.

■微拓展---------------------------------------------------------------------------------------

利用法向量的方向判断二面角

二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角，法向量的方向指

向内部的称为“进”入半平面；法向量的方向指向外部的称为穿“出”半平面；当法向量m,〃“一进一

出”时，/«,〃的夹角就是二面角的大小；当法向量m,〃“同进同出”时，机，〃的夹角就是二面角的补

角.

典例在长方体A8CO・A13ICOI中，4O=AA]=1,A8=2,点E为棱A8的中点，则二面角Di-EC-D

的余弦值为.

答案4

解析建立如图所示的空间直角坐标系，

由AZ)=M=1,AB=2，得E(1,1,1),C(0,2,1),Di(0,0,0),

则裁=(1,1,1),DT?=(O,2,1),

设平面。]伙7的法向量为n=(x,y,z),

贝〃羽飞=。㈣；+上+2；仇

[DjCn=OfUy+z=0,

令z=2,得«=(1,1,2),

易知平面DEC的一个法向量为771=(0,0,1),

则cos〈…>-=^==T.

由法向量的方向为同出，

得二面角。反力的余弦值为£

思维升华利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法

(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小.

(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后

通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小.

跟踪训练3(2024•新课标全国H)如图，平面四边形A3CO中，A8=8,CD=3,AD=5®ZADC=90°,

ZBAD=30°,点、E,“分别满足冠W而，AF=^AB,将△?!£：尸沿Eb翻折至△2M，使得PC=4百.

屋

B

⑴证明:EF-LPD,

(2)求平面PCO与平面P8尸所成的二面角的正弦值.

⑴证明由AB=8,AD=5y[3,

福|赤，於萍.

得AE=2>/3,AF=4,

又N64>30°,在AAEf中，

由余弦定理得

EF=y/AE2+AF2-2AE-AFcos^BAD

=J12+16-2x2V3x4xy=2,

所以AE2+EF2=AF2,

则AE1EF,即EF1AD,

所以EF.LPE,EF±DE,

又PECDE=E,PE,OEu平面PDE,

所以E尸_L平面PDE,

又/V)u平面PDE,

故EFLPD.

⑵解连接CE,

由40090。，

ED=3A/3,CD=3,

贝ijEC2=ED2+CD2=36,

在△PEC中,PC=4\[3,

PE=2y/3,EC=6,

得EC2+PE2=PC2,

所以PEI.EC,由(1)知PE1EF,

又ECC\EF=E,

EC,ERz平面ABCD,

所以PE_L平面ABC。,

又EOu平面ABCD,

所以PE±ED,

贝ljPE,EF,E。两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则£(0,0,0),P(0,0,2V3),

D(0,3V3,0),C(3,3V3,0),

尸(2,0,0),A(0,2V3,0),

由尸是A8的中点，得5(4,28，0),

所以正二(3,3V3,2百),

丽=(0,3V3,2V3),

而二(4,2V3,2V3),

PF=(2,0,2V3),

设平面PC。和平面P8尸的法向量分别为

«=(xi,y\,zi),m=(X2,yi,Z2),

则PC=3x1+3\[3y1-2百为=0,

(n-RD=3>j3y1—2\[3z1=0,

m•丽=4X2+2y[3y2-243z2=0,

jn-PF=2X2-2X/3Z2=0,

令yj=2,X2=V3,

得汨=0,z)=3,3^2=1,z2=l,

所以/i=(0,2,3),m=(yf3,1,1),

设平面PC。和平面PH尸所成的二面角为0,

所以|cos0|=|COS<m，"〉仁鼎=晨荷警.

贝ljsin0=71-cos20=见空,

65

即平面PC。和平面PBF所成的二面角的正弦值为誓.

65

课时精练

［分值:90分］

阈知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.若直线/的方向向量与平面Q的法向量的夹角等于130。，则直线/与平面Q的所成的角等于（）

A.40°B.50。

C.1300D.以上均错

答案A

解析因为直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于130°,所以直线/与平面Q的所成的角等于

130°90°=40°.

2.在空间直角坐标系中，已知向量帆=（1,1,1）是平面A8C的一个法向量，且而=（0,3,4）,则直线C。

与平面ABC所成角的正弦值是（）

A为B噂C噂D*

15152020

答案B

解析直线CO与平面A8c所成角的正弦值等于|cos<m,方〉I瑞曷二盥噂

3.如图，在直三棱柱A8CA向G中，N8C4=90。，AC=CG=4,"是4%的中点，以C为坐标原点，建立

如图所示的空间直角坐标系.若砧_L而，则异面直线CM与48所成角的余弦值为（)

立.更旦

A.BD.

2311

答案C

解析设C8=>0,由题意得，C(0,0,0),Ai(4,0,4),8(0,，，0),M(2,4),G(0,0,4),

布=(4,f,4),第二(2,0)

由不_L而?得石耳的=8+算)=h4,CM=(2,2,4),砧二(4,4,4),

A|cos(CM,福〉|=\_CM_-_A^B_\__1_6_J2

|CM||4TBrV24xV48-3，

・•・异面直线CM与A/所成角的余弦值为终.

5

4.（2024・包头模拟）如图，底面A8CD是边长为2的正方形，半圆面APO_L底面48C。，点P为圆弧4。上

的动点.当三棱锥PBCD的体积最大时，二面角PBCD的余弦值为（）

p

BT

答案D

解析三棱锥PBCD的体积与P到平面BCD的距离成正比，

故当三棱锥P8CO的体积最大时，此时点尸处于半圆弧的正中间位置

点?处于半圆弧的正中间位置时，记AO的中点为O,以其为原点,AB,ADf而的方向分别作为x,y,z

轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

显然平面8C。的一个法向量为/n=(0,0,1),

则P(0,0,1),以2,1,0),C(2,1,0),

则该向量与而=(2,1,1)和定=(2,1,1)均垂直，

设n=(x,y,z)为平面P8C的一个法向量，

所以n-PB=0,n-PC=0,

从啮工淖

令I,解得m

故n=(x,y,z)=(l,0,2)符合条件，

显然二面角PBCD为锐角,

因此所求余弦值为|cos〈〃，m)|

|lx0+0x0+2xl|_2、行

|n||m|VI2+O2+22XVO2+O2+I25-

5.如图，在正方体ABCZMIQ。中，点E是线段4G上任意一点，则AE与平面48CD所成角的正弦值

不可能是()

A*

BTD.l

答案c

解析如图，以8为原点建立空间直角坐标系，

设棱长为I,

则B(0,0,0),A(I,0,0),Bi(0,0,1),设E(f,If,1),OWzWl,

所以版二Q1,1/,1),平面48C。的一个法向量为何=(0,0,1),

Icos〈西，荏〉I二鬻篇

二2二)2+六序1］，所以AE与平面48。所成角的正弦值的取值范围为四斗

对比各选项，C项不可能.

6.(2024•毕节模拟)钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.如图，在

某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面(四棱柱看成正四

棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上)，在整点时刻(在0点至12点中取整数点，含。点，不含12点)，已知

在3点时和9点时，相邻两钟面.上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上

的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为()

A三B]D.史

64

答案B

解析如图，在正四棱柱ABCDAiBQOi中，E/分别为侧面A88H和侧面8CGE的中心，

设G为58的中点，EN为2点钟时针，rM为8点钟时针，

贝|JN7VEG=3O。，ZMFG=30°,

设正四棱柱的底面边长为a,侧棱长为bt

以。为原点，以万5,尻，西的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则E（a,f,j）,N（a,a,#华），碓,a"）,

M（a'a‘卜钓’

丽=Qr第，前专，。，-第,

所以Icos〈EN,FM>l=^^=-p=rp=j=；-

\|436\|436

所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为士

4

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.三棱锥ABCO中，平面A3。与平面88的法向量分别为小，处,若〃尸（1，0,0）,小=（710,1）,则

二面角A6OC的大小可能为（）

AUC-D-

八'6BD'H3J3,6

答案AD

解析由已知可得|COS〈如，小〉I;普托=¥,

1川|叫2

因此二面角/WQC的大小为/或停

8.在△A6C中，AB=2,BC=3,E为AC的中点，点厂在线段6cL_SCF=2BF,将AA3c以直线

2

8c为轴顺时针转一周围成一个圆链，。为底面圆上一点，满足布=花，贝弘）

A.BA15D

B.而在而上的投影向量是g瓦？

C.直线E尸与直线CD所成角的余弦值为噂

65

D.直线EE与平面ACD所成角的正弦值为噌

答案ABD

解析△ABC旋转一周后所得圆锥的顶点为C,底面圆心为B,半径48二2,

所以圆的周长为4兀，所以A。所对的圆心角为/48。三，A正确；易知B正确；

以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,2,0),。(2,0,0),C(0,0,3),E(0,1,|),F(0,0,1),

所以钎=(0,-1,一]),CD=(2,0,3),CA=(0,2,3),

所以3〈而，而〉I焉簿噜，C错误;

n-CD=-3z=0,

设平面AC。的法向量为n=(x,y,z),则令z=2,

n-CA=2y-3z=0.

则〃二(3,3,2).设直线样与平面ACO所成的角为H,则singeos(EF,〃〉1=毓+嗖2，D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.(2025•沧州模拟)已知正四棱柱ABCDAiSG。的底面边长与侧棱长之比为1:3,则平面与平面

48G夹角的余弦值为_________.

答案卷

解析如图，以点。为原点，以DA,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设正四棱柱A8CO48G。的底面边长为a(aX)),

则DD}=3a,

所以B(a,a,0),43,0,3a),C,(0,a,3a),

则41g=(0,a,3a),DB={a,a,0],A^=(a,a,0),

f

设平面与平面A\BC\的法向量分别为〃=(即，y\,zi),m=(x2,>2,z2),

则1n.便=-3azi=0，

ln,DB=aXi+ay1-0,

令汨=3,则〃=(3,3,1),

m'A1B=ay2-3az2=0，

m-A1C1=—ax2+ay2=0,

令Z2=l,则m=(3,3,1),

设平面DA由与平面A用G的夹角为0,

则CosX吗3X3=31X1|J

\n\\m\gxg19

所以平面048与平面A1G夹角的余弦值为卷.

10.如母，在四棱锥PA8CD中，H4_L平面A8CD,底面ABCO是矩形，AP=AB=2,AD=4,E是8C上的点,

直线PB与平面PDE所成角的正弦值为"，则BE的长为___________.

6

答案2

解析由题意知，在四棱锥PABC。中，PA_L平面ABC。，底面4AC。是矩形，

以A为坐标原点，以4B,AO,4P所在直线分别为工，y,z轴建立空间直角坐标系,如图，

则A(0,0,0),5(2,0.0),P(0,0,2),D(0,4,0),设E(2,z,0)(0&W4),

则而=(2,0,2),PD=(0,4,2),PE=(2,r,2),而=((),t,0),

设平面POE的法向量为n=(x,y,z),

贝J丝-n=4y-2z=0,

[PE-n=2x+ty-2z=0,

令尸2,得n=(4t,2,4),

设直线PB与平面PZm所成的角为e,ow|o,1,

所以sin^=|cos〈而，〃〉I

_______2t________V3

-|PB||n|-2\^2x7（4-t）2+20-6'

即5^8/36=0,解得t=2或七费（舍去），

故BE的长为2.

四、解答题（共28分）

11.（13分）如图,已知在斜三棱柱ABCARC中，A6_LZTC,侧面A3B勾是边长为2的菱形，且N

A防『，B'C=BC.

3

（I）求证：平面ABBA」平面48C；（6分）

（2）若4c二人E是AC的中点，2工T=5而，求A"与平面八'R月所成角的正弦值.（7分）

⑴证明如图，连接48',取88'的中点。，连接AQ,CQ,

由侧面A887r为菱形，所以AB_LA".

又由A'8_L8'C,且A8'n8C=8',力夕，B'Cu平面B'AC,所以A'8J_平面B'AC,

又ACu平面B'AC,故而4'8_LAC

又由乙488、,

所以△A88’为等边三角形，所以AQ_L8B：

由B'C=BC,所以CQ-LBB1,且AQQCQ=Q,AQ,CQu平面ACQ,

所以B/r_L平面AC。，

又ACu平面ACQ,所以AC-LBB,,

又BBCA'B=B,BB',4火u平面ABB'A',

所以AC_L平面ABB卬，ACu平面A灰？，

故而平面ARR'A'l平面ARC.

⑵解如图，取A'B’的中点/，连接A尸，

由(1)知A8J_AC,AC±AF,

由f为AB的中点，

贝ijAF_LAB',即AF_LAB,

所以AB,AC,A尸两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由AB=AC=2,

所以A(0,0,0),B(2,0,0),A*(l,0,V3),E(0,1,0),

所以丽=(2,1,0),莉=(3,0,、G).

设P(.r0,yo,zo),由2丽25丽，

得2(1,1,V3)=5(xo,jol,zo),

赤l、J232>/3

所以必D,yo=-n,2o=—O,

所以内(V,I,f).

设平面A5E的法向量为/i=(.n,yi,zi),

则卜.包=0,即产一夕=0,

in•=0,(3/一，3zi=0,

令“i=l,则,Z]=V3,所以w=(l,2,y/3),

令。为AP与平面45石所成的角，

所以singeos<„,AP>।啮鬻=标考-

所以短与平面A5E所成角的正弦值为当

12.（15分）（2024.厦门模拟）如图，在四极台ABCD4出G。中，底面A8CO是边长为2的正方形，8c=1.

A

(I)证明：A4〃平面BQG:(6分)

(2)若/Ui_L8。，8G=CG=2,求平面BG。与平面8C。夹角的余弦值.(9分)

(1)证明方法一由棱台定义可知44与CG共面，且平面A8CD〃平面A/iGOi.

又平面ABCOn平面ACGAi=AC,平面AiSG。。平面ACGALAG,

所以AC〃4G.

连接AC交8。于点0,如图，则。为AC的中点.

因为BC=2BC=2,所以4G=4。.

所以四边形AAOG是平行四边形，所以AA〃OG.

又AA。平面BDC\,OGu平面BDG,

所以AA〃平面BDCx.

方法二将棱台补形成棱锥PABCD,如图，

由棱台定义知平面A8C。〃平面A.BICID).

又平面ABCQC平面BCCiB产BC,平面4出©。由平面BCGB尸BC,

所以BC//BG.

连接4c交8。于点O,则。为AC的中点.

又ABCPSABIGP,所以黑=襄=2,所以G为QC的中点，

81clPC]

所以0G为△4CP的中位线，所以A4〃OG.

又AAiQ平面BDC\,OGu平面BDC},所以44〃平面BDC\.

（2）解方法一在正方形ABCD中，BD±AC,又BD±AA],ACQAA]=A,AC,A4u平面ACC}Ai,

所以BO_L平面ACG4.

因为OGu平面ACCiAi,所以BDLOCx.

在RtABOCi中，ZBOCi=90°,BO=^2,8G=2,所以0G=&.

在△OCG中，OC=OC\=®,CCi=2,

所以OC2+OCf=CCf,所以OCA.OC\.

以O为原点，分别以赤，而，西的方向为x轴、），轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.

则仅鱼，0,0）,7）（鱼，0,0）,C（0,或，0）,以俘，一日，或），人（一等，V2）.

所以丽二（企,0,0）,^C=（-y,苧，-V2）.

设平面BCD1的法向量为n=（x,y,z）,

则[n.陋=0,'化简整理得{短%=。

n•B]C=0,

令y=2,则z=3,所以w=(0,2,3),

又因为平面8G。的一个法向量〃厂（0,1,0）,

\mn\_2V13

所以|cos{m,n)|=-

|m||n|13

所以平面8C。与平面夹角的余弦值为等.

方法二在正方形ABCD中，8O_LAC,

又8Z)_LA4,ACOAAi=A,AC,AA】u平面ACCA,

所以B/）_L平面ACG4.

因为OGu平面ACG4,所以BDLOG.

在RtABOCi中，NBOG=90。，BO=&,BG=2,

所以QC）=V2.

在△OCG中，OC=OCi增,CC,=2,

所以OC2+OCf=CCf,所以OC_LOG.

连接BC交8G于点M,连接CD】交CiD于点N,

则MN为平面BGO与平面SC。的交线，设MN交OG于点。，连接CQ.

由△BCMSAGBIM,有汕二些,

MBCB2

同理汕」,

ND2'

所以MN//BD,所以MN_L平面ACGAi.

又QOu平面ACGAi,QCu平面ACCiAi,

所以MN1Q。，MN1QC,

又/OQC为锐角，所以NOQC为平面8G。与平面片C。的夹角.

由MN〃B。得汕=汕二，

MBQ02

所以。0二斗.

在Rd。。。中，。氏乎，OC=y[2,QC等，

JO

所以cosNOQC=*^.

所以平面8G。与平面BCD夹角的余弦值为等.

IE能力拓展

每小地5分，共10分

13.（2024・临沂模拟）已知正方体A8CDABC四中，M,N分别为CG，G。的中点，则（

A.直线MN与AC所成角的余弦值为手

B.平面8MN与平面8GQ夹角的余弦值为噜

C.在BG上存在点Q，使得SQ_LB。

D.在当。上存在点尸，使得R4〃平面ZM/N

答案c

解析以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1,

所以。(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,