导数中单调性和恒成立问题（专项训练）

专题13导数中单调性和恒成立问题

I.若函数=在[2,y)上单调递增，则/的取值范围是()

A.[2,”)B.(--2]C.(-oo,2]D.(0,2]

2.若函数/("=-2<^(2》+当-处在氏上单调递减，则”的取值范围为()

O

A.[4,-KO)B.[-4,-KO)C.[2,+oo)D.[-2,-KO)

3.已知函数/(x)=(/-a)e2x在区间[-1,2]上单调递增，则〃的取值范围为()

C.(-a),6]

4.已知/3=/3-/+办.是增函数，则〃的取值范围为（）

A.（1,-KO）B.[1收）C.（-<oj）D.（-oo,l]

5.若函数/（X）=丁-G+lnx在区间（l,e）上单调递增，则实数〃的取值范围是（）

2

A.[35-KC）B.（-oo,3]C.[3,e+1]D.“

6.若函数〃x）=gx2-91nx在区间[〃-La]上单调递减，则实数。的取值范围是（

A.1<«?3B.a>4

C.-2<f/<3D.1<«<4

7.“函数y=or-sinx在R上是增函数”是“a>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知函数/（幻=3/+/+工+4,贝是“/⑴在R上单调递增”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

9.已知/（x）=d-双在[1,2]上递增，则实数。的范围是（）

A.a>3B.a>3C.a<3D.a<3

10.已知函数/（》）=山nx+gY-6x+4在定义域内单调递增，则。的取值范围是（）

A.（0,-bx＞）B.[0,+cc）C.（9,-KO）D.[9,+oo）

11.若函数/"）=-2cos+g-依在R上单调递减，贝心的取值范围为（）

\6）

A.[4,+oo)B.[-4,+oo)C.[2,+00)D.[-2,+oo)

12.已知/(x)=(x-a)e，在(l,4<o)上单调递增，则实数。的取值范围为()

A.(YO,1]B.(-oo,2]C.[l,+oo)D.[2,+cc)

13.若函数/(x)=#-161nx在区间+g上单调递减，则实数。的取值范围是()

14.函数/'(乃=依-Inx在口,不冷)单调递增的一个必要不充分条件是()

A.k>2B.k..lC.左>1D.k>()

15.“任-1”是“函数於）=lnx-ar在［1,+8）上为单调函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

16.设〃：Dxc-4x+〃?>0,4：函数/(x)=-；x3+2x2-〃a-1在R上是减函数，则P是

夕的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

《专题13导数中单调性和恒成立问题》参考答案

题号12345678910

答案CABBBAACDD

题号111213141516

答案ABDDAA

1.C

【分析】由题意得/'(*)=0在［2,18)上恒成立，再次转化为Wa•在［2,18)上恒成立，从而

可求出，的取值范围.

【详解】由/(x)=x—/ln-得/(1)=1一工，

.1

因为函数/(6=1-"门在［2,+00)上单调递增，

所以《(力=1-!之。在［2.a)上恒成立，

即在［2,+8)上恒成立，所以Y2,

即，的取值范围为(-8,2］.

故选：C

2.A

【分析】利用导数，依题意只需使/'(力<0在R上恒成立，参变分离后，求出正弦型函数

的值域即得.

【详解】由题意，r(x)=4sin(2x+1)-a"。在R上恒成立，

即a>4sin(2x+5在R上恒成立，

6

因函数)，=sin(2x+?在R上的值域为［TJ，故得。24.

6

故选：A.

3.B

【分析】由题可得尸(力20在［-1，2］上恒成立，据此可得答案.

【详解】r(x)=^(2x2-r2x-2«),由题，r(x)>0,

即2x2+2x-2a>0=>a<(x2+x)在xe|-L2］上恒成立，

则〃4/+工),xe［-l,2］.

对于函数g(x)=v+x=X+1j-L

其在上单调递减，在卜器上单调递增•则—(-；)=!

故选：B

4.B

【分析】由函数是增函数得/'(切之。在R上恒成立，即犬-24+〃之()，所以有AWO,从而

得解.

【详解】由题意可得，.尸(x)=/一2x+aZ0恒成立，所以△=4一4々40,解得aNl.

故选；B

5.B

【分析】根据函数的单调性与导函数方间的关系，将单调性转化为导函数恒大干或等干0,

即可求解.

【详解】依题意/(力=2才-。+^^0在区间(l,e)上恒成立，即a«2x+1在区间(l,e)上恒成

立.

令g(x)=2x+'(lvxve),贝ijg〈x)=2--=&■二•>(),所以g(x)在(l,e)上单调递增，则

XXX

g(x)>3,所以a43.

故选:B.

6.A

【分析•】先求得导函数，艰据函数单调递减可知ra)wo在区间5-1,。］上恒成立，即可由

定义域及不等式求得〃的取值范围.

【详解】函数八力=；/一91门，(x>0).

OV2_O

则r(%)=x——=：—,

.1.1

因为/(X)在区间5-1，4］上单调递减，

则r(x)«0在区间［a-1,a］上恒成立，即X2_9K0,

所以0<x«3在区间5-1,。］上恒成立,

所以八，解得1<。？3，

a<3

故选：A.

7.A

【分析】求导，根据导数恒大于等于0可得。的范围，然后判断可得.

【详解】因为函数1y=a・sinx是增函数，

所以），'=〃-cosx2。恒成立，即a>cosx恒成立，

所以〃之1>（）

反之〃>0,函数的导数不一定大于0.

故“函数y=ax-Sinx在R上是增函数”是“a>0”的充分不必要条件.

故选：A

8.C

【分析】求得/（x）在R上单调递增的充要条件即可判断.

【详解】由题/'（力=加+2%+1

若〃”在R上单调递增，则r（x）20恒成立，，；;：_4。〈0即。之1，

故”是“/（X）在R上单调递增”的必要不充分条件

故选:C.

9.D

【分析】利用导数与单调性的关系转化为不等式恒成立问题，进而分离参数可求。的取值范

围.

【详解】根据题意，在工中,2［上r（x）=3/-心。恒成立，即恒成立，

易知，当力叩,2］时,343f《12,

所以，使得a6/恒成立，则。43.

故选：D.

10.D

【分析】求出函数的导函数，依题意可得了'（"=0+X-6之。在（0,+8）上恒成立，参变分离

可得a>-x2+6x在(0,y)上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得.

(详解】“X)=aInx+；/-6x+4的定义域为(0,y),

所以r(x)=g+x-620在(0,+8)上恒成立，

所以a2-x2+6x在(0,y)上恒成立，因为函数y=-丁+6x=-(x-3『+9,

所以当x=3时y=-X2+6.r取得最大值9,

所以。之9,即。的取值范围是[9,+oo).

故选：D.

11.A

【分析】等价转化为/'(耳<0在R上恒成立，计算即可.

【详解】由题可知：函数，3=-2cos(2x+?)-"在R上单调递减，则r(x”0在R上恒

成立，

所以/'(x)=4sin(2x+升〃K()在R上恒成立，即〃之4sin(2x+"在R上恒成立，所以

a>4.

故选：A

12.B

【分析】求导，利用单调性得到aWx+1在(1,田)上恒成立，求出实数a的取值范围.

【详解】由〃x)=(x-a)e'可得r(x)=e'+(x-a)ei=a-〃+l)e",

由题意得r(x)20,即aSx+1在(L”)上恒成立，而犬+1>2,故a«2.

故选：B

13.D

【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求。的取值范围.

【详解】/(干)=>*」*+4)(1)白〉0),

X

当/(x)<0,解得：0<A<4,

由条件可知；c(O,4],

1八

a—>0

27

所以,解得:-<a<—.

22

a+—<4

2

故选：D

14.D

【分析】求出导函数r（x）,由于函数/（x）=E-lnx在区间（l,y）单调递增，可得r（x）..O在

区间（i,y）上恒成立，求出女的范围，再根据充分必要务件的定义即可判断得解.

【详解】由题得=

x

函数〃x）=依-Inx在区间（1,抬）单调递增,

•••/（办.0在区间（1,+00）上恒成立.

而y=■5■在区间（h-Hx）上单调递减,

X

选项中只有4>0是生」的必要不充分条件.选项AC是I的充分不必要条件，选项B是充

要条件.

故选：D

15.A

【分析】先根据函数单调性求〃的范围，再根据两个范围确定充要关系.

【详解