2026中考第一轮复习数学第18课时：相似三角形及其应用（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第18课时相似三角形及其应用一、核心知识一、核心知识（一）相似三角形的基本概念相似图形：形状相同，大小不一定相同的图形称为相似图形，其对应角相等，对应边成比例。相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，用符号∽表示，书写时对应顶点需依次排列（如△ABC∽△DEF，A与D、B与E、C与F为对应顶点）。相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比，若△ABC∽△DEF的相似比为k，则△DEF∽△ABC的相似比为k-1；相似比为（二）相似三角形的核心性质角的性质：对应角相等；边的性质：对应边成比例；线段性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比；周长与面积性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；延伸性质：相似三角形的一切对应线段的比均等于相似比，对应图形的面积比为相似比的平方。（三）相似三角形的判定定理（中考必考）基本判定（通用三角形）平行线判定：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似（A型、X型相似，最基础判定）；两角判定（AA）：两角分别相等的两个三角形相似（中考最常用，优先找公共角、对顶角、同位角）；两边夹角判定（SAS）：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（注意：角必须是两边的夹角，非夹角不成立）；三边判定（SSS）：三边对应成比例的两个三角形相似。特殊判定（直角三角形，除通用判定外新增）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形，与原三角形都相似（双垂直模型）；一个锐角相等的两个直角三角形相似；斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。注意：SSA、AAA不能判定一般三角形相似。（四）相似三角形的常见基本模型（中考高频）A型（正A/斜A）：公共角在顶点，一边平行于底边（DE∥BC→△ADE∽△ABC/△ADE∽△ACB）；X型（八字型）：对顶角为公共角，两边互相平行（AB∥CD→△AOB∽△DOC）；K型（一线三等角）：同一直线上有三个相等角，常为直角（∠A=∠DCE=∠B=90°→△ACD∽△BEC）；双垂直模型：Rt△ABC中，CD⊥AB→△ABC∽△ACD∽△CBD；（五）位似图形（与相似结合考查）定义：两个图形不仅相似，且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行（或共线），这个点叫做位似中心，位似图形是相似图形的特殊形式；性质：位似比等于相似比，对应点到位似中心的距离比等于位似比；作图：分内位似（位似中心在图形内部）和外位似（位似中心在图形外部），按位似比截取对应边即可。（六）相似三角形的实际应用核心思路将实际问题转化为数学相似模型，通过找相等角构建相似三角形，利用“对应边成比例”列方程求解，常见场景：测量物体高度、河宽、航海测距、影子问题、平面镜反射问题。二、核心能力二、核心能力（一）相似三角形的判定题型1：相似三角形的判定解题思路先找角，再看边有平行线→直接用平行线判定定理（A型/X型）；有公共角/对顶角/已知等角→优先找另一组等角，用AA判定；有两边成比例→验证夹角是否相等，用SAS判定；无角相等→计算三边比例，用SSS判定；直角三角形→优先用锐角相等或双垂直模型，再考虑HL型相似。相似三角形的性质应用题型2：利用相似三角形的性质计算解题思路线段/边长计算：找准对应边，列比例式，设未知数求解（关键：标注对应顶点，避免对应边找错）；周长/面积计算：周长比直接等于相似比；面积比先转化为相似比的平方，已知面积比则开方求相似比；高/中线/角平分线计算：直接利用“对应线段比=相似比”列比例式求解。（三）相似三角形的综合证明题型3：相似三角形的综合证明解题思路证明线段成比例：将比例式转化为三角形相似，证出相似后直接得对应边成比例；证明线段相等：先证三角形相似，得对应边成比例，再结合已知相等线段，推导出所求线段相等；证明垂直/平行：通过相似得对应角相等，再结合角的关系（如同位角相等、内错角相等、互余）证明垂直/平行。(四)相似三角形的实际应用题型题型4：相似三角形的综合证明常见模型及解题步骤：标杆测量物体高度：构建A型相似，标杆高/物体高=观测者到标杆距离/观测者到物体距离；影子测量物体高度：同一时刻，物体高度/影长=参照物高度/参照物影长（相似三角形的对应边成比例）；平面镜反射测量高度：利用“反射角=入射角”构建相等角，形成相似三角形；测量河宽：构建X型/A型相似，将河宽转化为相似三角形的对应边，列比例求解。通用步骤：①审题，画出几何图形；②找相等角，构建相似三角形；③设未知数，列比例式；④解方程，检验并作答。三、易错警示三、易错警示对应点错误错误：未按对应顶点找对应边，如将△ABC∽△DEF的对应边写成DF/AB=DE/BC；提醒：根据相等角的对边确定对应边，或严格按照书写顺序找对应边。误用相似判定错误：两边成比例，但夹角不是对应角，直接证相似；提醒：SAS判定的“角”必须是两边的夹角，非夹角则为SSA，不能判定相似。面积比与相似比混淆错误:面积比与相似比混淆：认为相似三角形的面积比等于相似比；提醒：牢记周长比=相似比，面积比=相似比的平方，反向求解时面积比开方得相似比。忽略多解情况错误:等腰三角形、直角三角形相似时，未考虑边的不同对应关系；提醒：遇等腰/直角三角形相似，分类讨论不同的对应方式，避免漏解。位似与相似混淆错误:认为所有相似图形都是位似图形；提醒：位似图形必须满足对应顶点连线交于一点，相似图形不一定是位似图形。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·广东模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】根据勾股定理，易得出△ABC的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．【解答】解：由题意知，在△ABC中，AC=12+12=2，BC=2，AB=12+32=10，A．三边各为：1，2，12+22=5与△ABC中的三边能对应成比例，故两三角形相似，符合题意；

B．三边各为：2， 3 ，12+22=5与△ABC中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似；2.（24-25·内蒙古中考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0,0)，A(2,1)，B(1,2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若△OA'B'与△OAB的相似比为2:1，则点A.(-2,-1) B.(【答案】B【解析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为2:1，A(2,1)，直接利用相似比可得出坐标．【解答】解：∵△OA'B'与△OAB位似，相似比为2:1，

∴OB:OB'=1:2=OA:OA'，3.（24-25·贵州模拟）如图，B、A、E三点共线，C、A、D三点共线，在下列四个条件中：①∠ADE=∠ABC；②∠AED=∠ACB③AD．AC=AB．AE；④DEBC=ADA.① B.② C.③ D.④

【答案】D【解析】此题暂无解析【解答】D4.（23-24·广西中考）如图，在五边形ABCDE中，AE // BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCNA.∠B+∠4=180∘ B.【答案】D【解析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当∠B+∠4=180∘时，可证明CD∥BM，由平行线的性质得到∠CDN=∠AME，∠AEM=∠CND，则可证明△MAE∽△DCN，据此可判断【解答】解：A、∵∠B+∠4=180∘，

∴CD∥BM，

∴∠CDN=∠AME，

∵AE // BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故A不符合题意；

B、∵CD // AB，

∴∠CDN=∠AME，

∵AE // BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故B不符合题意；

C、∵AE // BC5.（24-25·浙江中考）如图，五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0)．若DE的长为3A.72 B.4 C.92 【答案】C【解析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．

根据位似图形的性质得到OAOA'=OE【解答】解：∵五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0)

∴OAOA'=OEOE'6.（24-25·全国模拟）在Rt△ABC中，∠C=90∘,AB=13,BC=5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（A.213 B.215 C.6【答案】A【解析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键；

先根据勾股定理求出AC，设BG,AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，利用角平分线的性质可得CM=MN，利用等积法求出CM，进而可得BM，证明△ABQ∽△【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘,AB=13,BC=5，

∴AC=132-52=12,

由题意可得：BG平分∠ABC，即∠CBG=∠ABG，

设BG,AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，

则CM=MN，

设CM=MN=x，

∵S△ABC=S△MBC+S△ABM，

∴12BC⋅AC=12BC⋅CM+12AB⋅MN，

7.（24-25·浙江模拟）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（

）

A.92 B.6 C.163【答案】C【解析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则：

x8=1015，

解得：x=163，

即蜡烛火焰的高度为163cm，

8.（23-24·云南中考）如图，在△ABC中，已知D,E分别是AB,AC边上的点，且DE // BC．若ADAB=12A.12 B.13 C.1【答案】A【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；

由DE // BC证△ADE【解答】解：∵DE // BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴△ADE∽△ABC，

∴DEBC=9.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E,F在坐标轴上．若∠A=90∘,tanB=12,A(A.(11,-4) B.(10,-3)【答案】B【解析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到AHBK=OHAK=OA【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则：∠AHO=∠BKA=90∘=∠BAO,

∴∠BAK=∠AOH=90∘-∠HAO，

∴△AHO∽△BKA，

∴AHBK=OHAK=OAAB，

∵∠A=90∘,tan∠ABO=12,A(-4,3)，

∴OH=3,AH=4,OAAB=12，

∴4BK10.（23-24山东模拟）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（

）

A.80cm B.60cm C.50cm D.40cm【答案】B【解析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式．【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴AC∥BD，

∴△AOC∽△BOD，

∴ACBD=AOOB，

∵动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm

∴AC20=15011.（23-24·广东中考）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB=50cm，则CD的长是（

）

A.30cm B.1003cm C.20cm【答案】B【解析】证明△COD∽△BOA【解答】解：根据题意得CD//AB，∴△COD∽△BOA，

∴CDAB=23，

∵AB=50cm，

∴CD=12.（24-25·内蒙古中考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0,0)，A(2,1)，B(1,2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若△OA'B'与△OABA.(-2,-1) B.(【答案】B【解析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为2:1，A(2,1)，直接利用相似比可得出坐标．【解答】解：∵△OA'B'与△OAB位似，相似比为2:1，

∴OB:OB'=1:2=OA:OA'，

∵A(2,1)，位似中心为原点O13.（24-25·浙江中考）如图，五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0)．若A.72 B.4 C.92【答案】C【解析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．

根据位似图形的性质得到OAOA'=OE【解答】解：∵五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0)

∴OAOA'=OEOE'=ODOD14.（24-25·全国模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（

）

A.1010 B.13 C.31010【答案】B【解析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明△AGD∽△FGE，得到EGED=14，然后过点G作GH⊥BC【解答】解：∵矩形ABCD，E，F是BC边上的三等分点，AB=8，BC=12，

∴AD=BC=12，CD=BC=8，AD∥BC，BE=EF=FC=4，EC=8，

∴△AGD∽△FGE，

∴EGDG=EFAD=412=13，

∴EGED=14，

过点G作GH⊥BC，则GH∥CD，

15.（23-24·江苏中考）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN=AF；②∠EAH=∠EHA；③EN⋅BF=EC⋅HN；④若BF:FC=3:4，则tanA.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤【答案】C【解析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似．

容易证明△AEB≅△AFB(SAS)，从而可得∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=α，进而可得∠EAH=∠AHE，从而可得②正确，过点B作BK∥EN，交CD于点K，构造△ABF≅∠BCK(AAS)，结合四边形BMNK是平行四边形可得MN=BK=AF，可得①正确，再利用角关系证明△NEC∽△BAF，△AEC∽△HNC，可得EN⋅BF=CN⋅AF=CN【解答】解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K，

∵在正方形ABCD中，

∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=90∘，∠BAC=∠ACB=∠ACD=45∘，AB∥CD，

∴△ABC、△ADC是等腰三角形，

又∵BE=BF，AB=AB，

∴△AEB≅△AFB(SAS)，

∴AE=AF，∠AEF=∠AFE，∠BAE=∠BAF，

∴△AEF是等腰三角形，

∵EG⊥AF，

∴∠NEC+∠AFE=90∘，

又∵∠BAF+∠AFE=90∘，

∴∠NEC=∠BAF，

∵BK∥EN，

∴∠KBC=∠NEC，∠BKC=∠ENC，

∴∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE，

设∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=α，

∵∠EAH=∠BAE+∠BAC=α+45∘，∠AHE=∠HEC+∠ACB=α+45∘，

∴∠EAH=∠AHE，故结论②正确；

∴EA=EH，即△AEH是等腰三角形，

∵在△ABF和△BCK中，

AB=BC∠KBC=∠BAF∠ABF=∠BCK ，

∴△ABF≅∠BCK(AAS)，

∴BK=AF，∠CKB=∠AFE=∠AEF=90∘-α

∵BK∥EN（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（25·四川模拟）（3分）如图，若ABBC=BCBD=m，请再添加一个条件，使得△ABC∽△CBD【答案】∠ABC=【解析】此题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似．【解答】解：添加条件∠ABC=∠CBD，理由如下：∵ABBC=BCBD=m，∠ABC=∠17.（25·福建模拟）（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为6,32，△ABC的顶点A的坐标为(4,3)．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A【答案】-【解析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出AP=52进而得出A2P=2A【解答】解：依题意，A1P=2AP=2(6-4)2+32-32=5，

∴A2P=2A1P=10,A3P=2A2P=20，

设直线AP的解析式为y=kx+b(k≠0)，代入6,3218.（24·山东模拟）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO=5m，树影AC=3m，树AB与路灯O的水平距离AP=4.5m，则树的高度AB长是

2

米．

【答案】2【解析】由题意知AB//PO，得出Rt△ABC∽Rt△【解答】解：由题意知AB//PO在Rt△ABC和Rt△POC中

∵∠C=∠C∠CAB=∠CPO∠ABC=∠POC

∴19.（24·湖北模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是

△MCB

．

【答案】【解析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．【解答】解：四边形是矩形，，

∴∠DNM+∠DMN=90∘，

由折叠的性质可得：∠BMN=∠A=90∘，

∵∠NMD+∠BMN+∠BMC=180∘，

20.（25·江苏模拟）如图，在△ABC中，AC=2，AB=3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP=2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ=x，PQ=y．当x=y时，CD=___2_____；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为__y=3【答案】2,y=3【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．易得CD // PQ，则△APQ∽△ADC，得出AQAC=PQCD，代入数据即可求出CD=2；根据△APQ∽△ADC，得出CD=2yx，设DE=t，则AP=2t，通过证明△【解答】解：∵CM∥AB，PQ∥AB，

∴CD // PQ，

∴△APQ∽△ADC，

∴AQAC=PQCD，即x2=yCD，

∵x=y，

∴CD=2；

∵△APQ∽△ADC，

∴AQAC=PQCD，即x2=yCD，

整理得：CD=2yx，

设DE=t，

∵AP=2ED，

∴21.（25·达州模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为___25-2___________；当CG取最小值时，CE的长为____6-2【答案】25-2,【解析】在正方形ABCD中，易证△ABE≅△BCF(AAS)，可得∠BGE=∠AGB=90∘，则G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理可得CG的最小值为OC-OG=25-2，根据AB∥CD，则有△BOG∼△FCG可得OGCG=BGFG，得到：FG=BG5-1【解答】解：如图示：

∵在正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90∘

在△ABE和△BCF中，

BA=CB∠ABE=∠BCF=90∘BE=CF ，

∴△ABE≅△BCF(AAS)，

∴∠AEB=∠BFC

∵∠FBC+∠BFC=90∘

∴∠FBC+∠AEB=90∘

即有：∠BGE=∠AGB=90∘

∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，

因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，

∵BC=4,

∴OB=OG=2

∴OC=OB2+BC2=22+42=25，

∴CG的最小值为OC-OG=25-222.（23·浙江中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=6．将射线CA绕点C顺时针旋转90∘到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD【答案】213【解析】先整理得AC×CD=48，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE=8，则CECA=CDCB，结合∠BCE=∠ACD=90∘,整理得∠ACB=∠ECD【解答】解：∵射线CA绕点C顺时针旋转90∘到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，

∴∠ACD=90∘,

∵△ACD面积为24，

∴AC×CD×12=24

∴AC×CD=48，

过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE=8，

∵BC=6

∴BC×CE=6×8=48

即AC×CD=BC×CE

∴CECA=CDCB，

连接DE，

∵CE⊥BC，

∴∠BCE=∠ACD=90∘,

∵∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE，

∴∠ACB=∠ECD，

23.（25·山东模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，AC=7，BC=9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若CM=3，则AM+13BM的最小值为【答案】52【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出MG=13BM.

在BC上取点G，使CG=1，构造出△MCG∽△BCM，得MG=13【解答】解：在BC上取点G，使CG=1，

又∵BC=9，CM=3，

∴CGCM=CMBC=13，

又∵∠MCG=∠MCB，

∴△MCG∽△BCM，

∴MGBM=CGCM=13，

∴MG=124.（25·四川模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+3交x轴于点A，交y轴于点B．四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，⋯都是正方形，顶点A1，A2，A3，A4，⋯都在x轴上，顶点B1，B2，B3，B4，⋯都在直线y=-12x+3上，连接BA1，B1A2，B2A3，【答案】23【解析】根据一次函数的解析式可得点B的坐标是(0,3)，设点B1的坐标是x1,-12x1+3，根据正方形的四条边都相等可得x1=-12x1+3，从而求出正方形OA1【解答】解：当x=0时，y=-12x+3=3，

∴点B的坐标是(0,3)，

∵点B1在直线y=-12x+3上，

设点B1的坐标是x1,-12x1+3，

则点A1的坐标是x1,0，点C1的坐标是0,-12x1+3，

∵四边形OA1B1C1是正方形，

∴OA1=A1B1，OA1 // C1B1，

∴x1=-12x1+3，

解得：x1=2，

∴B1的坐标是(2,2)，

∴正方形OA1B1C1的边长为2，

∴OC1=OA1=A1B1=B1C1=2，

∴BC1=BC-OC1=3-2=1，

∵OA1 // C1B1，

∴△BC1D1∽△BOA1，

∴BC1BO=C1D1OA1，

∴13=C1D12，

解得：C1D1=23，

∴B1D1=B1C1-C1D1=2-23=425.（24·河南中考）如图，在矩形ABCD中，AD=23，CD=6，E是AB的中点，F是线段BC上的一点，连接EF，把△BEF沿EF折叠，使点B落在点G处，连接DG，BG的延长线交线段CD于点H．给出下列判断：①∠BAC=30∘；②△EBF∽△BCH；③当∠EGD=90∘时，DG的长度是23④线段DG长度的最小值是21-3；⑤当点G落在矩形ABCD的对角线上，【答案】①②③【解析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC=∠BEF，可判断②正确；推出点D、G、F三点共线，证明Rt△EAD≌Rt△EGDHL，可判断③正确；当点D、G、E三点共线，线段DG长度的最小值是21-3，由于【解答】解：连接AC，

∵矩形ABCD中，AD=23，CD=6，

∴tan∠ACD=ADCD=236=33，

∴∠ACD=30∘，

∴∠BAC=30∘，故①正确；

由折叠的性质知EF是BG的垂直平分线，

∴∠HBC+∠BFE=90∘=∠BEF+∠BFE，∴∠HBC=∠BEF，

∴△EBF∽△BCH，故②正确；

由折叠的性质知∠EGF=∠ABC=90∘，

∵∠EGD=90∘，

∴点D、G、F三点共线，连接DE，

在Rt△EAD和Rt△EGD中，AE=BE=EG，DE=DE，

∴Rt△EAD≌Rt△EGDHL，

∴DG=AD=23，故③正确；

∵AE=BE=EG，

∴点A、G、B都在以E为圆心，3为半径的圆上，DE=232+32=21，

∴当点D、G、E三点共线，线段DG长度的最小值是21-3，但F是线段BC上的一点，∴D、G、E三点不可能共线，故④不正确；（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（25江苏模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为(-1,-（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1【答案】图见解答；(图见解答【解析】（1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可；（2）根据点A和点A1的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以-2即可得到B1、C【解答】（1）解：如图所示，点D即为边AB的中点，

∵A(-1,-3),B(-3,1)，

∴（2）解：如图所示，△A1B1C127.（23·云南中考）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF．

【答案】见解答【解析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出∠B=∠C=90∘【解答】解：∵BE=3，EC=6，

∴BC=9，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB=9，∠B=∠C=90∘，

∵ABEC=96=3228.（25·贵州模拟）如图，已知∠B=∠E=90∘,AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25【答案】ΔABC【解析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到△ABC【解答】证明：∵∠B=90∘,AB=6,BF=3,CF=5，∴BC=BF+FC=3+5=8,AC=62+82=10

在ΔABC中，∴AB:BC:AC=6:8:10=3:4:5

∵∠E=90∘,DE=15,DF=25，

∴EF=29.（25·吉林模拟）如图，已知△ABC中，点D是边AB上一点，点E是△ABC外一点，∠ACD=∠BCE,∠A=∠CDE.

（1）求证：△CDE∼△CAB;

（【答案】见解答【解析】（1）利用相似三角形判定证明△CDE∽△CAB

;

（2【解答】（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE,

又∵∠A=∠CDE，∴△CDE∽△CAB

;

（2）∵△30.（24·湖南模拟）为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法．

（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求旗杆高度；（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．

如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．

如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用同样方法，测得C'G'=1.2m，【答案】11.3旗杆高度为12m；雕塑高度为29m．【解析】（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；（2）根据镜面反射性质，可求出∠ACB=∠ECD（3）BG=xm，由题意得：△DGC∽△DBA【解答】（1）解：由题意得DE=DF，由题意得：DEAB=EFBC，

∴AB=BC=11.3m（2）解：如图，由题意得，DE=1.5m，EC=2m，BC=16m，

根据镜面反射可知：∠ACB=∠ECD，

∵AB⊥BE，DE⊥BE，

∴∠ABC=∠DEC=90∘（3）解：设BG=xm，

由题意得：△DGC∽△DBA，△D'G'C'∽△D'BA，

∴CGAB=DGDG+x，C'G'AB=D'G'31.（25·四川模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90∘，BC=4，AD=aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点．

（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；（2）当a=2时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求（3）当a=2时，求MN+ND【答案】a=2BN=3-10【解析】（1）勾股定理求出AB,AC的长，中点求出AD的长，BN的长，根据AD=aBN，求出a的值即可；（2）设BN=x，得到AD=2x，CN=BC-BN=4-x，进而得到（3）作DE∥BC,AE⊥DE于点E，连接BE，易得△AED为等腰直角三角形，得到AD=2DE=2AE，∠DAE=45∘，进而得到四边形EDNB为平行四边形，得到BE=DN，将AB绕点B旋转90度得到BF，连接【解答】（1）解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90∘，BC=4，AB2+AC2=2AB2=BC2，

∴AB=AC=22BC=22，

∵点D和点（2）∵a=2，AD=aBN，

∴AD=2BN，

设BN=x，则：AD=2x，CN=BC-BN=4-x，

∵等腰直角三角形ABC中，∠A=90∘，BC=4，

∴AB=AC=22，

∴CD=AC-AD=22-2x，

∵M是AB的中点，

∴AM=BM=2，

∴∠B=∠C=45∘，

当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况：

（3）∵a=2，AD=aBN，

∴AD=2BN，

作DE∥BC,AE⊥DE于点E，连接BE，

则：∠ADE=∠C=45∘，

∴△AED为等腰直角三角形，

∴AD=2DE=2AE，∠DAE=45∘，

∴AE=DE=BN，∠BAE=45∘，

又DE∥BN，

∴四边形EDNB为平行四边形，

∴BE=DN，

将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF,MF，则：BF=AB=22，∠ABF=90∘，

∵∠ABC=45∘，

∴∠NBF=45∘=∠BAE，32.（24·广西中考）如图1，△ABC中，∠B=90∘，AB=6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB．

（1）求证：△ABC（2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α(0∘<a<360∘)．连接A'【答案】见解答①83，α=180∘【解析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出OA=OC，利用等边对等角得出∠A=∠ACO，结合角平分线定义可得出∠（2）先求出∠A=∠ACO=∠OCB=30∘，然后利用含30∘的直角三角形性质求出BO=2，AO=4，MO=2，利用勾股定理求出AM=23，AC=43，取A'C'中点M'，连接OM'，MM'，作MN⊥A'C'于N，由旋转的性质知△AOC≅△A'OC'，OM'为OM旋转α所得线段，则OM'⊥A'C'，A'C【解答】（1）解：证明：∵MO垂直平分AC，

∴OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∵CO平分∠ACB

∴∠ACO=∠OCB，

∴∠解：①∵∠B=90∘，

∴∠A+∠ACO+∠OCB=90∘，

∴∠A=∠ACO=∠OCB=30∘，

∴BO=12CO=12AO，

又AB=AO+BO=6，

∴BO=2，AO=4，

∵MO垂直平分AC，

∴OM=12AO=2，AC=2AM，

∴AM=AO2-MO2=23，

∴AC=43，

取A'C'中点M'，连接OM'，MM'，作MN⊥A'C'于N，

由旋转的性质知△AOC≅△A'OC'，OM'为OM旋转α所得线段，

∴OM∵△AOC≅△A'OA

∴∠A'=∠CAO=30∘，∠OAA'=∠OCA=30∘，

∴∠A'OA=120∘，

∵∠AMO=90∘，

∴∠AOM=60∘，

∴∠A'OA+∠AOM=180∘，

∴A'、O、M三点共线，

∴△A'MC'为直角三角形，

此时旋转角α=∠A'OA=120∘；

当A33.（23·四川中考）如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD=BC=5，CD=6．

（1）如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M．

①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由；

②求△BDM（2）如图2，点E，F分别在平行四边形纸片ABCD的AB，AD边上，连接EF，且EF // BD，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在【答案】①PM=CM，理由略；②25373【解析】（1）①由翻折得AD=DP，∠DAB=∠DPB，利用四边形ABCD是平行四边形，可证明DP=BC，∠DPB=∠BCD，再证明△DPM≅△BCM，即可求证；

②由△DPM≅△BCM，得DM=BM，过点M作MN⊥BD于点N，过点（2）过点C作CP⊥BD于点P，连接AG交BD于