2026中考第一轮复习数学第5课时：一次方程（组）及应用（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第5课时一次方程（组）及应用一、核心知识一、核心知识1.一元一次方程定义：只含有______一个______未知数，且未知数的次数是______1______，等号两边都是整式的方程，一般形式为______ax+b=0______（a≠0，a、b为常数）。解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的______解（或根）______。解法步骤：去分母：方程两边同乘各分母的______最小公倍数______（不含分母的项也要乘）；去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（注意______符号变化______）；移项：把含未知数的项移到方程______左______边，常数项移到______右______边（移项要______变号______）；合并同类项：把方程化为______ax=b______（a≠0）的形式；系数化为1：方程两边同除以未知数的系数______a______，得______x=ba____2.二元一次方程（组）二元一次方程：含有______两个______未知数，且含未知数的项的次数都是______1______，等号两边都是整式的方程，一般形式为______ax+by=c______（a≠0，b≠0，a、b、c为常数）；其解有______无数______组，且解满足方程。二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，一般形式为a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2（a₁、a₂不同时为0，解法：代入消元法：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一个方程______消去______一个未知数，求解后______回代______求另一个未知数；加减消元法：通过方程两边同乘适当的数，使两个方程中某一未知数的系数______相等_____或______互为相反数______，相加或相减______消去______该未知数，求解后回代求另一个未知数。3.一次方程（组）的实际应用核心步骤：审题→设未知数（直接设______或______间接设）→找______等量关系______→列方程（组）→解方程（组）→检验（是否符合实际意义）→作答。常见题型：行程问题：路程=速度×时间（相遇问题：路程和=总路程；追及问题：路程差=初始距离；工程问题：工作量=工作效率×工作时间（总工作量常看作______1______）；利润问题：利润=售价-成本，利润率=利润成本×100%浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度；和差倍分问题：根据数量间的和、差、倍、分关系列方程。二、核心能力二、核心能力题型1：一元一次方程的解法解题思路严格遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤，注意每一步的符号变化和漏乘问题；含绝对值的一元一次方程，先去掉绝对值符号（分情况讨论），再按常规方法求解。题型2：二元一次方程组的解法解题思路优先选择消元方法——某一未知数系数为1或-1时，用代入消元法；系数成倍数或互为相反数时，用加减消元法；消元后转化为一元一次方程求解，最后必须回代检验。题型3：一次方程（组）的实际应用解题思路关键是找准等量关系，可通过列表、画图梳理数量关系；设未知数时要明确单位，列方程（组）时保证左右两边单位统一；求解后必须检验结果是否符合实际场景（如人数、长度为正整数）。题型4：含参数的一次方程（组）问题解题思路将参数看作常数，按常规方法解方程（组），再根据“方程有唯一解、无解、无数解”或“解为正/负数、整数”等条件列关于参数的方程（组）或不等式，求解参数取值范围。题型5：一次方程（组）与图表结合问题解题思路先从表格、折线图、条形图中提取关键数据，分析数据间的数量关系，再根据关系列方程（组）；注意图表中单位、横坐标和纵坐标的含义。三、易错警示三、易错警示一元一次方程解法错误错误：去分母时漏乘常数项；移项不变号；提醒：去分母时每一项都要乘最小公倍数，移项时“过桥变号”，系数化为1时注意符号（系数为负时，不等号方向不变，方程仍需变号）。二元一次方程组消元错误错误：加减消元时系数未统一就加减；代入消元时去括号漏变号；提醒：消元前确保某一未知数系数相等或互为相反数，代入时括号前是负号需变号。实际应用问题出错错误：等量关系找错（如行程问题中相遇与追及混淆）；单位不统一（如速度单位km/h与时间单位min未转化）；检验忽略实际意义（如解为负数或小数，不符合人数、件数等整数要求）；提醒：审题时圈画关键词，明确数量关系，设未知数后先验证等量关系是否成立，求解后必检验实际合理性。含参数问题考虑不全错误：忽略参数的取值限制（如一元一次方程中未知数系数不能为0）；对“无数解”“无解”条件理解不清（如ax=b，a=0且b=0时无数解）；提醒：含参数的一次方程，先保证未知数系数不为0（一元一次方程定义），再根据解的情况列条件。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·河南模拟）下列方程中，与方程x2+xA.x+1=0 B.2x=6 C.12x=1 D.x-【答案】B【解析】本题考查了同解方程，根据解方程，可得每个方程的解，根据同解方程的定义，可得答案．【解答】解：x2+x-14=2，

去分母得：2x+x-1=8，

解得：x=3，

A、x+1=0，解得x=-1，故A错误；

B、2x=6，解得x=3，故B正确；

C、12x=1，解得x=2，故C错误；

D、x-2.（24-25·四川中考）若(3x+2y-19)2+|2x+y-A.8 B.±8 C.±2【答案】C【解析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于x,y的二元一次方程组，两个方程相减后求出x+y的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．【解答】解：∵(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0，

∴3x+2y-19=0①2x+y-11=0② 

3.（23-24·广东模拟）小明做作业时发现方程已被墨水污染：3x+12=2x+◼电话询问老师后知道：方程的解x=1A.32 B.-32 C.【答案】A【解析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是a，把x=1代入计算即可求出a的值．【解答】解：设被污染的常数■是a，

把x=1代入3x+12=2x+a，得：3+12=2+a，

解得a=32，

4.（24-25·四川中考）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（

）A.72(100-x)=60(100+3-x) B.60(100-x)=72(100-【答案】B【解析】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为60(100-x)，实际利润为72(100-【解答】解：设每套成本为x元．原计划利润为60(100-x)元；实际购买时利润为72(100-3-x)元．

根据题意得：60(100-x)=72(100-35.（24-25·湖南模拟）观察下表可知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1a1x+ba2x-01…x-15…y642…y320…A.x=1y=2  B.x=4y=5  【答案】A【解析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知x=1y=2 能使得两个方程都成了，即可得出答案．【解答】解：通过观察表格知，a1x+b1y=m与a2x+b2y=n有一组公共解为x=1y=2 ，

故二元一次方程组a6.（23-24·江苏模拟）若|3x-5|=x+2，则x的值为（

A.72或-34 B.-72或34 C.7【答案】C【解析】本题考查了含有绝对值的方程．利用绝对值的意义可得3x-5=±(x+2)，解出【解答】解：|3x-5|=x+2，

∴3x-5=±(x+2)，

当3x-5=x+2时，解得x=72，

当3x-7.（24-25·江苏中考）（3分）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（

）A.17x+19x=1 B.【答案】A【解析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可.【解答】解：设相遇时间为x天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为17（全程/天）；

大雁从北海到南海需9天，故其速度为19（全程/天），

∴方程为17x+18.（24-25·河北期中）若关于x的方程kx+b=0的解是x=-1，则直线y=kx+2b一定经过点（

A.-2,0 B.0,-1 C.【答案】A【解析】先把x=-1代入方程kx+b=0中得到b=k，进而得到当x=-2时，【解答】解：∵关于x的方程kx+b=0的解是x=-1，∴-k+b=0，

∴b=k，

∴直线解析式为y=kx+2k=kx+2，

∴当x=-2时，y=0，即直线y=kx+2b一定经过点-2,0，

故此题答案为9.（24-25·江苏模拟）已知x=19y=17 是方程组ax+by=5bx+ay=-1 A.3 B.263 C.0 D.【答案】C【解析】把x=19y=17 代入方程组ax+by=5bx+ay=-1 ，可求出b【解答】把x=19y=17 代入方程组ax+by=5bx+ay=-1 ，得

19a+17b=5①19b+17a=-1② ，

②-①，得

10.（24-25·河北模拟）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩3m2未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修5m2．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修3m2，设每个房间地面面积xm2，一名初级工人每天装修ym2，下列方程中正确的有（

）A.①③ B.②④ C.①④ D.②③【答案】D【解析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，设每个房间地面面积xm2，根据一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修3m2，可得方程；设一名初级工人每天装修ym2，则一个熟练工人每天装修(y+3)m【解答】解：设每个房间地面面积xm2，

∵每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩3m2未能装修，

∴一个熟练工人每天装修5x-34m2，

∵每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修5m2，

∴一个初级装修工人每天装修7x+56m2，

∵一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修3m2，

∴5x-34-7x+56=3；

设一名初级工人每天装修y11.（23-24·甘肃模拟）已知x，y满足方程组3x-y=5-2mx-2y=m ，则无论mA.4x-3y=5 B.2x+y=5 C.x【答案】C【解析】将第二个方程乘以2，再与第一个方程相加消去m即可得．【解答】解：3x-y=5-2m①x-2y=m② ，

由①+②×2得：3x-y+2x-12.（23-24·山东模拟）如图，一次函数y=34x+92的图像与y=kx+b的图像相交于点P(-2,n)，则关于x，y的方程组A.x=-2,y=2 B.x=-2,y=3【答案】B【解析】此题暂无解析【解答】解：关于x，y的方程组3x-4y+18=0,kx-y+b=0可化为y=34x+92y=kx+b故一次函数y=34x+92的图像与y=kx+b的图像的交点坐标即为方程组的解，

将P(-2,n)代入y=34x+9213.（24-25·河北模拟）如图，直线l1:y=2x+2交x轴、y轴于A,C两点，直线l2:y=-12x+2交x轴、y轴于B,C两点，点P(m,1)是△ABCA.3 B.-1 C.2 D.【答案】D【解析】本题考查一次函数的性质，由于P的纵坐标为1，故点P在直线y=1上，要求符合题意的m值，则P点为直线y=1与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．【解答】解：∵点P(m,1)是△ABC内部（包括边上）的一点，

故点P在直线y=1上，如图所示，

当P为直线y=1与直线l2的交点时，m取最大值，

当P为直线y=1与直线l1的交点时，m取最小值，

由y=1y=-12x+2 解得x=2y=1 ，即m的最大值为2；

由y=1y=2x+2 解得x=-12y=1 ，即m14.（25-26·广东复习）如图，一次函数y=ax+2与y=2x-1的图象相交于点P，则关于x的方程ax+2=2x-1的解是（

）A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=7【答案】B【解析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，先求出点P的坐标为(4,7)，由图象可以知道，当x=4时，两个函数的函数值是相等的，即可求解．【解答】解：根据题意得：点P的纵坐标为7，

把y=7代入y=2x-1，得：7=2x-1，

解得：x=4，

∴点P的坐标为(4,7)，

∵一次函数y=ax+2与y=2x-1的图象相交于点P，

∴关于x的方程ax+2=2x-1的解是x=4．

15.（25-26·湖北模拟）甲、乙两车从十字路口的同一点沿两互相垂直的方向行驶，走过的距离(单位：m)

和时间(单位：s)的关系如下表所示：

时间/s0.535.58甲走过的距离/m5305580乙走过的距离/m1.251541.2580

则第2秒甲、乙两车间的距离d满足(

)A.20<d<21 B.21<d<22 C.22<d<23 D.23<d<24【答案】B【解析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，勾股定理，无理数的估算等知识，解题的关键是掌握以上知识点．

首先求出甲，乙走过的距离关于时间的表达式，然后将x=2代入表达式，然后利用勾股定理求出d，然后根据无理数的估算求解即可．【解答】解：由表格得，甲走过的距离和时间是一次函数关系，乙走过的距离和时间是二次函数关系，

∴设甲走过的距离关于时间的表达式为s甲=kx+b，

将(3,30)，(8,80)代入得，3k+b=308k+b=80 

解得k=10b=0 

∴s甲=10x；

设乙走过的距离关于时间的表达式为s乙=ax2+bx+c，

将(0.5,1.25)，(3,15)，(8,80)，代入得，14a+12b+c=1.259a+3b+c=1564a+8b+c=80 

解得a=1b=2c=0 

∴s乙=x2+2x；

∴当x=2时，s甲（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·四川中考）已知x=2是方程3a-2x=2的解，则a=___2【答案】2【解析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把x=2代入3a-2x=2，解得a=2，即可作答．【解答】解：∵x=2是方程3a-2x=2的解，

∴把x=2代入3a-2x=2，得3a-2×2=2，

∴3a=6，

17.（24-25·江苏模拟）已知x=my=n 是方程4x-6y-5=0的一个解，则2m【答案】52【解析】本题考查了二元一次方程的解，根据x=my=n 是方程4x-6y-5=0的一个解，得【解答】解：∵x=my=n 是方程4x-6y-5=0的一个解，

∴4m-6n-5=0，

即4m18.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问可以买

14

斗醇酒和

74

【答案】14,74【解析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组得：x+y=250x+10y=30，

解得x=14y=74；

故答案为：14；19.（24-25·全国同步）已知y=1是方程2-13(m-y)=2y的解，求关于x的方程m(x+4)=m(2x+4)的解是_____【答案】x=0【解析】本题考查含参数的一元一次方程，解含参数问题时一般是代入参数值求解新的方程，注意参数字母和未知数字母的转换．

先把y=1代入方程得2-13(m-1)=2求得【解答】解：把y=1代入方程2-13(m-y)=2y解得m=1．

将m=1代入方程m(x+4)=m(2x+4)中，得

x+4=2x+4，解得x=0．

故答案为：x=0．20.（23-24·河北模拟）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为____22________元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用n个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的n值______6（答案不唯一，6，7，8均可）______．

【答案】22,6（答案不唯一，6，7，8均可）【解析】设A种图案成本每个x元，B种图案成本每个y元，根据造型1的成本64元，造型2的成本42元，列方程组2x+4y=64x+3y=42 ，得出x、y的值，则由造型3的成本为(x+y)元；再根据图案B的个数不多于图案A个数的2倍，且整体设计费用不超过500元，列不等式组4+6×3+n≤2(2+6+n)64+42【解答】解：设A种图案成本每个x元，B种图案成本每个y元，根据题意，得

2x+4y=64x+3y=42 ，解得：x=12y=10 ，

∴x+y=12+10=22(元)，

即造型3的成本为22元；

故答案为：22；

根据题意得：4+6×3+n≤2(2+6+n)64+42×6+22n≤500 ，

解得：6≤n≤8411，21.（23-24·湖南模拟）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长_______15_______尺.（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）【答案】15【解析】设竿长x尺，则绳长(x+5)尺，根据“将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”列一元一次方程，求解即可．【解答】设竿长x尺，则绳长(x+5)尺，

由题意得：x-12(x+5)=5，

解得x=15，

所以，竿长为15尺，

故答案为：15.22.（24-25·山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-34x+3分别与x轴、y轴交于点A,B，以AB为边作菱形ABCD，其中点D在x轴的正半轴上，点C在第一象限内，则点C的坐标为________(5,3)_________．【答案】(5,3)【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出AB的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，在Rt△OAB中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用菱形的性质，即可求出结论．【解答】解：解：当x=0时，y=-34×0+3=3，

∴点B的坐标为(0,3)

∴OB=3；

当y=0时，0=-34x+3，

解得：x=4，

∴点A的坐标为(4,0)，

∴OA=4，

在Rt△OAB中，OA=4，OB=3，∠AOB=90∘，

∴AB=OA2+OB23.（24-25·江苏模拟）如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线上的动点，将OM绕点O顺时针旋转60∘得ON．连接BN，则线段BN的最小值为____3_______．【答案】3【解析】设直线y=-3x+3与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接OD、AN，过B作BH⊥AN于H点．根据直线解析式求出点A和点E的坐标，然后再证明△AOD为等边三角形．利用SAS证明△MOD≅△NOA，得出∠OAN=∠ODE=120∘．由A为定点，∠OAN=120∘为定值，可知点N【解答】解：设直线y=-3x+3与y轴的交点为E，再取AE的中点D，连接OD、AN，过B作BH⊥AN于H点，如图所示：

对于y=-3x+3，令x=0，则y=3，

∴E(0,3)，

令y=0，则x=3，

∴A(3,0)，

∴OA=3，OE=3，

∵∠AOE=90∘，

∴AE=OA2+OE2=23，

∵AE的中点为D，

∴DO=DA=DE=12AE=3，

∴DO=DA=OA=3，

∴△DAO为等边三角形，

∴∠AOD=∠ODA=60∘，

∴∠ODE=120∘，

由旋转的性质可知OM=ON，∠MON=60∘=∠DOA，

∴∠MON-∠DON=∠DOA-∠DON，即∠MOD=∠NOA，

∴△MOD≅△NOA(SAS)，

∴∠OAN=∠ODE=120∘，

24.（25-26·广西模拟）如图，直线l1:y=2x+4与直线l2:y=kx+b相交于点P(1,m)，则方程组y-2x=4y-kx=b【答案】x=1y=6 【解析】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．由两条直线的交点坐标P(1,m)，先求出m，再求出方程组的解即可．【解答】把点P(1,m)代入y=2x+4得m=2+4=6，

∴点P的坐标为(1,6)，

∴方程组y-2x=4y-kx=b 的解为x=1y=6 ，25.（23-24·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=33x+1与直线l2:y=3x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于【答案】320232【解析】联立直线l1与直线l2的表达式并解得x=3y=3，故A1(3, 3)，依次求出：点【解答】解：由y=33x+2y=3x解得x=3y=3，∴A1(3, 3)；

∴点B1(3, 0)，

设直线B1A2的表达式为：y3=3x+b，

将点B1坐标代入上式解得b=-3，

∴直线B1A2的表达式为：y3=3x-3，

由y=33x+2y=3x-3解得x=53（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·湖南模拟）解方程：x2【答案】x=4【解析】考虑到最后一项的分子分母可同时除以4，可化简此项后再根据解一元一次方程的方法和步骤解答．【解答】解：原方程可化为：x2+x-25=29+x-25．

27.（23-24·江苏中考）解方程组：2x+y=72x-【答案】x=3y=1【解析】根据加减消元法解二元一次方程组即可．【解答】解：2x+y=7①2x-3y=3②①-②得，4y=4，解得，y=1．

将y=1代入①得x=3．

∴方程组的解是28.（24-25·河北模拟）定义新运算：对于任意a,b都有a#b=a(a-b)，等式右边是通常的减法及乘法运算，例如：2#1=（1）计算(m+n)#2n；（2）若2#5x的值是0，求x的值．【答案】m2-x的值为2【解析】（1）根据题意以及平方差公式进行计算即可；（2）根据新定义得出一元一次方程进行求解即可．【解答】（1）解：由题意可得原式=(m+n)(m-n)=m（2）解：由题意可得2(2-5x)=0，

解得x=25，

即x的值为229.（24-25·河北中考）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在0∼100​∘C（本题涉及的温度均在此范围内），原长为lm的铜棒、铁棒受热后，伸长量y(m)与温度的增加量x(​∘C)之间的关系均为y=αlx，其中α为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数αCu=1.7（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高50​（2）求铁的线膨胀系数αFe；若原长为1m的铁棒受热后伸长4.8（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0​∘C【答案】5.1×10-4αFe=1.2×1068​【解析】（1）根据y=αlx，代入数据进行计算即可求解；（2）根据定义求得铁的线膨胀系数αFe，进而设该铁棒温度的增加量为x（3）设该铁棒温度的增加量为x2【解答】（1）解：0.6×50×1.7×10-（2）解：2.5×αFe(80-20)=1.8×10-3，

解得：αFe=1.2×10-5/​∘C，（3）解：设该铁棒温度的增加量为x2，根据题意得，

1.7×10-5x2-20=1.2×10-30.（24-25·江苏中考）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．

（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片?【答案】恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个至少需要134张正方形硬纸片【解析】（1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得x=40y=80 ，即可作答．（2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出w=100+m，结合m≥12(100-【解答】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形，

设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．

根据题意，得x+2y=2004x+3y=400 ，

得x=40y=80 ，

答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒（2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．

则w=2m+(100-m)=100+m．

由k=1>0，知w随m的增大而增大，

∴当m最小时，w有最小值．

根据题意，得m≥12(100-m)，

解得m≥1003，

其中最小整数解为

即当31.（24-25·广西模拟）甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八方支援”抢险救灾活动，准备组织400名志愿者参加救灾．现需租用若干辆大、小客车将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示：小客车（辆）大客车（辆）合计载客量（人）3110512110（1）求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名志愿者？（2）若计划租用小客车m辆，大客车n辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都坐满；

①请你设计出所有的租车方案：

②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．【答案】满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐20名志愿者、45名志愿者①一共有两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车8辆；②租小客车2辆，租大客车8辆的费用最少，最少为17200元【解析】（1）设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐(105-3x)名志愿者，再由1辆小客车，2辆大客车可坐100人列出方程求解即可；（2）①由题意得，20m+45n=400，把n看做已知解方程得到m=80-9n4，再由m、【解答】（1）解：设满员时每辆小客车能坐x名志愿者，则每辆大客车能坐(105-3x)名志愿者，

由题意得，x+2(105-3x)=110，

解得x=20，

∴105-3x=45，

（2）解：①由题意得，20m+45n=400，

∴m=400-45n20=80-9n4，

∵m、n都为正整数，

∴80-9m必须要是4的倍数，

∴当n=4时，m=11；当n=8时，m=2；

∴一共有两种租车方案：方案一：租小客车11辆，租大客车4辆；方案二：租小客车2辆，租大客车8辆；

②方案一的费用为11×1000+4×1900=18600元，

32.（25-26·江西模拟）解方程组x+3y=11⋅⋅⋅①2x-y=1⋅⋅⋅② ，下面是两同学的解答过程：

小敏：解：把方程2x-y=1变形为y=2x-1，

再将y=2x-1代入方程①得x+3(2x（1）小敏的解法依据是____②____，运用的方法是__④______；

小川的解法依据是_____②___，运用的方法是___⑤_____；

①整式的运算性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法．（2）请直接写出原方程组的解．【答案】②、④；②、⑤x=2y=3【解析】（1）得到等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；（2）用代入法消元解二元一次方程组即可．【解答】（1）解：小敏的解法依据是等式的性质，运用的方法是代入消元法；

小川的解法依据是等式的性质，运用的方法是加减消元法；

故答案为：②、④；②、⑤；（2）解：把方程2x-y=1变形为y=2x-1，

再将y=2x-1代入方程①得x+3(2x-1)=11，

解得x=2，

将x=2代入y=2x-1，得33.（25-26·河北期中）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．主题探究月历与幻方的奥秘活动一图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．

(1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是___5___，b是__11____；

(2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是___n+1___，d是___n+7___；

（注：用含n的代数式表示c和d．）

活动二移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜