初中数学北师大版（2024）七年级下册 第4章《 三角形》章节测试卷（含解析）

第4章《三角形》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（

）A．AB=5，AC=6，∠A=50° B．AB=3，AC=4，∠C=30°C．∠A=60°，∠B=45°，∠C=75° D．AB=3，BC=4，AC=82．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°3．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC=48，则SΔA．2 B．4 C．6 D．84．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（）

A．7 B．8 C．9 D．105．如图，已知∠1=∠2，在下列条件：①∠B=∠C；②∠BAD=∠CAD；③BD=CD；④AB=AC中，只补充一个就一定可以判断△ABD≌△ACD的条件是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④6．如图，△ABC中，∠ABC=3∠C，E分别在边BC，AC上，∠EDC=24°，∠ADE=3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则A．54° B．60° C．66° D．72°7．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A．2 B．3C．4 D．58．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D//EB′//A．105° B．100° C．110° D．115°9．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则A．30° B．45° C．60° D．90°10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB>AC，下列结论正确的是（

）A．AB−AD>CB−CD B．AB−AD=CB−CDC．AB−AD<CB−CD D．AB−AD与CB−CD的大小关系不确定二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．在数学课上，老师提出如下问题：小米的作法如下：请回答：小米的作图依据是12．若a，b，c分别为三角形的三边，化简：a−b−c+b−c−a+13．如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=度．14．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α−β=60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC=．

15．如图，E是△ABC外一点，D是AE上一点，AC=BC=BE，DA=DB，∠EBD=∠CBD，∠C=70°，则∠BED的度数为．16．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是∠BAC的角平分线，点D在△ABC内部，连接AD、BD、CD，∠ADB＝150°，∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°，则线段CD的长度为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm

(1)求AD的长；(2)求△ACE和△ABE周长的差．18．（6分）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由．19．（8分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．

(1)如图1，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C=______；(3)F是射线AE上一动点，C、H分别为线段AB，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．20．（8分）如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处看点E的视角为∠HCE．小华站在E处眼睛F看AB楼端点A的视角为∠AFG．发现∠HCE与∠AFG互余，已知CH∥BD∥GF，BG=EF=1.5米，BE=GF=CD=20米，BD=50米．求单元楼AB的高度．

21．（8分）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．

【探究发现】（1）图1中AC与BM的数量关系是______，位置关系是______．【初步应用】（2）如图2，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围．【探究提升】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB,AF=AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．22．（8分）如图，小正方形的边长为1，ΔABC为格点三角形．(1)如图①，ΔABC的面积为；(2)在图②中画出所有与ΔABC全等，且只有一条公共边的格点三角形．

23．（8分）如图，在△ABC中，BC=5，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，AD、BE相交于点O，BD=23CD

(1)线段CD的长度等于___________．(2)求证：△AOE≌△BCE．(3)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线AC上的一点且CF=BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．A【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．根据根据三角形全等的判定方法可对A、B、C选项进行判断；三角形的三边的关系可对D选项进行判断．【详解】解：A、AB=5，AC=6，∠A=50°，符合“SAS”，所以根据条件能画出唯一△ABC，故此选项符合题意；B、AB=3，AC=4，∠C=30°，根据两边及一边对角不能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意；C、∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，根据三角相等不能能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意；D、AB=3，BC=4，AC=8，∵3+4<8，∴不满足三角形三边的关系，即三边不能构成三角形，故此选项不符合题意；故选：A.2．C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC=40°，最后利用垂线的定义可得∠AED=90°，进而解答即可．【详解】解：∵∠B=40°，∴∠BAC=180°−40°−60°=80°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC=40°．∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°−∠DAE=50°．故选C．3．C【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：连接CD，如图所示：∵点D是AG的中点，∴S△ABD∴S△ABD∴S△BCD∵点E是BD的中点，∴S△CDE∵点F是CE的中点，∴S△DEF故选：C．4．C【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．【详解】解：①当3、4在一条直线上时，三边长为：5、7、7，此时最大距离为7；②∵4+5<3+7，∴3、7不可能在一条直线上；③当4、5在一条直线上时，三边长为：3、7、9，此时最大距离为9；④∵4+3<5+7，∴5、7不可能在一条直线上；综上所述：最大距离为9．故选：C．5．B【分析】根据等角的补角相等可得∠ADB=∠ADC，然后根据全等三角形的判定方法逐一判断即可解答．【详解】解：∵∠1+∠ADB=180°,∠2+∠ADC=180°,∠1=∠2，∴∠ADB=∠ADC，①∵∠B=∠C,AD=AD,∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴①符合题意；②∵∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴②符合题意；③∵BD=DC,AD=AD,∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴③符合题意；④∵AB=AC,AD=AD,∠ADB=∠ADC，SSA不能判断△ABD≌△ACD，∴④不符合题意；故选：B．6．B【分析】根据题意可知∠FBC=32∠C，设∠C=x，表示出∠ADE，根据角平分线的定义，可得∠EDF的度数，根据∠FDC=∠F+∠FBC【详解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=1∵∠ABC=3∠C，∴∠FBC=3设∠C=x，则∠FBC=3∵∠EDC=24∴∠AED=x+24∵∠ADE=3∠AED，∴∠ADE=3x+72∵DF平分∠ADE，∴∠EDF=3∵∠FDC=∠F+∠FBC，∴32∴∠F=60故选：B．7．C【分析】根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．【详解】C点所有的情况如图所示：故选C.有4个点.故选C.8．B【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．【详解】解：延长C′D交AB′于H．∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′=∠B′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，∴∠C′AH=120°，∴∠C′+∠AHC′=60°，∴∠BFC=60°+40°=100°，故选：B．9．C【分析】根据全等三角形的性质得出∠A=∠DEB=∠DEC，∠【详解】解：∵△ADB≌△EDB≌∴∠A=∠DEB∵∠DEB+∠DEC∴∠DEC=90°，∴∠A=∠DEC∴∠ABC故选：C．10．A【分析】先通过在AB上截取AE=AD，得到一对全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应边相等，再利用三角形的三边关系和等量代换即可得到A选项正确．【详解】解：如图，在AB上取AE=AD，∵对角线AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在ΔACD和ΔACE中，AD=AE∠BAC=∠DAC∴ΔACD≅ΔACE(SAS)，∴CD=CE，∵BE>CB−CE，∴AB−AD>CB−CD．故选：A．二．填空题11．有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．【详解】试题分析：由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，再利用SSS判定△ODC≌△O′D′C′，再根据全等三角形对应角相等可得∠O=∠O′．解：由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，在△DOC和△D′O′C′中，，∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），∴∠O=∠O′．故答案为有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．12．−a+b+3c【分析】根据三角形三边关系得到a，b，c相关代数式与0的关系，去绝对值求解即可．【详解】解：∵a，b，c分别为三角形的三边，∴a+b>c，a+c>b，b+c>a，∴c−a+b>0，b−c−a<0，a−b−c<0，∴原式=−a+b+c+a+c−b+c−a+b=−a+b+3c，故答案为：−a+b+3c．13．135【分析】作辅助线，使△ADB为等腰直角三角形，根据全等三角形△DFB≌△BEC，可得到∠DBF=∠2，利用等角代换即可得解．【详解】解：如图，连接AD、BD，∠ADB=90°，AD=BD=BC，∠DAB=∠DBA=45°，由图可知，在△DFB和△BEC中，DF=BE∠DFB=∠BEC=90°∴△DFB≌△BECSAS∴∠DBF=∠2，∵∠DBA=45°，∴∠1+∠2=∠1+∠DBF=180°−45°=135°，故答案为：135．14．55°【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC，∴∠ADB=90°（1）2∠A−∠ABD=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=50°，∠ABD=40°；（2）2∠A−∠ADB=60°，∴解得：∠A=75°，∠ABD=15°；（3）2∠ABD−∠A=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=40°，∠ABD=50°；（4）2∠ABD−∠ADB=60°，∴解得：∠ABD=75°，∠A=15°；△BCD是“斜等边三角形”，①2∠C−∠CBD=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=50°，∠CBD=40°；②2∠C−∠CDB=60°，∴解得：∠C=75°，∠CBD=15°；③2∠CBD−∠C=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=40°，∠CBD=50°；④2∠CBD−∠CDB=60°，∴解得：∠CBD=75°，∠C=15°；当（1）①成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=50°，∠CBD=40°，∴∠CBA=40°+40°=80°，∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；当（1）②成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=75°，∠CBD=15°，∴∠CBA=40°+15°=55°，∵2∠CBA−∠A=60°，∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意；同理得：符合题意的只有∠ABC=55°，故答案为：55°15．35°【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接DC，证明△ACD=△BCDSSS，可得∠ADC=12∠DCB=35°，再证明【详解】解：连接DC，∵DA=DBCA=CB∴△ACD=△BCDSSS∴∠DCB=∠ACD=1在△BED和△BCD中，BD=BD∠EBD=∠CBD∴△BED≌△BCDSAS∴∠BED=∠DCB=35°，故答案为：35°．16．3【分析】在AB上截取AE=AC，证明△ADE和△ADC全等，再证BDE是等腰三角形即可得出答案.【详解】在AB上截取AE=AC∵AD是∠BAC的角平分线∴∠EAD=∠CAD又AD=AD∴△ADE≌△ADC(SAS)∴ED=DC，∠ADE=∠ADC∵∠ADB＝150°∴∠EDB+∠ADE=150°又∵∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°∴∠ABD+∠DBC+∠ADC=180°即∠ABD+∠ADC=150°∴∠ABD=∠EDB∴BE=ED即BE=CD又AB=8，AC=5CD=BE=AB-AE=AB-AC=3故答案为3三．解答题17．（1）解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，∴12∴AD=AB⋅ACBC=6×810（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=(AC+AE+CE)−=AC−AB=8−6=2(cm即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．18．解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．19．（1）解：在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，∵AE是△ABC的角平分线．∴∠BAE=1∵线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−70°−90°=20°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，（2）解：∵∠B=x°，线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠BAD=90°−∠B=90°−x°，∵∠DAE=10°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°−x°+10°=100°−x°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=200°−2x°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x°−200°−2x°故答案为：x−20°（3）解：连接BF，

∵∠1=∠GBF+∠GFB，∠2=∠HBF+∠HFB，∴∠1+∠2=∠GBF+∠GFB+∠HBF+∠HFB=∠B+∠GFH，∵△GFH由△GBH折叠所得，∴∠B=∠GFH，∴∠1+∠2=2∠B．20．由题意得：∠AGF=∠EDC=90°，∴∠CED+∠ECD=90°，∵CH∥BD，∴∠HCE=∠CED，∵∠HCE+∠AFG=90°，∴∠ECD=∠AFG，∵BE=GF=CD=20（米），∴FG=CD=20（米），∴△AGF≌△EDCASA∴AG=ED=BD−BE=50−20=30（米），∴AB=AG+BG=31.5（米），∴单元楼AB的高为31.5米．21．（1）如下图1，

，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△MDB和△ADC中，BD=CD∴△MDB≌△ADC，∴AC=BM，∴AC∥BM，∴AC与BM的数量关系是AC=BM，位置关系是AC∥BM；（2）如下图2，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，

由（1）可知：△MDB≌△ADC，∴BM=AC=8，在△ABM中，AB−BM<AM<AB+BM，∴12−8<AM<12+8，即4<AM<20，∴2<AD<10；（3）如下图3，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，

由（1）可知：△MDB≌△ADC，∴BM=AC，∵AC=AF，∴BM=AF，∵∠C=∠DBM，∴AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM=1