江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高二年级上册期中考试 数学试卷（含答案）

江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高二上学期期中学情调研测试

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数2=与，则z的实皆是（）

-21

A.!B.--C.1D.2

22

2.已知丫八成7的顶点为4（1,2）,8（5,4）,C（2,-2）,则A4边上的中线长为（）

A.瓜B.4石C.V26D.6

3.已知直线/：如+2）1+。=0在x轴上的截距是在〉轴上的截距的3倍，则实数。的值是（）

29

A.6B.-C.一或ID.6或1

33

4.已知P（0,2）在圆C：/+./+4工+m=0外，则实数，〃的取值范围为（）

A.-4<A?/<4B.m<4C.〃z<-4或〃？>4D.m>-4

5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到：椭圆的面枳除以员I周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘

积.已知椭圆C的中心为原点，焦点片，尸2均在>轴上，其面积为6&兀，若椭圆C上一点〃满足

|P用+忸闾=6,则椭圆C的标准方程为（）

A.$+《=|B.亡+x*C,E+f=]D.工+二=1

833898

6.已知圆G：/+产+2工一2丁一2=0与圆。2：f+）'+2），-4=0相交于A,8两点，则弦AB的长度为（）

A.拽B*C.士D.»

5555

22

7.已知双曲线C：夕-方=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为《，居，A是双曲线的一个顶点.以£工为

直径的圆与双曲线的一条渐近线交于例，N两点,且NM4N=*，则双曲线。的渐近线方程为（）

4

A.y=±2&B.y=±2xC.y=±^.xD.y=±y/2x

8.已知圆7：（x-2/+y2=4的切线/与圆C：/+），2-2》-15=。交于A,B两点,则△出8面积的取值

范围是（）

A.[2近2后]B.[277,8]C.[2瓜2而]D.〔2疯8]

二、多选题

9.己知A（2,l）,8（0,3）,C（3己）,且四边形A8CO是矩形，则（）

A.直线A4的斜率为-1

B.直线入。的方程为工一丁一1=。

C.四边形4BCO的面积为6

D.以30为直径的圆的方程为/+9-54-7），+12=0

10.已知左、右焦点分别为巴，-2的椭圆工+工=1上有一动点尸（异于长釉端点A，&）,则下列说法正

43

确的是（）

A.的取值范围为（1,3）

B.射线P6与椭圆交于点Q，则I尸。I的最小值为]

C.椭圆上存在4个不同的点尸，使得尸「鸟为直角三角形

D.直线PA，的斜率之积为

11.高邮融合历史与现代，将“好事成双”提炼为文旅品牌.邮城一位数学老师设计了“双核”曲线C,其方程

为f+V+2同-4可=0.对于曲线C,下列说法正确的是（）

A.当且仅当人[-另]时，直线了=丘与曲线C有唯一公共点

B.曲线C上存在唯一的点人使得夕点到（0,5）与到（0,-5）的距离之差为8

C.曲线。所围成的封闭曲线面积小于野-8

D.若曲线。上恰好存在4个不同点到直线），二2x十/〃的距离为1,则实数机的取值范围为

1—y/5,—5+\/5jkJp—\/5,—1+\/5—,1+\/5j

三、填空题

12.与双曲线C：]-!=1有相同焦点，且过点（a，2及）的双曲线的标准方程为.

13.复数z满足zS=4,则卜―3+i|的最大值为.

14.椭圆C：\+，=1(。>人>())的左、右焦点分别为£,F2,P是椭圆C上一点，且/£尸人=事，若小尸居

内切圆的半径"忐贝!椭圆C的离心率为

四、解答题

15.己知复数z=l-i.

⑴若z是关于x的方程V+px+q=O(PM£R)的一个根，求〃+。的值；

⑵若复数Z满足匕|=2,且zq是纯虚数，求复数

16.已知三条直线《：2x-y+a=^a>0)tZ2：4A-2.V-1=0,x+y-l=O,且4与4间的距离是暗.

(1)求。的值；

(2)求过直线乙与4的交点，且垂直于4的直线方程；

⑶求与4平行且到4,4距离相等的直线/的方程.

17.在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点A(o,o)出发，发现一个目标机器人在点8(3,6)处正欲逃跑.

追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.

⑴若追踪机器人在点P处成功拦截R标机器人，求点P的轨迹方程；

(2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区(KW8.4的区域)内成功拦截?并说明

理由.

22

18.已知椭圆C：与=1(4>〃>0)的左、右焦点分别为片，用，点32,1)在椭圆。上，射线夕耳与椭圆

a~b-

。交于点Q,的周长为4A.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵若直线/过点P且与椭圆C只有一个公共点，求直线/的方程：

(3)过点〃作斜率为占，网的两条直线分别与椭圆C交于“，N两点,且证明：直线A/N过定点.

2

19.己知双曲线E：f_2L=i,过右焦点尸作直线/交双曲线E的右支于A,3两点，交两条渐近线于C,

3

。两点，点A,C在第一象限，0为坐标原点.

(1)证明：点A到两条渐近线的距离之积为定值；

(2)求△045面积的最小值；

⑶记。4C,△04),△048的面积分别为S-S,,反，求工十的取值范围.

参考答案

题号12345678910

答案BCCADBBAABDAC

题号11

答案ABD

1.B

【分析】由复数的除法结合实部的概念可得.

2+i_（2+i）xi_2i-l1

【详解】

-2i-2ixi22

所以z的实部是一；.

故选：B.

2.C

【分析】利用中点坐标公式求44中点，再用两点间距离公式即可求解.

【详解】设48中点为。，根据中点坐标公式可知中点坐标为。(3,3),

则AB边上的中线长即为CO长度，

根据两点间距离公式可知：8=5(2—3)2+(—2—=而，

故A8边上的中线长为V26.

故选：C.

3.C

【分析】根据直线的一般式方程，求出直线在％轴与)'轴上的截距，注意计算时不随意约分，造成漏解4=1.

【详解】由题可知若。=0,则直线在X轴上的截距不存在，不符合题意，因此。工0.

令工=0,得直线在)'轴上的截距为二；令y=0,得直线在X轴上的截距为

2a

.•±二3.=.a=&l.

a23

故选：C.

4.A

【分析】先将圆方程化为标准式，分别根据圆的存在性和点在圆外的条件列不等式，求解后取交集得到加的

取值范围.

【详解】将圆C的方程化为标准式为+2)2+丁=4一机.

因为圆存在，所以4-〃00,即/"<4.

点P(0,2)在圆外，圆心为(-2,0),点户到圆心的距离的平方为(0+2)2+(2-()尸=8,

半径的平方为4-〃2,故8>4-〃?，解得〃

综上，-4<m<4.

故选：A

5.D

【分析】先根据焦点位置确定椭网标准方程形式，再利用椭圆定义求。，结合面枳公式求〃，进而得到标准

方程.

【洋解】因为椭圆。的中心为原点，焦点均在)'轴上，故其标准方程为E+==1(。>〃>0).

ab~

由椭圆定义，|PM|+|P用=2=6,得〃=3.

又椭圆面枳为6忘兀，由题知而兀=6及兀，即3)=6及，解得6=2上，

故〃2=&,“2=9,

因此椭圆C的标准方程为£+《=1.

98

故选：D

6.B

【分析】先求出圆G圆心坐标、半径，再求出直线AB的方程，再结合弦长公式即可求解•.

【详解】圆G：V+y2+2x-2)'-2=()即圆C|：(4+l1+(y—l)2=4,圆心坐标、半径依次为G(-覃)"=2,

圆G：/+),2+21.一2)，-2=0与圆C?：/+),2+2),一4=0方程相减得，AB:2x-4y+2=0,即

AB:x-2y+\=0t

圆心C(一1,1)到直线AB:x-2.y+I=0的距离为(1=1=当，

8旧

5

故选:B.

7.B

【分析】将以片鸟为直径的圆的方程与双曲线的一条渐近线联立，可求出点“、N坐标，再利用“MAN大

小计算可得2,即可得双曲线的渐近线方程.

【详解】由双曲线对称性，不妨设M、N在渐近线)，=—上,

a

且为〉/，A是双曲线左顶点，

则以6鸟为直径的圆的方程为x2+V=c2,

x~+y~=c~

•'二，x=ax=-a

联立b，解得人或公，

y=――x[y=-b()，=力

a

则历(a,/),N(-a,b),又M-砌，则NAJ.AK，

设其右顶点为8,

故/MA8=/M4N-N附鸟=手-,

故由门：=器===1，则2=2,则双曲线C的渐近线方程为?=±2工

4AB2aa

【分析】△7A8面积的大小与线段A8的长度有关，要求△办3面积的取值范围，只需求出1力项的范围,

即可求解.

【详解】圆丁的切线/交圆。于4,8两点，则△TAB面积为(「为圆7的半径)，

IMIT：(一2)2+丁=4的半径为),=2,AB是圆C：V+9_2大_匕=0的一条弦，

圆C：V+y2—24-15=0的圆心为。(1,0),半径为R=4,

圆心。到AB的距离最小时，最大，圆心C到A3的距离最大时，IABI最小，如图:

IAB|的最大值为2石=F=2而，

△7718面积的最小值为:X2X/7X2=2>/7,△7X5面积的最大值为gx245x2=245.

因此，面积的取值范围是［2e,2屏］.

故选:A.

9.ABD

【分析】利用两点斜率公式计算斜率求解判断A；结合矩形对边平行及两点式斜率公式求得直线4。的斜率,

然后代入点斜式直线方程并化简即可判断B；利用两点距离公式求出|人耳忸。，即可求解矩形面积判断C；

根据矩形性质转化为求以AC为直径的圆的方程，求出圆心和半径，即可求解圆的方程判断D.

3-1

【详解】对于A,因为A（2,l）,B（0,3）,所以直线44的斜率为=-1,正确;

0-2

对干B,由3（0,3）,。（3,6）得直线3c的斜率为涔=1,所以直线AO的斜率为I,

3—0

又42,1）,所以直线AO的方程为丁-1=1-2即正确;

对于C,因为A(2,l),8(0,3),C(3,6)，所以|A8|=^(2-0)2+(1-3)2=2&,忸C|=J(3-0丫+(6-3丫=3&，

所以矩形4B8的面积为|明x忸C|=2及x3&=12,错误;

对于D,根据矩形性质可知，以BO为直径的圆也是以人C为直径的圆，

则圆心为AC中点（容,中］即半径为3AC|=：J（2-3『+（l-6『=；回,

所以所求圆的方程为b一可+“一金、（孚）,?+/-5r-7y+12=0,正确.

故选:ABD

10.AC

【分析】根据椭圆的性质计算判断AB,根据直角顶点的位置分类讨论可判断C,结合直线的斜率公式计算

可判断D.

【详解】对于A,椭圆二十>^—=1,6/=2,/?=A/3,c=yja2-b'=J4-3=1，

43

根据椭圆的性质，|尸闾的取值范围为R-CM+C]=[2-L2+1]=[L3],

点P异于长轴端点A，A2,所以|PK|的取值范围为(1,3),A正确.

对于B,根据焦点弦中通径最短可得，|P。的最小值为之=2=3,B错误.

a2

对于C,当2巴轴时，尸(1,士|),此时NP5耳为直角.

当P6_Lx轴时，P(-l,±|),此时NPA6为直角.

当「6_1_尸片，即4；P鸟时，设仅占田，由爪TO),5(1,0),

耳户=(x+l,y),F2P=(x-\yy)f

因为片0.60=(工_1)(工+1)+)，2=%2_]+),2=/_]+3__1/=：/+2=0,无解，

综上可知，椭圆上存在4个不同的点尸，使得尸「鸟为直角三角形，C正确.

._3,

对于D,设尸(x»)，A(—2,0),4(2,0),_)，丁_/_丁_3,D错误.

心PAi~x+2x-2-r-4-X2-4~4

故选：AC.

11.ABD

【分析】分析曲线C在各个象限的方程，可得其图象是四段圆弧围成的封闭曲线.根据直线)七区与各段弧

相应的圆相切时Zr的值，确定直线y=G与曲线。有唯一公共点时强的取值范围，从而判断A；由双曲线的

定义，结合图象判断满足条件的点只有一个，从而判断B：由弓形面积的计算方法估计封闭曲线的面积，

从而判断C；根据直线与圆相切及平行线间的距离，结合图象可确定实数，〃的取值范围，从而判断D.

【详解】对于曲线C：3+八2忖-4H=0,

当“NO,>20时，(%+]『+(),一2『=5；当x2O,yvO时，(x+1)2+(y+2)2=5；

22

当了<QyNO时.(*一|)2+(>-2y=5：当x<O.yvO时，(r-l)+(>?+2)=5.

所以其图象是四段圆弧围成的封闭曲线.

对干A,直线>=丘与曲线C均过坐标原点，因此直线丁=心与曲线C有唯一公共点时，该公共点即为坐标

原点.

若工之0,y>0,

当（x+i）2+（y-2）2=5与直线y=H,即6-y=0相切时，耳==>/5,解得女=:，所以当后4g时，直

t2+l22

线》=依与曲线C在第一象限及），轴（除坐标原点）无交点；

J1

二

若K。，》。，

当（x_l）2+（y_2y=5与直线），=丘，即云一'=0相切时，-7==V5,解得左=一4，所以当AN—g时，

e+i22

直线y=依与曲线C在第二象限无交点；

同理可得当女工g时，直线），="与曲线C在第三象限无交点;

当时，直线），="与曲线C在第四象

限及y轴（除坐标原点）无交点

综上，当且仅当々e|~-时，直线)'=履与曲线C有唯一公关点.

所以选项A正确.

对于B,由双曲线的定义可知，至J(0,5)与到(0,-5)的距离之差为8的点在以(0,5)与(0,-5)为焦点，实轴长

为8的双曲线的下支上，其标准方程为《―《=1()，<0).

169

与曲线。有且只有一个交点，即(0,T).所以选项B正确.

对于C,曲线C所围成的封闭曲线由四个相同的弓形组成.

如图，二88的面积为?=2.cosN04B=5+：l*所以

22xV5xV552

sinZ.OAB=>/l-cos2Z.AOB=—<—.

52

所以/。48>与，所以。48所在扇形的面积大于

每个弓形的面积大于弓-2,所以四个弓形的面积大于竿-8.所以选项C错误.

对于D,

昆锣=逐，解得〃-1；

当直线y=2x+/〃与(X+1)2+(),-2『=5(%20,)史0)相切时,

75

同理可得，当直线y=2x+机与(K+1『+()，+2)-=5(x20,y<0)相切时，"?=一5；

当直线y=2x+m与(xT)2+(y_2)2=5(x<O,”0)相切时,利=5；

当直线)'=2x+〃?与(,1_1)2+(,，+2)2=5(l<(),),<0)相切时，,M=1.

如图记4:2x-y+5=0,/2:2x-y+1=0,:2x-y-\=0./4:2x-y-5=0,

设直线），=2x+"z（-5<"?<5）到直线/］：2x-y+5=。的距离为1,则1解得"7=5-6；

设直线）=2x+〃?（一5<〃?V5）到直线4：2x-y+1=0的距离为I,则=1解得机=-6+1或〃z=石+1；

设直线），=2x+m（m<5）到直线/）:2x-y-1=0的距离为1,则曙=1解得机=6-1,或机=-6-1；

设直线），=标+加（一5<"2<5）到直线/4：2.1-），-5=0的距离为1,则与3=1解得利=一5+百,

因为曲线C上恰好存在4个不同点到直线y=2x+〃?的距离为1,所以实数次的取值范围为

（-1-石,-5+行”（1-石，-1+石）u（5-石,1+石）.所以选项D正确.

22

【分析】设双曲线方程为£-£=1（-4<4<5）,将点（&N上）代入求出4的值，从而可得双曲线方程.

【详解】由题意可设双曲线方程为一工——匕=1(-4<2<5),又经过点（"2⑹,

4+A5-/1

9Q

所以「■」—■=1，upr-lU-42=0.解得2=-3或2=14（舍）.

4+25-2

所以双曲线的标准方程为-=1,

8

故答案为：=

8

13.x/io+2/2+Vio

【分析】设复数z=x+yi,x,），€R,确定及数z对应的点在圆f+f=4上，结合|z-3+i|的几何意义以及圆

的性质，即可求得答案.

【详解】设复数z=x+yi,x,)，eR,则z.z=(x+.yi)(x-yi)=x2+y2=4,

即复数z对应的点在圆/+炉=4上，

而|z-3+i|表示的是z对应的点和任数3-i对应的点(3,-1)之间的距离，

则|"3+i|的最大值即为圆/+炉=4上的点和点(3,-1)之间的距离的最大值，

由于3?+(—if>4,即(3,—1)在圆/+炉=4夕卜，

则圆f+丁=4上的点和点(3,-1)之间的距离的最大值为旧石尸+2=9+2，

即|z-3+i|的最大值为加+2,

故答案为：V10+2

「27

14.—

31

【分析】利用余弦定理找到IPKMP^I,再将(P6的面积为外叫用到耳HP^I表示,利用三角形内

切圆半径公式找到r=G(a-c),利用正弦定理得出，*=77■陛L=±gc,使两个式子相等，解出

9sin/P£1227

31c=27a,根据离心率公式即可得到答案.

【详解】设一片=〃?，PP2=n.

由椭圆定义可知：〃?+〃=%,I的6|=2c,a2=b2+c2,

在每中，利用余弦定理可知：

2+242।

cosZ.F.PF、=--------=—,而m2+n2=(m+n)2-2nm=4(z2-2mn,

2nm2

2〃21

所以cosZFPF=----1=——,故〃?〃=4/72-4/J一4r2,

t2~nm2

2

而46PF2的面积为S」述R=gmnsinZ.FiPF2=#mn=6-cj>

/户工的周长为：m+n+2c=2a+2c,

由三角形内切圆半径公式可知：一至=Gai；闻…),

Ca+c

附|——Jc=46

在4《尸人中,利用正弦定理可知：s\nZFiPF263

2

所以由题知:=券。3”)

9sinZPFlF2

化简得：3k=27。，故椭圆。的离心率e=£c=g27

a31

97

故答案为：

15.⑴〃+9=0

(2)z)=V2-V2iWcz,=-V2+V2i.

【分析】(1)将z=l-i代入方程中，结合复数乘法运算法则计算即可得:

(2)设ZLa+〃i(a,)eR),结合复数模长公式及复数乘法运算法则计算即可得.

【详解】(1)由1-i是关于x的方程f+/+g=0(p,4eR)的一个根,

所以(l—i『+p(l_i)+g=0,即有]_21_]+〃_〃1+4=0,

化简得(〃+夕)一(〃+2]=0,则p+q=0；

(2)设马=a+Z?i(a,/;wR),所以|zj=J一+人=2,

又=(l-i)(a+Z?i)=a+Z>+(Z?-a)i,且z-4是纯虚数,

y/a2+/?2=2

)=_&或1=&'

所以a+b=0，解得'

b-a^0

所以马二及一枝i或马=-V5+0i.

16.(1)<7=3

⑵3A■十6y—8=0

(3)8x-4y+5=0

【分析】(1)将4方程化为2x-)=3=O,利用两平行线距离公式列式求解即可;

(2)先联立方程求得直线4与4的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为x+2y+〃?=0,将点的坐标

代人计算即可;

(3)由题可设所求直线/方程为2x-)，+〃=0,利用平行线距离列式求得〃=。，即可得解.

4

【详解】(1)因为4：2x-y-^-=0,A：2x-y+a=0(a>0)t

乙

所以4与4间的距离为d=_二△叵，

历西亚i°

1717

即a+5二弓‘因为。>0,所以a+[=3，解得a=3；

乙乙乙乙

__2

,2x-y+3=0X~3

(2)由直线4与。的方程联立方程组।八，解得<•

x+y-\=0_5

y=3

即两直线的交点坐标为「(-

设所求直线方程为x+2y+m=0,代入p(一*|)得—：+2x：+,〃=0

Q

解得，〃=-§,

Q

故所求的直线方程为x+2.y-]=0,即3x+6)，一8=0.

(3)直线人：2x-)，+3=0,/2：4x-2y-l=0,

+2

由题可设所求直线/方程为2x-)，+，?=0,则有1=2,

M+(-咪e+(—1)2

所以—3|=〃+；,所以〃-3=-33,解得〃=：,

故所求的直线方程为2x-)，+〈=0,即8x-4)，+5=0.

4

17.(l)(x-4)2+(.y-8)2=2O

(2)不会总能在安全区内成功拦截，理由见解析

【分析】(1)设追踪机器人在点P(x,y)处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为2：1列

出方程即可得解；

(2)判断点。的轨迹圆与直线x=8.4的位置关系即可得出结论.

【详解】(1)设追踪机器人在点P(xy)处拦截目标机器人，

因为追踪机器人与目标机器人速度之比为2:1,

所以相遇时|必|=2|咫，

所以次+),2=2^(x-3)2+(y-6)2=>(x-4)2+(y-8)2=20,

即两机器人相遇点?的轨迹方程为(4-4『+()，-8)2=20；

(2)点尸的轨迹圆的圆心为(4,8),半径厂=26，

因为圆心到X=8.4的距离d=4.4<r=2x/5,

所以点P的轨迹圆与x=8.4相交，

则相遇点会出现在安全区外，

故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截.

此(1)[+4=1；

63

⑵y=-x+3：

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件，列式求出，泊即得椭圆方程.

(2)设出直线/方程，与椭圆方程联立，利用判别式为0求解.

(3)当直线斜率存在时，设出该直线方程并与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式及韦达定理求出直线

所过定点，再验证直线MN斜率不存在所过定点即可.

【详解】(1)山尸Q乃的周长为44，得4〃=46，解得〃=遍，

由椭圆£+与=1过点P(2/)，得:+』=1，解得〃=3，

6b"0b~

所以椭圆C的标准方程为4=L

63

(2)由直线/与椭圆只有一个公共点，且点P在椭圆上，得该直线的斜率存在,

设直线/的方程为尸1=左("-2),即y=h—2A+1,

y=kx-2k+\

由卜+29=6消去y得(1+2k2)x2一(弘2一4幻X+8公一弘一4=0,

由(8/-必--16(1+2/)(2/—,解得k=T,

所以直线/的方程为：)，=r+3.

(3)当直线MN斜率存在时，如图，设直线A/N方程为产质+〃]，”(中,)”区,3，2),

y=kx+m,,,,、、

由《，~2/消去>得(1+2K)K~+4Q«A+2"-6=°，

r+2y-=6

4km

N+4~2k2+\

22

A=16kM-8(2无2+1)(W-3)>0.即6s+3->>0，则，

2mr-6

2公+1

、

而4+的.=、y.-1+、y,-1=kx.+m)-\+kx+n'i-\

A1-ZX?一乙Xj-ZX?一乙

k(x2)intI2k1k(x^2)II2&1…，….、/11、

=-{!-----------------------+------------------------------=2k+(m+2k-\)(--------+---------)

&-2々一2%一2々一2

4km4

+4----------J"—4

=2k+(m+21)------%"----------=24+(m+2k-\)——二星女-------

内占一2(百+x2)+42m"-68km

1+2k2+1+2/+

c,✓〜1、-2(h〃+2K+1)—2(k]?7+2Z~+1)

=2k+(m+2k—1)-------------；———=2k+(m+2fk-1)--------------------------------

4km+4k2+n