江西省赣州市某中学2025-2026学年高三年级上册9月阶段检测数学试题

江西省赣州市赣县中学2025-2026学年高三上学期9月阶段检

测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={小>7},8={小<2},则A与8的交集是（）

A.{小>-1}B.C.{x|x<-l}D.ABC均错误

2.命题“土eR,12_2工-2>0”的否定是（）

A.VxeR,x2-2x-2<0B.HXGR,X2-2X-2<0

C.R♦x2-2x-2>0D.HreR,x2-2x-2<0

3.已知函数小）=］；［2++则/（、）的图象可能是（）

A.2>x>yB.z>y>xC.x>y>zD.x>z>y

5.已知sina=g,且。是第一象限角，贝lj（）

A.sin（2n:+a）=--B.sin（7r-6z）=——

'）3

V2

D.tan（兀+a）=

4

6.函数/（x）=4sin（ox+e）A>O,0>O,|同<5的部分图象如图所示，则（）

\乙）

B.的最小正周期为今

C./(x)在区间(1，£|上单调递减

D./(“在区间［-2025兀,2025封上共有8100个零点

7.将函数/(x)=8sx的图象先向右平移:万个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为

6

原来的(3>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(］，£)上没有零

点，则。的取值范围是()

C.(。扑目］D.(0』

8.在VABC中，。,七分别为BC,AC的中点，AO=1,8E=2,则VAAC面积的最大值为()

45

A.1B.-C.-D.2

33

二、多选题

9.已知复数4=5—8i,々=9i,贝ij()

A.Z是纯虚数B.3在复平面内对应的点位于第二象限

z2

C.Z］=5+8iD.闾=81

10.已知函数/(x)=(2f—3x)d,则下列结论正确的是()

A.函数/(力有2个极值点

B.函数/(%)无最小直

试卷第2页，共4页

C.若函数小)在卜卜)上是减函数，则实数。的取值范围是‘■!?

D.函数4=3[/(力了+2/(力-1有5个零点

11.在VABC中，角A,B,。所对的边分别为小b,c.4。的中点为。，BD=43,若

—/?sinC=ccos2,则()

62

A.13=^'B.。取值范围为[2,26)

C.VA8C面积的最大值为VJD.VA8C周长的最大值为6

三、填空题

12.一扇形的圆心角为30°,半径为4,则弧长为,该扇形的面积为.

13.已知0<a,?<7r,lana=-g,tan(a+Q)=-3,则sin2〃=.

14.已知函数/(x)=ln(x+l)T+l,函数g(x)=m*r+lna,若函数尸(%)=/(%)-g(%)

有两个零点，则实数。的取值范围

四、解答题

cosRh

15.在△ABC中，a,b,c•分别是角4,B,C的对边，且一-=-

cosC2a+c

(1)求角3的大小；

⑵若a+c=2,S,3号,求匕的值.

16.如图，在六面体产人BCDE中，四边形A4C。是正方形，平面PA。//平面8CE,CEJ•平

面ABCD,CD=PD=2CE.

(I)证明：PB1AC,

(2)求平面28。和平面夹角的正弦值.

17.已知等差数歹ij｛qJ的前〃项和为S”，等比数夕可加“｝的前〃项和为1,且4=4=1,%=S、,

aA+bA=15.

(1)求数列｛4｝与也｝的通项公式;

(2)求数列(与乙｝的前〃项和.

18.已知椭圆C:厂.厂=1(〃>b>0)的离心率为其短轴长为2G.

(I)求椭I员IC的标准方程;

(2)已知直线/:x=4,过椭圆右焦点尸的直线(不与人轴重合)与椭圆C相交于A,8两

点，过点A作斗。_L/,垂足为O.

①求证：直线8。过定点E,并求出定点E的坐标；

②点。为坐标原点，求AOB。面积的最大值.

19.已知函数/(x)=cosx+gx2-2.

(1)求曲线y=/(x)在点(兀J5))处的切线方程；

(2)若对任意XG(0卷),/u：l>(1-a)x2-1恒成立,求。的取值范围；

⑶设无穷数列｛《｝,%=f^an+l=2^,-1,请探究是否存在％w[-兀,使得4Goe(0』).

试卷第4页，共4页

《江西省赣州市赣县中学2025-2026学年高三上学期9月阶段检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DABADDABACAD

题号11

答案BC

1.D

【分析】根据题意可得八Pl8={x[i<x<2],再判断即可.

【详解】由题知={止lvx<2},

故选：D.

2.A

【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案.

【详解】命题“上-cR,/一2工-2>0”为存在量词命题，它的否定为全称量词命题，

UPVxGR»x2—2x—2<0>

故选：A

3.B

【分析】根据函数的奇偶性以及正负值即可通过排除求解.

2VCOSJV

【详解】的定义域为全体实数，

111IrVIVJ

、2（-x）cos（-r）-2ACOSX,、

且J（r）=mJ=ln（j.e1一"*故/&）为奇函数，图像关于原点对称，此

时可排除AC,

X0<x<-y,cosx>0,ln（x2+e）>0,故/（工）>0,此时可排除D,

故选：B

4.A

【分析】利用指数函数的性质可判断z>l,利用对数运算性质和对数函数的性质判断其），的

范围以及大小关系即得答案.

【详解】由题意可知0=噫1<％=1。832〈1幅3=1,0=log131<y=log132<logl313=1,

X>og32=—,】og”2=1”,而Iog213>log23,

log?3log213

故2>log132,即x>y,

答案第1页，共14页

因为Nz—-1C>2V。一—1「所以z>"y.

故选：A

5.D

【分析】由题意得cosa=迪,tana=无，结合诱导公式逐一验算各个选项即可求解.

34

【详解】已知sina=!，且。是第一象限角，则cosa=\「1=2&,tana=」L=3

3V932a4

对于A,sin(2n+cif)=sin<7=-,故A错误;

对于B,sin(7t-a)=sina=-,故B错误；

正,故C错误；

对于Ccos(-a)=cosa=

3

=1,故D正确.

对于Dtan(7T+a)=tana

4

故选：D.

6.D

【分析】根据图像可得〃x)=2sin(2x-胃，然后逐项判断即可.

【详解】根据图像可得A=2,/(0)=2sin^=-l,解得sine=-g,

又岷竹,所以展?,故A错误,

由五点作图法可知，詈-/。=＞。=2,周期丁吟小故B错误;

/(x)=2sin^2x--^,兀

0166

又“2哈3-J所以函数4)在区间(局上不单调，故C错误;

f(x)=2sinJ2x~—=0=>2x--=ht,kGZ,

\66

解得^点+去丘2,又xw[—2025兀2025句，

所以-4050/2=4049,所以共有8100个零点，故D正确:

故选：D.

7.A

答案第2页，共14页

【解析】根据图象变换求出g(x)的解析式，利用周期缩小。的范围，再从反面求解可得结

果.

【详解】将函数〃x)=cosx的图象先向右平移,4个单位长度，得到>，=cos(x-*)的图象,

66

再把所得函数图象的横坐标变为原来的,(◎>())倍，纵坐标不变，得到函数

(O

^(x)=cos||(69>0),周期丁=生，

I6JM

兀3冗上没有零点,所以获得"2"'得会2乃，得0-

因为函数g(x)在E'W

假设函数g(.r)在上有零点,

A/、ryzrn57r乃，一7nkjt47r,

令g(x)=O,得④t-------kfji+—,kcZ,得工=-----,keZ,

62co3。

e九■女乃4乃3乃r82A8,,,〜

贝1」彳<—+—<—,^-+—<co<-+2k,keZ,

2co3(i)2933

228

又OVOKI,所以或,

上有零点，且0v口41,

298

所以二或一4一.

939

故选：A

【点睛】关键点点睛：求出函数g(x)的解析式，利用间接法求解是解决本题的关键.

8.B

【分析】利用重心的性质和三角形面积公式可得正确的选项.

24

【详解】设VA3C的重心为G,则△G45中，AG=-^G=-f

114

故△GA8的面积为一AGBGsinNAGBq—AGIGu—,

229

当且仅当sinNAG8=1即NAG8=］时等号成立，

444

因此△GA8的面枳的最大值为进而VABC的面积的最大值为3x3=5.

故选：B

9.AC

【分析】根据复数的概念可判定A,利用复数的除法运算及几何意义可判定B,根据共聊复

数的定义可判定C,利用复数的模长公式可判定D.

【详解】因为々是纯虚数，所以A正确;

答案第3页，共14页

z.5-8i-8-51z.

因为7t=一薪一二——,所以「在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确;

Z,y1J

因为Z=5-8i的共规复数为5+8i,所以C正确:

因为目|=9,所以D不正确.

故选：AC

10.AD

【分析】对函数求导，即可得到函数的单调区间，然后得到函数的极值点，结合函数解析式

画出函数大致图像.从而判断A、B、C选项.令y=0解得/")的值，结合函数的极值点及函

数图像得到零点个数，从而判断D选项.

【详解】r(x)=(2x2+x-3)-ev=(x-l)(2x+3)e\

当T,-1)u(l,+8)时，r(A­)>0；当时，r(x)<o,

所以f(x)在卜8,一野，(1，+8)上为增函数，在卜(，1)上为减函数,

函数有极大值/[•|)=9.e4，当x=|时，函数有极小值/(l)=-c.

所以当工=-13时,

由/(力=(2/-341>0,即2/一34>0,得x<0或%>|,

所以当xe(y,())u(T，+8|时函数/("的图像在x轴上方，画出函数图象，如图

由图像可知A正确，B错误；

由图像可知实数。的取值范围是(-!」，故C错误；

由)，=3[〃X)T+2/(X)—1=0得/⑴=一1或;.因为=9—/(l)=-e<-I，

所以尸/(4)与丁=一1,丫=；的图像有5个交点，所以函数y=3[/3丁+2/(力-1有5

个零点，故D正确.

故选：AD.

11.BC

答案第4页，共14页

【分析】对于A,由三角函数恒等变形结合正弦定理边带互化可判断选项正误；对于B,

由南=g(B4+8C)结合A选项分析可得优W4,然后白余弦定理可得从=12-2"，据此

可判断选项正误;对于C,由B选项分析结合面积公式可判断选项正误;对于D,令。+。=，，

由B选项分析可得a+〃+c=f+>/^三，然后用导数研究函数

f(t)=t+^6-2t2,fW(26,4]的单调性，可得周长最大值情况.

【详解】对于A,ccos2=-^[l4-cos(A+C)J=-^c(l-cosB)=^-/?sinC.

由止弦定理边角互化可得：

6.口.厂.厂八i-cosfi2sin21B>/3

—sin«sinC=sinC(l-cosn)=>----------=----------=tan—=—,

3sinB2sin—co°s—B23

22

则，故A错误；

2o3

对于B,加=g(3Z+比)n4耐=府+对+2网园cos3,

则12=(?+/+〃<?=>。2+/=12一"之加=>这44,当且仅当。=c取等号.

12222222

由余弦定理，b=a+c-2accos^^>h=a+c-actXc+«=12-ac,

贝l」"=12—2ac,因0<ac",则〃？=12-2"«4,12)=>〃€[2,26)，故B正确；

对于C,由B分析可知，ac<4,则S八灰、=^acsin3KLx4x立=Ji,故C正确;

A/lov222

对于D,由B分析，12=c，2+〃2+ac=(a+c)2-ac=ac=(a+c)2-12W4,

得a+c、W4方=a2+c2-dc=(6/+c)2-3t/c=(t/4-c)2-3(c+c)2+36=36-2(tz4-c?)2.

令a+c=，，则f<4,方=/36-20，由三角形三边关系可得a+c>b,

则，>136—2产=产>36—2/=f>2百•IfllJ273</<4.

则a+/+c=i+(36-2/2，令/(/)=/+，36-2产,re(2^,4],

则C-意才、圾二“‘令匹右>>=$<,<#'

因fe(2G,4],则,36-2/<2,=>尸(，)<0=/«)在(264]上单调递减，

则/(,)=/+，36-2/〈川20)=4>/5,即V"C周长无最大值，恒小于4b，

答案第5页，共14页

故D错误.

故选：BC

4冗

12.

33T

【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式计算即得.

【详解】因为圆心角为g，半径为4,

6

所以弧长为卜4=§,该扇形的面积为《xgx4=

63233

故答案为：y；y

13.-1

2sin4cos2tanp

【分析】由已知及和角正切公式可得⑶】力=-1,再由sin2〃=

sin2+cos2/?tan2/?+l'

即可求值.

【详解】由题设lan(a+/)=鲁空蚂^=W^=-3,2tan/?-l

则J-t-a-n-/7-+--2=-3,

Janata"1+ltan/?

2sin/ycosp_2tanp

所以tan/?=-l,则sin24=

sin2p+cos2ptan:/?+1

故答案为：—1

14.(0,1).

【分析】变形为〃x)=g(x)有两个实根，变形得到尸11+||］。=/川)+1心+1),设

h(x)=ex+x,则力(x+lno)=Mln(x+l)),求导得到单调性，进而求出x+lna=ln(x+l),

只需使hw=ln(x+l)—x有两个根，设”(x)=ln(x+l)-x,求导得到在x=()处取得

极大值，M(x)a=M(0)=0,结合函数的走势，得到lna<0,求出〃的取值范围.

【详解】要使函数尸(力=〃外-晨外有两个零点，即/("=8("有两个实根,

即ln(x+l)-.r+l=-x+lna有两个实木艮.

,n(x+,)

即e^+x+ln«=ln(A+l)+x+l.整理为e"、"+x+\na=e+ln(e+1),

设函数/?(x)=e'+x,则上式为/?(x+lna)=/?(ln(x+l)),

因为“(x)=e'+l>。恒成立，所以〃(x)=e'+x单调递增，所以x+lna=ln(x+l).

答案第6页，共14页

所以只需使lna=ln（x+l）-x有两个根，设例（x）=ln（x+1）-儿

易知，函数的单调递增区间为（TO）,单调递减区间为（0.+8）,

故函数例（X）在x=0处取得极大值，历（x）a=M（0）=0.

当x->-l时，M（^）->-OQ；当XT+CO时，M（X）f-8

要想lna=ln（x+l）-x有两个根，只需lna<0,解得：0<a<l.

所以a的取值范围是（0,1）.

故答案为：（0,1）

15.(1)B=;(2)b=5/3.

【分析】（1）要求角。，三知条件是边角混合的，因此可用正弦定理化边为角，即得

cos8sinB

,交叉相乘后利用两角和的正弦公式化简可得;

cosC2sinA+sinC

（2）由（1）的结论选择面积公式S=gacsin〃可求得ac,再由余弦定理可求得。.

【详解】（1）由正弦定理可得。=2Rsin4,b=2RsinB,c=2/?sinC,

cosBsinB

代入已知得

cosC2sinA+sinC

即2sinAcosA+sinCcos〃+cosCsin4=0，

即2sinAcos+sin(+C)=0,

故2sinAcosB+sinA=0»即sin42cosB+l)=0

VsinA=0,cosfi=--,

2

又匹(0,万)，・•・8T.

(2)因为SMe=立=Lacsin8=立。。，•*-ac=1

424

:.b2=a2+c2-2accosB-a2+c2+ac=(a+c)2-ac=3

b=5/3.

16.（1）证明见解析

⑵半.

2

【分析】（I）先应用面面平行性质定理得出PD〃CE,再得出PD_L平面A8CO,最后应用

答案第7页，共14页

线面垂直的判定定理得出AC1平面P/比)，进而得出线线垂直；

(2)方法1：应用线面垂直建系再分别求出平面PB。和平面Q/W的法向量，再应用向量夹

角余弦公式得出面面角的余弦，最后应用同角三角函数关系得出正弦值；

方法2：设AC与BD的交点为。，过点A作A。_LP8,交加于点Q,得出乙4。。是平面PBD

与平面八钻的夹角，再计算得出角的正弦即可.

【详解】⑴

连接8。，

••.在正方形A5C。中，ACJ.I3D,

,平面24£)〃平面平面POCEc平面小。=H)，平面PDCEc平面8CE=C£,

:.PD/!CE.

•：CE1平面ABCD,:.PDL平面ABCD,

ACu平面AHCD...PDLACy

PD,BD<=平面PBD,PDcBD=D,

47_1_平面。3。，

PBu平面PBD,:.PB1AC.

(2)方法1：由(1)可知P/)J_平面/WC。，

ADCOu平面ABCD,；.PD1AD,PD上CD,

在正方形A6CZ)中，有ADJ.CZ),

••・以。为原点，以以为，。尸所在直线分别为x轴，)'轴，z轴建立空间直角坐标系，如图

所示：

答案第8页，共14页

设CE=l,则A(2,0,0),巩2,2,0),0(020)1(0.0,2),

.­.AC=(-Z2,O),ra=(2,2,-2),AB=(O,2,O),

由(1)可知ACJ•平面是平面的一个法向量，

.、n-PB=2x+2y-2z=0

设万二(x,y,z)是平面248的一个法向量，则〈—

n-AB=2y=0

取z=l,则无=(L0,l),

设平面P8O和平面PAB夹角为0,

贝ljcos®=|cos(AC,冗，=22五

2

sin。=Jl-cos?。=电，即平面列吸和平面P/W夹角的正弦值为由.

22

设AC与8。的交点为。，过点A作42，以3,交/归于点Q,连接。Q,设CE=1,

由（1）可知AC_LB。,282.4。,47_1平面心。,

AC,AQu平面AOQ,ACr>AQ=A,:.相_1"平面AOQ,

QOQu平面AOQ,.•.尸B_L0Q,

又QOQu平面PBD,4Qu平面处2,平面PBOf)平面PAB=PB,OQcAQ=Q,

•••NAQ。是平面PBD与平面PAB的夹角，

答案第9页，共14页

在正方形A8CZ)中，8£>=2a,AO=&

由(1)可知PDL平面ABC。，

•.•AD,8。u平面ABCD,:.PD±AD,PD1.BD,

...在RtZXRl。中，PA=yjPD2+AD2=2>/2»

在RDP3O中，PBnyjpD'BD1=2X/5,

在aEAB中，vPB2=PA2+AB\：.PALAB,

：.S^AR=-PAAB=-PBAQ,.\AQ=^-,

223

4CJ•平面PBD、OQu平面PBD,;.AC±OQ,

.•.在RIAA。。中，s\n^AQO=—=—,

AQ2

二•平面尸8D与平面P48的夹角的正弦值为近.

2

d

17.(1)«„=2n-l；bn=2-'(2)(〃_1)、2__〃(；+』+2

【分析】⑴设数列｛〃〃｝的公差为4由6=53可得吗+4〃=3%+学应由4=々=1即可解得

d=2,故％=2%-1,由q+4=15,即可解得q=2，进而求得a=2"，

（2）由（1）得，包名=吆二1=〃.2"-〃,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.

【详解】（1）设数列｛%｝的公差为％数列｛〃｝的公比为%

由％二邑可得,q+4d=34+

整理得2%=d,即d=2,

故4=2〃-1,

由。4+“=15可得“=8,则加'=8,即q=2,

故2=2"，

(2)由(1)得，5“=心Tn=2"-\f

答案第10页，共14页

故^J(27)=〃.2f,

nn

所以，数列｛安/的前〃项和为(Ix2i+2x22+-+〃x2")-(1+2+…+〃),

设？=1x2+2x2?+…+(〃-1)x2""+"2"①，

则22=1x2?+2x2，+...+(〃・l)x2"+〃x2e②，

®-®W^=«x2n+l-(2+22+234-...+2w)=(«-l)x2,,+,+2,

综上，数列｛牛｝的前〃项和为(〃-1)x2向-吗W+2.

【点睛】本题考查求等差等比的通项公式，考试分组求和及错位相减法求数列的和，考查学生

的计算能力，难度一般.

18.(1)=+1=1；(2)①证明见解析;定点E为住01；②？.

4312J4

【解析】(1)根据离心率和短轴长求出外。后，可得椭圆C的标准方程；

22

(2)①设直线=/町+l(〃zeR),代入?++1,得(3加+心+6冲-9=0,根据

韦达定理得y+y2和凹必，根据点斜式求出直线40的方程，令y=0,得％,利用y+刈和3%

化简可得彳=|,故可证直线也)过定点q^，0)；

②根据“刎=S△四+S△沏=I•I。针Mf14当三=富?，再换元可求得最

大值.

C1

­=一

a2a=2

【详解】(1)由题意可得力=2行解得力=6,

a2=b2+c2c*=1

故椭圆。的方程为内斗

(2)由对称性，若直线过定点E,则该定点£必在x轴上,

①由题得尸(1。),设直线AB:x=zny+l(/neR),

设A(K，y)，5(孙％)，。(4,凹)，

答案第11页，共14页

x=my+1

联立方程《丫2,得（3〃r+4））’+6叫，-9=0,（*）

----1-----=1

43

一一Q

所以有y+），2=「一pQ,1，且2，孙），2=3（）1+%），

3m~+43nr+4

因为%>=泞匕所以直线8。的方程为）」弘=上9（4-4）,

令尸0,得丫=4」二一4）=4」|（「「3）=4_〃。'以-3二（**）

乃一%y2f%-x

3

将2〃历%=3（乂+%）代入（**）,则I72（»+"b•73_5,

丫2f22

故直线40过定点（I，0）,即定点E为（|,0）,

②在（*）中，A=36/n2+36（3w2+4）=144（/«2+1）,

所以N-.卜而石产淳=石需】=嗯学’

，5I

又直线4。过定点E-,0|,

12,

・__ISrlII_512，而+1_l5\/ni2+l

••S△即-S.初+S△网―嗟|0印帆一凹|_了3〃产+4—37.+4，

15/15

令，=屈百之1，则△°B"=7石=口在，«1，内）上单调递减，

I

故当，=1，，〃=。时,（SaOB/Jmax=I.

【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线过定点

问题，考查了面积问题，考查了运算求解能力，属于中档题.

2

19.⑴7cv—y-+-3=0；

⑵[g.+co）：

⑶存在.

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.

（2）等价变形给定的恒成立不等式