泸溪某中学2025-2026学年高二第二次提升考试数学试卷

泸溪一中2025-2026学年高二第二次提升考试

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,）

I.直线工+丁-6=。的倾斜角是（）

r37t

A.0BD.—

-7c?4

2.已知圆。|：（工-1）。（k2）2=4与圆。2：（丹2丫+（丁+1）2=9,则两圆的位置关系是（)

A.内含B.外切C.相交D.外离

3.已知直线"双+2），+6=0与直线+x+（a—l）），+/_]=o平行，则实数”的值为（)

A.B.2C.-1或2D.1或-2

4.己知点A（3,2）,B（-l,4）,在“轴上求一点P,使|/%|十|叫最小，则点尸的坐标为（)

停。

A.B.?°C.D.1-?°)

5.已知小鸟是椭圆y=l（〃>b>0）的左、右焦点，经过匕的直线与椭圆相交于A3两点，若

|A用=6,|明=8,忸闾=10,则椭圆的离心率为（）

AB.叵D.乎

-f15cT

6.已知尸为抛物线=2〃>，（〃>0）的焦点，VABC的三个顶点都在E上，且尸为V4AC的重心.若|硒+|叫的

最大值为10,则〃=()

A.1B.2C.3D.4

7.已知正方形人88的边长为2,现将46沿对角线人C翻折，得到三棱锥D-ABC.记4cAe4。的中点分别

为O、M,N,则下列结论错误的是（）

B.三棱锥力-A8C体积的最大值为延

3

C.三棱锥O-A8C的外接球的表面积为定值D.MN与平面800所成角的范围是（（）,：:

8.人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质.如图，从双曲线右焦点尸2发出的光线通过双曲线

镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点片.已知双曲线的方程为），2=1,则当入射光线

和反射光线总互相垂直时（其中夕为入射点），/6用P的大小为（）

5万

D.

"12

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

9.已知椭圆C:二+丁=1的左、右焦点分别为耳，F〉上顶点为8,右顶点为A,直线/:〃吠+y—3〃z=0与C

交于点M，N两点，则（）

B.当直线///A8时，加=巫

A.直线/恒过点鸟（3,0）

10

C.△MNK的周长为40D.点8到直线/的最大距离是加

10.如图，在三棱锥A—BCD中，BD工BC,A3_L平面8c。，AB=BC=BD=2,E，F，G,"分别为

AB,BD，BC,CD的中点，M是女'的中点，N是线段G”上的动点（不包括端点），三棱锥七一/G”的

外接球为球Q，三棱锥A—8CD的外接球为球”，则（）

A.MN的取值范围为2'2)B.存在点N,使得MNJ.EH

D.球。球面上点到平面ACO距离最大值是述

C.B,P,。三点共线

3

11.已知动点?在直线/：x+）」6=0匕动点。在圆。：*—1）2+。-1）2=4上，过点尸作圆C的两条切线，切

点分别为A、B,则下列描述正确的有（）

A,直线/与圆C相交B.|尸。的最小值为20-2

C.四边形面积的最小值为4D.存在一点，使得NAP3=12（r

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.若圆锥的高为10,底面圆的半径为2,则这个圆锥的体积为.

13.平面上动点M到定点尸（3,0）的距离比M到》轴的距离大3,则动点M满足的方程为_______.

14.过双曲线捺―£=1（。>0/>0）的左焦点%—c,0）（c>0）,作画f+jq的切线，切点为延长正交双

试卷第2页，共4页

四、解答题(本大题共5小题，共77分)

15.为提高生产效率，某工厂开展技大创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式

的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第

二种生产方式.两组工人完成任务的工作时间(单位：min)如下：

生产方式工作时间(单位：min)

第i种68727677798283838485

第二种65656668697071727273

假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率.

(1)从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人,估计该工人完成生产任务的工作时间小于80min的概率；

(2)将工作时间分为[60,70],(70,80],(80,90]三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生

产任务的工作时间不在同一层的概率.

16.已知抛物线G丁=2〃4(〃>0)的焦点为尸，焦点尸到准线的距离为5.

(1)求抛物线C的标准方程及焦点F的坐标；

(2)过焦点/作斜率为2的直线/,交抛物线C于M,N两点,若点尸(4,2加)在抛物线。上，求AVW的面积.

1二7.如图，在四棱锥"一A8CD中,?。_1_底面48。，£是2。的中点，点/在楂BP上，且瓦'J.3P,四边形A8CD

为正方形，PD=CD=2.

AB

(1)证明：BPIDFi

(2)求点F到平面BDE的距离；

18.如图，在几何体A3COEF中，已知四边形A3CO是边长为4的正方形，EA//FC,ED=EB=4g，

EA=2FC=4.

（1）记明：平面平面FBD；

（2）设。为8。中点，求点。到直线£。的距离；

2EP

（3）在线段E尸（含端点）上是否存在点P,使平面与平面C8O所成角的余弦值为不，若存在，求一的

3EF

值，若不存在，说明理由.

19.已知动点P与定点A（〃?,0）的距离和尸到定直线x=日的距离的比为常数巴.其中〃且，…,记点

mn

P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；

（2）设点8（-%。），若曲线C上两动点M,N均在x轴上方，AMABN,且AN与8W相交于点Q.

…L11

①当机=20,〃=4时，求证：函+网的值及44。的周长均为定值；

②当〃?>〃时，记，A8Q的面积为S,其内切圆半径为广，试探究是否存在常数4,使得S=力恒成立？若存在，求

4（用牡〃表示）；若不存在，请说明理由.

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泸溪一中2025-2026学年高二第二次提升考试

数学试卷参考答案

1.D[详解]设直线x+y—6=0的倾斜.角是a.直线x+y_6=0斜率为及=_]=tana,又ae[O,#,=

2.C【详解】由题意知：6；(1,2),1=2,。2(-2,-1),&=3,因为|。。2|=^^=3©所以与一4<女伤<«+%,即

两圆的位置关系是相交，故选：C

3.A[详解]由直线"ai+2y+6=0与直线勺x+(a—l)y+优一]=0平行，可得a(a—l)=]x2,,角牟得a=2或a=-],

由于还要满足2(。2-1)=6(〃-1),所以《=2舍去，故选：A

4.A【详解】根据题意，作出人(3,2)关于x的对称点C(3,-2),则

|PA|+|P8|=|pq+|PB|之忸q=Jl^诲=2而，当点尸与5,C共线时等号成立，则由。(3,-2),8(-1,4)写出直线8C

o_4?3s

方程：y+2=^y(x-3)=-^(x-3),再令y=0得：2=-^(x-3)=>x=|,故选：A

5吐&4,可得—相所以…,又由椭圆

定义可知：M周+|4?|+忸用=6+8+IO=24=4a=a=6,所以|4用=2a—|A&=12-6=6,贝ij

忻图2=,用2+|八段2=62+62=72,所以(20)2=72=C2=18=”3及，故离心率为6=£=半=§，故选：C.

6.D【分析】设A(XQ)次生％),。(.0)，3)，利用抛物线的定义将向|+|冏转化为X+H+"，再由三角形的重心

性质和点C的坐标特征即可求得P值.【详解】如图，作抛物线的准线/：y=-点,分别过点AB

A\B\

作",J./,四_L/,垂足为A，B],设A(司,凹),仅占，)'2)，0(0%)，^\\FA\+\FB\=\AA]\+\BBl\=yi+^y2+^=y]+y2+p

(*),因点F(0普)为V48C的重心，则又上产!=§,即X+力丹-%，代入(*)，可得

|FA|+|FB|=?-)，3+p=,-%，因点C(X3，g)在抛物线E：X2=2〃>，(P>0)上，故为20,故IE4I+IF8区年，依题，

当=10,解得〃=4.故选：D.

7.D【详解】因为ABC。为正方形，可得AC_L8O,AC_L£>O,又由8。。。。=O,且80,OOu平面BOO,所以AC_L

平面8。。，所以A正确；当平面ACD_L平面A8C时，此时O到平面A8C的距离最大，即三棱锥O-A8C高的最

答案第1页，共8页

大值为〃=。。=&，此时三棱锥。-ABC的最大体积为A8C"7='XLX2X2X&=22,所以B正确；由

OA=OB=OC=OD=42,所以三棱锥。-A3C外接球的球心为。，即外接球的半径R=0,所以三棱锥O-ABC

外接球的表面积为S=4成2=8兀(定值)，所以C正确；如图所示，取AB,AO的中点£尸，分别连接ME,EF,NF,NE,

因为EF,N分别为4B,AO,A。中点，可得EF//BO,NF//DOREFNF=F,所以平面NE///平面80。，又因

为AC_平面300,所以AC_L平面N£F,因为AC//ME,所以ME_L平面NE/7,所以NMFE即为直线MN与平

面NEF所成的角，在折叠过程中，设80的长度为〃，贝Uac((),20)由E，N为的中点，所以=,

Mg-AC

在直角.中，可得（an/MFE=卞=^—犷了”所以"庄的取值范围为小力即皿与平面4”所

MLBD

2

成的角的范围为(；中，所以D错误.故选:

8.D【详解】由/一)/=1得：〃=],〃=i,c=&.设归用=机(〃7>0),则归周=2+机.所以〃产+(机+2『=(2也

解得机=6-1（〃?=一6-1舍去），所以cosN£EP=g^=即在EPw（0,i）,

用I2V24

喘衿(设)=。吟吟峙哈耳，所以4；军>=*故选,D.

9.【答案】ABD【分析】将直线转化为〃?(工一3)+)，=0,求定点，即可判断A；利用///A3,求出出，即可判断

B；利用椭圆的定义求出的周长即可判断C；利用当1/时点8到直线/的最大距离可判断D.

2

【详解】由椭圆C:Qy2=],得〃=布"=1,。=3,可知左右焦点爪_3,0),6(3,0),上顶点为8(0,1),

右顶点为小瓦,0),将直线转化为〃小-3)+>=0,所以直线/恒过点(3,0),故选项A正确；当直线///AB时，

因为k=一巫，则直线/的斜率为一m=一巫=m=巫，故选项B正确；由椭圆的定义及直线/过椭圆右

"101010

焦点6(3,0),可知△MN6的周长为4a=4亚，故选项C错误；因为直线/过椭圆右焦点鸟(3,0),且与椭圆

C交于点M,N,当B8_!./时点8到直线/的距离最大，最大距离为=Ji6,故选项D正确.故选：ABD.

10.【答案】ACD【详解】在三棱锥A—8CQ中，8。八8C/8八平面8c。，建立如图所示的空间直角坐标系,

答案第2页，共8页

11\./IIA

则G(1,O,O),H(1J,O),E(O,O,1),M0,--,F(0J,0)M(ft0,2),GM=-1-,-,G//=(0J,0),GE=(-1,0,1),由

i22J22；

N是线段GH上的动点设N("0),(0</vl)=-]MN卜哈+("；

正确；则=由二(1』,一1),由仞7・切=1+-3+3=1+/>0,则不存在点"，使得阴7_/正”，

B不正确；由题意易得三棱锥A-5C。的外接球为球尸即为墙角模型的的外接球球心，其球心位于正方

\_

体的体对角线的中点，所以P(U,1),同理三棱锥E-FGH的外接球为球Q，由3P=2BQ可得8,P,

2,2*2；

。三点共线，故C正确；球心。在以8为顶点2EAG,夕户为棱的正方体的中心，其半径为石，又

21222)

.(311、311

易得平面4c。的法向量为(1,1,1),且。。二十,一不一彳所以Q到平面AC。距离为厂厂土石,所以球。球

1222J756

面上点到平面ACO距离最大值是走+立=2叵，故D正确.故选：ACD

263

II【解析】BC圆。：。-1)2+()，-1『=4的圆心。(1,1),半径/*=2,连接PC,点C到直线/：工+'-6=0的

距离d=+=2啦>2=小直线/与圆C相离，A错误；点。在圆C上，贝|」归或同=〃一一=2行一2,B正确；

由切线长定理知，四边形PAC8面积：

122

S=2SPAC=2-^\PA\­\AC\=2\PA\=2yl\PC\-lACf>2y/d-r=4,当且仅当PC_U时取等号，因此

四边形Q4CB面积的最小值为4,CT确；由切线长定理知，ZAPB=2ZAPC,而

sinZAFC=!^^=^-<-=—,乂NAPC是锐角，正弦函数》=sinx在(0,马上单调递增，则NA产C的

\PC\\PC\d22

最大值为?，当且仅当PCJU时取等号，因此的最大值为W，D错误./.左兴

、,

12.争.【详解】因圆锥的底面半径为2、高为10,则其体积为U=W〃=+x22xlO=与7T.

13.I=i2x或)，=0(x<0)【详解】动点M到定点尸(3,0)的距离比M到y轴的距离大3,当行0时，动点M到定点尸(3,0)

答案第3页，共8页

的距离等于到尸-3的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为丁=2幺，则-3,即〃=6,所以旷=12x；当人-<。

时，y=。满足条件.综上所述：动点M的轨迹方程为：x"）时，/=12.t；xvO时，），=0,（x<0）.故答案为：/=12x

或y=（hx<0）

14.叵演M【分析】根据所给条件可得E是P尸的中点，利用中位线的性质可求出1尸尸1,再由双曲线定义求

22

出IPFI,由直角三角中勾股定理建立方程可得离线率.

[详解】设右焦点为F,6P=2OE-OF，：OP+OF=20£,E是""的中点，。是b'的中点，，PF'\=2\0E\=a

且PF'//OE,由双曲线定义可知IPF1=3。,・・•OELPF,，PF_LPF,/.（3a）2+/=4c2，即/=：=旦,e=巫。

a~42

।39

15【答案】（1）-（2）—

【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式直接求解即可.

（2）先表示出事件并由古典概型概率公式求出概率，根据互斥事件概率加法公式和独'7••事件乘法公式求解即可.

【1】第一组工人中工作时间小于80min的有5人，占第一组人数的』=!，所以从采用第一种生产方式的工人中

102

随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于80min的概率为羡；

【2】将工作时间段[60,70],（70,80>（80,90]分别记为第一、二、三层，从第一组工人中抽取1人，该工人完成生

产任务的工作时间属于第，层，记作4。=1,2,3）；从第二组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属

于第i层,记作用,1=1,2,3）；这两人完成生产任务的工作时间不在同一层，记作C；由题意

P（A）=—P（A,）=—=-P（A）=-=-,P（B,）=-=-P（B）=—=-P（B）=0,所以

\vl10fv105f\3浦102\"1059v2710591*3

C=AB?+\+&B]++八再+4.也=+A?B[+AyBl+A3B2,P（耳用）=尸（A）P（B、I=-j—x—=,

p（44）=P（4）p⑻=浜=卷,P（A3J=P（4）P（旦）=；,=[,

JJ乙JJ1\J

i2I

P（A3B2）=P（AJ）P（B2）=-X-=-,所以

LJJ

P（C）=P（A82）+P（44）+尸（A/J+P（4也）=[+各白+肾卷

4J4J1JJU

16.（1）抛物线C：/=10x,焦点坐标噌可；⑵504；56

【分析】⑴利用抛物线的几何性质即可得到方程和焦点坐标；（2）利用弦长公式和点到直线的距离公式，可以求面积.

【详解】（1）由抛物线C：）?=2后（〃>0）的焦点为尸，焦点尸到准线的距离为5,则抛物线Cy2=10x,焦点坐

过焦点F作斜率为2的直线/方程为：y=2（x-习=2x-5

与抛物线C：）/=1。工联立方

答案第4页，共8页

程组，消y得：(2x-5/-10x=0=>4/-30x+25=0,设/(可,)])—(%,%)，贝UA十人2=^，人也

匕亚二1二巫士所以"MN

,又点P卜,2Vi可到直线/的距离为:

Vi+44s

g而如小C1252加一350x/2-15>/5

的面积为S=-x——x——=-=---------------

22V54

17.（1）证明见解析（2）券

【分析】（1）利用线面垂直的性质与判定以及等腰三角形的性质可得线线垂直，再根据线面垂直的判定，可得答案.

（2）利用等体积法，根据三棱锥的体积计算，结合线面垂直的性质与判定，可得答案.

【详解】（1）证明：因为叨JL底面HBCnSCu底面48CO,所以PD_L8C,因为四边形ABC。为正方形，所以

。。_1_8。，因为尸。0。。=。，所以8。'_1平面PCQ,因为OEu平面PC。,所以3C_L"：.在△「口）中，PD=CD,E

是PC的中点，则OE_LPC,因为3CcPC=C,所以DEJL平面尸BC,因为PBu平面PBC,所以因

为EF*BP,DEcEF=E,所以32_1_平面。七/，因为。尸u平面QER所以

（2）连接人C交“。于点如图所示:又底面平面八得

ACA.PD,而P£>c4O=O,则AC_L平面PZ用，所以点C到平面刊明的距离为|CM|=&,因为E是PC的中点,

所以匕如=%的=；%一的，BD=2&BP=2瓜DF=BDDP=—,BF=《BD2-DF2二还,所以

233

=-BFDF=—yc_BDI.-=lx^x>/2=-,所以匕•一皿=6，因为0£>=8=2,四边形ABC。为正方形，

所以DE=6,BD=2叵BE^BC'EC?;加+陋丫=#，因为力炉+3E?=，所以OE_L座，则

Se；DE・BE=；x必指=6,设点尸到平面的距离为"，则：5加£以=：,所以:x百xd=：,解得

,46

a=----

9

18【答案】（1）证明见解析（2）勺叵（3）存在，且身=上巫

3EF6

【分析】（1）由勾股定理逆定理可得E4_LAD、/么_LA8，再利用正方形性质可得A8_LA。，则可建立适当空

间直角坐标系，再求出平面仍。与平面阳。的法向量后计算即可得；

（2）借助空间中点到直线的距离公式计算即可得；

EP

（3）假设存在并设一二4，借助2可表示出平面的法向量，再求出平面C3O的法向量后，借助空间向量

EF

夹角公式计算即可得解.

【1】由题可得£4=4,ED=EB=4y/i，AO=/W=4,则所？=十人加=+A*，故E4J-AO、

E4_LAB，又"_LAD，则E4、AD、45两两垂直，则可以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则4（0,。,0）、

矶0,0,4）、3（4,0,0）、。（0,4,0）、。（4,4,0）、尸（4,4,2）,则用二（4,0,—）、丽=（-4,4,0）、8户=（0,4,2）,

答案第5页，共8页

tnEB=4x4z-0

设平面EBO与平面的法向量分别为m=（',如4）、〃二（%,％，Z2），则有，}t

m-BD--4X]+4y=0

n-BF=4y+2z=0~.八.八,一、一一一一

?2，取X=W=1，则〃?=（1，1/）、〃=（1/，一2）,则加〃=lxl+lxl-2xl=0，故〃z_L〃，

n-BD=-4X2+4为=0

故平面E3Q_L平面尸80；

[2]0（2,2,0）,CO=（-2,-2,0）,EO=（2,2,Y）,则点C到直线E。的距离小《阿；COEO=…-抹邛;

同

EP

[3]假设存在，且=2€[O,1],则"=4"=（44,44,一24）,则8尸=砂一破=（4五一4,4%4—24）,

EF

aBD=-4a^-4b=0

设平面PHO的法向量为a=（4）,c）,则,/、/、，取。=2—2,则8=2-2,

tzBP=（42-4）t/+4/lh+（4-2/l）c=0

c=2-42,即1=（2—42—42-4/1）,由z轴1平面C3D,枚£=（（）,（）,1）是平面C5O的法向量,

|2-例

24±716+242±X/TO

贝|JCOSQf,/?|§,整理得6/12一4/1一1=0，解得/1=

㈤网12（2-町+（2-44『126

2+屈,故存在，且里叵

由w[0,1],则丸=

6EF6

19.（D答案见解析（2）①证明见解析；②存在；”审

【分析】（1）设P（M），），由题意可得1+，T=1，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解:

n'n'-m'

（2）设点M（N，y）,N（X2,%），"（£，%），其中Y＞。，刈＞。且占=一冬，%=-%.

（i）由AA///8N可知M,A”三点共且忸N|=|AM[,设MM'：x=ty+2金,联立C的方程，利用韦达定理表

1I,,（8—|AW|）.|AN|

示5?i+b）'阴，进而表示出由j十网，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由AM//MV得|/3Q|=|AM|+嬴，

|AQ|=3，晶喘"，进而表示出|42|+忸。|,化简计算即可；5）由（i）可知三点共线，且忸叫二|4"|,

112n

设MM'：x=sy+in,联立C的方程，利用韦达定理表示X+为，y为，计算化简可得闲[+何同=〃/—〃2，结合由

内切圆性质计算即可求解.

y!（.x-m）2+y（、2

【详解】（1）设点P（x,y），由题意可知〃，BP（x-m）2+y2=1—x-z/I»

X-------

m

答案第6页，共8页

经化筒，得C的方程为£+—Ek=i，当切y〃时，曲线C是焦点在大轴，的椭圆;

n~n~-nr

当〃〉〃时，曲线C是焦点在戈轴上的双曲线.

（2）设点”（司,）1）,可（工2，y2），”（七,为），其中另>0，%>°且工3=-%2，）'3=-%，

22

（i）由（1）可知C的方程为H1=l,A（2&,0）,8（-20,0），因为AM//8N,所以

4=三%="%=*,因此,KA"三点共线，且

|网=,他+2&『+¥=J（F-2&Y+（-）J=IAMI，

（法一）设直线MM'的方程为x=ty+2应，联立C的方程,得d+2）/+4何，-8=0,则其+）,=-富,.=-

孚卜一瑞卜4―曰百,忸叫=|31=4一日事

由（1）可知|AM|=所以

L一旦4昌［2-T

+

J_+J_=|AM|+|BN|=12"

|AM「砌一|AM卜网_7五

4---2

24冬I2季与;

4-争（，+%）

2"r+211

=1,所以的+网为定值1；

4-"（，+%）+户为4-&（4扬］1,（8

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（法二）设则有2d\AM\s厂254/2'解得.凹.=2+缶4W同理由4\A4M\-班「解得

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