江苏省某中学2025-2026学年高二年级上册第二次质量检测数学试题

江苏省泰州中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线尸丘倾斜角为135。，且过点则。=()

A.B.&C,-3D.3

2.已知等差数列上｝的前〃项和为S“，若q=7,S4=16,则4=()

A.3B.4C.5D.6

3.已知圆C:f+),2印6,直线/：)，=阮+力，若圆C上至少有3个点到直线/的距离为1,

则。的取值范围为()

A.-6<b<6B.-2W6W2C.Ov-6或b>6D.〃(一2或力>2

4.已知｛&｝是等比数列，且％-4=-24,%-%=48,则《=()

A.-1B.yC.1D.2

5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直线交C于A.B两点，O为坐标

原点，则△OAB的面积为

9石竺2

A.D0------C・1J•

48324

6.已知匕，外分别是双曲线•-卡■=l(〃>0/>0)的左、右焦点，直线/：y=x与后交

于人，8两点，且MJLBg,则与=()

a'

A.2B.2V2C.2+V2D.1+V2

7.法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心

为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆r：W+《=i(a>/»0)的蒙日

圆方程。：/+)，2=/+〃，F,,尸2分别为椭圆「的左，右焦点，离心率为由，。为蒙日圆

3

C上一个动点，过点P作桶圆「的两条切线，与蒙日圆C分别交于A,3两点,若AQ姐面

积的最大值为25,则椭圆「的长轴长为()

A.x/ioB.2x/ioC.V15D.2x/15

8.已知数列｛《J满足a“+勺+2=（T）"〃2,则｛q｝的前必项和为（）

A.2475B.2500C.2525D.5050

二、多选题

9.下列说法中，正确的是（）

A.直线2x+l=0的一个方向向量为（0,1）

B.4（3,1）,8（5,2）,。（一3,-2）三点共线

C.直线2（，〃+l）x+（3-〃7）丫一9-5〃7=0（其中"?wR）必过定点（3,1）

D.经过点，（（）/），倾斜角为。的直线方程为y=xtanO+l

10.已知数列｛叫满足4=1,%=卜+”?!鳖则下列说法中，正确的是

4-〃+2,〃为偶数''

（）

A.%=8；

B.｛%.｝是等差数列；

C.｛生”一2〃+2｝是等比数列；

D.数列｛4｝前2〃项和为3・2"+/-〃一3.

22

II.已知动点M是双曲线C:2-二=1上的点，点0E是C的左，右焦点，A8是双曲线

98

C的左，右顶点，下列结论正确的是（）

A.若则的面积为8

B.点加到两渐近线的距离之积为得

\MF\।

c.点M在双曲线的右支时，无的2最大值为:

用-5）4

D.设△M48的面积为S,则S-tanN4M8为定值

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.抛物线丁=8x上一点M与焦点的距离等于6,且M在第一象限内，则”的坐标是.

13.记S,为数列｛4｝的前〃项和，若S“=2凡-1,贝”6=.

14.己知椭圆C：[+/=[(a>〃>())的左，右焦点分别为6(-&,())»；(a,0),经过大的

直线/与椭圆。交于A4两点，且.3A8的周长为4G.则椭圆C的方程为；若在x轴

上存在一定点P，使得过点夕的任意直线与椭圆相交于两点M，N,都有岛下+祥上为

定值，则定点尸坐标为.

四、解答题

15.已知圆C:(x-4)2+(y+3)2=4,P是直线/"-)，+1=0上的一动点，过点/，作圆。的切

线，切点分别为48.

(I)当点P的横坐标为2时，求切线的方程；

(2)当点夕在直线/上运动时，求四边形B4C8面积的最小值.

16.已知数列｛4｝的前〃项和S“满足S”=3"+〃-1.

⑴求｛q｝的通项公式；

(2)若2=(2〃+1)(4一1),求数列也｝的前般项和Tn.

17.已知抛物线C：丁=2pMp>0)的焦点F在直线/：y=x-l±.

(I)求C的方程；

⑵过点尸(。,-1)的直线交C于M,N两点，又点Q在线段MN上，且瑞=疆，证明:

点Q在定直线上.

18.已知式、尸2分别是椭圆C：1+%=

1(4>8>0)的左、右焦点，点由在椭圆C

上，且。士人用的面积为近.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线)仁辰+1与柄圆C交于8、D两点,。为坐标原点，y轴上是否存在点E,使

得4)EB=NOED,若存在，求出E点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)设P为椭圆C上非长轴顶点的任意一点，。为线段6人上一点，若APQK与APQ人的

内切圆面积相等，求证：线段PQ的长度为定值.

19.特征根方程法是求•类特殊递推关系数列通项公式的重要方法.•般地，若数列｛〃“｝满

足。”+2=〃4+iN:〃CHO,Z?2+4C>0)，4=s,a2=tt则数列｛q｝的通项公式可以按

以下步数求解：①%+2=如川+。/对应的方程为V=尻+c，该方程有两个不等的实数根

明屋②令a“=Aa"+8•8，其中为常数，利用卬=“%=，求出从内，可得｛4｝的通

项公式.满足片=尼=L/=耳川+/(〃eN')的数歹IJ优,｝称为斐波那契数歹I」.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若存在非零实数/,使得｛加+4｝(〃cN")为等比数列，求/的值；

12024

⑶判定7—是数列｛/｝的第几项，写出推理过程.

/025i=1

试卷第4页，共4页

《江苏省泰州中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测数学试题》参考答案

题号1234567891()

答案AAACDDDAABCACD

题号11

答案AD

1.A

【分析】由倾斜角确定斜率,再由斜率公式列出等式即可求解：

【详解】由题意可知％=tan135=-1,则)，=-6%,

由直线过点P,则得。=飞，

故选：A

2.A

【分析】应用等差数列通项公式及前〃项和公式基本量运算，最后求出生即可.

4x3

【详解】因为a=4+3d=7,S4=4q+行二d=16,

所以q=l,d=2,

所以〃2=q+4=2+l=3.

故选：A.

3.A

【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意可得求解即可.

【详解】由圆C:/+V=16,可得圆心。(0,0),半径为厂=4,

|>^x0-0+dN

所以圆心CQ0)到直线l:y=6x+b的距离为"二j阴2(I1=T，

由圆。上至少有3个点到直线/的距离为1,

所以d=@«3,.―6<〃<6.

2

故选:A.

4.C

【分析】根据等比数列基本量的计算，结合已知条件，即可求得公比和4.

【详解】设等比数列｛凡｝的公比为夕，

答案第1页，共15页

。一Cl4-0

则9=^―^=-=-2,又％-%=%45-〃闻3=-324+8%=-24,解得q=l.

a6一4T4

故选：C.

5.D

【详解】由题意可知：直线AB的方程为），=等*-（）,代入抛物线的方程可得：

4y2-12V3,y-9=0,设A（R,y）、B（/,为），则所求三角形的面积为

Tx（xJ（y+3）2-4），通=故选D.

考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同

学们分析问题与解决问题的能力.

6.D

【分析】不妨设点A在第一象限，连接从石、BF「根据对称性可得四边形6为矩形,

从而得到|。4|=|。玛|二c，即可表示出A点坐标，代入方程，求出e?,即可得解.

【详解】依题意可得4,8关于原点。对称，不妨设点,4在第一象限，连接A£、BF、,

又46_1.8工，则四边形居为矩形,

(42.42}

所以|3|=|。闻=c,则月22'

c.c

所以J---=1,即nnr--~~-=2♦即夕—5—=2»又e>1,解得e2=2+夜，

2a22b1a2-a'e~

所以匕=£

—=e2—\=\+>/2.

a~

答案第2页，共15页

7.D

【分析】利用椭圆的离心率可得a=Gc,分析可知A8为蒙口圆的直径，利用勾股定理可

得|R4|2+|p8|2=MB|2=2()c、2,再利用基本(均值)不等式即可求解.

a3

因为十所以。=缶・，

所以椭圆「的蒙日圆。的半径为J7寿'=氐丁

因为尸A_LPB,所以AB为蒙日圆的直径，

所以|人5|=26c,所以+|尸8『=|A8『=20C2.

因为|PA|・|PB/四*竺£=10。2,

答案第3页，共15页

当IPA1=1P3|=Ji金时，等号成立.

所以面积的最大值为：^\PA\-\PB\=5c2.

由二P44面积的最大值为25,得5c2=25，得。=石，

进而有b=V10，a=>/\5，

故椭圆厂的长轴长为2岳.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于借助基本(均值)不等式分析二H8在何时取得最

大值.

8.A

【分析】由题可得4“+4小+44“-2+4“-3=8〃-5,令2=4“+《,“+/“2+/“-3=8〃-5,

将问题转化求4+仇++%,由等差数列的求和公式计算可得.

4

【详解】由an+a“+2=(T『，可得出”+。4〃-2=(一1)"2(4〃-2)2=(4/2-2)2,

%+a4n-3=(T)4'T(4〃—3)2=—(4〃一3尸N'),

所以。4"+%+&〃-2+a4n-3=(4〃-2)2-(4〃一3尸二8〃一5(〃CN,)，

令2=抬,+%1+47+4”.3=8〃-55='),所以数列也｝是首项为3,公差为8的等差数

列，

目〒以。I+。2+a3+a4++”97++6oo=A+b2++%,

,(3+195)x25c

由于4+4++b25=-----------=2475,

所以｛为｝的前100项和为2475,

故选：A

9.ABC

【分析】对于A：根据直线方向向量的定义分析判断；对于B：根据斜率公式分析判断；对

于C：整理可得(2x-y-5>〃+(2x+3)，-9)=0,根据直线过定点分析求解；对于D：举反

例说明即可.

【详解】对于选项A：因为直线2x+l=U的斜率不存在，

答案第4页，共15页

所以直线2x+l=0的一个方向向量为(0,1),故A正确;

对于选项B：因为38=泮=|次"=累=:，

J—3Z3+3Z

即％=金，所以＞(3,1),3(5,2),C(—3,—2)三点共线，故B正确;

对于选项C：直线2(〃i+l)x+(3--9一5/〃=。即为(2x-y-5)/〃+(2x+3y-9)=。,

户-），-5=0r=3

，解得I

[2x+3y-9=0

所以直线2(m+I)x+(3—/")y—9-5,〃=()(其中〃zeR)必过定点(3,1),故C正确;

对于选项D：例如。二5,可知tan。不存在，故D错误；

故选：ABC.

10.ACD

【分析】对于A,根据数列的首项以及递推公式，逐项计算，可得答案；对于B,利用等差

数列的定义，结合题干中的递推公式，可得答案；对于C,利用等比数列的定义，结合题干

中的递推公式，可得答案：对于D,根据BC的结论，利用分组求和以及等比数列的求和公

式，可得答案.

〃为奇数

【详解】对于A,由4=1,且4"则/=2。]+1-1=2,

a„-n+2,〃为偶数

%=。2-2+2=2,%=2%+3-l=6,a5=a4-4+2=4,a6=2a5+5-1=12,

%=仆-6+2=8,故A正确;

对于B,由a2n^-a2n_｝=a2n-2n+2-a2n_x=2aln_x+2n-\-\-2n+2-a2n_l=a2n_,,

即令““=2/“t，则数列怙-J为等比数列，故B错误；

叶工厂rh生”+2一（2〃+2）+2_2%,+|+2/?+1-1-2/?-2+2_2（%“一2〃+2）

AUJkxTLI|———乙9

%-2〃+2%“-2〃+2a2ll-2n+2

则数列｛出厂2〃+2｝为等比数列，故C正确；

对于D,由4=1,则等比数歹的首项为1,公比为2；

由%-2+2=2,则等比数列｛的“-2〃+2｝的首项为2,公比为2.

答案第5页，共15页

q+&+4++&“=■+%+%++%,-)+(&+/+4++/“)

+ain~2〃+2)

-[(-2+2)+(-4+2)+(-6+2)++(-2〃+2)]

2(1-2")(-2-2〃)〃

=2"-1+2(2"-1)+(1+”-2〃)

1-22+

=3(2”-1)+〃2-〃=3-2"+/一〃―3,故D正确.

故选：ACD.

11.AD

【分析】根据双曲线的定义，结合勾股定理即可求解|M411MMi=»?=16,由面积公式即可

求解A；根据点到直线的距离公式即可求解B；根据双曲线定义得|5|-5="«|+1,即可

消元，结合对勾函数的性质求解C；根据和差角的正切公式，结合斜率公式以及面积公式即

可求解D.

【详解】对A：因为双曲线C：E-f=1,故可得/=9/2=“2=17,

98

当A/耳LW6时，（|M用一悭用）2+2|历£|四用二旧用『=4/+2|川用四周二402,

故|M用|用用=%=］6,则例用|例段=8,故A正确；

对B：设点Md，%）,则8x；-9y：=72,又双曲线渐近线为），二土柜x,

3

故M到两渐近线的距离之积为3H」2近匚3M18年-9），；|=2故B错误；

Vl74n1717

对C：因为|M耳卜|"段=%=6,故可得制-5=|叫|+1,

明］.附1.1

故（|“耳卜5）2（|M周+1）-眼周++

因为|咋|“一々=而-3,故|〃周+尚+2在［旧-3,+8）单调递增,

则当周二＞/万-3时，（附1_5）2取最大值

答案第6页，共15页

_________I_________折-3而-3

Vi7-3+-=J—+2(V17-l)(Vi7-3)4-l21-4x/174,故C错误;

x/17-3布-3

对D：不妨设点何在x轴上方，则%>0,

/-/八八，c八tanZ.MAB+tanZ.MBA

则MlltanZ.AMB=-tan(/.MAB+/.MBA}=-----------------------

、71-tanZMAfixtanZMBA

又tanNMAB=kMA=,tanNM8A=-kMH=-,

'x0+3x0-3

%%

,,,…八x-3天+36y48%481—1--

故+上nx二=不后n"或二西,又力〃『5'2八)，。=3)，。,

,%+3.%-3

144144

故S.8-tan/AM8=)；当点M在工轴下方时，同理可得S加.⑶］乙4M3=不7.

故D正确.

故选：AD.

tanZ.MAB+tanNMBA

【点睛】关键点点睛：tan/AMB=-tan(ZMAB+ZMBA)=-

1-tan/MABxtan/MBA

又W="卷,tan/M/M=-8-卷,结合双曲线方程化简.

12.(4,4扬

【分析】根据抛物线定义，有抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，我们可以根

据这个性质来求出点M的横坐标，再代入抛物线方程求出纵坐标.

【详解】因为抛物线上一点M到焦点的距离等广6,根据抛物线上一点到焦点的距离等于

它到准线的距离，准线方程为x=-2,所以点M到准线工=-2的距离为6.

设点M的横坐标为%,则%-(-2)=6,即/+2=6,解得/=4.

把均=4代入抛物线方程)，2=8%,得到9=8x4=32,因为点M在第一象限，所以

),二寂=4及.故点”的坐标为(4.4忘).

故答案为；(4,472).

答案第7页，共15页

13.63

【分析】根据。0与S”的关系，先求得a“=2"T,进而根据等比数列的前〃项和公式可得.

【详解】当〃=1时，q=S1=2《—l,得4=1,

当〃22时，an=Sn-=24/,,-1-(2^_,-1),得4=2%-

故｛〃“｝是以J为首项，以.2为公比的等比数列，故〃”=2e,

责1(1-2’)

故S6=±M=63'

故答案为：63

14.—+y2=1

3

【分析】由鸟居的周长为46,确定［即可求解第一空，对于第二空，设P（机O）、M（.jy）、

N（W，），2），直线方程为％=）+，〃，结合椭圆方程联立得到：品?+扁不

1(18-6m2)+(2m2+6)r

177"一3『通过18-6/〃2=2"?2+6,即可求解;

【详解】由己知，c=B

易知,、乃八丹的周长为4。=4\石，所以a=Xa2=Z?2+c?2>

解得b=l,

「•椭圆的方程为］+丁=1.

设小儿0）、N（w，%），

当直线不为x轴时的方程为％）+加,

办-tyx+>n,x2-ty2+in,

X=)+HI

联立椭圆方程得：x2，尸(r+3))尸+2〃股+(m2-3)=0.

—+y-=\

3'

2tm〃/一3

又|PM『=（内7〃）2+），：=。+”）才,

I尸巧—"J+£=("/)£

答案第8页，共15页

所以IPM|2+1PNf=(1+/))，：+(1+r)£

「1（X+）'2）2-2），/

"（1+r）蒜

1（18-6/W2）+（2W2-F6）Z2

一所（疝-3）2

.,当且仅当18-6病=2病+6,

即机=±等时尚+品T,（定值）

即在x轴上存在点尸使得岛下+总不为定值4,

此时产的坐标为格o］或（-4琲

当点夕的坐标为

直线MN为x轴时，/W（-A0）,7V（X/3,0）,

11]

此时-|--P--M--|--2-------------7

2I"

当点夕的坐标为[44

宜线MN为x轴时，A/（-x/3,0）,/V（＞/3,0）,

1]

4

此时|PM『\PN\2+--y=

f_V6-73

4^T2

所以定点P坐标为［土坐,。.

(18-6〃/)+(2"『+6)产

【点睛】关键点点睛：工了为定值,需满足18-6〃?22m2+6.

（川_3『

15.(l)x=2或4尤+3)，一门=0

(2)477

答案第9页，共15页

【分析】(I)由圆C的方程可求得圆心与半径，利用点P在直线上求得点P的坐标，分过点

〜的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程；

(2)由题意可得“C8=2S”AC=2|尸&又|P4|=J|尸故求得|P。的最小值即可.

【详解】(1)由圆C:(x-4)2+(y+3)2=4,可得圆心C(4,-3),半径厂=2,

•・•点P在直线/：“-)，+1=。上，且点P的横坐标为2,••.点P的坐标为(2,3),

①当切线的斜率不存在时，直线方程为x=2,与圆C相切，满足题意，；

②当切线的斜率存在时，设斜率为攵，此时切线方程为？-3=&(%-2),

即：心-丁+3-2左=0,设圆心到切线的距离为4,根据题意可得：

|软+3+3-2廿八&

E-讨-2,

:.k*2+346k+9=k2+K：.k=——，

3

4

此时，切线方程为3二-§(x-2),

化简，得4x+3)〜17=0,

切线方程为x=2或4x+3y-17=0；

(2)­;PA=PB,PC为公柒边，.•.△PACMAPBC,

••5PACB=25^AC=2xlx|^|x|4C|=2|PA|,

又・•四|=Ji-4」当|PC|最小时，IF最小，

由题意可知,当尸C_L/时，|PC|最小，

此时,|PC|=L4&,

+(-D

.-.|P4|=VlPCf-4>2>/7,/.Sp«B=2|尸川>4>/7,

四边形小。面积的最小值为4夜.

16.(l)^=2x3H-,+l

⑵t,=2〃x3"

5.,w=1

【分析】⑴应用。“=c可求出通项公式；

[S,-Sc…心2

答案第10页，共15页

（2）方法一应用错位相减法计算求和；方法二应用待定系数法结合累加即可求解.

【详解】（1）当〃=1时，《=$=3.

当〃22时，由S“=3”+〃-l,得S“T=3”T+〃-2,

则%=Sn-S.T=3"—3M+l=2x3M+1.

因为q=3=2x30+1,所以〃“=2X3"T+I.

（2）（方法一）由⑴可得2=（2〃+I）X2X3"T=（4〃+2）X3"L

贝IJ4=6x3。+10xT+14x3:++（4/z+2）x3M-1,①

则37；=6x3+10x3?+14x3,+・,+（4〃+2）x3”,②

2

①-②，^-27；（=6+4X（3+3++3"T）-（4〃+2）X3"

Q一4”

=6+4x言--（4〃+2）X3"=-4〃X3",

从而7；=2〃x3”.

2

（方法二）由（I）可得”=§（2〃+1）.3",

令"〃）=（2〃+1）.3",则止；/（〃）.

令『（〃）=』-6,且C“=（A〃+6>3”,

则［A（〃+1）+B［3""-（A"+8）・3"=（2〃+1）-3",

整理得2A〃+3A+28=2〃+l,

2A=2,4=1

则3A+21,解得

B=-\'

故Q=（〃-1）.3"<*=〃.3向

Tn=bI+b2+”

［口⑴+f（2）++/（〃）］

J

2

=Q（G-G+G-G++C+i-C）

J

27

=}C+I-QG=2〃X3".

JJ

答案第11页，共15页

17.(1)/=4.r

(2)证明见解析

【分析】Q)根据焦点坐标可得〃=2,即可得方程;

(2)设0),M(x］，x),Q(W，M)，联立方程结合韦达定理可得

机=4-2,结合必="%-1消元即可得结果.

X

【详解】(1)由题意可得F(l.o),则今=1,解得〃=2,

所以抛物线C的方程为)，2=4X.

(2)设直线MN的方程为：y=/nr-l(/w^0),Mj%),。(0为)，

联立直线MN与抛物线C的方程•消去y可得〃月-(2〃?+4)4+1=0,

由△=(2/〃+4)"-4〃?2=16+16〃?>0,且〃?工0,解得〃?>一1且〃2工0,

.2m+41

则…=『，内"声

\PM\_\QM\

因为网一两'则工皿

x2x2-X?

72x~7।i

整理可得占=——=5TTT=-BPm=-―2

再+x,2相+4,7/4-2M

~nT

又因为点Q在直线MN上，则为="5-1，消加得用=-2*3,

且"7＞-1且〃?工()，可得得0＜占＜1且X3工g，

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所以点。在定直线：y+2x=0（o<x<i且户;）上.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（占）。,（七,%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或），）的一元二次方程，注意△的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为x+占、为修（或y+H、,为）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

18.（1）［+［=1（2）存在，E（0,3）,理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c（。>0）,根据△/储入的面积计算出c=l,可设椭圆C的

标准方程为£+——=1•再将点A的坐标代入椭圆C的标准方程，求出片的值由此可求

a~a1-1

出椭圆。的方程；

（2）设点E（O,m）,由NOEB=NOED,可得出曝+矶=°，将直

线8Q的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，代入原E+3E=。，求出实数〃，的值,

即可求出定点E的坐标;

(〃+1)|弘|_。一〃)|%|

（3）设点尸（如）b），Q（几O）（T〈xl）,PQ=tf由题意得出

〃+1+夕6+/\-n+PF2^t

化简得出［3）［（4+2，『-片］=。，可求出正数］的值，从而得出结论.

［详解】（1）设椭圆C的焦距为2c（c>0）,因为△£A用的面积为枝，所以c,弘=a=c=1,

设椭圆c的方程为4+—二=1，

a-a--1

将/坐，&］代入方程得士+，7=ln3a=13/+4=0n42=4,出三,

［JJ3cTa"-13

易知a>c=l,所以a=2.因此，椭圆C的方程为《+£■=1；

43

（2）存在这样的点石为（0,3）,下面证明：

设5（9），。伍，为），E（O，〃。，所以要使得NOEB=NO日九

即

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