山东某中学2025-2026学年高二年级上册期中考试数学试题（含解析）

山东省山东师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中

数学试题

一、单选题

1.“加=4”是"直线（2小一4）工+（〃1+1）），+2=。与直线（〃7+1）%一〃犷+3=0垂直''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.如图，M为四面体。4HC的楂8c的中点，N为OM的中点，点。在线段AN上，且A〃=2&V,设砺=1,

OB=b，祝=1，则。户=（）

21-1

A.OP=-a+—b+—cB.OP=-44—bH—?

36631212

一I1-I—211

C.OP=-a——b+-cD.OP=—a+—br——c

3663126

3.已知椭圆其左右焦点分别为小产”点。是柄圆E上任意一点，贝必「£鸟的周长为（）

A.2B.4C.6D.7

4.已知点A(-1,0)在圆Y+/+2x+3)，+〃?=O外,则实数，〃的取值范围是（）

(13

A.(1,-HX>)B.—,+00C.—OD,一D.

44)

5.已知圆-4=9,直线/过点尸（2,3）,则直线/被圆C截得的弦长的最小值为（）

A.2出B.VlOC.2x/2D.瓜

6.如图，一束光线从A。,。）出发，经宜线x+y+l=。反射后又经过点8（6,-5）,则光线从A到8走过的路

程为（）

K

A.V55B.2714C.屈D.2V15

7.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵

感的源泉之一.如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为8C的中点，则异面直线EG与平面石所

成角的正弦值为()

B.叵C旦

A-T6.V

8.巳知正方体A8CD-AMGR的梭长为&,空间中的点M满足：W=/l卒+〃陋\其中；LeR,〃wR,

且粤=&，则点M的轨迹的长度为()

MB

A.6nB.37rC.2G兀D.叵

2

二、多选题

9.下列说法正确的是()

A.若A8=(l/)，CZ5=(-2,-2),则/W〃CO

UUULILS1UllUIILIUI

B.若A,B,C,。是空间任意四点，则有八8+AC+CO+OA=0

C.已知丽=2丽+3通，能判定空间中四点户，M,A,B共面

D.若｛，五可为空间的一组基底，则加+瓦石+工工-4也是空间的一组基底

10.己知圆G：•一十/-23=0与圜G：(x-2)-+(y-〃7y=4(〃?>0),则()

A.过点G作圆a的切线只有i条，则，〃=G

B.若圆C1与圆C,有且只有2条公切线，则0<m<2夜

C.当〃?=2时，两圆的一条公切线方程为3.r-4y-8=0

D.当5=2时，两圆的公共弦长为也

5

11.如图，在直棱柱人8CO-A/£R中，底面人8。。是边长为2的菱形，/珈0=^,4^=2,点P为C6

的中点，点。为侧面。CGR内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（）

A.平面A8〃截四棱柱ABC。-AMGR所得的截面是五边形

B.BDLA.P

C.平面尸与平面A8CD所成角的余弦值为回

1（）

D.若仅。〃平面A8P,则点,。轨迹的长度为2四

三、填空题

12.设A（-2,3）10,2）,若点P",），）在线段AB上，则区的取值范围是.

X

13.已知椭圆上+工=1的焦点为£,工,"为椭圆上一点,N是的中点,若|ON|=].则

16122

R|=.

14.已知以"为圆心的圆〃：/+./-121-14），+60=。及其上一点42,4）,设7。,0）满足：存在圆M上的

两点尸和Q,使得加+亦=丁。，则实数/的取值范围为.

四、解答题

15.已知圆心为。的圆经过点人(3,-1)和8(2,6),且圆心C在直线x+y-1=0上.

(1)求圆。的标准方程；

(2)过点M(4,l)作圆的切线，求切线方程.

16.如图，四棱锥P-MCO的底面ABC。是正方形，叨_1_平面48。。，PD=AD=5,点、E,尸分别是

(2)求平面切/与平面ABCD的夹角的余弦值.

17.已知椭圆C:£+京•=乂〃〉人〉。)的左、右焦点分别为K，尸2，尸为椭圆C上一点.

(1)若焦距为4衣，点〃的坐标为(-3,1),求椭圆C的标准方程;

⑵若卬第曝且“用的面积为多求〃的值.

18.如图，在三棱锥产一ABC中，N44C=90,A4=4C=2,Q,E分别为3cAe的中点，△PBC为正三角

形，平面03C_L平面A4c.

(1)连接PD，求证：PDJL平面ABC；

⑵求点8到平面PAC的距离；

(3)在线段PC上是否存在异于端点的点M,使得平面尸4c和平面夹角的余弦值为?？若存在，确定

点M的位置；若不存在，说明理由.

19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-2x-2y/3y-n=0,是圆C上的动点，且

MM|=4G,的中点为M.

⑴求点M的轨迹方程；

⑵设点A是直线/：右工-），+4＞万=（）上的动点，AP,AQ是"的轨迹的两条切线，P,Q为切点，求四边

形APCQ面积的最小值；

⑶若垂直于）'轴的直线人过点C且与M的轨迹交于点。，E,点N为直线工=-3上的动点，直线NO,NE

与M的轨迹的另一个交点分别为F,G,（房与不重合），求证：直线%过定点.

题号12345678910

答案AACDACACBCABC

题号11

答案BCD

1.A

由两百线垂首求得机的值,根据充分条件，必要条件的定义作出判断.

【详解】当〃?=4时，两条直线分别为4x+5)，+2=0与5x-4.y+3=0,两条直线互相垂直，反之，由

(2〃7-4)工+(〃7+1))，+2=0与直线(〃7+1)工一，〃)，+3=0垂直，(〃7+1)(2〃2-4)+(-〃7)("?+1)=0,解得〃？=4或

，…1,则不能推出〃2=4,所以〃?=4”是“直线(2〃7-4)%+(〃7+1)丁+2=0与直线("?+1)工-，叫+3=0垂直

的充分不必要条件.

故选:A

2.A

根据空间向量基本定理得至|JON='〃+Lz,^OP=OA+AP=OA+-AN=-a+-b+-c.

443366

【详解】例为四面体Q4BC的棱BC的中点，N为OM的中点，

.I.I..I'・I—I—

故OM=-CM+-OC,ON=-OM=-b+-c,

22244

OP=OA+AP，

一2一

因为AQ=2PN,所以AP=-AN,

3

OP=OA+AP=OA+-AN=OA+-(ON-OA\=-a+-ON=-ci+-b+-c.

33、f33366

故选:A

3.C

根据椭圆的定义进行求解即可.

【详解】由题意，根据椭圆的定义可知

PF+PF2=2a,F\F[=2c.

所以5的周长为加+2o.

因为椭圆方程为E+£=l，所以a=2,c=l.

43

所以谯的周长为勿+2c=4+2=6.

故选:c.

4.D

由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断.

【详解】由圆的方程可化为"+1)2+()，+5=?一〃，，「¥-〃!>0•.・〃?<?，又点A(—I,o)在圆外，则

/3V1313

(-1+I)2+O+->---m,「."Al,综上1<加<一.

,，I2)44

故选:D.

5.A

先判断出P(2,3)与圆的位置关系，然后根据圆心到直线/的距离的最大值求解出弦长的最小值.

【详解】直线/恒过定点P(2,3),圆C:(x—3)2+()，—4f=9的圆心为C(3,4),半径为r=3,

2

X|PC|=(2—3)2+(3—4)2=2<9即〃在圆内，

当CP_L/时，圆心。到直线/的距离最大为d=|PC|=及，

此时，直线/被圆C截得的弦长最小，最小值为277^工产=2近.

故选:A.

6.C

根据点关丁线对称求出。点标，结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可.

【详解】

一束光线从A（1,O）出发，经直线x+），+1=0反射，与x+y+1=0交于点A

由寇意可得，点AQ0）关于直线“+），+1=0的对称点C在反射光线上,

七-1.』/二7

设。（如％）,则・

江+&+0…〔为=4

22

C（-l,-2）

故光线从A到B所经过的最短路程是AP+PB=CP+PB=BC=J（6+if+（-5+2『=屈.

故选：C.

7.A

连接BDAC交于。点，连接环，建系标点，求直线EG的方向向量和平面3DE的法向量，利用空间向量

求线面夹角.

【详解】连接3OAC交于。点，连接£尸,

因为该几何体是一个高为4的正八面体,

所以3O_LAC,EF=4,OE=2,

设棱长为，，则ACS，加学

所以在RtZXAOE中，AE2=OA2-^OE2,即/=+22>解得a=2>/2,

以。A0反OC所在直线为Xy,z轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则E（0,0,2）,C（-2,0,0）,G（T,l,0）,B（0,2,0）,F（0,0,-2）,

所以Ef=（-1』,一2）,平面BDE的法向量为日=（1,0,0）,

设直线EG与平面BDE所成的角为0,

八/一XI\EG-n\I76

所以sm"辰g昨嗣飞二丁

故选:A.

8.C

易得Me平面4水&,设E为AB,,4,8的交点，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理得AE_L平面

ABC.,进而可得MA?=”炉+从炉，在平面A8CQ中建立平面直角坐标系，设M（x,y）,求出点M的轨迹

方程，即可求解.

UUUUlUUUUULUU

【详解】因为AM=/IA8+〃A〃，所以平面A8CA，

如图1所示，设E为A旦,A/的交点，所以AE_LA8,

又BC_L平面4Aq8,AEu平面A.\B,B,

所以8CJ.AE,

又BCnA8=8,8C,A8U平面ABCR,所以4石_L平面ABC。，

图1

因为点M金平面A/CR,故腔U平面A/C2,

所以A£_LMK,则际2=加£2+八七2,

因为正方体的楂长为正,所以A8=45=2,A£=1,即MA2=M£2+],

在平面A8CR内建立平面直角坐标系，如图2所示，

则A(O,O)，B(2,O),E(I,O),

设火工,〉，),先)，—，

22222

则麻=(X-1)+/=X_2X+1-/,=(x-2)+/=x-4x+4+y,

所以MA2=ME1+1=x2-2^+1+y2+1=x2-2x+>,2+2,

又=应，故A/A'ZMZ??，BPx2—2x+y+2=2(x2-4x+4+y2),

整理得/一64+/1+6=0,R|J(X-3)2+/=3,

故点M的轨迹是半径为名的圆，所以点M的轨迹长度为2几.6=2&•

故选：C.

9.BC

根据向量共线判断A,根据空间向量线性运算法则判断B,根据空间向量共面定理判断C、D.

【详解】对于A：因为入月=(1,1).CD=(-2,-2),

所以6=-2A耳，则a5//ZA，则AB〃C。或AB与。。在同一条直线上，故A错误；

UUUULBlUl・IILIU1

对干B：若A,B,C,。是空间任意四点，贝1J有48+8C+CZ)+D4=0，故B正确；

对于C：户=2M1+3用分，月三个向量共面，

.•.P,M,A8四点共面,故C正确；

对于D；•.々一万一(5+目一(万+5),\bybF?,?〃三个向量共面,

.•・M+反方+^e-@不能作为空间的一组基底，故D错误.

故选：BC

10.ABC

根据切线判断圆与圆的位置关系判断A,B,根据切线条件计算得出公切线判断C,先求出两圆的相交弦所

在直线方程再应用几何法计算求出弦长判断D.

【详解】圆C1的标准方程为(x-旷+yj],圆心C(l,0),半径为「1,

圆Q:(A-2)2+(y-〃?y=4(w>0)的圆心为C?(2,m),半径为弓=2,

对干A选项，若点G作圆G的切线只有1条，则G在圆G上，

则有(1一2f+>=4,因为〃?>0,解得机=6,A对；

对于B选项，若圆G与圆G有且只有2条公切线，则两圆相交，

22

且|C,C2|=yj(2-\)+(m-0)="hi,

由题意可得弓一4<|。1。2卜4+弓，即l<J苏+]<3,

因为〃〉。，解得0vm<2&，B对；

对于C选项，当〃=?2时，圆G的方程为(X-2)2+()，—2『=4,圆心为G(2,2),半径为弓二2,

13-8|

圆心G到直线*-4)，-8=()的距离为H7=l=",

13x2-4x2-81

圆心G到直线版-4)，-8=。的距离为面+(/=2=%

故当〃7=2时，两圆的一条公切线方程为其-4)，-8=0,C对；

对于D选项，当"?=2时，由B选项可知，两圆相交，

将两圆方程作差可得*十2)，-2=0,此时，两圆的相交弦所在直线的方程为x+2=。，

圆心CI到直线x+2y—2=0的距离为“二'—2|=与,

Vl2+225

所以，两圆的公共弦长为2斤N=2卜字=竽，D错.

故选：ABC.

11.BCD

作出截面判断A,由线面垂直的判定与性质定理判断B,用空间向量法求二面角判断C,确定出动点轨迹后

判断D.

【详解】对A,取CQ中点连接PM,如图，则AW/PM[都与CR平行），所以四点共面,

则平面A.80截四棱柱ABC/）一4BGR所得的截面是四边形，A错误.

对B,连接ACAG，由题意可得AC工30,CG，底面A3。。，

BDu底面ABCQ,所以CG_L80,而C«cAC=CCC「ACu平面ACGA，

所以801平面ACGA，又A/U平面ACGA，所以8。J.4/,B正确.

对c,设AC与8/）交于点。，以。为坐标原点，OAOAAA.的方向分别为x轴，V轴，z轴的正方向建立

如图所示的空间直角坐标系，

则幻后,0,2）,仇0,1,0）,P（-石,0,1）,所以囤=（2百。1）,两=（3』,-1），

fPA.-n=2y/3a+c=0,

设平面A8P的法向量为万=（a〃,c）,则｛

[PBn=N3a+Z?-c=0,

不妨取a=—l,M>z=（-l,3x/3,2x/3）,易知平面ABC。的一个法向量为丽=（。.。,1）,

则cos（谕,n）=/2G==30,C正确.

71+27+1210

对D,连接CR,由A项知四点共面，AQ〃平面ABP,

又平面平面DCCR=PM,所以D.Q//PM,

所以。的轨迹为线段C。（不含点。），CD、=2丘,D正确.

故选：BCD.

12.（YO,-2]（J[3,~KO）

将问题转化为过点。（。,-1）的直线/与线段AB有交点时，直线/的斜率左的取值范围，即可由两点斜率公式

求解.

【详解】直线的倾斜角与斜率如图，£里=』土D,则原问题可转化为过点c（o,-l）的直线/与线段A8有

xx-0

交点时，直线/的斜率4的取值范围.

连接AC3C,则&=2±6=3,心C=匕£"=-2,

M1-0M-2-0

当/的倾斜角是锐角时，攵＞0,随着倾斜角的增大，斜率上由须C=3增大至正无穷；

当/的倾斜角是钝角时，k＜0,随着倾斜角的增大，斜率%由负无穷增大至3c=-2.所以423或44-2.

故答案为：（7°,—2]U[3,+8）

借助椭圆定义计算即可得结论.

【详解】由N是的中点，则卜因|=2|QV|=3,

由椭圆定义可得用=2.、缶=8,

贝““制=8-|加6|=5.

故答案为：5.

14.[2-2同2+2到

先得到圆M的圆心和半径，设P（%，X）,。仇以），根据可+并=也得到方程，利用P点坐标表达出。点

坐标，代入圆M中，得到点。在圆4）2+（＞-3）2=25上，从而两圆的公共点，根据圆心距与半径的关系

得到不等式，求出答案.

【详解】根据题意，圆M:文2+y2-12x-l4），+6（）=0,即*-6尸+（丁-7）2=25,

其圆心为（6,7）,半径r二5,

设P（N，y），Q（孙先），

又由丁亿0）,则7%=（2-,4）,取=（…M，TQ=（x2-i,y2）,

2-t+x-t=x-tW=X+2T

若7%+讶=痣，则有＜12变形可得1

4+%=%%=)1+4

若。在圆M上，则。2-6尸+（必-7）2=25,

则有Q+2T-6尸+(y+4—7f=25,变形可得：(R-f-4)2+(y-3)2=25,

即点尸也在圆4)2+0-3)2=25上,

从而圆M(x-6)、()，-7)2=25与圆(X--4尸+(一"3)2=25有公共点，

则有5—5K7(/+4-6)2+(3-7)2<5+5，

变形可得：（-2）2484,

解得：2-2后金£2+2后,即/的取值范围为［2—2回,2+2历］;

故答案为：［2-2夜1,2+2庖］.

⑵x=4或12x-5y-43=0

(1)设圆心C(〃「a+1),通过半径求得。=-1,进而可■求解：

(2)通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可.

【详解】(1)由题意设圆心C(«Y+I),

因为aq=|AC|,即J(a—3)泊-口+1+1)2=J(4-2)2+(-a+l-6)2,

解得〃=_1,即半径<=|C4|=J(_1_3)2+=5,

所以圆C的标准方程为(x+l)2+(y—2)2=25；

(2)当切线的斜率不存在时，则切线方程为x=4,

此时圆心C(-1,2)到直线x=4的距离为5=r,符合条件；

当切线的斜率存在时，设过历(4,1)的切线方程为y-l=Z(x-4),

即h—y—4k+1=0,

则圆心C(-l,2)到切线的距离d=〃+(_]『=$,解得左=],

1212

此时切线的方程为：yX-.y-4xy+l=0,即12工一5)，-43=0,

综上所述：过M的切线方程为”=4或12x-5)，-43=().

16.(1)证明见解析

⑵手

3

(1)通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量〃；再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直关

系.

(2)己知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两个

平面夹角的余弦值.

【详解】⑴因为四棱锥P-ABC。的底面/1BCD是正方形，平面人BC。，

所以以点。为坐标原点，DA".”所在直线分别为x轴、>轴、z轴建立空间直角坐标系,

则A(5,0,0),8(5,5,0)00,5,0),0(0,0,0),P(0,0,5),尸］。於545

22)

一(55

所以=

设平面EFD的法向量为1=(x,y,z),

n.DE=-x+-z=O

'22

则令x=l,则〃]=（1,1,一1）.

4•DF=—y+—z=0

122

又因为丽=(5,5,-5),所以P8=5，?；,即方〃院,

由;iJ.平面石尸。，得P3_L平面EF。.

(2)设平面EZW与平面ABC。的夹角为巴

平面瓦'。的一个法向量为1=(1,1,7),平面A4CO的一个法向量为a=(O.。』)，

所以cose=卜os胃=

3"'

则平面口＞“与平面人AC。的夹角的余弦值为正

3

17.(1)—+^-=1

124

⑵迈

2

【详解】⑴已知忻周二4&,所以得：2c=4/，即c=2近,

由于点尸(TI)在椭圆上，将其代入椭圆方程5+斗=血＞〃〉。),

a~b~

（-3fI29I,

可得：'_-J-\—-—1»H即nr+yr=1.

a-b-ab

又因为。2=。2-从，即/一从=8.

a2-b-=8

联立《91，整理得：2〃一8=0,解得：从=4或庐=—2(舍)

所以/=//+,,2=4+8=12,故椭圆。的标准方程为《+±=1.

124

（2）因为尸鸟二5,所以的面积S=3尸用|尸周・sin¥=正,

3232

则户制•〔时|=2,根据椭圆定义可得:归用+|%|=幼.

根据余弦定理可得：|£月『=|P^|2+|PE|2-2|P^||P/S|COS|,

整理得：|相「=（|?用+|p周）2/叫席卜2|明|”|cos5,

代入得：4c2=4a2-6,即"一^=^=:，即得：〃=逅.

22

18.（1）证明见解析

⑵零

（3）存在，M为PC中点

【详解】（1）连接PD,如图所示:

又。为8c中点,

丁立面ABCJ_平面ABC,平面PBCC平面ABC=8C,P£>u平面PBC,

.•./¥)_1平面48。.

（2）由（1）知电）_1_平面ABC,又。B,OEu平面A3C,

:.PDA.DB,PDlDEf

vZABC=90;D,£分别为BC,AC的中点,

/.DE//AB,AB±BC,

BCLDE,

二•如图:

x

以。为原点，。氏。E.OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系,

•••AB=BC=2,

则力（0,0,0）,5（1,0,O）,C（-1,0,0）,A（l,2,0）,尸（0,0,G）,E（0,1,0）,

所以4=（—1,0,—G）,/=（—2,—2,0）P&=（l,0,—G）,

设平面PAC的法向量为万=（x,），,z）,

PCn=0f-x-V3z=0

则｛__=>〈，

ACn=0[-2x-2y=O

令z=l,贝巾=卜瓜石

则点B到平面尸AC的距离为噌'=卜一百|=冬旦

同币7

（3）设存在，

由（1）可知万=卜6,6,1）是平面H4C的一个法向量，

由寇可设PA/且几t（O,l）,

DM=DP+PM~=（0,0,e）+1=卜Z0,G—G/l）,

则PM=2（-1,0-75）=（_尢0,_&）,

设平面MDE的法向量为而=（。也c）,由于方=（0,1,0）,

DMfii=0f-/U+（G-G/l）c=04=痒

则<—=<'7=>\2,

DEm=0[/；=06=0

令C=A,则沅=（G-GZ（M）,

.|cosM制.IM.叱3+（M_立

..薛伊可一邮同一行“储_64+3-7，

整理得2万—32+1=0,解得冗=:或义=1（舍），

故存在点M,使得平面Q4C和平面用夹角的余弦值为立，

7

此时M为PC中点.

19.(1)(X-1)2+(>'-^)2=4

⑵4&

(3)证明见解析

【详解】(1)己知圆。的方程为f+.F—21—26)，-12=0,将其转化为圆的标准方程:

(x-l)2+(y-V3)2=16.

所以圆心半径r=4.

因为“是必/弘的中点，可知.

已知MMJ=4G,则;M%|=2>/5.

在R